专题01 与特殊三角形有关的分类讨论模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（江西专用）

专题01 与特殊三角形有关的分类讨论模型解读与提分精练 目录 1 模型1.等腰三角形的角和边不确定 1 模型2.直角三角形的直角顶点不确定 8 15 模型1.等腰三角形的角和边不确定 方法解读：当题干中出现类似“若△ABC 为等腰三角形”这样的表述时，未明确哪两条边为腰，需考虑分类讨论：①AB=AC(C₁,C₄);②AB=BC(C₂,C₅);③AC=BC(C₃) 解题方法：①求角度：根据等腰三角形等边对等角的性质结合三角形内角和及内外角关系求解；②求线段长：可用勾股定理、全等三角形、相似三角形的判定与性质求解，若出现30°、45°的角时，可考虑用锐角三角函数或含30°、45°角的直角三角形的性质求解. 例1．（2024·江西南昌·二模）如图，在中，，，，点在射线上，当为等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】等边对等角、利用平行四边形的性质求解、三角函数综合 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数．当为等腰三角形时，有以下三种情况：①当时，过点A作于F，先求出，在中利用锐角三角函数可求出，则，进而得的度数；②当时，又有两种情况：（ⅰ）当点E在线段上时，过点D作交延长线于G，先求出，在中利用锐角三角函数可求出，，则，进而得的度数；（ⅱ）当点E在的延长线上时，过点D作于M，先分别求出，，进而得，由此可得的度数；③当时，过点E作于H，根据等腰三角形性质得，根据平行线间的距离得，则，由此得，进而可得的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 当为等腰三角形时，有以下三种情况： ①当时，过点A作于F，如图1所示： 在中，， ∴， 即平行线间的距离为， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，又有两种情况： （ⅰ）当点E在线段上时，过点D作交延长线于G，如图2所示： 由①可知：平行线间的距离为，即， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； （ⅱ）当点E在的延长线上时，过点D作于M，如图3所示： 则， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时，过点E作于H，如图4所示： ∵， ∴， 由①可知， ∴， ∴（此时点E与点C重合）， ∴． 综上所述：的度数为：或或． 故答案为：或或． 例2．（2024·江西九江·模拟预测）如图所示，在中，，，将绕点C逆时针旋转得．若交于点F，当 时，为等腰三角形． 【答案】或 【知识点】根据旋转的性质求解、等边对等角、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质，根据旋转的性质可得：，根据等边对等角可知：，再表示出，根据三角形外角的性质可表示出，然后分①，②，③三种情况讨论求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴ 根据三角形的外角性质可得： ， 是等腰三角形，分三种情况讨论： ①当时，则， ，此时无解； ②当时，则，，解得：； ③当时，则，，解得：； 综上所述，旋转角度数为或， 故答案为：或． 例3．（2024·江西抚州·模拟预测）如图，中，，，，点为边上的动点，当是等腰三解形时，的长为 ． 【答案】，或 【知识点】用勾股定理解三角形、三线合一、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形综合，涉及等腰三角形性质、勾股定理及解方程等知识，由是等腰三解形，分三种情况：，作出图形，构造直角三角形，解直角三角形即可得到答案，熟练掌握等腰三角形性质、勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：是等腰三解形， 分三种情况：： ①当时，是等腰三解形； ②当时， ， 点的位置如图所示： 过点作于点，如图所示： 是等腰三角形，， 由等腰三角形三线合一性质得到是的中线，即， 设，则， 在中，，即； 在中，，即； ，即，解得， ； 当时，如图所示： 由②中，可知是等腰直角三角形，即， 当时，，则，即是等腰直角三角形， ，则，解得； 综上所述，的长为，或， 故答案为：，或． 例4．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，在中，，，的外接圆的半径为3，D是边延长线上一点，连接，交于点E，连接．若为等腰三角形，则线段的长度为 ． 【答案】6或或 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、圆周角定理 【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．根据勾股定理得到，①当时，②当时，③当时，根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质以及勾股定理即可得到结论． 【详解】解：， 是的直径， ， ， ①当时， ， ②当时， ③当时， ， 综上所述，若为等腰三角形，线段的长度为6或或， 故答案为：6或或． 模型2.直角三角形的直角顶点不确定 方法解读：当题干中出现类似“若△ABC 为直角三角形”这样的表述时，未明确哪个角为直角，需考虑分类讨论：①∠A=90°(C₁);②∠B=90°(C₄);③∠C=90°(C₂,C₃); 解题方法：①求角度：根据直角三角形的性质结合三角形内角和及内外角关系求解；②求线段长：可用勾股定理、全等三角形、相似三角形的判定与性质求解；若出现30°、45°的角时，可考虑用锐角三角函数或含30°、45°角的直角三角形的性质求解；若出现中点，可考虑用直角三角形斜边中线的性质或者中位线的性质求解。 例5．（2024·江西南昌·模拟预测）在中，，，，点为平行四边形边上的动点，且满足是直角三角形，则的长度是 ． 【答案】或或 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分和两种情况画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， ∵， ∴， （）当时， ①作于，如图所示，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴此时点和点重合， ∴此时； ②当时，如图，； （）当时，如图，， ∴； 综上，的长度是或或， 故答案为：或或． 【点睛】 例6．（2024·江西吉安·三模）如图，在中，，，，为上一点，，为边上的动点，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或6或7 【知识点】三角函数综合、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形 【分析】分，，三种情况计算即可． 本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，正确分类，灵活应用相似和三角函数是解题的关键． 【详解】∵在中，，，， ∴，， 过点A作于点M， ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴，． ①如图1，当时， 则， ∴， ∴． 在中， ， ∴， ∴， ∴ ②如图2，当时，分别过点，作的垂线，垂足分别为，， ∴， ∴，，． 设，则． ∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴； ③如图3，当时， 在中，， ∴， ∴． 综上所述，当为直角三角形时，的长为3或6或7． 例7．（2023·江西·中考真题）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ．    【答案】或或 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用平行四边形的性质求解、根据矩形的性质与判定求角度、根据旋转的性质求解 【分析】连接，根据已知条件可得，进而分类讨论即可求解． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示，    ∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∴， ∴ ∴， 如图所示，当点在上时，此时，则旋转角的度数为，      当点在的延长线上时，如图所示，则    当在的延长线上时，则旋转角的度数为，如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ 即是直角三角形，    综上所述，旋转角的度数为或或 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 例8．（2024·江西景德镇·二模）在中，，，点O是的中点，将绕着点O向三角形外部旋转角时，得到，当恰为轴对称图形时，的值为 ． 【答案】或或 【知识点】根据旋转的性质求解、等边对等角、全等的性质和SSS综合（SSS）、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，分三种情形讨论①当时，②当时，③当时，分别利用全等三角形的性质计算即可．解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． 【详解】解：在中，∵，，点O是的中点， ∴， ∴，，， ①如图，当时， 在和中，， ∴， ∴， ∴． ②如图，当时， 同理可证 ∴， ∴． ③如图中，当时， 同理可证， ∴， ∴， 故答案为：或或． 一、填空题 1．（2024·江西吉安·模拟预测）已知，正六边形的边长为2，点P在它的边上，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】2或或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算 【分析】根据题意，分三种情况讨论：①当时，为等腰三角形；②当时，为等腰三角形，③当时，为等腰三角形，分别求解即可． 【详解】解：正六边形的边长为2， ， ①当时，为等腰三角形， ； ②当时，为等腰三角形，过点B作， ，， ， ， ； ③当时，为等腰三角形，连接，过点P作， 由②可知，， ， 同理， ， 四边形为矩形， ， 为等腰三角形， ， ， 综上所述的长为2或或． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质，解直角三角形的相关计算，勾股定理，多边形内角和，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质． 2．（2024·江西赣州·二模）在中，已知，，，点在边上，点在边上，且，连接，当为等腰三角形时， ． 【答案】5或或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和解直角三角形，分三种情况结合等腰三角形的性质和解直角三角形讨论求解即可． 【详解】解：当时，如图1， ∵， ∴， ； 当时，如图2，作，则有， ，且， ，即， 解得：； 当时，如图3，作，则有， ，且， ，即， 解得：； 综上所述，答案为：5或或． 3．（22-23九年级上·江西九江·期末）正方形的边长为3，点P、Q在正方形不同的边上与点A构成等腰三角形，若等腰的底边长为，则等腰的腰长是 ． 【答案】2或或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长 【分析】分三种情况进行讨论，当P、Q分别在、上，，当P、Q分别在、上，，当，点P在上，点Q在上，分别画出图形，根据正方形的性质和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：当P、Q分别在、上，，为等腰直角三角形，如图所示： ∵， ∴； 当P、Q分别在、上，，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴此时腰长为； 当，点P在上，点Q在上，过点P作于点M，如图所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 综上分析可知：等腰的腰长是2或或． 故答案为：2或或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 4．（2023·江西新余·一模）在中，，，，、分别是边、上的动点将沿直线翻折，使点的对应点恰好落在边上若是等腰三角形，则的长是 ． 【答案】或或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题、折叠问题 【分析】分三种情况讨论：当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形，分别根据等腰三角形的性质以及勾股定理进行计算，即可得到的值． 【详解】解：，，， ，， 分三种情况讨论： 如图所示，当点与点重合时，，      ， ， ， ，即是等腰三角形， 此时，； 如图所示，当时，是等腰三角形，      ， 由折叠可得，， ， 又， 是等腰直角三角形， 设，则， 中，， 解得，舍去， ； 如图所示，当点与点重合时，，      ， ，即是等腰三角形， 此时， 综上所述，当是等腰三角形时，的值是或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，等腰三角形的性质，解一元二次方程以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是依据是等腰三角形，画出图形进行分类讨论，解题时注意方程思想的运用． 5．（2024·江西吉安·一模）如图，在矩形中，，，点，点分别在，上，，若为矩形边上一点，当为直角三角形时，斜边长为 【答案】或或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．分三种情况讨论，利用矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， 显然点P与点B重合时，为直角三角形， 此时斜边长为； 当点E为顶点时，为直角三角形，如图， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴斜边长为； 当点F为顶点时，为直角三角形，如图， ∴， 过点P作于点， ∴是等腰直角三角形， ∴，此时点P与点D重合，点G与点C重合， ∴， ∴斜边长为； 综上，斜边长为或或， 故答案为：或或． 6．（2024·江西·二模）如图，已知正六边形的边长为6，连接，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，是射线上的点，若是等腰三角形，则点的坐标可能是 . 【答案】或或 【知识点】坐标与图形、等腰三角形的性质和判定、正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了正六边形的性质、解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、坐标与图形，分三种情况：当时；当时；当时；分别作出图形，利用等腰三角形的性质、解直角三角形，求解即可得出答案，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， 正六边形的边长为6， ，，， ， ，， ， ， 是等腰三角形， ∴如图，当时，则， ， 延长交轴于，则轴， ， ， ，故此时； 如图，当时，作轴于， ， 则，，故此时； 如图，当时，作于，轴于， 则， ，，故此时； 综上所述，点的坐标可能是或或， 故答案为：或或． 7．（2023·江西九江·二模）如图，在等腰中，，，D是线段上一动点，沿直线将折叠得到，连接．当是以为直角边的直角三角形时，则的长为 ． 【答案】或或 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理、等边三角形的判定及性质，分类讨论：①当时，当点在的下方时和当点E在的上方时，作，利用勾股定理可求得，②当时，利用解直角三角形即可求解，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：①当时， 如图1，当点在的下方时，作，交于点H． 由折叠而来，且， ，． 在中，，， ，． 在中， ，， ，则； 如图2，当点E在的上方时，作，交于点H． 同理，可求得，，， ； ②如图3，当时， ，， ． ， 是等边三角形， ． ， ． 在中，，， ， ． 综上所述，的长为或或． 8．（2024·江西上饶·一模）如图，在三角形纸片中，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与分别相交于点、，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】3或6或 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，以及折叠性质，三角形内角和性质、外角性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出，再进行分类讨论，进行作图，结合直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，以及折叠性质，三角形内角和性质、外角性质，逐一分析解答， 【详解】解：∵， ∴， 如图：时 ∴折叠 ∴， ∴是直角三角形的斜边上的中点， ∴， 此时点与重合， ∵折叠， ∴； 如图：时 ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴此时点与点重合， 即； 如图：时 ∵， ∴， ∵折叠， ∴， 则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ， 即， 解得， 综上：当为等腰三角形时，的长为3或6或， 故答案为：3或6或， 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，以及折叠性质，三角形内角和性质、外角性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．      【答案】或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题、等边对等角 【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知，， 当时，，      由三角形的外角性质得，即， 此情况不存在； 当时，   ，， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，，    ∴， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，，      ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键． 10．（2023·江西吉安·模拟预测）如图，，点P在上，且，点C在上，点D在上，若是以为直角边的等腰直角三角形，则的长为 ．    【答案】或或 【知识点】解直角三角形的相关计算、等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形 【分析】分为直角边和斜边结合C的位置四种情况，利用解直角三角形的知识求解即可． 【详解】解：如图1，    ∵是以为直角边的等腰直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 如图2，    ∵是以为直角边的等腰直角三角形， ∴， 在中，， 设，则， ∵，解得 ， ∴； 如图3，    ∵是以为直角边的等腰直角三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴； 如图4，    ∵是以为直角边的等腰直角三角形， ∴， 在中，∵， ∴， 设，则，则 ， 解得； ∴， 综上所述，的长为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和解直角三角形，全面分类、熟练掌握三角函数的知识是解题的关键． 11．（2023·江西南昌·二模）如图所示，的直径，弦，点是直线上的一动点，直线与交于点，则当 时，是等腰三角形．    【答案】1或或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、已知圆内接四边形求角度 【分析】先判定是等边三角形，可得．再分以为腰时，；当以为底边时，或，分别求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 如图，当以为腰时，， ∴． 在中，， ∴；    当以为底边时，直线与交于点，此时．    ∵， ∴． 连接，根据等腰三角形和圆的对称性可知． ∵， ∴． 过点C作，交于点F．    ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如上图，以为底边时，直线与交于点，此时． ∵点A，，C，四点共圆， ∴， ∴． 同理求出， ∴． 故答案为：1或或．    【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，圆周角定理，圆内接四边形性质等，构造辅助线是解题的关键． 12．（2023·江西·一模）在菱形中，，点E，F分别是的中点，动点P从B出发，沿着顺时针方向运动到C点，当为直角三角形时，的长度为 ．    【答案】3或或 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质求线段长 【分析】分三种情况考虑：点P在边上；点P在边上；点P在边上，利用等边三角形的判定与性质、勾股定理即可求得． 【详解】∵四边形为菱形，， ∴菱形四边长为4，且， ∴, ∵， ∴，即，． ∵E，F分别是的中点． ∴； 连接，则是等边三角形；    ①当点P在边上时；如图， 当点P是的中点时，为直角三角形，此时， ∴； ②当点P在边上时，如图，连接，    当点P是的中点时，为直角三角形，此时， 连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，由勾股定理得， 由勾股定理得：； ③当点P在边上时，连接，如图，    当点P是的中点时，此时， ∵，为的中位线，为的中位线， ∴，， ∴， ∴为直角三角形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 由勾股定理得； 故答案为：3或或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，注意分类讨论是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 与特殊三角形有关的分类讨论模型解读与提分精练 目录 1 模型1.等腰三角形的角和边不确定 1 模型2.直角三角形的直角顶点不确定 8 15 模型1.等腰三角形的角和边不确定 方法解读：当题干中出现类似“若△ABC 为等腰三角形”这样的表述时，未明确哪两条边为腰，需考虑分类讨论：①AB=AC(C₁,C₄);②AB=BC(C₂,C₅);③AC=BC(C₃) 解题方法：①求角度：根据等腰三角形等边对等角的性质结合三角形内角和及内外角关系求解；②求线段长：可用勾股定理、全等三角形、相似三角形的判定与性质求解，若出现30°、45°的角时，可考虑用锐角三角函数或含30°、45°角的直角三角形的性质求解. 例1．（2024·江西南昌·二模）如图，在中，，，，点在射线上，当为等腰三角形时，的度数为 ． 例2．（2024·江西九江·模拟预测）如图所示，在中，，，将绕点C逆时针旋转得．若交于点F，当 时，为等腰三角形． 例3．（2024·江西抚州·模拟预测）如图，中，，，，点为边上的动点，当是等腰三解形时，的长为 ． 例4．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，在中，，，的外接圆的半径为3，D是边延长线上一点，连接，交于点E，连接．若为等腰三角形，则线段的长度为 ． 模型2.直角三角形的直角顶点不确定 方法解读：当题干中出现类似“若△ABC 为直角三角形”这样的表述时，未明确哪个角为直角，需考虑分类讨论：①∠A=90°(C₁);②∠B=90°(C₄);③∠C=90°(C₂,C₃); 解题方法：①求角度：根据直角三角形的性质结合三角形内角和及内外角关系求解；②求线段长：可用勾股定理、全等三角形、相似三角形的判定与性质求解；若出现30°、45°的角时，可考虑用锐角三角函数或含30°、45°角的直角三角形的性质求解；若出现中点，可考虑用直角三角形斜边中线的性质或者中位线的性质求解。 例5．（2024·江西南昌·模拟预测）在中，，，，点为平行四边形边上的动点，且满足是直角三角形，则的长度是 ． 例6．（2024·江西吉安·三模）如图，在中，，，，为上一点，，为边上的动点，当为直角三角形时，的长为 ． 例7．（2023·江西·中考真题）如图，在中，，将绕点逆时针旋转角（）得到，连接，．当为直角三角形时，旋转角的度数为 ．    例8．（2024·江西景德镇·二模）在中，，，点O是的中点，将绕着点O向三角形外部旋转角时，得到，当恰为轴对称图形时，的值为 ． 一、填空题 1．（2024·江西吉安·模拟预测）已知，正六边形的边长为2，点P在它的边上，当为等腰三角形时，的长为 ． 2．（2024·江西赣州·二模）在中，已知，，，点在边上，点在边上，且，连接，当为等腰三角形时， ． 3．（22-23九年级上·江西九江·期末）正方形的边长为3，点P、Q在正方形不同的边上与点A构成等腰三角形，若等腰的底边长为，则等腰的腰长是 ． 4．（2023·江西新余·一模）在中，，，，、分别是边、上的动点将沿直线翻折，使点的对应点恰好落在边上若是等腰三角形，则的长是 ． 5．（2024·江西吉安·一模）如图，在矩形中，，，点，点分别在，上，，若为矩形边上一点，当为直角三角形时，斜边长为 6．（2024·江西·二模）如图，已知正六边形的边长为6，连接，以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，是射线上的点，若是等腰三角形，则点的坐标可能是 . 7．（2023·江西九江·二模）如图，在等腰中，，，D是线段上一动点，沿直线将折叠得到，连接．当是以为直角边的直角三角形时，则的长为 ． 8．（2024·江西上饶·一模）如图，在三角形纸片中，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与分别相交于点、，当为等腰三角形时，的长为 ． 9．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．      10．（2023·江西吉安·模拟预测）如图，，点P在上，且，点C在上，点D在上，若是以为直角边的等腰直角三角形，则的长为 ．    11．（2023·江西南昌·二模）如图所示，的直径，弦，点是直线上的一动点，直线与交于点，则当 时，是等腰三角形．    12．（2023·江西·一模）在菱形中，，点E，F分别是的中点，动点P从B出发，沿着顺时针方向运动到C点，当为直角三角形时，的长度为 ．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$