第一章第04讲 解题技巧专题：巧用幂的运算法则（5类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（北师大版2024）

第04讲 解题技巧专题：巧用幂的运算法则 目录 【考点一 逆用幂的相关公式求值】 1 【考点二 先化为同底数，再灵活运用幂的公式计算】 4 【考点三 利用幂的逆运算简便运算】 6 【考点四 利用幂的运算比较大小】 12 【考点五 与幂的运算有关的新定义型问题】 14 【考点一 逆用幂的相关公式求值】 例题：（24-25八年级上·重庆万州·期中）解决下列有关幂的问题： (1)若，求值； (2)若n为正整数，且，求的值． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·广东湛江·期末）（1）已知，，求的值． （2）已知，，，求的值． 2．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）①若，求的值． ②已知，，求的值． 3．（23-24八年级上·福建莆田·期中）（1）已知、为正整数，求的值； （2）已知，求的值． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）1）已知，．求的值； （2）已知，．用a，b表示的值； （3）已知为正整数，且．求的值． 【考点二 先化为同底数，再灵活运用幂的公式计算】 例题：（24-25八年级上·福建厦门·期中）若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·山东济宁·期中）（1）已知，，求的值． （2）已知，求x的值． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）（1）已知，求的值． （2）若，求的值． （3）已知，用含、的式子表示． 3．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则．（为非负数、为非负整数）请运用所学知识解答下列问题： (1)已知：，求的值． (2)已知：，求的值． 【考点三 利用幂的逆运算简便运算】 例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（2024七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 2．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出n的值． 3．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）阅读下列各式：，，… 回答下列三个问题： (1)验证： ； ． (2)通过上述验证，归纳得出： ； ． (3)请应用上述性质计算： ①； ②． 4．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． 5．（23-24七年级下·广东茂名·阶段练习）阅读下列各式：，……． 请回答下列问题： (1)计算：________，________． (2)通过上述规律，归纳得出：________；________． (3)请应用上述性质计算：． 【考点四 利用幂的运算比较大小】 例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）阅读下列解题过程： 若，比较a，b的大小． 解：因为， ， ． 所以． 所以． 依照上述方法解答问题： 已知，试比较x与y的大小． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）阅读下列材料，回答问题． 下面是底数大于1的数比较大小的两种方法． ①比较和的大小． 当时，，即当底数相同时，指数越大值越大． ②比较和的大小． 解：，，，，． 即指数相同时，底数越大值越大． (1)比较和的大小； (2)已知，，则a___________b．（选填“>”“=”或“<”） 2．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小 解：因为，且，所以，即， 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： (1)比较、、的大小： (2)比较、、的大小： (3)比较与的大小． 【考点五 与幂的运算有关的新定义型问题】 例题：（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）对于整数a，b定义新运算；（其中m，n为常数），如． (1)当，时，的值为________； (2)若，，求的值． 2．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)，求的值； (3)若运算的结果为，则t的值是多少？ 3．（22-23八年级上·广东东莞·期中）我们给出以下两个定义： ①三角形  ；②3×3的方格图   请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：  =__________ (2)填空：  =____________ (3)若  ，求   4．（2024七年级下·江苏·专题练习）在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如 ， ， (1)根据定义计算： ① ；② ；③如果，那么 ； (2)设，，则，，，、均为正数） ，， ， ，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，， (3)请你猜想： （，，、均为正数） 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 解题技巧专题：巧用幂的运算法则 目录 【考点一 逆用幂的相关公式求值】 1 【考点二 先化为同底数，再灵活运用幂的公式计算】 4 【考点三 利用幂的逆运算简便运算】 6 【考点四 利用幂的运算比较大小】 12 【考点五 与幂的运算有关的新定义型问题】 14 【考点一 逆用幂的相关公式求值】 例题：（24-25八年级上·重庆万州·期中）解决下列有关幂的问题： (1)若，求值； (2)若n为正整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查幂的乘方以及积的乘方， （1）根据幂的乘方法则进行计算即可； （2）根据幂的乘方、积的乘方进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·广东湛江·期末）（1）已知，，求的值． （2）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方运算、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查幂的运算法则． （1）逆用同底数幂相乘以及幂的乘方即可解答； （2）运用同底数幂的乘除法则以及幂的乘方即可解答． 【详解】解：（1）∵，， ∴原式； （2）∵，，， 原式． 2．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）①若，求的值． ②已知，，求的值． 【答案】①14；②1． 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方，熟练掌握幂的混合运算是解题的关键． ①根据积的乘方与幂的乘方，进行计算即可求解；②根据积的乘方与幂的乘方，进行计算即可求解； 【详解】解：① =， 当时，原式=； ② = = =， 当，时，原式=， ∵为偶数， ∴原式=1． 3．（23-24八年级上·福建莆田·期中）（1）已知、为正整数，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】（1）逆向运用同底数幂的乘除法法则以及利用幂的乘方运算法则计算即可； （2）逆向运用同底数幂的乘除法法则以及利用幂的乘方运算法则计算即可； 【详解】（1）解：∵、为正整数， （2）∵， ； 【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键． 4．（23-24七年级下·全国·课后作业）1）已知，．求的值； （2）已知，．用a，b表示的值； （3）已知为正整数，且．求的值． 【答案】（1）5184；（2）；（3）2450 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了积的乘方法则与幂的乘方法则的逆用． （1）逆用积的乘方法则，即（其中n为正整数），则问题解决； （2）逆用积的乘方法则和幂的乘方，即、（其中m、n均为正整数），则问题解决； （3）逆用积的乘方和幂的乘方法则，即、 ，其中m、n均为正整数，则问题解决． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵， ∴ ． 【考点二 先化为同底数，再灵活运用幂的公式计算】 例题：（24-25八年级上·福建厦门·期中）若（且是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的相关运算法则，正确的列出方程是解题的关键： （1）先将等式左边化为底数为2的同底数幂的运算，根据题干给的结论得到关于的方程，进行求解即可； （2）逆用积的乘方法则，再根据题干给的结论进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·山东济宁·期中）（1）已知，，求的值． （2）已知，求x的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法的逆运，幂的乘方，同底数幂的除法的逆运，掌握运算法则是解本题的关键； （1）把化为，再整体代入计算即可； （2）由可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）（1）已知，求的值． （2）若，求的值． （3）已知，用含、的式子表示． 【答案】（1）40；（2）；（3） 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查同底数幂乘法与积的乘方及其逆用，熟练掌握同底数幂的乘法与积的乘方及其逆用是解题的关键； （1）由题意易得，然后可代入进行求解； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解； （3）由题意可知，然后代入求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴， 解得：； （3）∵， ∴． 3．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则．（为非负数、为非负整数）请运用所学知识解答下列问题： (1)已知：，求的值． (2)已知：，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方的逆用、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方的逆用、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键． （1）利用幂的乘方、积的乘方的逆用变形，得到，即，求解即可； （2）利用幂的乘方、同底数幂的乘法法则变形，得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， 解得：， ∴的值为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为． 【考点三 利用幂的逆运算简便运算】 例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握逆用积的乘方和幂的乘方运算法则简便计算是解题的关键． （1）先逆用幂的乘方运算法则，变形为，再逆用积的乘方法则计算，最后根据乘法法则计算即可； （2）先逆用幂的乘方运算法则，变形为，再逆用积的乘方法则计算，最后根据乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式训练】 1．（2024七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】积的乘方的逆用 【分析】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对积的乘方的法则的掌握与灵活运用． 先将式子拆分成同次数的形式，再利用进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题． 东东的作业 计算：． 解：原式． (1)计算： ①； ②； (2)若，请求出n的值． 【答案】(1)①1；②； (2)4 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则，积的乘方，幂的乘方的运算法则等相关知识，熟记对应法则是解题的关键． （1）①根据积的乘方及幂的乘方的运算法则得到正确结果；②积的乘方及幂的乘方的运算法则即可得到正确结果； （2）利用幂的乘方运算法则的逆用及同底数幂的乘法法则即可得到n的值． 【详解】（1）解：①； ② （2）解：∵ ∴， ∴ ∴， ∴， 解得：． 3．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）阅读下列各式：，，… 回答下列三个问题： (1)验证： ； ． (2)通过上述验证，归纳得出： ； ． (3)请应用上述性质计算： ①； ②． 【答案】(1)1，1 (2)； (3)①4；② 【知识点】积的乘方的逆用、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方公式及其逆运算，正确理解积的乘方等于乘方的积是解题的关键． （1）积的乘方公式及其逆运算计算即可； （2）由，，…，归纳可得，，； （3）逆用公式 ，即容易求出答案． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：1，1； （2），，… ∴，； 故答案为：；； （3）① ； ② ． 4．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． 【答案】(1)， (2)①1，1；② 【知识点】积的乘方的逆用、积的乘方运算 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算： （1）根据题意计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解即可． 【详解】（1）根据题意得，，； （2）①， ； ② ． 5．（23-24七年级下·广东茂名·阶段练习）阅读下列各式：，……． 请回答下列问题： (1)计算：________，________． (2)通过上述规律，归纳得出：________；________． (3)请应用上述性质计算：． 【答案】(1)1；1 (2)， (3) 【知识点】积的乘方的逆用、积的乘方运算 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算： （1）根据题目所给公式，计算求解即可； （2）根据题意进行求解即可； （3）把原式变形为，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：1；1； （2）解：由题意得，，， 故答案为：，； （3）解： ． 【考点四 利用幂的运算比较大小】 例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）阅读下列解题过程： 若，比较a，b的大小． 解：因为， ， ． 所以． 所以． 依照上述方法解答问题： 已知，试比较x与y的大小． 【答案】 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查幂的乘方和积的乘方以及实数比大小，灵活运用幂的乘方和积的乘方运算法则是解题的关键． 根据幂的乘方和积的乘方已知条件可得，结合即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·吉林白城·阶段练习）阅读下列材料，回答问题． 下面是底数大于1的数比较大小的两种方法． ①比较和的大小． 当时，，即当底数相同时，指数越大值越大． ②比较和的大小． 解：，，，，． 即指数相同时，底数越大值越大． (1)比较和的大小； (2)已知，，则a___________b．（选填“>”“=”或“<”） 【答案】(1) (2)> 【知识点】幂的乘方的逆用、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了实数的大小比较以及乘方的运用，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则． （1）先把底数9写成底数是3的幂，然后比较指数的大小，从而比较这两个数的大小； （2）先逆用幂的乘方法则，把幂写成指数相同的幂，然后根据底数越大，幂就越大，进行比较即可． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∴； （2）解：∵， 又， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 2．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）阅读下面的材料： 材料一：比较和的大小 解：因为，且，所以，即， 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 材料二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小 解决下列问题： (1)比较、、的大小： (2)比较、、的大小： (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方运算、积的乘方运算、有理数大小比较 【分析】（1）根据，，，再比较底数的大小即可； （2）根据，，，再比较指数的大小即可； （3）根据，，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：，，， ， ， ； （2），，， ， ， ； （3），， ， ． 【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． 【考点五 与幂的运算有关的新定义型问题】 例题：（23-24八年级上·福建泉州·期中）对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2)81 【知识点】同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算 【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可； （2）根据条件结合新定义的运算方法判断出，，可得结论． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2），， ，， 整理得：，，解得：， ． 【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·贵州毕节·阶段练习）对于整数a，b定义新运算；（其中m，n为常数），如． (1)当，时，的值为________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2) 【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方运算 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，幂的运算的含义，理解新定义运算的含义是解本题的关键； （1）根据新定义运算法则可得，再计算即可； （2）由可得，结合，可得，再计算即可． 【详解】（1）解：根据运算法则，． （2）∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ． 2．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题． (1)求的值； (2)，求的值； (3)若运算的结果为，则t的值是多少？ 【答案】(1)96 (2)96 (3)2 【知识点】有理数的乘方运算、幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】（1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据同底数幂的乘法以及幂的乘方进行计算即可求解； （3）根据新定义得出，即可求解． 【详解】（1）解：依题意， （2）∵， ∴ ． （3）因为， 即， 即， 所以． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（22-23八年级上·广东东莞·期中）我们给出以下两个定义： ①三角形  ；②3×3的方格图   请你根据上面两个定义，解答下列问题： (1)填空：  =__________ (2)填空：  =____________ (3)若  ，求   【答案】(1)16 (2)48 (3)18 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂相乘 【分析】（1）根据①中所给公式直接进行求解即可； （2）根据②中所给公式直接进行求解即可； （3）根据题中所给公式直接代值求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：   ； 故答案为16； （2）解：由题意得：   ； 故答案为48； （3）解：由题意得：， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法及幂的乘方，熟练掌握幂的运算及题中所给新定义运算是解题的关键． 4．（2024七年级下·江苏·专题练习）在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如 ， ， (1)根据定义计算： ① ；② ；③如果，那么 ； (2)设，，则，，，、均为正数） ，， ， ，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，， (3)请你猜想： （，，、均为正数） 【答案】(1)①4 ；②0 ；③2 (2) (3) 【知识点】同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】此题考查了同底数幂的乘法及除法逆运算， 弄清题中的新定义是解本题的关键 ． （1） 各项根据题中的新定义计算即可得到结果； （2） 利用对数的运算法则变形即可得到结果； （3） 利用已知的新定义化简即可得到结果 ． 【详解】（1）解： ① ； ② ； ③， ； 故答案为：4，0，2； （2）解：； 故答案为：； （3）解：设，，则，，（且，、均为正数） ， ， ，则， ， 故答案为：． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$