第一章第04讲 线段的垂直平分线和角平分线（2个知识点+8类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（北师大版）

第04讲 线段的垂直平分线和角平分线 课程标准 学习目标 ①线段的垂直平分线 ②角平分线 ③尺规作图 1.理解线段垂直平分线，角平分线的概念；并掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理； 2.能运用线段的垂直平分线、角平分线的性质与判定有关知识进行证明或计算； 3.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线和角平分线； 知识点01 线段的垂直平分线 【即学即练1】如图，在中，，分别垂直平分和，交于，两点，与相交于点．    (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 【即学即练2】如图，为等边三角形，，，相交于点E． (1)求证：垂直平分； (2)求的长； (3)若点F为的中点，点P在上，则的最小值为______．（直接写出结果）． 知识点02 角的平分线 【即学即练1】如图，，点E是的中点．平分．    (1)求证：是的平分线； (2)已知，，求四边形的面积． 【即学即练2】如图，的角平分线与的垂直平分线相交于点D，，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，则的周长______． 题型01 利用线段垂直平分线的性质求解 例题：（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是 ． 【变式训练】 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的周长是 ． 2．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为，则底边的长为 ． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为 ； 题型02 线段垂直平分线的判定定理 例题：（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，四边形的对角线与相交于点，，． 求证： (1)； (2)垂直平分． 2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知中，，点，分别为，上的点，． (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 题型03 作垂线（尺规作图） 例题：（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在M、N处参加植树活动，要在道路的交叉区域内设 一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，而且要使，请你用尺规作图的方法找出P点． （不写作法，但保留作图痕迹） 【变式训练】 1．（23-24八年级上·广西桂林·期中）要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法． 已知：如图，和A，B两点． (1)作的平分线； (2)求作一点Q，使Q点在上，且． 2．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中， (1)作的垂直平分线，交于E，交于点D，连接AD（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)若，的周长为15，求的周长． 3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，是的角平分线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点E、F；（标明字母，保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接、，求证：． 题型04 角平分线性质定理 例题：（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，在中，，，按如图所示的方式作射线交于点，若，则 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 ． 2.（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)如图2，其余条件不变，若______． (3)如图3，其余条件不变，若，判断的数量关系，并说明理由． 题型05 角平分线的判定定理 例题：（23-24八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，在中，，D是上一点，于E，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，于E，于F，若．    (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 2．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）如图，平分，于点，于点，连接． (1)试说明； (2)与相等吗？请说明理由； (3)是否垂直平分，请说明理由． 题型06 角平分线性质的实际应用 例题：（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）在三条公路围成的一块平地上修建一个物流服务中心（如图），若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．三条中线的交点 B．内任意一点 C．三条高所在直线的交点 D．三条角平分线的交点 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型07 作角平分线（尺规作图） 例题：（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，．    (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的角平分线与边交于点，过点作于点．若，，求的长． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，． (1)作的平分线，交于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明） (2)在（1）的条件下，是边上的一点，且，，连接．若，求的度数． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，． (1)尺规作图：作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)试判断与的关系，并证明． 题型08 线段的垂直平分线与角平分线的综合问题 例题：（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，，，则的长为？ 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点D，，垂足为点G，H． (1)求证：； (2)若，求的长． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 一、单选题 1．（24-25八年级上·四川凉山·阶段练习）点在的角平分线上，点到边的距离等于，点Q是边上的任意一点，则的长度不可能是（   ） A．6 B．5 C．4 D． 2．（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）到三角形各顶点距离相等的点是（   ） A．三条高交点 B．三个内角平分线交 C．三条中线交点 D．三条边垂直平分线交点 3．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线分别交、于点、，连接、．若，则的度数为（      ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，点P是边上一点，且到的距离相等，则线段一定是（  ） A．的角平分线 B．的中线 C．的高 D．所在直线是的中垂线 5．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：①；②是等边三角形；③；④．其中正确的为（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 6．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，平分，，，，若，则 ．    7．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，中，垂直平分交于点E，，则 ． 8．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，是的角平分线．若，，的面积为，则的长为 ． 9．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，点P是的角平分线上一点，于点D，垂直平分，若，，则 ． 10．（24-25八年级上·全国·期末）如图，等腰的底边，面积为18，直线是腰的垂直平分线，若点D在上运动，点F在边上运动，则的最小值为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：如图，，点在上． (1)在射线上找一点，使； (2)在的内部找一点，使到的两边距离相等，且（保留作图痕迹，不需要写出作图步骤） 12．（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）某海岛海域争端持续，我国海监船加大该岛附近海域的巡航维权力度．如图，海里，海里，海岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着方向匀速驶向海岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船． (1)请用直尺和圆规作出C处的位置； (2)求我国海监船行驶的航程的长． 13．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）在中，点D在的平分线所在的直线上．过点D作于E，作交的延长线于F，且． (1)求证：点D在的垂直平分线上： (2)若，．求的长度是多少？ 14．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线与直线交于点． (1)求证：点在线段的垂直平分线上． (2)已知，求的度数． 15．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足是，是上一点，平分，于点． (1)试判断与是否相等，并说明理由． (2)求证：． 16．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，已知，和垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若则的度数是 度． (2)若，的周长是． ①求的长度． ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 17．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）（1）【问题】如图1，平分，，，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是________________________； （2）【探究】如图2，平分，，，求证：； （3）【应用】如图3，四边形中，，，，，若，求的值． 18．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，在的两边，上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 19．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图1，在四边形中，，，，点E是射线上一动点，点C沿直线翻折得到点．    (1)如图2，点E运动到点D，连接交于点F， ①判断的形状，并说明理由； ②此时的长度为______； (2)连接和，当点E在射线上移动时，是否存在某个位置，使得是直角三角形，若存在，请直接写出线段的长；若不存在，请说明理由． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 线段的垂直平分线和角平分线 课程标准 学习目标 ①线段的垂直平分线 ②角平分线 ③尺规作图 1.理解线段垂直平分线，角平分线的概念；并掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理； 2.能运用线段的垂直平分线、角平分线的性质与判定有关知识进行证明或计算； 3.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线和角平分线； 知识点01 线段的垂直平分线 【即学即练1】如图，在中，，分别垂直平分和，交于，两点，与相交于点．    (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． （）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长； （）根据三角形的内角和定理列式求出 ，再求出，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解； 【详解】（1）解：∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， ∵的周长为， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【即学即练2】如图，为等边三角形，，，相交于点E． (1)求证：垂直平分； (2)求的长； (3)若点F为的中点，点P在上，则的最小值为______．（直接写出结果）． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴平分， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：连接交于点，连接， ∵是的垂直平分线， ∴、关于对称， 的最小值为 是的中点， 故答案为：6． 知识点02 角的平分线 【即学即练1】如图，，点E是的中点．平分．    (1)求证：是的平分线； (2)已知，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质定理； （1）根据角平分线的性质得出，根据中点定义得出，从而得出，证明，得出，即可证明结论； （2）证明，得出，，根据，得出，，求出，根据，得出即可． 【详解】（1）证明：过点E作于点F，如图所示：    ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴． 【即学即练2】如图，的角平分线与的垂直平分线相交于点D，，，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)若，则的周长______． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等是解题的关键． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质和角平分线性质得出，，证明，即可得出结论； （2）证明，可得，然后求出的周长为，计算即可． 【详解】（1）证明：连接，    ∵D在的中垂线上， ∴， ∵，，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴的周长为：， 故答案为：． 题型01 利用线段垂直平分线的性质求解 例题：（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，边的垂直平分线，分别交，于点D，E两点，连接，，，则的度数是 ． 【答案】85 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据线段垂直平分线的性质得出，再根据角的和差关系即可得出，最后根据三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：85． 【变式训练】 1．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，是的垂直平分线，若，，则的周长是 ． 【答案】13 【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质可得，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 故答案为：13． 2．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为，则底边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线性质知，．的周长，解方程得解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． 又的周长， 即， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点．已知的周长为，则的长为 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质．利用线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”可得，然后利用的周长为和等量代换可得，即可解答． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． ∴， ∵的周长为， ， ， ， ∴的长为； 故选：． 题型02 线段垂直平分线的判定定理 例题：（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键． （1）连接、，根据线段垂直平分线的性质和判定即可； （2）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解． 【详解】（1）证明：连接、， 垂直平分，垂直平分， ，， 点P在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，，， ，， 在中，，， ， 即，， 在四边形中，， 【变式训练】 1．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，四边形的对角线与相交于点，，． 求证： (1)； (2)垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，垂直平分线的判定，掌握相关图形的判定方法是解决问题的关键； （1）根据直接证明； （2）根据，，即可得证垂直平分． 【详解】（1）证明：在与中， ∴； （2）∵，， ∴点、点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知中，，点，分别为，上的点，． (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，可得，利用，进而证明； （2）由则在的中垂线上，再证明可得，故在的中垂线上，则垂直平分． 本题考查三角形全等的判定和性质定理、中垂线的判定定理，理解题意是解决问题的关键． 【详解】（1）解： 与全等； 理由：，， 即， 在与中， ， ； （2）解：如图：连接， ，由（1）， 在的中垂线上， ， ， 在与中， ， ， ， 在的中垂线上， 垂直平分． 3．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)4 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）利用角平分线的性质证明，证明，则，即可证明结论； （2）根据列式计算即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，分别是和的高． ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 题型03 作垂线（尺规作图） 例题：（23-24八年级下·湖南永州·阶段练习）如图所示，七年级和八年级有两个班的学生在M、N处参加植树活动，要在道路的交叉区域内设 一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，而且要使，请你用尺规作图的方法找出P点． （不写作法，但保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，作垂线：因为使P到两条道路的距离相等，所以点P应在的平分线上；而且要使，所以点P还应在的中垂线上，即的平分线和的中垂线的交点，即为点P． 【详解】解：如图所示，点P即为所求． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·广西桂林·期中）要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法． 已知：如图，和A，B两点． (1)作的平分线； (2)求作一点Q，使Q点在上，且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法． （1）根据角平分线的作法作的平分线即可； （2）作的垂直平分线交于点，即可得． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图，点即为所求． ． 2．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在中， (1)作的垂直平分线，交于E，交于点D，连接AD（保留作图痕迹，不用写作法）； (2)若，的周长为15，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，垂直平分线的性质． （1）根据尺规作图—垂直平分线的作法和步骤，即可作出； （2）根据垂直平分线的性质得出，则的周长． 【详解】（1）解：如图为所求； （2）解：连接． 点D在的垂直平分线上， ，， 周长= ． 3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，是的角平分线． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交、于点E、F；（标明字母，保留作图痕迹，不写作法．） (2)连接、，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质； （1）根据尺规作线段垂直平分线的方法作图即可； （2）连接，与交于点O，证明，可得，根据线段垂直平分线的性质可得，等量代换可得结论． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：如图，连接，与交于点O， ∵平分， ∴， ∵垂直平分线段， ∴ ∴在和中， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴． 题型04 角平分线性质定理 例题：（23-24八年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图，在中，，，按如图所示的方式作射线交于点，若，则 ． 【答案】9 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的尺规作图和角平分线定理，先根据画图得到为的角平分线，再证明，再证明是等腰三角形，从而得到，即可求得答案． 【详解】解：如下图所示，过点M作，垂足为D， 由题意得，为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，平分，于点，连接，若，，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点作于点，根据平分，，得到，根据面积公式求出三角形的面积，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 2.（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)如图2，其余条件不变，若______． (3)如图3，其余条件不变，若，判断的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)60 (3)，见解析 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理、全等三角形综合问题 【分析】（1）过点C作于点E，交延长线于点F，角平分线的性质，得到，证明，即可得证； （2）延长交于点E，证明，得到，证明，进而求出，即可得出结果； （3）过点C作交延长线于点E，于点F，先证明，得到，再证明，得到，根据线段的和差关系，以及含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点C作于点E，交延长线于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：60； （3）解：，理由如下： 如图，过点C作交延长线于点E，于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 题型05 角平分线的判定定理 例题：（23-24八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，在中，，D是上一点，于E，且． (1)求证：平分； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定与定义、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解答的关键． （1）根据到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上可证得结论； （2）先根据三角形的内角和定理求得，再根据角平分线的性质可求解． 【详解】（1）证明：，，， 点在的平分线上， 平分； （2）解：，， ， 平分， ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，于E，于F，若．    (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的判定： （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线的判定定理，即可求证； （2）根据得出，再由线段的和差关系求出答案，即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分； （2）解：在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 2．（23-24七年级上·陕西咸阳·期末）如图，平分，于点，于点，连接． (1)试说明； (2)与相等吗？请说明理由； (3)是否垂直平分，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)垂直平分，理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的判定 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，线段垂直平分线的判定： （1）利用证明，即可证明结论； （2）设交于H，证明得到，再利用平角的定义即可证明结论； （3）根据全等三角形的性质得到，再由线段垂直平分线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 设交于H， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：垂直平分，理由如下：、 ∵， ∴， ∴点O和点E都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 题型06 角平分线性质的实际应用 例题：（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）在三条公路围成的一块平地上修建一个物流服务中心（如图），若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 【答案】B 【知识点】角平分线性质的实际应用、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”，由此即可求解． 【详解】解：根据角平分线的性质定理可得，要使物流服务中心到三条公路的距离相等的点为角平分线的交点， 故选：B ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西防城港·阶段练习）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．三条中线的交点 B．内任意一点 C．三条高所在直线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用；由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置． 【详解】∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择三条角平分线的交点， 故选：D． 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查了角平分线的性质，加油站要到三条公路的距离都相等，可知加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个，据此即可求解，掌握叫佛系的性质是解题的关键． 【详解】解：∵加油站要到三条公路的距离都相等， ∴加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个， ∴加油站可供选址的地方有个， 故选：． 题型07 作角平分线（尺规作图） 例题：（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，．    (1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中所作的角平分线与边交于点，过点作于点．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】（1）根据尺规作一个角的平分线的方法进行作图即可； （2）根据角平分线的性质得出，证明，推出，根据三角形面积求出，根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，为所求作的的平分线；    ； （2）解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴；    ∵，， 又∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作一个角是平分线，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，尺规作一个角的平分线． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，． (1)作的平分线，交于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明） (2)在（1）的条件下，是边上的一点，且，，连接．若，求的度数． 【答案】(1)图见解析 (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、作角平分线(尺规作图)、三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查了基本作图 —— 角平分线的作图，等边对等角，三角形外角的性质，三角形的全等的判定与性质等知识，题目难度不大，关键在于找到正确的解题思路． （1）按照角平分线的作图方法作图即可； （2）利用已知条件可以证明，所以，，得到，再利用三角形外角的性质，即可求得的度数． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：平分， ． 在和中， ， ， ，； ， ， ； ， ． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，，． (1)尺规作图：作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)试判断与的关系，并证明． 【答案】(1)作图见详解 (2)，理由见详解 【知识点】作角平分线(尺规作图)、等边对等角、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，等边对等角，平行线的性质，掌握尺规作角平分线的方法，平行线的性质是解题的关键． （1）以点为圆心，以任意长为半径画弧，角于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，并延长交于于点，即可求解； （2）根据题意可得，，根据角平分线的定义可得，，由两直线平行，内错角相等可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求角平分线， （2）解：，理由如下， 证明：∵， ∴， 由（1）可得，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 题型08 线段的垂直平分线与角平分线的综合问题 例题：（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，中，的角平分线和边的中垂线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，，，则的长为？ 【答案】2.5 【分析】连接、，由可证，则可得、，由可证，则可得，设，则，，由此得，求出x的值即可得解． 【详解】解：如图，连接、 ∵是的角平分线，且、， ，， 又， ， ，， ∵垂直平分， ， ， ， ，， 设，则，， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，中，的平分线与边的垂直平分线交于点D，，垂足为点G，H． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和判定，熟练掌握各定理是解题的关键： （1）根据题意连接，利用线段垂直平分线的性质可得，依据角平分线的性质得，依据证明，根据全等三角形的性质可得出结论； （2）由题意可得，得出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：连接， ∵D是垂直平分线上的点， ∴， ∵平分，， ∴，， 在和中 ∴ ∴； （2）在和中 ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质： （1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可． 【详解】（1）证明：连接、， 点在的垂直平分线上， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， ，， ， 即， 解得． 一、单选题 1．（24-25八年级上·四川凉山·阶段练习）点在的角平分线上，点到边的距离等于，点Q是边上的任意一点，则的长度不可能是（   ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】C 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质及点到直线的距离，根据角平分线上的点到角两边距离相等，再根据垂线段最短逐个判断即可得到答案． 【详解】解：∵点在的角平分线上，点到边的距离等于， ∴点到边的距离等于， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）到三角形各顶点距离相等的点是（   ） A．三条高交点 B．三个内角平分线交 C．三条中线交点 D．三条边垂直平分线交点 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定：到这条线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上．根据线段垂直平分线的判定即可直接得出答案． 【详解】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：D． 3．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，在中，，分别以、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线分别交、于点、，连接、．若，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等边对等角 【分析】根据尺规作图可知直线是线段的垂直平分线，所以可知，根据等边对等角可知，利用三角形内角和定理可以求出的度数，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到，所以可知，再利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：由作图可知是线段的垂直平分线， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、解决本题的关键是根据尺规作图判断直线是线段的垂直平分线，再利用线段的垂直平分线的性质找边和角之间的关系． 4．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，点P是边上一点，且到的距离相等，则线段一定是（  ） A．的角平分线 B．的中线 C．的高 D．所在直线是的中垂线 【答案】A 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．根据角平分线的性质作答． 【详解】解：∵点P是边上一点，且到的距离相等，， ∴线段一定是的平分线，即线段一定是的角平分线． 故选：A． 5．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知等腰中，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：①；②是等边三角形；③；④．其中正确的为（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质 【分析】①利用等边对等角，即可证得，，则，据此可以求解；②证明，且，即可证得是等边三角形；③在上截取，首先证明，，则，；④过点C作于H，根据，利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图1，连接， ∵，， ∴，， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴； 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形； 故②正确； ∴,, 如图2， 在上截取， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故③正确； 如图3， 过点C作于H， ∵，， ∴， ∴， ， ∴； 故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题 6．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，平分，，，，若，则 ．    【答案】2 【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据平行线的性质可得，然后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，    ∵平分，，，， ∴，， ∵， ∴， 则在中，， 故答案为：2． 7．（24-25八年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，中，垂直平分交于点E，，则 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，根据中垂直平分，可求出，再根据等腰三角形的性质求出，再由，，根据三角形内角和定理可求的度数，即可解答． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·浙江温州·期末）如图，是的角平分线．若，，的面积为，则的长为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键； 作于，根据角平分线的性质可得，再利用计算求解即可． 【详解】解：作于， 平分，， ， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； 故答案为： 9．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，点P是的角平分线上一点，于点D，垂直平分，若，，则 ． 【答案】4 【知识点】角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，由已知能够注意到是解决的关键．过点P作于点F，由角平分线的性质知：，所以在直角中求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点P作于点F， ∵点P是的角平分线上一点，于点D， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 则． 故答案是：4． 10．（24-25八年级上·全国·期末）如图，等腰的底边，面积为18，直线是腰的垂直平分线，若点D在上运动，点F在边上运动，则的最小值为 ． 【答案】9 【知识点】垂线段最短、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．连接，由线段垂直平分线的性质可得，得到，可知当点A、D、F三点共线且时，的值最小，即等于的长，利用三角形的面积求出的长即可求解． 【详解】解：在等腰中，直线是腰的垂直平分线，如图1，连接， ∴， ∴， 当点A、D、F三点共线且时，的值最小，即等于的长，如图2， ∵，等腰的面积为18， ∴， ∴， ∴的最小值为9， 故答案为：9． 三、解答题 11．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知：如图，，点在上． (1)在射线上找一点，使； (2)在的内部找一点，使到的两边距离相等，且（保留作图痕迹，不需要写出作图步骤） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】等边三角形的判定和性质、作线段(尺规作图)、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了作图—复杂作图、角平分线的性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）以为圆心，为半径作弧交于点，点即为所求； （2）连接，由题意可得为等边三角形，作平分交于，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：如图：点即为所求， ． 12．（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）某海岛海域争端持续，我国海监船加大该岛附近海域的巡航维权力度．如图，海里，海里，海岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着方向匀速驶向海岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船． (1)请用直尺和圆规作出C处的位置； (2)求我国海监船行驶的航程的长． 【答案】(1)见解析 (2)37海里 【知识点】线段垂直平分线的性质、解决航海问题(勾股定理的应用)、作垂线(尺规作图) 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的实际应用，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． （1）根据题意，作出线段的垂直平分线，交于点，即可； （2）连接，利用第（1）题中作图，可得，设为x海里，则也为x海里，则海里，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求：连接，作线段的垂直平分线，交于点， （2）解：连接，设海里，则海里 ∵ ∴在中， 即： 解得： 答：我国海监船行驶的航程的长为37海里． 13．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）在中，点D在的平分线所在的直线上．过点D作于E，作交的延长线于F，且． (1)求证：点D在的垂直平分线上： (2)若，．求的长度是多少？ 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的判定 【分析】（1）连接，，先由角平分线的性质就可以得出，再证明就可以得出结论； （2）由条件可以得出就可以得出，进而就可以求出结论． 【详解】（1）证明：连接，， ∵点D在的平分线所在的直线上，过点D作于E，作交的延长线于F， ， 在和中， ， ， ， ∴点D在的垂直平分线上； （2）解：在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查角平分线的性质的运用，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质的运用，证明三角形全等是关键． 14．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线与直线交于点． (1)求证：点在线段的垂直平分线上． (2)已知，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、等边对等角 【分析】（）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （）先根据相等垂直平分线的性质证明，，进而得，由三角形的内角和得，再求得，，从而即可得解。 本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，解题关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质 【详解】（1）证明：如图，连接，，． 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上， （2）解：垂直平分，垂直平分， ，，， ， ，， ， ， ，， ，， 15．（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足是，是上一点，平分，于点． (1)试判断与是否相等，并说明理由． (2)求证：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，主要考查学生的推理能力． （1）根据角平分线性质得出即可． （2）连接，推出，根据证出即可． 【详解】（1）解：， 理由是：∵平分， ∴． （2）证明：连接， ∵的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 16．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，已知，和垂直平分线交于点，交于点，连接． (1)若则的度数是 度． (2)若，的周长是． ①求的长度． ②若点为直线上一点，请你直接写出周长的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质； （1）根据垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等得，再根据等腰三角形的性质即可求解； （2）①根据垂直平分线的性质得，的周长是．，即可求的长度；②依据，，即可得到当P与M重合时，，此时最小，进而得出的周长最小值． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∵是的垂直平分线， ， ， ， ， ． 故答案为：． （2）①，的周长是， 即 ， ， ， ． ∴的长度为． ②当与重合时，的周长最小． 理由：∵，， ∴当P与M重合时，，此时最小值等于的长， ∴的周长最小值． 17．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）（1）【问题】如图1，平分，，，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是________________________； （2）【探究】如图2，平分，，，求证：； （3）【应用】如图3，四边形中，，，，，若，求的值． 【答案】（1）角平分线上的点到角两边的距离相等；（2）见解析；（3） 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据角平分线的性质即可求解； （2）过点D作，交于E，，交延长线于F，先证明，即可证明 ，根据全等三角形的性质即可得证 （3）过点D作，交延长线于F，连接，证明，进而证明 ，得出，进而根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）角平分线上的点到角两边的距离相等； （2）证明：过点D作，交于E，，交延长线于F， 平分，，， ， ，， ， 在和中， ． ， （3）解：过点D作，交延长线于F，连接， ，， ， ， ， 在和中， ． ，， 在和中， ， 18．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，在的两边，上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 【答案】(1)见解析 (2)20 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线．添加垂线，熟练掌握角平分线的判定与性质，三角形面积面积公式求三角形面积，是解题的关键． （1）过点P作 ，垂足为C，过点作，垂足为D，过点作，垂足为，先利用角平分线的性质定理可得，，再利用角平分线判定定理，即可解答； （2）根据的面积是16，，可求出，从而可得，然后再利用 的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：过点P作 ，垂足为C，过点作，垂足为D，过点作，垂足为. ∵平分，，， ∴. ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵的面积是16，， ， ， ， ∴. ∵的面积是24， ∴四边形的面积的面积的面积， ∴ 的面积的面积， ， ∴ ， ∴， ∴线段与的长度之和为20. 19．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图1，在四边形中，，，，点E是射线上一动点，点C沿直线翻折得到点．    (1)如图2，点E运动到点D，连接交于点F， ①判断的形状，并说明理由； ②此时的长度为______； (2)连接和，当点E在射线上移动时，是否存在某个位置，使得是直角三角形，若存在，请直接写出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①为等腰三角形，理由见解析；② (2)存在，3或或30 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、线段垂直平分线的性质、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】（1）①根据翻折得到角平分线，结合平行线，继而根据等角对等边确定等腰三角形； ②由，得，由翻折得，则，所以，根据勾股定理求得； （2）三分种情况讨论，一是，连接，由垂直平分，得，则，可证明，则，求得；二是，点在上，此时点在上，连接、，则，，由勾股定理得，所以，则，求得；三是，点在的延长线上，此时点在的延长线上，连接、，求得，则，，所以，求得． 【详解】（1）①解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； ②解：，， ， ∵， ， ， 解得， 的长是； （2）解：存在，理由如下： 图1，，连接，   点与点关于直线对称， 垂直平分， ， ， ，， ， ， ； 如图2，，点在上，    ， 点在上， 连接、， 垂直平分， ，， ， ， ∵ ，， ， 解得； 如图3，，点在的延长线上，   ， 点在的延长线上， 连接、， 垂直平分， ，， ， ， ，， ， ， 解得， 综上所述，的长为3或或30． 【点睛】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质等知识点，难度较大，注意分类讨论的思想． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$