精品解析：江苏扬州市江都区2024—2025学年九年级上学期数学期中试卷

九年级数学期中试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 将一元二次方程化成一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 某校组织“庆国庆”画展，参展的彩铅、水墨、水彩、速写四个类别作品幅数分别为：58，56，58，60，则这组数据的平均数为（ ） A. 56 B. 57 C. 58 D. 59 3. 半径的为2，圆心到直线的距离为3，则直线与（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 4. 抽屉里有三副手套，任取一只恰好是右手的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为的直径，弦于点，已知，则的半径为（ ） A. 5 B. 4 C. 8 D. 6 6. 某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为，根据题意，可列得方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，若是直径，为是的弦，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，平面上有一点，连接，，若，取的中点．连接，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 有5名学生的体重（单位：）分别是41、50、53、67、49，这5名学生体重的极差是_______． 10. 已知的半径为5，点P在上，则的长为 _____． 11. 关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为_______． 12. 抽样调查了某校30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）： 尺码 33 34 35 36 37 人数 7 6 15 1 1 这组数据的众数是_______． 13. 用一个半径为4cm，面积为12πcm2的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 _____． 14. 若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是______． 15. 如图，正六边形内接于，点在上，点是的中点，则的度数为 ________． 16. 如图，点A、B、C、D、E在上，且为40°，则的度数为________． 17. 已知中，，，当最大时，的长为_______． 18. 如图，是外接圆，为上一点，若经过的内心，且，则的值为______． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1） （2）（公式法） 20. 某中学举行“庆国庆·校园歌手”比赛，七、八年级根据初赛成绩，各选出5名选手组成年级代表队进行决赛，两队选出的5名选手成绩如下图所示． （1）根据图示填写下表； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 七年级 ________ 85 ________ 八年级 85 ________ 100 （2）哪个年级的代表队选手成绩较为稳定？为什么？（计算方差说明） 21. 如图，在单位长度为1的正方形网格中，经过格点、、． （1）只用无刻度直尺，画出所在圆的圆心的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在平面直角坐标系中，圆心的坐标为 ；的半径为 ；的长为 ． 22. 某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试． （1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ； （2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率． 23. 已知关于的方程（为常数）． （1）求证：不论取何值时，该方程总有实数根； （2）若该方程的两个实数根、满足，求的值． 24. 如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成． （1）若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成的面积为200m2自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 25. 已知直线和上一点，利用直尺和圆规作，分别满足下列条件： （1）如图①，使得与直线相切于点（作出一个满足条件的即可）； （2）如图②，使得与直线相切于点，且过直线外的一点．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 26. 如图，是的直径，且，为上一动点（不与点、重合）过点作的切线交延长线于点，为中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 27. 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①，∵，∴，∴代数式有最小值； ②，∵，∴，∴代数式有最大值4． 阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ； （2）求代数式的最小值； （3）如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 28. 对于平面内的点和图形，给出如下定义：以点为圆心，为半径作圆．若与图形有公共点，且半径存在最大值与最小值，则将半径的最大值与最小值的差叫做点视角下图形的宽度，记作． （1）如图1，为坐标原点，，，则 ； （2）如图2，在菱形中，，，，已知，求； （3）如图3，，在第一象限且纵坐标为2，是线段延长线上一点，且，则的横坐标为 ，若点为轴负半轴上一动点，且点的横坐标小于，则的最大值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学期中试题 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 将一元二次方程化成一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程一般形式的相关概念是解题的关键．一元二次方程就是一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可． 【详解】解：∵是一般形式，常数项是， ∴二次项系数和一次项系数分别是和， 故选：C． 2. 某校组织“庆国庆”画展，参展的彩铅、水墨、水彩、速写四个类别作品幅数分别为：58，56，58，60，则这组数据的平均数为（ ） A. 56 B. 57 C. 58 D. 59 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平均数的计算，根据平均数公式直接求解即可． 【详解】解：四个类别作品的幅数分别为58、56、58、60， 这组数据的平均数为 故选：C． 3. 半径的为2，圆心到直线的距离为3，则直线与（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径小于直线到圆心的距离，则直线l与的位置关系是相离．据此即可作答．本题考查了直线与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径为2，圆心到直线的距离为3，且， ∴直线与相离． 故选：A． 4. 抽屉里有三副手套，任取一只恰好是右手的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了概率公式的应用．确定右手手套的数量和总手套数，根据概率公式计算取出右手手套的概率即可． 【详解】解：抽屉中有三副手套，每副包含左手和右手各一只，因此总共有只手套， 其中右手手套有3只，任取一只恰好是右手的概率为右手手套数量除以总数量， 即 故选D． 5. 如图，为的直径，弦于点，已知，则的半径为（ ） A. 5 B. 4 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 连接，设的半径为，根据垂径定理求出，根据勾股定理列式计算，得到答案． 【详解】解：连接，设的半径为，则， 由勾股定理得，， 即， 解得， 则的半径为5， 故选A． 6. 某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为，根据题意，可列得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及连续增长问题．四月份到六月份间隔两个月，每月增长率为x，六月份的投入为四月份投入连续两次增长后的结果．根据题意列出方程即可． 【详解】解：四月份投入25万元，每月增长率为x，则五月份投入为万元，六月份在五月份基础上再增长，投入为万元， 根据题意，六月份投入48万元，因此方程为， 故选：C． 7. 如图，若是直径，为是的弦，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解答的关键．先根据直径所对的圆周角是直角得到,进而利用三角形的内角和定理求得，然后利用同弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8. 如图，在中，，，，平面上有一点，连接，，若，取的中点．连接，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的中位线定理，三角形三边之间的关系．取的中点N，连接，则，根据勾股定理求出，由三角形的中位线定理得出，根据三角形三边之间的关系得出，当点B、M、N在同一直线上时，取最大值，即可求解． 【详解】解：取的中点N，连接， ∵点N为中点，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵点M为中点，点N为中点，， ∴， ∴在中，，即， 当点B、M、N在同一直线上时，， 此时取最大值， 故选：A． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 有5名学生的体重（单位：）分别是41、50、53、67、49，这5名学生体重的极差是_______． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查求极差，根据极差是一组数据中最大数与最小数的差求解即可． 【详解】解：在41、50、53、67、49中，最大数为67，最小数为41， ∴这5名学生体重的极差是， 故答案为：26． 10. 已知的半径为5，点P在上，则的长为 _____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了半径的定义，根据“圆上的点到圆心的距离等于半径”，即可解答． 【详解】解：∵的半径为5，点P在上， ∴， 故答案为：5． 11. 关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，设方程的另一个根为m，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴方程的另一个根为， 故答案为；． 12. 抽样调查了某校30位女生所穿鞋子的尺码，数据如下（单位：码）： 尺码 33 34 35 36 37 人数 7 6 15 1 1 这组数据的众数是_______． 【答案】35 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的众数，一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数，据此可得答案． 【详解】解：∵尺码为35码的人数最多， ∴这组数据的众数为35， 故答案为：35． 13. 用一个半径为4cm，面积为12πcm2的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 _____． 【答案】3cm 【解析】 【分析】先根据扇形的面积公式：S•l•R（l为弧长，R为扇形的半径）计算出扇形的弧长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，利用圆的周长公式计算出圆锥的底面半径． 【详解】解：∵S•l•R， ∴•l•4＝12π，解得l＝6π， 设圆锥的底面半径为r， ∴2π•r＝6π， ∴r＝3（cm）． 故答案为：3cm． 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式、圆的周长公式，熟练掌握公式是解题的关键． 14. 若关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根．当时，方程有两个相等的实数根．当时，方程没有实数根． 由一元二次方程有实数根，，且，然后解两个不等式得到a的取值范围． 【详解】∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， ∴且． 故答案为：且． 15. 如图，正六边形内接于，点在上，点是的中点，则的度数为 ________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟练运用其定理是解题的关键． 先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接、、、， ∵正六边形是的内接正六边形， ， ∵点是的中点， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，点A、B、C、D、E在上，且为40°，则的度数为________． 【答案】160 【解析】 【分析】本题主要考查的是圆周角定理和圆内接四边形的性质，作出辅助线构造内接四边形是解题的关键． 连接，先求得，根据圆内接四边形的性质得出，即可求得． 【详解】解：如图，连接， ∵为， ∴， ∵点B、C、D、E在上， ∴四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：160． 17. 已知中，，，当最大时，的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆的切线性质、勾股定理，得到与圆B相切时，最大是解答的关键．先根据题意，点C在以点B为圆心，为半径的圆上运动（不在直线上），当与圆B相切时，最大，然后利用切线性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，∵， ∴点C在以点B为圆心，为半径的圆上运动（不在直线上）， 当与圆B相切时，最大，此时，点C在点处，， ∴， 故答案为：． 18. 如图，是外接圆，为上一点，若经过的内心，且，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设交于点F，连接，作于点L，则，因为I是的内心，求得，再求得，证明和，根据相似三角形的性质列式，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F，连接，作于点L，则， ∵I是的内心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 同理， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查三角形的内切圆与内心、三角形的外接圆与外心、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1） （2）（公式法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先把原方程化为一般式，再利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， 解得； 【小问2详解】 解： 化为一般式得， 则， ∴， ∴， 解得． 20. 某中学举行“庆国庆·校园歌手”比赛，七、八年级根据初赛成绩，各选出5名选手组成年级代表队进行决赛，两队选出的5名选手成绩如下图所示． （1）根据图示填写下表； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 七年级 ________ 85 ________ 八年级 85 ________ 100 （2）哪个年级的代表队选手成绩较为稳定？为什么？（计算方差说明） 【答案】（1） 填表如下； 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 七年级 85 85 85 八年级 85 80 100 （2）七年级的代表队选手成绩较为稳定，理由如下： 七年级的方差为， 八年级的方差为， ∵， ∴七年级的代表队选手成绩较为稳定． 【解析】 【分析】（1）根据平均数，中位数和众数的定义求解即可； （2）方差越小成绩越稳定，据此分别求出两个年级的方差即可得到结论． 【小问1详解】 解：由题意得，七年级的平均数为分， ∵七年级5位选手中得分为85分的人数最多， ∴七年级的众数为85分； 把八年级5位选手的得分按照从低到高排列为70分，75分，80分，100分，100分， ∴八年级的中位数为80分； 【小问2详解】 略 21. 如图，在单位长度为1的正方形网格中，经过格点、、． （1）只用无刻度直尺，画出所在圆的圆心的位置（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在平面直角坐标系中，圆心的坐标为 ；的半径为 ；的长为 ． 【答案】（1） 如图所示，点Q即为所求； （2）；； 【解析】 【分析】本题主要考查了确定圆心，求弧长，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）如图所示，取，连接并延长交直线于Q，点Q即为所求；直线垂直平分，直线垂直平分，则点Q即为所求； （2）根据（1）所求可得点Q坐标，利用勾股定理可得的长，再证明，得到，最后利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得点Q的坐标为， ∵， ∴，， ， ∴的半径为； ∵，， ∴， ∴， ∴的长为． 22. 某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试． （1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为 ； （2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案； （2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为，画好树状图，利用概率公式计算即可． 【详解】解：（1）由概率公式得：随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为， 故答案为： （2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为， 画树状图如下： 一共有种等可能的结果，其中两名同学均来自八年级的有种可能， 所以：两名同学均来自八年级的概率 【点睛】本题考查的是简单随机事件的概率，以及利用画树状图求解复杂的随机事件的概率，掌握求概率的基本方法是解题的关键． 23. 已知关于的方程（为常数）． （1）求证：不论取何值时，该方程总有实数根； （2）若该方程的两个实数根、满足，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴不论取何值时，该方程总有实数根； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． （1）根据根的判别式，方程有实数根可证得结论； （2）根据根与系数关系得到，进而列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵该方程的两个实数根、， ∴，又， ∴，即， 解得． 24. 如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成． （1）若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成的面积为200m2自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）长和宽分别为18米，10米 （2）不能达到200m2， 理由：根据题意列方程得， ， 整理得出：； ， 故此方程没有实数根， 答：满足条件的花园面积不能达到． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）利用长方形的周长表示出各边长，即可表示出长方形面积，由此建立方程求解即可； （2）利用长方形的面积公式列方程，解答即可． 【小问1详解】 解：设，则； 根据题意列方程，得： ， 解得； 当时，（米）， 当时，（米），不合题意舍去， 答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为18米，10米； 【小问2详解】 略 25. 已知直线和上一点，利用直尺和圆规作，分别满足下列条件： （1）如图①，使得与直线相切于点（作出一个满足条件的即可）； （2）如图②，使得与直线相切于点，且过直线外的一点．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查复杂作图-作圆、作垂线，涉及切线的判定、线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本尺规作图是解答的关键． （1）过A作，在上取点O，以O为圆心，长为半径画，则与直线相切于点； （2）过A作，连接，作的垂直平分线交于O，连接，则，以O为圆心，长为半径画，则与直线相切于点，且过直线外的一点． 【小问1详解】 解：如图，即为所求： 【小问2详解】 解：过A作，连接，作的垂直平分线交于O，连接，则，以O为圆心，长为半径画，则与直线相切于点，且过直线外的一点． 如图，即为所求． 26. 如图，是的直径，且，为上一动点（不与点、重合）过点作的切线交延长线于点，为中点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵与相切于点C， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， ∵经过的半径的外端， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，由点E是的中点，得到，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据三角形的内角和定理得到，根据圆周角定理得到．求得，根据三角形的中位线性质和平行线的性质得到，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理得到，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题是圆的综合题，重点考查圆的切线的判定与性质、圆周角定理、三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、直角三角形中角所对的直角边等于斜边一半、勾股定理的应用、三角形的面积公式及扇形的面积公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 27. 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①，∵，∴，∴代数式有最小值； ②，∵，∴，∴代数式有最大值4． 阅读上述材料并完成下列问题： （1）代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ； （2）求代数式的最小值； （3）如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】（1）2； （2） （3）18 【解析】 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，不等式的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式分解因式得到，，再仿照题意求解即可； （2）利用完全平方公式分解因式得到，据此求解即可； （3）根据，可得，设，则，则可得到，据此可得答案． 【小问1详解】 解： ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为2； ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最大值为； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ， 设，则， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为18． 28. 对于平面内的点和图形，给出如下定义：以点为圆心，为半径作圆．若与图形有公共点，且半径存在最大值与最小值，则将半径的最大值与最小值的差叫做点视角下图形的宽度，记作． （1）如图1，为坐标原点，，，则 ； （2）如图2，在菱形中，，，，已知，求； （3）如图3，，在第一象限且纵坐标为2，是线段延长线上一点，且，则的横坐标为 ，若点为轴负半轴上一动点，且点的横坐标小于，则的最大值为 ． 【答案】（1）1 （2） （3）6； 【解析】 【分析】（1）根据定义可知，，据此求解即可； （2）当经过点D时，，当与相切时，，据此求出即可得到答案； （3）由题易知，再根据两点距离公式代入即可求出F横坐标，的最大值为的最大值，作点E关于x轴对称点，，进而得解． 【小问1详解】 解：如图，连接， 根据题意可知表示以点O为圆心，r为半径作圆，与线段有交点时，r最大值和最小值的差， 当恰好经过点P时，r有最小值， ∵， ∴， 当恰好经过点Q时，r有最大值， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1； 【小问2详解】 解：如图，连接，过D作轴于点H，过M作于点K， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当与相切于点E时，延长交y轴于点F，过C作于点N，连接、， 同理可得，， ∴， ∵，， ， ∴， 由切线的性质可得， ∴，且， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴F的横坐标为6； 设， ∵，， ∴，， ∴， 作E关于x轴对称点，则，连接 ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最大值，即此时有最大值，最大值为的长 ∴， ∴最大值为， 故答案为：6；． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，两点距离计算公式，菱形的性质，轴对称最短路径问题，圆的基本性质等等，正确理解定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $