7.4平行线的性质 课时作业2024-2025学年北师大版数学八年级上册

北师大版八年级上册数学7.4平行线的性质 课时作业 一、单选题 1．在连接A地与B地的线段上有四个不同的点D、G、K、Q，下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线（箭头表示行进的方向），则路程最长的行进路线图是（    ） A． B． C． D． 2．如图，AB∥CD，∠1=60°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于(   ) A． B． C． D． 3．以下说法① 在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直；② 如果与是同位角，那么；③ 如果与互为补角，那么；④ 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；⑤ 两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么同旁内角互补．正确的有 个（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，下列条件中：⑴；⑵；⑶；⑷；能判定∥的条件个数有（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．两条平行直线被第三条直线所截，内错角的平分线（ ） A．互相重合 B．互相平行 C．相交 D．互相垂直 6．已知两条平行直线被第三条直线所截，下列三个说法中正确的个数是（ ） （1）同位角的平分线所在直线互相平行；（2）内错角的平分线所在直线互相平行；（3）同旁内角的平分线所在直线互相平行． A．个 B．个 C．个 D． 个 7．如图，点在直线上，量得，有以下结论：①；②；③；④，则上述结论正确的是(    ) A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④ 8．下列命题为假命题的是（    ） A．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 B．三角形的一个外角等于任意两个内角的和 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．若甲、乙两组数据的平均数都是，，，则甲组数据较稳定 二、填空题 9．如图所示，已知AB∥CD，BC∥DE，∠1=120°，则∠2= ； 10．将一把直尺与一块三角板如图放置，若∠1=41°，则∠2的度数为 ． 11．如图，，，，则 ； 12．如图，，，试判断与的大小，并填写理由．    证明： ________（       ） ________ （           ） ________  （         ） ________（        ） 13．如图所示，直线，平分，若，则的度数是 ． 三、解答题 14．阅读与理解： 如图1，直线，点P在a，b之间，M，N分别为a，b上的点，P，M，N三点不在同一直线上，PM与a的夹角为，PN与b的夹角为，则． 理由如下： 过P点作直线，因为，所以（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．所以，．（两直线平行，内错角相等），所以，即．          计算与说明： 已知：如图2，AB与CD交于点O． （1）若，求证：； （2）如图3，已知，AE平分，DE平分． ①若，，请你求出的度数； ②请问：图3中，与有怎样的数量关系？为什么？ 15．请回答下列问题． （1）先化简再求值． ，其中． （2）推理填空． 已知，如图，、是直线，，，，求证：． 证明：∵（已知） ∴, ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴（等式基本性质）， 即， ∴（等量代换）， ∴（________）． 16．计算：如图，点B在AG上，AGCD，CF平分∠BCD，∠ABE＝∠BCF，BE⊥AF于点E．求证：∠F＝90°． 17．综合与实践问题情境： 如图1是一副三角尺，在三角尺中，，在三角尺中，，．数学活动课上，同学们用一副三角尺展开了探究活动，同学们发现可以用平行线的知识计算三角尺摆放过程中出现的一些角度，和探究一些角之间的数量关系．    如图，将一副三角尺如图摆放，使点与点重合，点在上，与相交于点，求的度数．    智慧小组的解法如下： 解：如图2，过点作． ∵，∴（依据1）． ∵，∴． 又，∴（依据2）． ∴． ∴． 反思交流： (1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1：_________________________________________________________； 依据2：_________________________________________________________； (2)如图，将两个三角尺如图摆放，使点与点重合，点在上，点在上，与相交于点，请用平行线的知识求的度数；    (3)如图，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点也在直线上，与相交于点，当时，探究与的位置关系，并证明．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C C B B A B 1．D 【分析】分别构造出平行四边形和三角形，根据平行四边形的性质和全等三角形的性质进行比较，即可判断． 【详解】解：如图A中、延长AC、BE交于S， ∵∠CAB＝∠EDB＝45°， ∴AS∥ED，则SC∥DE． 同理SE∥CD， ∴四边形SCDE是平行四边形， ∴SE＝CD，DE＝CS， 即走的路线长是：AC＋CD＋DE＋EB＝AC＋CS＋SE＋EB＝AS＋BS； 如图B中、延长AF、BH交于S，作EG∥AS交BS于E． 显然AF＋FG＋GH＋HB＜SA＋SB． 如图C中、延长AI到S，使得∠SBA＝70°，SB交KM于T． 显然AI＋IK＋KM＋BM＞SA＋SB， 如图D中、 显然AN＋NQ＋QP＋PB＞SA＋SB． 如图D中，延长AN交BP的延长线于T．作∠RQB＝45°， 显然：AN＋NQ＋QP＋PB＞AN＋NQ＋QR＋RB， 即AN＋NQ＋PQ＋PB＞AI＋IK＋KM＋MB， 综上所述，D选项的所走的线路最长． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定，平行四边形的性质和判定的应用，注意：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等． 2．A 【详解】根据两直线平行，同位角相等求出∠EFD，再根据角平分线的定义求出∠GFD，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答． 解：∵AB∥CD，∠1=60°， ∴∠EFD=∠1=60°， ∵FG平分∠EFD， ∴∠GFD=∠EFD=×60°=30°， ∵AB∥CD， ∴∠FGB=180°-∠GFD=150°． 故选A． 【点睛】考查了平行线的性质，角平分线的定义，比较简单，准确识图并熟记性质是解题的关键． 3．C 【分析】根据垂线的性质，平行线的判定和性质，补角的定义以及垂线段最短分别判断即可． 【详解】①在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确； ②如果与是同位角，且两直线平行，那么，故错误； ③如果与互为补角，那么，故正确； ④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故正确； ⑤两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，则两直线平行，那么同旁内角互补，故正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了垂线的性质，平行线的判定和性质，补角的定义以及垂线段最短，属于基本几何知识，需要熟练掌握并能区分说法的正确性． 4．C 【详解】试题分析：（1）两直线平行，其同旁内角互补，所以（1）正确；（2）中，可以得到AD平行于BC（3）两直线平行同位角相等，所以，即∥的（4）正确，故选C 考点：同旁内角，内错角 点评：本题综合考查了对顶角，同旁内角互补等基本知识的运用 5．B 【详解】解：如图，∵AD∥BC， ∴∠DEF=∠BFE， ∵EM平分∠DEF，FN平分∠BFE， ∴∠1=∠DEF，∠2=∠BFE， ∴∠1=∠2， ∴EM∥FN，即：当两条平行线直线被第三条直线所截，则内错角的平分线互相平行. 故选B. 6．B 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线性质的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，此题是一道比较常见的题目，难度适中． 先根据题意画出符合条件的推出，再根据平行线的性质和判定，垂直的定义，角平分线定义进行推理即可． 【详解】解：如图1， ， ， 平分，平分， ，， ， ， （1）正确； 如图2， ， ， 平分，平分， ，， ， ， （2）正确； 如图3， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， （3）错误， 故选：B． 7．A 【分析】先根据∠CDE=∠A=∠C，得出AB∥DC，再根据平行线的性质得出∠C=∠ADF和∠A+∠EDF=180°即可． 【详解】解：∵∠CDE=∠A=∠C， ∴AB∥DC，且AD∥BC，故①、②正确； ∵AD∥BC， ∴∠C=∠ADF，故③正确； ∵AB∥DC， ∴∠A+∠ADC=180°， 又∵∠ADC=∠EDF， ∴∠A+∠EDF=180°，故④正确． 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． 8．B 【分析】考查命题与定理的知识，根据平行线的性质判断选项A；根据三角形外角的定义和性质判断选项B；根据平行线的判定判断选项C；根据方差的性质判断选项D．掌握相应的性质、判定及性质是解题的关键． 【详解】解：A．两平行线被第三直线所截，同旁内角互补，原命题是真命题，故此选项不符合题意； B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，原命题是假命题，故此选项符合题意； C．平行于同一条直线的两条直线平行，原命题是真命题，故此选项不符合题意； D．若甲、乙两组数据的平均数都是，，，则甲组数据的方差小于乙组的数据方差，所以甲组数据较稳定，原命题是真命题，故此选项不符合题意． 故选：B． 9．60°. 【分析】先由BC∥DE，求出∠C的度数，再由AB∥CD，可求出∠2的度数. 【详解】∵BC∥DE， ∴∠C=∠1=120°， ∵AB∥CD， ∴∠2+∠C=180°， ∴∠2=180°-120°=60°. 故答案为60°. 【点睛】本题考查了平行线的性质：①两直线平行同位角相等；②两直线平行内错角相等；③两直线平行同旁内角互补；④夹在两平行线间的平行线段相等.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角. 10．131° 【详解】分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2＝∠3． 详解：如图， 由三角形的外角性质得，∠3＝90°＋∠1＝90°＋41°＝131°， ∵直尺的两边互相平行， ∴∠2＝∠3＝131°． 故答案为131°． 点睛：本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 11． 【分析】根据两直线平行，内错角相等计算可得． 【详解】解：∵ ∴+=+= 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等．是基础题． 12．；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；=；两直线平行，同位角相等 【分析】利用平行线的性质和判定求解即可． 【详解】证明： （两直线平行，同旁内角互补） ， （同角的补角相等） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） 故答案为：；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；=；两直线平行，同位角相等． 【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定的应用． 13．或度 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，即可． 【详解】∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（1）证明见解析；（2） ；（3）．理由见解析 【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可证明；（2）①过E点作FE∥AC，即FE∥AC∥BD，根据已知条件求出∠EDB与∠CAE，再根据阅读材料得出∠AED=∠EDB+∠CAE，即可进行求解；②根据外角定理知∠BOC=∠BAC+∠C，由平行的性质得出∠E=∠EDB+∠CAE=∠CDB+∠BAC=（∠BAC+∠C）=∠BOC. 【详解】（1）∵， ∴AC∥BD， ∴ （2）①∵，∴AC∥BD， 过E点作FE∥AC，即FE∥AC∥BD， ∵AE平分，，∴∠CAE==25°， ∵，∴∠CDB=60°，∵DE平分， ∴∠BDE==30°， 由阅读材料得∠AED=∠EDB+∠CAE=25°+30°=55°； ②，理由如下： ∵∠BOC是△ACO的一个外角 ∴∠BOC=∠BAC+∠C， ∵ FE∥AC∥BD， ∴∠C=∠CDB ∴∠E=∠EDB+∠CAE=∠CDB+∠BAC=（∠BAC+∠C）=∠BOC. 即 【点睛】此题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是根据阅读材料得出解题的方法. 15．（1），；（2）；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行 【分析】（1）原式第一项利用完全平方公式计算，第二项利用多项式乘多项式法则计算，第三项运用单项式除以单项式法则计算，再合并得到最简结果，最后根据非负数的性质求出x，y的值代入化简的结果计算即可求出值； （2）根据平行线的判定与性质进行证明即可． 【详解】（1） ， ∵， ∵，， ∴，，即，， ∴当，时， 原式 ． （2）∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴（等式基本性质）， 即， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行 【点睛】本题主要考查了整式的四则运算以及平行线的判定与性质，熟练掌握相关法则和定理是解答此题的关键． 16．见解析 【分析】根据平行线的性质得到∠ABC=∠BCD，再根据角平分线的定义进而得到∠EBC=∠BCF，即可判定BECF，根据平行线的性质得出∠BEF=∠F，再根据垂直的定义即可得解． 【详解】证明：∵AGCD， ∴∠ABC=∠BCD， ∵∠ABE=∠BCF， ∴∠ABC-∠ABE=∠BCD-∠BCF， 即∠CBE=∠DCF， ∵CF平分∠BCD， ∴∠BCF=∠DCF， ∴∠CBE=∠BCF． ∴BECF， ∴∠BEF=∠F． ∵BE⊥AF， ∴∠BEF=90°． ∴∠F=90°． 【点睛】本题考查平行线性质与判定，涉及角平分线定义、垂直的定义等概念，解题的关键是掌握平行线性质与判定定理． 17．(1)两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行 (2)； (3)，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质解答即可； （2）过点作，根据两直线平行，内错角相等求解即可； （3）过点作，根据两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】（1）解：依据1：两直线平行，内错角相等； 依据2：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行； （2）解：如图，过点作．    ∴． ∴； （3）解：． 证明：如图，过点作，则．    ∵，∴，． ∴． ∵，且， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$