17.1勾股定理 (1) 教案 2024—2025学年人教版数学八年级下册

17．1 《勾股定理》教学设计   一、内容和内容解析 1. 教学内容  勾股定理的探究、证明及简单应用． 2．内容解析  勾股定理的内容是：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么．它揭示了直角三角形三边之间的数量关系．在直角三角形中，已知任意两边长，就可以求出第三边长．勾股定理常用来求解线段长度或距离问题．   勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形，再到一般的直角三角形，体现了从特殊到一般的探探索、发现和证明的过程．证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的正方形的面积，教学中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得定理的证明．   我国古代在数学方面又许多杰出的研究成果，对于勾股定理的研究就是一个突出的例子．教学中可以介绍我国古代在勾股定理的证明和应用方面取得的成就和作出的贡献，以培养学生的民族自豪感；围绕证明勾股定理的过程，培养学生学习数学的热情和信心． 基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明勾股定理． 二、目标和目标解析 1教学目标 知识与技能 （1）了解关于勾股定理的一些文化历史背景。 （2）能用勾股定理解决一些简单问题。 过程与方法 发展观察、归纳、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力。 情感态度和价值观 通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。 2．目标解析   （1）学生通过观察直角三角形的三边为边长的正方形面积之间的关系，归纳并合理地用数学语言表示勾股定理的结论．理解赵爽弦图的意义及其证明勾股定理的思路，能通过割补法构造图形证明勾股定理．了解勾股定理相关的史料，知道我国古代在研究勾股定理上的杰出成就．   （2）学生能运用勾股定理进行简单的计算，关键是已知直角三角形的两边长能求第三条边的长度．  三、学情分析： 八年级的学生已具备一定的分析与归纳能力，初步掌握了探索图形性质的基本方法.但学生对用割补的方法及面积法证明几何命题的意识和能力还比较弱.对于如何将图形与数量关系有机地结合还很陌生，因此在教学中让学生直接发现直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方有一定难度，这就需要由浅入深的设置问题.先从等腰直角三角形入手，引导学生发现规律，再从特殊到一般探究一般直角三角形是否满足规律. 学生第一次尝试用构造图形的方法来证明定理，存在较大的困难，解决这一问题的关键是要想到用合理的割补方法，求以斜边为边的正方形的面积.教学中应先引导学生观察网格背景下正方形的面积关系，在思考去网格背景后正方形的面积关系.然后把这种关系表示成边长之间的关系，这不仅有利于学生自然合理的发现定理，而且便于学生验证定理，同时教师要揭示割补法的实质是图形经过截、割、拼、补而面积不变，这种方法也是今后证明面积问题的常用方法. 四、设计意图 本节课从经典的“地砖中的勾股定理”引入，首先从定量的角度猜想等腰直角三角形三边的面积关系，再推及一般的直角三角形，从而猜想出定理内容.随后以四个全等的直角三角形为核心，构建能够说明勾股定理的几种图形，再用严格的代数过程进行验证，体现了的数学从直观猜想到逻辑证明的学科范式.最后通过例题和练习加强学生对勾股定理的理解和应用. 五、教学重难点 教学重点：勾股定理的推导 教学难点：利用勾股定理解决问题。 六、教学过程设计 1、兴趣切入   相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系．三个正方形A，B，C的面积有什么关系？          毕达哥拉斯(公元前572---前492年),古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家。   师生活动　学生观察图形，分析、思考其中隐含的规律．通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将小正方形A，B中的等腰直角三角形补成一个大正方形，得出结论：小正方形A，B的面积之和等于大正方形C的面积． 2、启发渐进 问题 由这三个正方形A，B，C的边长构成的等腰直角三角形三条边长之间有怎样的特殊关系？ ( S2 ) ( M ) ( N ) ( D ) ( E ) ( A ) ( F ) ( S1 ) ( S3 ) ( G ) ( C ) ( B ) S1+S2=S3 师生活动  教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方，归纳出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．  【设计意图】从最特殊的直角三角形入手，通过观察正方形面积关系得到三边关系，对等腰直角三角形边长关系进行初步的一般化．  3、演绎探讨 在网格中的一般的直角三角形，以它的三边为边长的三个正方形A，B，C的面积是否也有类似的关系？  师生活动　学生动手计算，分别求出A，B，C的面积并寻求它们之间的关系．  追问　正方形A，B，C所围成的直角三角形三条边之间有怎样的关系？  师生活动  学生独立思考后分组讨论，难点是求以斜边为边长的正方形面积，可由师生共同总结得出可以通过割、补两种方法求出其面积，教师在学生回答的基础上归纳方法---割补法．可求得C的面积为13，教师引导学生直接由正方形的面积等于边长的平方归纳出：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．  【设计意图】为方便计算，网格中的直角三角形边长通常设定为整数，进一步体会面积割补法，为探究无网格背景下直角三角形三边关系打下基础，提供方法．  问题1　通过前面的探究活动，思考：直角三角形三边之间应该有什么关系？  师生活动  教师引导学生表述：如果直角三角形两直角边长分别为，，斜边长为，那么  【设计意图】在网格背景下通过观察和分析得出了等腰直角三角形和一般的直角三角形的三边关系后，猜想直角三角形的三边关系是很容易的．  问题2  以上直角三角形的边长都是具体的数值，一般情况下，如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边长为c，我们的猜想仍然成立吗？  师生活动    要求学生通过独立思考，用a，b表示c．如图，用“割”的方法可得；用“补”的方法可得．这两个式子经过整理都可以得到即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．中国人称它为“勾股定理”，外国人称它为“毕达哥拉斯定理”．  【设计意图】从网格验证到脱离网格，通过割补构造图形和计算推导出一般结论．  4、演绎探讨   历史上各国对勾股定理都有研究，下面我们看看我国古代的数学家赵爽对勾股定理的研究，并通过小组合作完成教科书拼图法证明勾股定理．  师生活动  教师展示“弦图”，并介绍：这个图案是公元3世纪三国时期的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（朱实）可以如图围成一个大正方形，中间部分是一个小正方形（黄实）．我们刚才用割的方法证明使用的就是这个图形，教师介绍勾股定理相关史料，勾股定理的证明方法据说有400多种，有兴趣的同学可以搜集研究一下．  【设计意图】通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，发展学生的形象思维，使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中数形结合的思想．通过对赵爽弦图的介绍，了解我国古代数学家对勾股定理的发现及证明所做出的贡献，增强民族自豪感，通过了解勾股定理的证明方法，增强学生学习数学的自信心．  5、独立提升  例1  画一个直角三角形，，它的两直角边分别是，量一量它的斜边是多少厘米？算一算，你量的结果对吗？  师生活动　学生操作，教师个别指导． 【设计意图】通过运算，培养学生的运算能力并正确运用勾股定理解决直角三角形的边长问题．通过测量进一步验证勾股定理所得结论的正确性．  例2 在直角三角形中，各边的长如图，求出未知边的长度．    师生活动　学生计算，教师检验．  【设计意图】勾股定理是通过构造图形法通过面积关系进行证明的．所以勾股定理本质上是反映面积关系的．如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．通过对等式变形，可以得出直角三角形三边之间的关系：；；．在直角三角形中，已知两边，求第三边，应用勾股定理求解，也可建立方程解决问题，渗透方程思想．  例3 蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？   师生活动　学生观察、思考、计算，教师检验．  【设计意图】设计实际问题背景，提高学生分析问题和解决问题的能力．   归纳小结，反思提高   师生共同回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： （1）勾股定理总结的是什么数量关系？   （2）勾股定理有什么作用？   （3）阅读教科书，总结教科书提供的勾股定理的其他证明方法．了解中国人的伟大和外国人的智慧．  【设计意图】让学生从不同角度谈本节课学习的主要内容，在学习过程中感受到中国数学文化博大精深和数学的美，感悟数形结合的思想，增强对数学学习的自信．  布置作业  （1）教科书第28页第1题；   （2）通过互联网收集定理的多种证法．自主探究定理的证明．   七、目标检测设计   1．直角三角形的周长为12，斜边长为5，其面积为（     ）      A．12      B．10      C．8      D．6   【设计意图】勾股定理的简单计算，结合三角形的周长和面积知识进行求解．   2．等边三角形的高是h，则它的面积是（     ）      A．        B．        C．        D．   【设计意图】勾股定理的应用和三角形的面积公式．  3．直角三角形中，，，求和．  【设计意图】考查学生运用勾股定理的能力． 八、教学反思 本课的教学设计坚持以“以学为本，因不论教”为指导思想，注意挖掘教材中培养创新意识的素材，为学生营造一种创新的学习氛围。把学生引上探索问题之路，为学生构造一道亮丽的思维风景线，必将调动学生学习的主动性，积极性，体现学生的主体地位，同时，本课以探索训练为主线，有意识地留给学生适度的思维空间。 学生通过自已尝试探究，小组合作、动手拼图等多种形式参与课堂，学习兴趣深厚，积极性高，课堂效果很好。学生在掌握了知识的同时， 由于真正经历了探究过程，对科学家的观察力和勤于思考的作风理解颇深，并学到了一些新的探究方法。思想上也受到了教育和启迪。课堂教学目标顺利完成。 通过这节课，让我更深刻地认识到：只要坚持不懈地这样去做，就能很好地完成实施新课改，实现教育的本来目标。 学科网（北京）股份有限公司 $$