第六章 图形的相似章节检测卷（提优）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（苏科版）

第六章 图形的相似章节检测卷（提优） 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．若a和b都不为零，且3a＝4b，则下列比例中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据逆用比例的基本性质，将乘积式化成比例式，逐个判定即可． 【解答】解：A、∵3a＝4b， ∴，错误，不符合题意； B、∵3a＝4b， ∴，正确，符合题意； C、∵3a＝4b， ∴，错误，不符合题意； D、∵3a＝4b， ∴，错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查比例的基本性质，熟练掌握根据比例的基本性质，将乘积式化成比例式是解题的关键． 2．如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（　　） A．135° B．90° C．60° D．45° 【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出． 【解答】解：∵AB、AC，BC＝5，DE、EF＝2，DF， ∴， ∴△ABC∽△DEF， ∴∠BAC＝∠DEF＝180°﹣45°＝135°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝45°． 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABC∽△DEF． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（　　） A．14 B．7 C．6 D．5 【分析】根据已知条件可以推出△OME∽△PFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形， ∴∠MOE＝90°，∠FPN＝90°，EF＝x，MO＝3，PN＝4， ∵∠OME+∠OEM＝90°，∠PFN+∠PNF＝90°，∠CEF+∠CFE＝90°，∠CEF+∠OEM＝90°，∠CFE+∠PFN＝90°， ∴∠OME＝∠PFN＝∠CEF，∠OEM＝∠PNF＝∠CFE， ∴△OME∽△PFN， ∴OE：PN＝OM：PF， ∴OE＝x﹣3，PF＝x﹣4， ∴（x﹣3）：4＝3：（x﹣4）， 整理得：x2﹣7x＝0， 解得：x＝0或x＝7， 经检验，x＝7是方程的根， 故选：B． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相似三角形，用x的表达式表示出对应边． 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于点G．若EG＝FG，则BG的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】由矩形的性质得CD＝AB＝6cm，∠EBF＝∠C＝90°，求得DB10cm，而AE＝2cm，则BE＝4cm，因为EG＝FG，所以BG＝FGEF，则∠BFE＝∠CBD，即可证明△BFE∽△CBD，得，则EFDB，所以BG，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6cm，BC＝8cm，点E，F分别在边AB，BC上， ∴CD＝AB＝6cm，∠EBF＝∠C＝90°， ∴DB10（cm）， ∵AE＝2cm， ∴BE＝AB﹣AE＝6﹣2＝4（cm）， ∵BD，EF交于点G，且EG＝FG， ∴BG＝FG＝EGEF， ∴∠BFE＝∠CBD， ∴△BFE∽△CBD， ∴， ∴EFDB10， ∴BG， 故选：B． 【点评】此题重点考查矩形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质等知识，证明△BFE∽△CBD是解题的关键． 5．凸透镜成像的原理如图所示，AG∥l∥HC．若缩小的实像是物体的，则物体到焦点F1的距离与焦点F2到凸透镜的中心线GH的距离之比为（焦点F1和F2关于O点对称）（　　） A． B． C．3 D． 【分析】先证明四边形OHCD是矩形，得到OH＝CD，再利用相似三角形的性质解决问题即可． 【解答】解：∵l∥HC，CD⊥l，OH⊥l， ∴四边形OHCD是矩形， ∴OH＝CD， ∵AB∥OH， ∴△ABF1∽△HOF1， ∴， ∵缩小的实像是物体的， ∴， ∴， ∵焦点F1和F2关于O点对称， ∴OF1＝OF2， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质，平行线的性质，中心对称以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 6．如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（　　） A．3 B． C．2 D． 【分析】连接BD，如图所示：由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，解直角三角形求出BD，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【解答】解：连接BD，如图所示： 由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线， 设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a， ∵在△BCD中，BC＝CD＝a，∠BCD＝120°， ∴BDa． ∵OD∥AB， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA上，AA′＝2OA．若点B的坐标为（2，1），则点B′的坐标为（　　） A．（4，2） B．（6，3） C．（8，4） D．（1，0.5） 【分析】根据AA′＝2OA求出△ABC与△A′B′C′的位似比，根据位似变换的性质解答即可． 【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是位似图形，AA′＝2OA， ∴OA：OA′＝1：3． ∴△ABC与△A′B′C′的位似比为：1：3， ∵点B的坐标为（2，1）， ∴点B′的坐标为（6，3）， 故选：B． 【点评】本题考查的是位似变换，根据题意求出△ABC与△A′B′C′的位似比是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，点D、E在AC、BC边上，连接DE并延长交AB延长线于点G．过D作DF⊥AG于F．若2∠ADF＝∠G，CE：BE＝2：1，AD＝2，AF＝2，GE＝4，则BA的长度为（　　） A． B． C．9 D．12 【分析】设∠FDA＝α，则∠G＝2α，然后证明GA＝GD，设GD＝x，利用勾股定理列出方程求出x＝10，过点B作BQ∥GD交AC于点Q，得△BQC∽△EDC，对应边成比例代入值求出BQ＝9，然后证明AB＝BQ，即可解决问题． 【解答】解：如图，设∠FDA＝α，则∠G＝2α， ∵DF⊥AG， ∴∠AFD＝90°， ∴∠A＝90°﹣α， ∴∠ADG＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α， ∴∠ADG＝∠A， ∴GA＝GD， ∵AD＝2，AF＝2， ∴DF6， 设GD＝x， ∴GF＝AG﹣AF＝DG﹣AF＝x﹣2， 在Rt△GFD中，根据勾股定理得：GD2＝GF2+DF2， ∴x2＝（x﹣2）2+62， ∴x＝10， ∴GD＝10， ∵GE＝4， ∴DE＝GD﹣GE＝6， 过点B作BQ∥GD交AC于点Q， ∴△BQC∽△EDC， ∴， ∵CE：BE＝2：1， ∴， ∴BQ＝9， ∵GA＝GD， ∴∠A＝∠GDA， ∵BQ∥GD， ∴∠BQA＝∠GDA， ∴∠A＝∠BQA， ∴AB＝BQ＝9， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△BQC∽△EDC． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．若，则 　　． 【分析】根据比例的性质设a＝5k，b＝2k，代入计算即可求解． 【解答】解：设a＝5k，b＝2k， 则， 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质，直接代入法求代数式的值是关键． 10．如图，校园里一片小小的树叶，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么BP的长度为 　（）　cm． 【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可． 【解答】解：因为P为AB的黄金分割点（AP＞PB）， 所以． 又因为AB＝10cm， 所以AP＝（）cm， 所以BP＝AB﹣AP＝10﹣（）＝（）cm． 故答案为：（）． 【点评】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 11．如图，在▱ABCD中，AE＝2BE，F是BC的中点，EF交BD于点O，EF的延长线交DC的延长线于G点，那么S△BOE：S△DOG＝ 　1：16　． 【分析】根据平行四边形的性质证明△BEF≌△CGF（ASA），得BE＝CG，所以DG＝4BE，然后证明△BOE∽△DOG，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可解决问题． 【解答】解：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD， ∴∠EBF＝∠GCF， ∵F是BC的中点， ∴BF＝CF， 在△BEF和△CGF中， ， ∴△BEF≌△CGF（ASA） ∴BE＝CG， ∵AE＝2BE， ∴AB＝AE+BE＝3BE， ∴DG＝DC+CG＝AB+BE＝4BE， ∵AB∥CD， ∴△BOE∽△DOG， ∴△BOE的面积：△DOG的面积＝（BE：DG）2＝（1：4）2＝1：16． 故答案为：1：16． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方． 12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝5，CA＝10，点D，E分别在AC，AB边上，AEAD，连接DE，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连接CE，CF．若△CEF的面积是△BEC面积的2倍，则AD＝ 　　． 【分析】设AD＝x，，根据折叠性质得DF＝AD＝x，∠ADE＝∠FDE，过E作EH⊥AC于H，设EF与AC相交于M，证明△AHE∽△ACB，得到，进而得到EH＝x，AH＝2x，证明Rt△EHD是等腰直角三角形，得到∠HDE＝∠HED＝45°，可得∠FDM＝90°，证明△FDM≌△EHM（AAS），得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x的值即可． 【解答】解：∵， ∴设AD＝x，， ∵△ADE沿DE翻折，得到△FDE， ∴DF＝AD＝x，∠ADE＝∠FDE， 过E作EH⊥AC于H，设EF与AC相交于M， 则∠AHE＝∠ACB＝90°， 又∵∠A＝∠A， ∴△AHE∽△ACB， ∴， ∵CB＝5，CA＝10，， ∴， ∴EH＝x，，则DH＝AH﹣AD＝x＝EH， ∴Rt△EHD是等腰直角三角形， ∴∠HDE＝∠HED＝45°，则∠ADE＝∠EDF＝135°， ∴∠FDM＝135°﹣45°＝90°， 在△FDM和△EHM中， ， ∴△FDM≌△EHM（AAS）， ∴，， ∴， 25﹣5x， ∵△CEF的面积是△BEC的面积的2倍， ∴， 则3x2﹣40x+100＝0， 解得，x2＝10（舍去）， 则， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解 答的关键． 13．如图，菱形ABCD中，EF⊥AC于点H，分别交AD及CB的延长线交于点E、F，且AE：FB＝1：2，则AH：HC的值为 　　． 【分析】连接BD，证明△AEG∽△BFG，求出的值，平行线分线段成比例，得到的值，进而得到的值，证明△AHE∽△BHF，列出比例式进行求解即可． 【解答】解：连接BD，设EF，AB交于点G， ∵四边形ABCD是菱形，AC、BD是菱形的对角线， ∴AD∥BC，AD＝BC，BD⊥AC， ∴△AEG∽△BFG， ∴， ∵AE：FB＝1：2， ∴， ∵EF⊥AC， ∴EF∥BD， ∴， ∴， ∴BC＝AD＝3AE， ∵AE：FB＝1：2， ∴BF＝2AE， ∴CF＝BF+BC＝5AE， ∵AD∥BC， ∴△AHE∽△BHF， ∴； 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 14．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，．连接DE并延长，交AB于点G，过点G作GF∥AC，交BC于点F，平行四边形ABCD的面积为72．则四边形EGFC的面积为　17　． 【分析】根据平行四边形的性质，证明△AEG∽△CED，得到，进而得到，求出的值，证明△BFG∽△BCA，根据面积比等于相似比的平方，求出△AEG，△BFG的面积，分割法求出四边形EGFC的面积即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，且平行四边形ABCD的面积为72， ∴AB∥CD，AB＝CD，S△ACD＝S△ABCS▱ABCD＝36， ∵， ∴AE：EC＝1：3， ∴S△DECS△ACD＝27， ∵AB∥CD， ∴△AEG∽△CED， ∴， ∴，S△AEG：S△DCE＝1：9， ∴，S△AEGS△DCE＝3， ∵GF∥AC， ∴△BFG∽△BCA， ∴， ∴S△BFGS△BCA＝16， ∴四边形EGFC的面积＝S△BCA﹣S△BFG﹣S△AEG＝36﹣16﹣3＝17， 故答案为：17． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 15．如图，四边形ABCD为矩形，AB，BC，点E为AB边上一点，将△BCE沿CE翻折，点B的对应点为点F，过点F作FG∥CE交DC于点G，若DG：GC＝1：4，则FG的长为 　　． 【分析】设EF与CG的交点为M，可得△CEM和△GFM是等腰三角形，设GM＝x，则CM＝2﹣x，在Rt△CFM中，根据勾股定理可建立方程，求出x的值，表达GM和CM的值，进而可得BE的长；再根据勾股定理可得CE的长，由平行可得△GFM和△CEM相似，根据相似比可得最终结果． 【解答】解：设EF与CG的交点为M， 在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD， ∴∠DCE＝∠BEC， 由折叠可知，∠BEC＝∠FEC，BE＝EF，BC＝CF， ∴∠FEC＝∠DEC， ∴EM＝CM， ∵FG∥CE， ∴△GFM∽△CEM， ∴GM：FM＝CM：EM＝1：1，FG：CE＝GM：EM， ∴GM＝FM，EF＝CG＝2， ∵DG：GC＝1：4，AB， ∴DG，CG＝EF＝2， ∴CE， 设GM＝x，则CM＝2﹣x； ∴FM＝GM＝x，CM＝EM＝2﹣x， 在Rt△CFM中，∠CFM＝∠B＝90°， 由勾股定理可得CF2+FM2＝CM2， 即（）2+x2＝（2﹣x）2， 解得x， ∴GM＝FM，CM＝EM， ∴GF：：， ∴GF． 故答案为：． 【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，折叠的性质等相关知识，求出GM和CM的长是解题关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，点A和点C是反比例函数图象上的两点，以AC为边作等边△ABC，反比例函数恰好过点B，则k值为 　﹣3　． 【分析】如图，过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N．利用相似三角形的性质求出△OBN的面积，可得结论． 【解答】解：如图，过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N． 设A（m，n），则有mn＝1， ∵△ABC是等边三角形，OA＝OC， ∴OB⊥AC，OBOA， ∵∠AMO＝∠BNO＝∠AOB＝90°， ∴∠AOM+∠BON＝90°，∠BON+∠OBN＝90°， ∴∠AOM＝∠OBN， ∴△AMO∽△ONB， ∴（）2， ∵S△AMO， ∴S△ONB， ∴， ∵k＜0， ∴k＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，等腰三角形的性质等知识，解题的关键解是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 17．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，点P为CD上一点，∠APB＝120°，若AB＝6，CD＝4，则PA•PB的最大值为 　8　，PA+PB的最大值为 　2　． 【分析】延长AP交⊙O于点F，连接BF，DF，AC，利用直径所对的圆周角为直角，含30°的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质得到PA•PB＝2PC•PD，再利用完全平方式和非负数的意义得到PA•PB≤8；设PA＝a，PB＝b，则PFb，BFb，在Rt△ABF中，由勾股定理可得，AF2+BF2＝AB2，所以（ab）2+（b）2＝62，整理得到（a+b）2＝36+ab，再根据ab最大值求解即可． 【解答】解：延长AP交⊙O于点F，连接BF，DF，AC，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°， ∵∠APB＝120°， ∴∠FPB＝60°， ∴∠PBF＝30°， ∴PFPB． ∵∠CAP＝∠D，∠C＝∠PFD， ∴△PAC∽△PDF， ∴． ∴PA•PF＝PC•PD， ∴PA•PB＝PC•PD， ∴PA•PB＝2PC•PD． ∵CD＝4， ∴PC+PD＝4， ∵（PC﹣PD）2≥0， ∴（PC+PD）2﹣4PC•PD≥0， ∴16﹣4PC•PD≥0． ∴4PC•PD≤16， ∴2PC•PD≤8． ∴PA•PB≤8， ∴PA•PB的最大值为8； 设PA＝a，PB＝b，则PFb，BFb， ∴AF＝PA+PF＝ab， 在Rt△ABF中，由勾股定理可得，AF2+BF2＝AB2， ∴（ab）2+（b）2＝62， 整理得，a2+ab+b2＝36， ∴（a+b）2＝36+ab， ∵ab≤8， ∴（a+b）2＝36+ab≤44， ∴a+b， ∴PA+PB最大值为2.故答案为：8；2． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，完全平方式，非负数的应用，添加适当的辅助线构造相似三角形是解题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B．已知点C（2，0），点D为⊙A上的一动点，以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，连接BC，则△BCE面积的最小值为　4　． 【分析】设出点E（m，n），先构造出△CME≌△END（AAS），进而确定出点D（m+n，n+2﹣m），再利用AD＝2，建立方程，利用两点间的距离得出点E是以O为圆心，为半径的圆上，即可得出结论． 【解答】解：如图，设E（m，n）， 过点E作EM⊥x轴于M，过点作DN⊥EM，交ME的延长线于N， ∴∠CME＝∠END＝90°， ∴∠MCE+∠MEC＝90°， ∵△CDE是等腰直角三角形， ∴CE＝DE，∠CED＝90°， ∴∠NED+∠MEC＝90°， ∴∠MCE＝∠NED， ∴△CME≌△END（AAS）， ∴EM＝DN＝n，CM＝EN＝2﹣m， ∴D（m+n，n+2﹣m）， ∵点D在以A（0，2）为圆心半径为2的圆上， 连接AD，则AD＝2， ∴2， ∴， 即， ∴点E在以点O为圆心，为半径的圆上，（到定点（0，0）的距离是的点的轨迹）， ∵以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B， ∴B（0，4）， ∴OB＝4， ∵C（2，0）， ∴OC＝2， ∴BC＝2， 过点O作OH⊥BC于H， ∴OH， 设点E到BC的距离为h， ∴S△BCEBC•hhh， ∴h最小时，S△BCE最小，而h最小＝OH， ∴S△BCE最小（）＝4； 方法2：∵OA＝OC， ∴∠ACO＝45°， ∵∠ECD＝45°， ∴∠OCE+∠ACE＝∠DCA+∠ACE， ∴∠OCE＝∠ACD， ∵， ∴△COE∽△CAD， ∴， ∵AD＝2， ∴OE， 当OE⊥BC时，△BCE的面积最小， ∵OB＝4，OC＝2， ∴h， ∴△BCE的面积的最小值为2（）＝4； 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了三角形的面积公式，圆的性质和定义，全等三角形的判定和性质，确定出点D的坐标是解本题的关键，判断出点E的轨迹是解本题的难点． 三．解答题（共8小题，满分64分） 19．（6分）如图，过点P作两条直线分别与圆交于A，B和C，D两点，分别求证：PA•PB＝PC•PD． 【分析】对于左边图由同弧所对圆周角相等得到∠A＝∠D，∠C＝∠B，则可证明，进而可得PA•PB＝PC•PD；对于右边图，利用圆内接四边形对角互补和平角的定义得到∠BCP＝∠A，则可证明△PBC∽△PDA，得到，进而可得PA•PB＝PC•PD． 【解答】解：如图1， ∵A、B、C、D都在同一个圆上， ∴∠A＝∠D，∠C＝∠B， ∴△ACP∽△DBP， ∴， ∴PA•PB＝PC•PD； 当四边形ABCD是圆内接四边形时，如图2，连接AD，BC， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∵∠BCP+∠BCD＝180°， ∴∠BCP＝∠A， 又∵∠P＝∠P， ∴△PBC∽△PDA， ∴， ∴PA•PB＝PC•PD． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质．解答本题的关键是熟练掌握相似的性质． 20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＞CD，点E，F分别在线段AC，BC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD． （1）求证：AF＝DE； （2）若AF2＝BF•CE，求证：∠ABC＝∠CDE． 【分析】（1）根据全等三角形的判定证明△ADE≌△CAF，即可得AF＝DE； （2）结合相似三角形的判定证明△ABF∽△CDE，则可得∠ABC＝∠CDE． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠ACF， 在△ADE和△CAF中， ， ∴△ADE≌△CAF（ASA）， ∴AF＝DE； （2）证明：∵△ADE≌△CAF， ∴∠AED＝∠CFA， ∴∠CED＝∠AFB． ∵AF2＝BF•CE， ∴， ∵AF＝DE， ∴， ∴△ABF∽△CDE， ∴∠ABC＝∠CDE． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 21．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点O为位似中心，在第一象限内，对△ABC进行位似变换，得到△DEF（点A，B，C分别对应点D，E，F），且△ABC与△DEF的相似比为2：1．其中点B坐标为（4，2）． （1）画出△DEF； （2）点E坐标为 　（2，1）　； （3）线段AC上一点（x，y）经过变换后对应的点的坐标为 　　． 【分析】（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，再由△DEF再第一象限确定D、E、F的坐标，描出D、E、F，再顺次连接D、E、F即可； （2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，据此可得答案； （3）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，据此可得答案． 【解答】解：（1）如图所示，△DEF即为所求； （2）∵△ABC与△DEF关于原点位似，且相似比为2：1，B（4，2）， ∴点E的坐标为（2，1）， 故答案为：（2，1）； （3）∵△ABC与△DEF关于原点位似，且相似比为2：1， ∴线段AC上一点（x，y）经过变换后对应的点的坐标为 ， 故答案为：． 【点评】本题考查作图﹣位似变换，解答本题的关键是熟练掌握位似变换的性质． 22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2）、B（﹣4，0）、C（﹣4，﹣4）． （1）在y轴右侧、以O为位似中心，将△ABC按相似比为1：2缩小，画出△A'B'C'； （2）在线段AC上找一点P使AP：PC＝2：3． 【分析】（1）连接OA，延长AO到A′，使OA＝2OA′，连接OB，延长BO到B′，使OB＝2OB′．连接OC，延长CO到C′，使OC＝2OC′．再连接A′B′、B′C′、A′C′，即可； （2）取格点E（﹣2，0）、F（﹣4，﹣1），连接EF交AC于点P即可． 【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求． （2）如图所示，点P即为所求． 取格点D（2，﹣3），连接CD， ∵C（﹣4，﹣4），D（2，﹣3），E（﹣2，0）、F（﹣4，﹣1）， ∴CF＝DE＝3，CF∥DE， ∴四边形CDEF是平行四边形， ∴EF∥CD， ∴， ∵A（﹣2，2）， ∴AE＝2， ∴． 【点评】本题考查作图﹣位似变换，平行线分线段成比例，掌握平行四边形的判定与性质，坐标与图形是解题的关键． 23．（8分）如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连结CE并延长交BA的延长线于点F． （1）求证：AF＝AB； （2）点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H，若AG＝2，FG＝6，求CH的长． 【分析】（1）先根据AAS证明△CDE≌△FAE，得CE＝EF，再根据平行线分线段成比例定理可得结论； （2）先根据（1）可得：AB＝AF＝8，由平行线的性质和等腰三角形的判定可得CG＝GF＝6，证明△DCH∽△AGH，列比例式可得GH的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，CD∥AB， ∴∠D＝∠FAD，∠DCE＝∠F， ∵E是AD的中点， ∴DE＝AE， ∴△CDE≌△FAE（AAS）， ∴CE＝EF， ∵AE∥BC， ∴1， ∴AF＝AB； （2）解：∵AG＝2，FG＝6， ∴AF＝FG+AG＝6+2＝8， ∴AB＝AF＝8， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝8， ∵∠DCE＝∠F，∠FCG＝∠FCD， ∴∠F＝∠FCG， ∴CG＝FG＝6， ∵CD∥AF， ∴△DCH∽△AGH， ∴，即， ∴GH＝1.2， ∴CH＝GC﹣GH＝4.8． 【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识，掌握三角形全等和相似的性质和判定是解本题的关键． 24．（8分）如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，点E与点A在直径BC的两侧，且，BE、AC的延长线交于点G，BE与AD的延长线交于点F． （1）判断△FAG的形状，并说明理由． （2）若⊙O的半径为5，OD＝2，求AF的长． 【分析】（1）由，得∠ACB＝∠ABE，则∠G+∠CBE＝∠ABC+∠CBE，所以∠G＝∠ABC，由BC是⊙O的直径，得∠BAC＝90°，则∠FAG＝∠ABC＝90°﹣∠BAF，所以∠G＝∠FAG，则AF＝GF，所以△FAG是等腰三角形； （2）连接OA，由OA＝OB＝5，OD＝2，求得AD，BD＝7，再证明∠FBA＝∠FAB，则BF＝AF，由BD2+FD2＝BF2，FD＝AF，得72+（AF）2＝AF2，求得AF． 【解答】解：（1）△FAG是等腰三角形， 理由：∵， ∴∠ACB＝∠ABE， ∵∠ACB＝∠G+∠CBE，∠ABE＝∠ABC+∠CBE， ∴∠G+∠CBE＝∠ABC+∠CBE， ∴∠G＝∠ABC， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∵AD⊥BC于点D， ∴∠BDA＝90°， ∴∠FAG＝∠ABC＝90°﹣∠BAF， ∵∠G＝∠FAG， ∴AF＝GF， ∴△FAG是等腰三角形． （2）连接OA， ∵⊙O的半径为5，OD＝2， ∴OA＝OB＝5， ∴AD，BD＝OB+OD＝7， ∵∠FBA+∠G＝90°，∠FAB+∠FAG＝90°，且∠G＝∠FAG， ∴∠FBA＝∠FAB， ∴BF＝AF， ∵∠BDF＝90°，FD＝AF， ∴BD2+FD2＝BF2， ∴72+（AF）2＝AF2， 解得AF， ∴AF的长是． 【点评】此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出∠G＝∠FAG是解题的关键． 25．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿着边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿着边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．设运动时间为t（s）． （1）当移动几秒时，△BPQ的面积为9cm2？ （2）当移动几秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 【分析】（1）设当移动x秒时，△BPQ的面积为9cm2，根据三角形的面积公式得出（6﹣x）•2x＝9，再求出x即可； （2）设移动a秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，根据相似三角形的性质得出或，求出或，再求出a即可． 【解答】解：（1）设当移动x秒时，△BPQ的面积为9cm2，则AP＝x cm，BQ＝2x cm，BP＝（6﹣x）cm， ∵，△BPQ的面积为9cm2， ∴9cm2， ∴（6﹣x）•2x＝9， 解得：x1＝x2＝3， 即移动3秒时，△BPQ的面积为9cm2； （2）设移动a秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似， ∵∠PBQ＝∠ABC， ∴或， ∴或， 解得：a或3， 所以移动秒或3秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【点评】本题考查了相似三角形的判定定理和性质定理，解一元二次方程等知识点，能熟记相似三角形的性质定理是解此题的关键，相似三角形的对应边相等． 26．（10分）【观察与猜想】 （1）如图1，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，连接DF与CE交于点O，若∠FOC＝90°，且AD＝8，CD＝5，则　　； 【类比探究】 （2）如图2，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，连接DF与CE交于点O，当∠FOC与∠A满足什么关系时，成立？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形ABCD中，，AB＝7，∠A＝∠BCD＝120°，，点E在边AD上，连接DB与CE交于点O，当∠BOC＝∠A时，求的值． 【分析】（1）证明△DAF∽△CDE，根据相似比即可求解； （2）当∠FOC＝∠A时，可证明△ODE∽△ADF得到，再证明△DCE∽△OCD，得到，由此可得，即； （3）如图所示，过点C作CN∥AD交AB延长线于N，过点D作DM∥AB交NC延长线于M，则四边形DANM是平行四边形，证明△ODE∽△ADB，则，再证△DCE∽△OMD，得，则，在NM上取一点P，使NP＝NB，连接BP，证△PBN是等边三角形，得BP＝NB＝NP，∠BPN＝60°，然后证△PBC∽△MCD，得，设DM＝3x，则PC＝4x，BP＝PN＝NB＝3x﹣7，进而由，得出方程，求出x＝3，即可解决问题． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠CDE＝90°， ∴∠AFD+∠ADF＝90°， ∵∠FOC＝∠EOD＝90°， ∴∠ADF+∠CED＝90°， ∴∠CED＝∠AFD， ∴△DAF∽△CDE， ∴， ∵AD＝8，CD＝5， ∴， 故答案为：； （2）当∠FOC＝∠A时，成立，理由如下： ∵∠FOC＝∠A，∠DOE＝∠FOC， ∴∠DOE＝∠A， 又∵∠ODE＝∠ADF， ∴△ODE∽△ADF， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，AB＝CD， ∴∠A+∠ADC＝180°， 又∵∠FOC+∠COD＝180°， ∴∠ADC＝∠COD， ∵∠DCE＝∠OCD， ∴△DCE∽△OCD， ∴， ∴， ∴，即； （3）如图所示，过点C作CN∥AD交AB延长线于N，过点D作DM∥AB交NC延长线于M，则四边形DANM是平行四边形， ∴∠M＝∠A＝120°，DM＝AN，， 同（2）可得， 在NM上取一点P使得NB＝NP，连接BP， ∵AD∥MN，∠A＝120°， ∴∠N＝60°， ∴△NBP是等边三角形， ∴BP＝NB＝NP，∠BPN＝60°， ∴∠BPC＝120°＝∠M； ∵∠BCD＝120°， ∴∠PCB+∠PBC＝60°＝∠PCB+∠MCD， ∴∠PBC＝∠MCD， ∴△PBC∽△MCD， ∴， 设DM＝3x，则PC＝4x，BP＝PN＝BN＝AN﹣AB＝3x﹣7， ∴， ∵， ∴， 解得x＝3， ∴DM＝3x＝9， ∴． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质，等边三角形的性质与判定等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 图形的相似章节检测卷（提优） 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．若a和b都不为零，且3a＝4b，则下列比例中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（　　） A．135° B．90° C．60° D．45° 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（　　） A．14 B．7 C．6 D．5 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2cm，BD，EF交于点G．若EG＝FG，则BG的长为（　　） A． B． C． D． 5．凸透镜成像的原理如图所示，AG∥l∥HC．若缩小的实像是物体的，则物体到焦点F1的距离与焦点F2到凸透镜的中心线GH的距离之比为（焦点F1和F2关于O点对称）（　　） A． B． C．3 D． 6．如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（　　） A．3 B． C．2 D． 7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA上，AA′＝2OA．若点B的坐标为（2，1），则点B′的坐标为（　　） A．（4，2） B．（6，3） C．（8，4） D．（1，0.5） 8．如图，在△ABC中，点D、E在AC、BC边上，连接DE并延长交AB延长线于点G．过D作DF⊥AG于F．若2∠ADF＝∠G，CE：BE＝2：1，AD＝2，AF＝2，GE＝4，则BA的长度为（　　） A． B． C．9 D．12 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．若，则 　 　． 10．如图，校园里一片小小的树叶，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么BP的长度为 　 　cm． 11．如图，在▱ABCD中，AE＝2BE，F是BC的中点，EF交BD于点O，EF的延长线交DC的延长线于G点，那么S△BOE：S△DOG＝ 　 　． 12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝5，CA＝10，点D，E分别在AC，AB边上，AEAD，连接DE，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连接CE，CF．若△CEF的面积是△BEC面积的2倍，则AD＝ 　 　． 13．如图，菱形ABCD中，EF⊥AC于点H，分别交AD及CB的延长线交于点E、F，且AE：FB＝1：2，则AH：HC的值为 　 　． 14．如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，．连接DE并延长，交AB于点G，过点G作GF∥AC，交BC于点F，平行四边形ABCD的面积为72．则四边形EGFC的面积为　 　． 15．如图，四边形ABCD为矩形，AB，BC，点E为AB边上一点，将△BCE沿CE翻折，点B的对应点为点F，过点F作FG∥CE交DC于点G，若DG：GC＝1：4，则FG的长为 　 　． 16．如图，在平面直角坐标系中，点A和点C是反比例函数图象上的两点，以AC为边作等边△ABC，反比例函数恰好过点B，则k值为 　 　． 17．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，点P为CD上一点，∠APB＝120°，若AB＝6，CD＝4，则PA•PB的最大值为 　 　，PA+PB的最大值为 　 　． 18．如图，在平面直角坐标系中，以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B．已知点C（2，0），点D为⊙A上的一动点，以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，连接BC，则△BCE面积的最小值为　 　． 三．解答题（共8小题，满分64分） 19．（6分）如图，过点P作两条直线分别与圆交于A，B和C，D两点，分别求证：PA•PB＝PC•PD． 20．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＞CD，点E，F分别在线段AC，BC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD． （1）求证：AF＝DE； （2）若AF2＝BF•CE，求证：∠ABC＝∠CDE． 21．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点O为位似中心，在第一象限内，对△ABC进行位似变换，得到△DEF（点A，B，C分别对应点D，E，F），且△ABC与△DEF的相似比为2：1．其中点B坐标为（4，2）． （1）画出△DEF； （2）点E坐标为 　 　； （3）线段AC上一点（x，y）经过变换后对应的点的坐标为 　 　． 22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣2，2）、B（﹣4，0）、C（﹣4，﹣4）． （1）在y轴右侧、以O为位似中心，将△ABC按相似比为1：2缩小，画出△A'B'C'； （2）在线段AC上找一点P使AP：PC＝2：3． 23．（8分）如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，连结CE并延长交BA的延长线于点F． （1）求证：AF＝AB； （2）点G是线段AF上一点，满足∠FCG＝∠FCD，CG交AD于点H，若AG＝2，FG＝6，求CH的长． 24．（8分）如图，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AD⊥BC，垂足为D，点E与点A在直径BC的两侧，且，BE、AC的延长线交于点G，BE与AD的延长线交于点F． （1）判断△FAG的形状，并说明理由． （2）若⊙O的半径为5，OD＝2，求AF的长． 25．（8分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿着边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿着边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P、Q两点同时开始运动，当点P运动到点B时停止，点Q也随之停止．设运动时间为t（s）． （1）当移动几秒时，△BPQ的面积为9cm2？ （2）当移动几秒时，以B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 26．（10分）【观察与猜想】 （1）如图1，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，连接DF与CE交于点O，若∠FOC＝90°，且AD＝8，CD＝5，则　 　； 【类比探究】 （2）如图2，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，连接DF与CE交于点O，当∠FOC与∠A满足什么关系时，成立？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形ABCD中，，AB＝7，∠A＝∠BCD＝120°，，点E在边AD上，连接DB与CE交于点O，当∠BOC＝∠A时，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$