第一章第03讲 直角三角形（3个知识点+8类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（北师大版）

第03讲 直角三角形 课程标准 学习目标 ①勾股定理及逆定理 ②直角三角形中HL 1．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题． 2．探索并掌握直角三角形全等的判定方法“HL”． 3．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等． 知识点01 直角三角形的性质定理及推论 定理1 直角三角形的两个锐角互余； 定理2 在直角三角形中，如果一个角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于. 【即学即练1】在中，，那么另一个锐角的度数是 ． 【即学即练2】如图，在中，，，点D在斜边上，且，则 °． 知识点02 勾股定理及逆定理 图形 名称 定理 符号表示 边的定理 在直角三角形中，斜边大于直角边. 在中， 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 在中，， 勾股定理 逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 在中，， 【即学即练1】在中，、、的对应边分别是a、b、c，则不能确定是直角三角形的是（   ） A． B．， C． D． 【即学即练2】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A，B，C为顶点的，请根据所学的知识回答下列问题： (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 【即学即练3】如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，，，，，，，求四边形的面积． 知识点03 直角三角形全等的判定HL法 图形 定理 符号 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L） 在中，， 【即学即练1】如图，，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 题型01 直角三角形的两个锐角互余 例题：如图，在等腰中，，是边上的高，若，则的度数为 ． 【变式训练】 1．如图，直线于点A，若，则的度数 ． 2．在中，为边上的高，，，则的度数为 ． 题型02 锐角互余的三角形是直角三角形 例题：如图，在中，，点在边上（不与点，点重合）． (1)若点在边上，且，求证：； (2)请用尺子在图中画出的边上的高，若，，，求的长度． 【变式训练】 1．如图，在中，是上一点，延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，求的面积． 2．如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 题型03 判断三边能否构成直角三角形 例题：由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下列说法中，正确的是（   ） A．若，则是直角三角形 B．若三角形是直角三角形，三角形的三边为a，b，c，则有 C．以三个连续自然数为三边长一定能构成直角三角形 D．在中，若，则是直角三角形 2．中，的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 题型04 在网格中判断直角三角形 例题：如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均在网格的格点上． (1) ， ， ； (2)是直角三角形吗？请作出判断并说明理由． 【变式训练】 1．如图，每个格子都是边长为1的小正方形，，四边形的四个顶点都在格点上． (1)求四边形的周长； (2)连结，试判断的形状，并说明理由． 2．如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出______，______，______； (2)判断的形状，并说明理由． 题型05 利用勾股定理的逆定理求解 例题：如图，△ABC中，，，边上的中线． (1)与互相垂直吗？为什么？ (2)求的长． 【变式训练】 1．如图，中，，，，B是延长线上的点，连接，若， (1)说明为直角， (2)求的长． 2．如图，在四边形中，已知，，，． (1)求的长； (2)证明． 题型06 勾股定理逆定理的实际应用 例题：号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【变式训练】 1．如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． (1)求四边形的面积； (2)若每平方米草皮需要元，问学校需要投入多少资金买草皮？ 2．如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知米，米，米，米． (1)求四边形的面积； (2)小明和小林同时以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 题型07 利用HL判定直角三角形全等 例题：如图，在中，平分，于，于，且，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式训练】 1．已知，如图，点在同一条直线上，． 求证：； 2．如图，，是的高，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的高． 题型08 直角三角形全等的性质和HL综合 例题：如图，在中，，D为延长线上一点，点E在边上，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式训练】 1．如图，，，垂足分别为B，E，且，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 2．如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期中）若，，是直角三角形的三边长，且，则斜边上的高为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，于点，连接，若，则线段的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）如图，是直角三角形，，，过边上一点剪下，点在上，当是直角三角形时，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 二、填空题 6．（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）若的三边分别是a．b．c，且a，b，c满足，则 7．（2024·北京东城·一模）在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 8．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，等腰中底边，D是腰上一点，且，，则的长为 ． 9．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ． 10．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，当长为 时，为直角三角形． 三、解答题 11．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，，垂足为，交于，，． (1)求证：； (2)求的度数． 12．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 13．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图所示，已知，且点，，在同一条直线上，延长交于点F． (1)若，，求的长度； (2)①求的度数；②求证：． 14．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）数学课上，老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片．已知底边，为上一点，且，． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 15．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到的小路，经测量，，，，，．    (1)求小路的长； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？ 16．（24-25八年级上·全国·期末）如图①，四边形中，，连接，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若． (1)求证：； (2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：． 17．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）在中，． (1)若，点M、N在、上，将沿折叠，使得点C与点A重合，求折痕的长； (2)点D在的延长线上，且，若，求证：是直角三角形． 18．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，D为边上的点，将沿折叠，得到，恰好，连接，． (1)设，，求的长； (2)若，，试判断的形状，并说明理由． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 直角三角形 课程标准 学习目标 ①勾股定理及逆定理 ②直角三角形中HL 1．学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解决问题． 2．探索并掌握直角三角形全等的判定方法“HL”． 3．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等． 知识点01 直角三角形的性质定理及推论 定理1 直角三角形的两个锐角互余； 定理2 在直角三角形中，如果一个角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于. 【即学即练1】在中，，那么另一个锐角的度数是 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．根据直角三角形两锐角互余进行计算即可． 【详解】解：在中，， ． 故答案为：． 【即学即练2】如图，在中，，，点D在斜边上，且，则 °． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形性质、等腰三角的性质及三角形内角和定理，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出，即可求解，熟练掌握等腰三角的性质及三角形内角和定理是解答的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点02 勾股定理及逆定理 图形 名称 定理 符号表示 边的定理 在直角三角形中，斜边大于直角边. 在中， 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方. 在中，， 勾股定理 逆定理 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形. 在中，， 【即学即练1】在中，、、的对应边分别是a、b、c，则不能确定是直角三角形的是（   ） A． B．， C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质、分别根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理可以判断出结果，熟练运用三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：A、设，则，，， ∵， ∴是直角三角形，能确定，该选项不符合题意； B、∵，，， ∴是直角三角形，能确定，该选项不符合题意； C、设，则，， ∵， 即， 解得， 则， ∴是直角三角形，能确定，该选项不符合题意； D、∵，， ∴即， 此时不能确定或是否为， ∴不确定是直角三角形，该选项符合题意； 故选：D． 【即学即练2】如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A，B，C为顶点的，请根据所学的知识回答下列问题： (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由：，，， 所以， 所以是直角三角形； （2）的面积：． 【即学即练3】如图，学校有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和，分别摆放“秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉，经测量，，，，，，，求四边形的面积． 【详解】解：由题意得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 是直角三角形，且， ． 答：四边形的面积为18． 知识点03 直角三角形全等的判定HL法 图形 定理 符号 如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：H.L） 在中，， 【即学即练1】如图，，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键． （1）根据“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等”，即可证明； （2）利用全等三角形的对应边相等，面积相等，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴，， ∴， ∴， ∴． 即四边形的面积是12． 题型01 直角三角形的两个锐角互余 例题：如图，在等腰中，，是边上的高，若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和，熟练掌握等边对等角是解题的关键． 利用等腰三角形的性质及三角形内角和即可求解． 【详解】解： 是等腰三角形，且，， ， 又是边上的高， ， ， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．如图，直线于点A，若，则的度数 ． 【答案】/58度 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线，直角三角形的性质等知识点，由平行线的性质可得，根据垂直定义可得，根据直角三角形的两个锐角互余即可解答，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质是解决此题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．在中，为边上的高，，，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的性质、角的和与差．本题分为锐角三角形和为钝角三角形两种情况，画出相应的图形再根据三角形的高以及直角三角形两锐角互余，由图形中角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：如下图所示，当为锐角三角形时， ，， ， ， 又， ； 如下图所示，当为钝角三角形时， ，， ， ， 又， ． 故答案为：或． 题型02 锐角互余的三角形是直角三角形 例题：如图，在中，，点在边上（不与点，点重合）． (1)若点在边上，且，求证：； (2)请用尺子在图中画出的边上的高，若，，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为． 【知识点】画三角形的高、直角三角形的两个锐角互余、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】（）由，则，故有，从而可得，根据直角三角形的判定方法即可求证； （）先画出图形，再根据即可求解； 本题考查了直角三角形的性质和判定，等面积法，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， ∴ ∴的长为． 【变式训练】 1．如图，在中，是上一点，延长至点，使得，连接． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】垂线的定义理解、直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和SAS综合（SAS）、锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】（1）延长交于点，证明，得，由，，得，进而，即可得证； （2）根据，，得，从而，，进而利用面积公式即可得解． 【详解】（1）解：如图，延长交于点， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了邻补角的性质，全等三角形的判定及性质，垂线定义，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 2．如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，（1）证出即可得到结论，（2）求出，可得出． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． 题型03 判断三边能否构成直角三角形 例题：由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，三角形的内角和定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理逐一分析判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，是直角三角形，不符合题意； B、∵，， ∴，是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴故不能判定是直角三角形，符合题意； D、∵， ∴，即，故是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 【变式训练】 1．下列说法中，正确的是（   ） A．若，则是直角三角形 B．若三角形是直角三角形，三角形的三边为a，b，c，则有 C．以三个连续自然数为三边长一定能构成直角三角形 D．在中，若，则是直角三角形 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质和判定，三角形内角和定理应用，勾股定理及其逆定理，注意在叙述命题时要叙述准确．根据直角三角形的判定进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故A正确； B、三角形是直角三角形，当直角边分别为a、b，斜边为c时，则有，故B错误； C、以三个连续自然数为三边长不一定能构成直角三角形，如：边长分别为4，5，6时，因为，所以此时不能构成直角三角形，故C错误； D、在中，若，则, ， ， 因此不是直角三角形，故D错误． 故选：A． 2．中，的对边分别为a、b、c，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理的逆定理．利用勾股定理的逆定理可以判断AD；根据即可推出即可判断B；利用三角形内角和等于180度，即可求出，即可判断C． 【详解】解：A、∵在中，、、的对边分别为、、， ∴当，，时，， ∴此时是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴即， ∴此时是直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，， ∴， ∴此时不是直角三角形，故本选项符合题意； D、∵，，， ∴， ∴此时是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 题型04 在网格中判断直角三角形 例题：如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均在网格的格点上． (1) ， ， ； (2)是直角三角形吗？请作出判断并说明理由． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，理由见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形 【分析】（）利用勾股定理计算即可； （）利用勾股定理的逆定理判断即可； 本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】（1）解：由网格得，，，， 故答案为：，，； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 【变式训练】 1．如图，每个格子都是边长为1的小正方形，，四边形的四个顶点都在格点上． (1)求四边形的周长； (2)连结，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形 【知识点】等腰三角形的定义、在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的定义，正确计算是解题的关键． （）利用网格和勾股定理求出四边形的各边长即可求解； （）利用勾股定理的逆定理和等腰三角形的定义可得是等腰直角三角形． 【详解】（1）解：，，，， ∴； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下， ∵，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，． 2．如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出______，______，______； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)13、52、65； (2)是直角三角形，证明见解析． 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ， ， ， 故答案为：13、52、65； （2）解：是直角三角形． 证明：，， ， 是直角三角形，且． 题型05 利用勾股定理的逆定理求解 例题：如图，△ABC中，，，边上的中线． (1)与互相垂直吗？为什么？ (2)求的长． 【答案】(1)与互相垂直，理由见解析 (2)． 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，关键是利用勾股定理的逆定理证得． （1）先根据三角形中线的定义得出，然后在中，根据勾股定理的逆定理即可证明； （2）由（1）可得，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：与互相垂直， 证明：∵是边上的中线，， ∴， ∵， ， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，． 【变式训练】 1．如图，中，，，，B是延长线上的点，连接，若， (1)说明为直角， (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查勾股定理定理及逆定理，根据逆定理得到是直角三角形，利用勾股定理求出是解题关键． （1）根据勾股定理逆定理确定即可得出结果； （2）利用勾股定理得出，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ． 2．如图，在四边形中，已知，，，． (1)求的长； (2)证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理． （1）利用勾股定理即可求出的长； （2）利用勾股定理的逆定理即可判断是直角三角形，是斜边，即可证明结论成立． 【详解】（1）解：在中，，． ∴． （2）在中，，， ∴， ∴是直角三角形，是斜边， ∴． 题型06 勾股定理逆定理的实际应用 例题：号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)受影响，理由见解析 (2)小时 【知识点】用勾股定理解三角形、判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间 【详解】（1）解：海港受台风影响， 理由：，，， ， 是直角三角形，； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港C受台风影响； （2）解：当时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为千米/小时， (小时)． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 【变式训练】 1．如图，某中学有一块四边形的空地，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． (1)求四边形的面积； (2)若每平方米草皮需要元，问学校需要投入多少资金买草皮？ 【答案】(1) (2)学校需要投入元买草皮 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形、有理数乘法的实际应用 【分析】此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形是解题的关键． （1）连接，利用勾股定理求出，由、、的长度关系可得三角形为一直角三角形，用即可解答； （2）根据总价单价数量计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ，，， 在中，， ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积为：， ； （2）解：根据题意：（元） 答：学校需要投入元买草皮． 2．如图，某居民小区有一块四边形空地，小道和把这块空地分成了和三个区域，分别摆放三种不同的花卉．已知米，米，米，米． (1)求四边形的面积； (2)小明和小林同时以相同的速度同时从点出发，分别沿和两条不同的路径散步，结果两人同时到达点，求线段的长度． 【答案】(1)平方米 (2)线段的长度为米 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用； （1）根据勾股定理求得，进而根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据三角形的面积公式，即可求解； （2）根据题意得出米，设米，则米，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵米，米 ∴米 ∵ ∴是直角三角形，且 ∴四边形的面积为平方米 （2）解：由（1）可得是直角三角形， 依题意，米， 设米，则米 在中， ∴ 解得：，即线段的长度为米． 题型07 利用HL判定直角三角形全等 例题：如图，在中，平分，于，于，且，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】三角形角平分线的定义、根据三线合一证明、用HL证全等（HL）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质， （1）根据角平分线的定义得，证明，由全等三角形的性质即可得证； （2）根据等腰三角形的三线合一性质得，继而得到，利用证明全等即可； 解题的关键是掌握全等三角形的判定的一般方法：、、、、（仅用于证明直角三角形全等）． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式训练】 1．已知，如图，点在同一条直线上，． 求证：； 【答案】见解析 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键，先证，再证即可． 【详解】证明：， 和是直角三角形， ， ，即， 在和中， ， ． 2．如图，，是的高，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的高． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】用HL证全等（HL）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】（）由“”可证，可得，再根据等腰三角形的定义即可求解； （）由直角三角形的性质可求的长，最后由勾股定理可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 题型08 直角三角形全等的性质和HL综合 例题：如图，在中，，D为延长线上一点，点E在边上，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】等边对等角、用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）由全等三角形的判定定理证得结论； （2）利用①中全等三角形的对应角相等，等腰直角三角形的性质可以求得 【详解】（1）证明：∵，为延长线上一点， ∴ 在和中， ， ∴()． （2）∵， ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴ 【变式训练】 1．如图，，，垂足分别为B，E，且，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】用HL证全等（HL）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理． （1）利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质求得，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． ∵，，． 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）知， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，在四边形中，，是上的一点，且，连接，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等边对等角、全等的性质和HL综合（HL）、用HL证全等（HL） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）根据证明直角三角形全等的“”定理，证明即可． （2）根据全等三角形的性质，对应角相等求值即可． 【详解】（1）， 和均为直角三角形． 在和中， ， ． （2）， ，， ， ， ， ， 在中，， ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理，三角形内角和定理是解题的关键．利用勾股定理的逆定理，三角形内角和，直角三角形两个锐角互余，逐项分析即可． 【详解】解：A．， ， 故该选项能判断为直角三角形，不符合题意； B．， 设， 则， ， 故该选项能判断为直角三角形，不符合题意； C．，， ， 故该选项能判断为直角三角形，不符合题意； D．， 设， ， 解得 故该选项不能判断为直角三角形，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边对等角、勾股定理与网格问题、用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了网格与勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握网格的特点，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可证，得到，则有，由网格的性质可得是等腰直角三角形，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵网格是正方形网格， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：A ． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期中）若，，是直角三角形的三边长，且，则斜边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】因式分解的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查因式分解的应用，非负数的性质，勾股定理的逆定理的应用；先利用完全平方式进行变形求a，b，c的值，再证明进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：∵． ∴． ∴． ∴，，． ∴，，． ∴斜边上的高为 4．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，点在边上，点在边上，于点，连接，若，则线段的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握其判定的方法和性质是解题的关键． 根据题意，可证，得到，则有，再证，得到，由，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 5．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）如图，是直角三角形，，，过边上一点剪下，点在上，当是直角三角形时，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为．分两种情况讨论：当点为直角顶点时，当点D为直角顶点时，分别求出结果即可． 【详解】解：当点D为直角顶点时，如图所示： 则， ∵， ∴； 当点E为直角顶点时，如图所示： 则； 综上分析可知：或． 故选：D． 二、填空题 6．（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）若的三边分别是a．b．c，且a，b，c满足，则 【答案】B 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形，． 故答案为： 7．（2024·北京东城·一模）在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 【答案】35 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点，学会通过全等三角形证明角相等是解题的关键．由，，求得，然后证明，推导出，即可求解． 【详解】解：，， ， 于点E， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：35． 8．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，等腰中底边，D是腰上一点，且，，则的长为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求得是正确解决本题的关键． 根据勾股定理的逆定理求出，即，设，在中，由勾股定理得出，求出即可． 【详解】解：设， ，，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，是边上的动点，点关于直线的对称点为，连接交于，当为直角三角形时，的长是 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解、直角三角形的两个锐角互余、三线合一 【分析】分两种情况讨论：当时，由三线合一可得，由勾股定理可得，由轴对称的性质可得，，进而可得，设，则，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求出的长；当时，作于点，利用邻补角互补可得，由轴对称的性质可得，利用邻补角互补可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，根据即可求出的长；综上，即可得出答案． 【详解】解：分两种情况讨论： 当时， 如图， ， ，， ， ， ， 由轴对称的性质可得：，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：， ； 当时， 如图，作于点， ， ， ， 由轴对称的性质可得： ， ， ， ， ， ； 综上，的长是或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了三线合一，勾股定理，轴对称的性质，线段的和与差，解一元一次方程，垂线的性质，利用邻补角互补求角度，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 10．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，点在点右侧，并且点、在直线同侧，，当长为 时，为直角三角形． 【答案】或或 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作于， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，      当为直角三角形时， 即 解得，， 同理可得：当时， 由勾股定理得，      ∴ ∴ 解得： 当时， 由得： 解得： 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 三、解答题 11．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，，垂足为，交于，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握斜边直角判定两个三角形全等是解题的关键． （1）根据题意证明即可求解； （2）由，得到，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 12．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【知识点】用HL证全等（HL）、根据等角对等边证明等腰三角形、全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握等腰三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，再由等腰三角形的判定得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图所示，已知，且点，，在同一条直线上，延长交于点F． (1)若，，求的长度； (2)①求的度数；②求证：． 【答案】(1)； (2)①；②见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的性质 【分析】本题考查三角形全等的性质．掌握两个全等三角形的对应角相等和对应边相等是解题关键． （1）由三角形全等的性质可得出，，从而可求出； （2）①由三角形全等的性质可得出，．根据点B，C，D在同一条直线上，即可求出； ②由①得．由对顶角相等即得出，从而即可求出，即可证明． 【详解】（1）解；∵， ∴，， ∴； （2）证明：①∵， ∴，． ∵点B，C，D在同一条直线上， ∴； ②∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即． 14．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）数学课上，老师拿了一张如图所示的等腰三角形纸片．已知底边，为上一点，且，． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)直角三角形 (2) 【知识点】等腰三角形的定义、判断三边能否构成直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理应用，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理逆定理得到，即可证明结论； （2）设，根据等腰三角形的性质得到，由勾股定理列出等式计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：直角三角形，理由如下： ，，， ， ， 故是直角三角形； （2）解：设， ， 等腰三角形纸片， ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， ， 解得， 故． 15．（24-25八年级上·山西晋中·期中）如图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条A到的小路，经测量，，，，，．    (1)求小路的长； (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑，当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑多少秒与淇淇的距离最近？ 【答案】(1) (2)当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与淇淇的距离最近． 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理与勾股逆定理，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出，最后结合运动速度，即可作答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， ∴小路的长为； （2）解：如图所示：过B作，    依题意，当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗淇淇的距离最近． ∵，．， ∴， 即， ∴， 则， 即， ∴ ∵小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到点A时停止奔跑， ∴， 则 当小狗在小路上奔跑时，小狗需要跑秒与淇淇的距离最近． 16．（24-25八年级上·全国·期末）如图①，四边形中，，连接，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若． (1)求证：； (2)如图②，连接，且是的角平分线，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）根据题意证明，进而根据证明，即可求解； （2）连接，由（1）证明可得，，证明，得出，进而即可得证． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ． ∴； （2）证明：连接， 由（1）证明可得， ， 在和中， ． ， ， ． 17．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）在中，． (1)若，点M、N在、上，将沿折叠，使得点C与点A重合，求折痕的长； (2)点D在的延长线上，且，若，求证：是直角三角形． 【答案】(1)； (2)见解析 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、折叠问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）如图1，过作于，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，，设，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图2，过作于，根据等腰三角形的性质得到，设，，，得到，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论． 【详解】（1）如图1，过作于， ，， ， ， 将沿折叠，使得点与点重合， ，， 设， ， ， ， 解得：， ； （2）如图2，过作于， ， ， ， 设，，， ， ，， ，， 联立方程组解得，（负值舍去）， ， ， 是直角三角形． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 18．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，D为边上的点，将沿折叠，得到，恰好，连接，． (1)设，，求的长； (2)若，，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)直角三角形，见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形、运用完全平方公式进行运算、折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换，三角形的面积，勾股定理及逆定理等知识． （1）由翻折性质可得，根据勾股定理得，然后根据，得，再整体代入计算即可解决问题； （2）根据勾股定理逆定理即可判断是直角三角形． 【详解】（1）解：由翻折可知：， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由翻折可知：， ， ，， ， ， 是直角三角形． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$