第六章 图形的相似章节检测卷（基础）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（苏科版）

第六章 图形的相似章节检测卷（基础） 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．4cm、2cm、1cm、3cm B．2cm、3cm、5cm、6cm C．1cm、2cm、20cm、40cm D．25cm、35cm、45cm、55cm 2．如图，从放大镜里看到的三角尺与原来的三角尺之间的图形变换属于（　　） A．平移 B．旋转 C．相似 D．轴对称 3．已知△ABC∽△DEF，若∠A＝33°，∠B＝77°，则∠F的度数是（　　） A．100° B．90° C．80° D．70° 4．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，AD∥BE∥CF，若AB＝3，BC＝6，EF＝4，则DE的长度是（　　） A． B． C．3 D．2 6．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　） A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D． 7．如图，在正方形网格图中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心是（　　） A．点R B．点P C．点Q D．点O 8．如图，△ABC内接于⊙O，且AC＝BC，AO的延长线交BC于点E，若△ABE与△ABC相似，则∠ACB＝（　　） A．48° B．45° C．36° D．30° 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．已知，则　 　． 10．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③，④，⑤AC2＝AD•AE，使△ADE与△ACB一定相似的有　 　． 11．如图，在▱ABCD中，点E为AB的中点，点F为AD上一点，EF与AC相交于点H．若FH＝3，EH＝6，AH＝4，则CH的长为 　 　． 12．如图，如果△ACP∽△ABC，∠A＝100°，∠B＝20°，那么∠APC的度数是 　 　． 13．如图，AD∥BE∥FC，它们依次交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F，若AB＝3，BC＝5，则的值是 　 　． 14．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面放置平面镜CD，光线从A点射出经CD上的E点反射后照射到B点，设入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，且AC＝2，BD＝5，CD＝12，则CE的值为 　 　． 15．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一条直线上．已知纸板的两条边DE＝120cm，EF＝50cm，测得AC＝1.5m，BD＝13m，树高AB的长为 　 　m． 16．如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，若烛焰AC的高是4cm，则实像DB的高是　 　． 17．如图，▱ABCD中，AD＝4，E为AB的中点，连接AC，DE交于点F．过点E作EG∥AD交AC于点G．则AF：AC＝ 　 　． 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：当t＝　 　时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）如图，AB∥CD∥EF，BF＝20． （1）若AC＝6，BD＝8，求CE的长． （2）若AC：CE＝1：3，求DF的长． 20．（8分）如图，在矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F． （1）求证：△ABF∽△FCE； （2）若AB＝6，，求折痕AE的长． 21．（8分）如图，在△ABC中，D是AC上一点，已知． （1）求证：∠ABD＝∠C； （2）已知∠A＝20°，∠C＝40°，求∠CBD的度数． 22．（8分）一天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面1.6米，凉亭顶端离地面3.2米，小明到凉亭的距离为4米，凉亭离城楼底部的距离为11米，小亮身高为1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度． 23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4． （1）尺规作图：在线段AB上找一点D，使得△ACD∽△ABC．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，求AD的长． 24．（8分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DFDC，连接EF并延长交BC的延长线于点G． （1）求证：△ABE∽△DEF． （2）若正方形的边长为8，求FG的长． 25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD和AC． （1）求证：AD＝AC； （2）若AD＝BE，求的值． 26．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC—CB向终点运动．如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒． （1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ （2）如图2，Q在CB上，是否存着某时刻，使得以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 图形的相似章节检测卷（基础） 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．下列各组中的四条线段成比例的是（　　） A．4cm、2cm、1cm、3cm B．2cm、3cm、5cm、6cm C．1cm、2cm、20cm、40cm D．25cm、35cm、45cm、55cm 【分析】根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例． 【解答】解：A、∵4×3≠2×1， ∴4cm，2cm，1cm，3cm四条线段不成比例，不符合题意； B、∵2×6≠3×5， ∴2cm，3cm，5cm，6cm四条线段不成比例，不符合题意； C、∵1×40＝2×20， ∴1cm，2cm，20cm，40cm四条线段成比例，符合题意； D、∵25×55≠35×45， ∴25cm，35cm，45cm，55cm四条线段不成比例，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是比例线段，熟知比例的性质是解题的关键． 2．如图，从放大镜里看到的三角尺与原来的三角尺之间的图形变换属于（　　） A．平移 B．旋转 C．相似 D．轴对称 【分析】根据轴对称变换，平移变换，相似变换，旋转变换的相关概念结合题目，采用排除法即可选出正确选项． 【解答】解：属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换， 故选：C． 【点评】本题考查的是相似图形的识别，正确记忆相关知识点是解题关键． 3．已知△ABC∽△DEF，若∠A＝33°，∠B＝77°，则∠F的度数是（　　） A．100° B．90° C．80° D．70° 【分析】根据相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF， ∴∠A＝∠D＝33°，∠B＝∠E＝77°， ∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣33°﹣77°＝70°． 故选：D． 【点评】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 4．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据比例的性质﹣合比性质解答即可． 【解答】解：∵， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质﹣合比性质是解题的关键． 5．如图，AD∥BE∥CF，若AB＝3，BC＝6，EF＝4，则DE的长度是（　　） A． B． C．3 D．2 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可． 【解答】解：∵AD∥BE∥CF， ∴， ∵AB＝3，BC＝6，EF＝4， ∴， ∴DE＝2． 故选：D． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 6．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　） A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．AB2＝AD•AC D． 【分析】根据相似三角形的判定定理求解即可． 【解答】解：∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， 故A不符合题意； ∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， 故B不符合题意； ∵AB2＝AD•AC， ∴， 又∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC， 故C不符合题意； 根据，不能判定△ADB∽△ABC， 故D符合题意； 故选：D． 【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 7．如图，在正方形网格图中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，则位似中心是（　　） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【分析】根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心． 【解答】解：连接AA′，CC′，交于点O， ∴点O是位似中心， 故答案为：D． 【点评】本题考查确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键． 8．如图，△ABC内接于⊙O，且AC＝BC，AO的延长线交BC于点E，若△ABE与△ABC相似，则∠ACB＝（　　） A．48° B．45° C．36° D．30° 【分析】连接OB，则OB＝OA，所以∠BAE＝∠ABO，由△ABE∽△ABC，得∠BAE＝∠ACB，则∠BAE＝∠ABO＝∠ACB，由∠BAE+∠ABO+∠AOB＝180°，得∠ACB+∠ACB+2∠ACB＝180°，求得∠ACB＝45°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OB，则OB＝OA， ∴∠BAE＝∠ABO， ∵△ABE∽△ABC，且∠ABE＝∠CBA，∠BAE≠∠BAC， ∴∠BAE＝∠ACB， ∴∠BAE＝∠ABO＝∠ACB， ∵∠BAE+∠ABO+∠AOB＝180°，且∠AOB＝2∠ACB， ∴∠ACB+∠ACB+2∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝45°， 故选：B． 【点评】此题重点考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．已知，则　　． 【分析】根据比例的性质，可得a、b间的关系，根据分式的性质，可得答案． 【解答】解：由比例的性质，得ba． ， 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质，分式的性质． 10．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，②∠ADE＝∠C，③，④，⑤AC2＝AD•AE，使△ADE与△ACB一定相似的有　①②④　． 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得出答案． 【解答】解：∵∠A＝∠A，∠AED＝∠B， ∴△ADE∽△ACB， 故①符合题意； ∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C， ∴△ADE∽△ACB， 故②符合题意； ∵∠A＝∠A，， ∴△ADE∽△ACB， 故④符合题意； 由，或AC2＝AD•AE，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明△ADE与△ACB相似， 故③⑤不符合题意； ∴使△ADE与△ACB一定相似的有①②④， 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 11．如图，在▱ABCD中，点E为AB的中点，点F为AD上一点，EF与AC相交于点H．若FH＝3，EH＝6，AH＝4，则CH的长为 　20　． 【分析】延长FE交CB的延长线于点G．证明△AFE≌△BGE（AAS），得出EF＝EG，求出EG＝9，根据平行线分线段成比例定理，得出，代入求出结果即可． 【解答】解：如图，延长FE交CB的延长线于点G． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠EAF＝∠EBG，∠AFE＝∠G． ∵点E为边AB的中点， ∴AE＝BE． 在△AFE和△BGE中，， ∴△AFE≌△BGE（AAS）， ∴EF＝EG． ∵FH＝3，EH＝6， ∴EF＝EH+FH＝9． ∴EG＝9， ∴GH＝EG+EH＝9+6＝15． ∵AD∥BC， ∴，即， 解得CH＝20． 【点评】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是作出辅助线，证明△AFE≌△BGE． 12．如图，如果△ACP∽△ABC，∠A＝100°，∠B＝20°，那么∠APC的度数是 　60°　． 【分析】由三角形内角和定理求出∠ACB＝60°，由相似三角形的对应角相等，得到∠APC＝∠ACB＝60°． 【解答】解：∵∠A＝100°，∠B＝20°， ∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°， ∵△ACP∽△ABC， ∴∠APC＝∠ACB＝60°． 故答案为：60°． 【点评】本题考查相似三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握相似三角形的对应角相等． 13．如图，AD∥BE∥FC，它们依次交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F，若AB＝3，BC＝5，则的值是 　　． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【解答】解：∵AD∥BE∥FC， ∴， ∵AB＝3，BC＝5， ∴AC＝AB+BC＝3+5＝8， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 14．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面放置平面镜CD，光线从A点射出经CD上的E点反射后照射到B点，设入射角为α（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C、D，且AC＝2，BD＝5，CD＝12，则CE的值为 　　． 【分析】证明△AEC∽△BED，可得，由此构建方程即可解决问题． 【解答】解：如图， ∵AC⊥CD，BD⊥CD，EF⊥CD， ∴AC∥EF∥BD， ∴∠A＝∠B＝∠α， 又∵∠ACE＝90°＝∠BDE， ∴△AEC∽△BED， ∴， 又∵AC＝2，BD＝5，CD＝12， ∴， ∴EC． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 15．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一条直线上．已知纸板的两条边DE＝120cm，EF＝50cm，测得AC＝1.5m，BD＝13m，树高AB的长为 　6.5　m． 【分析】利用勾股定理求出DF的长，根据，求出BC的长，线段的和差关系求出AB的长即可． 【解答】解：∵DE＝120cm＝1.2m，EF＝50cm＝0.5m， ∴， ∵∠DCB＝90°，∠EDF＝∠CDB， ∴△EDF∽△CDB， ∴， 即：， ∴BC＝5m， ∴AB＝AC+BC＝5+1.5＝6.5（m）； 故答案为：6.5． 【点评】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 16．如图是“小孔成像”，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，若烛焰AC的高是4cm，则实像DB的高是　8cm　． 【分析】根据AC∥DB证明△AOC∽△BOD，利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图所示：AB、CD相交于点O， ∵AC是烛焰的高，DB是实像的高， ∴AC∥DB， ∴△AOC∽△BOD， ∵烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，AC＝4cm， ∴， ∴BD＝8cm， 故答案为：8cm． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 17．如图，▱ABCD中，AD＝4，E为AB的中点，连接AC，DE交于点F．过点E作EG∥AD交AC于点G．则AF：AC＝ 　1：3　． 【分析】由平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，由E为AB的中点，得AEABCD，可证明△AEF∽△CDF，得，则，即AF：AC＝1：3，于是得到问题的答案． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵E为AB的中点， ∴AEABCD， ∵AE∥CD， ∴△AEF∽△CDF， ∴， ∴，即AF：AC＝1：3， 故答案为：1：3． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△AEF∽△CDF是解题的关键． 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：当t＝　1.2s或3s　时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似． 【分析】分时，得t＝1.2s；时，得t＝3s两种情况． 【解答】解；由题意得：QA＝6﹣t，AP＝2t， ①△QAP∽△ABC， ∴， ∴， 解得：， 即当t＝1.2s时，△QAP∽△ABC； ②△PAQ∽△ABC， ∴时， ∴， 解得：t＝3（s）， 即当t＝3s时，△PAQ∽△ABC； ∴当t＝1.2s或t＝3s时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似． 故答案为：1.2s或3s． 【点评】本题主要考查了相似三角形．熟练掌握相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）如图，AB∥CD∥EF，BF＝20． （1）若AC＝6，BD＝8，求CE的长． （2）若AC：CE＝1：3，求DF的长． 【分析】（1）由平行分线段成比例得出，再代入数值计算； （2）由平行线分线段成比例的性质得出，再代入计算． 【解答】（1）解：∵AB∥CD∥EF， ∴， ∵AC＝6，BD＝8，BF＝20， ∴， ∴CE＝9； （2）∵AB∥CD∥EF， 由平行线的分线段成比例可得： ， ∵BF＝20， ∴， ∴DF＝BF﹣BD＝15． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 20．（8分）如图，在矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F． （1）求证：△ABF∽△FCE； （2）若AB＝6，，求折痕AE的长． 【分析】（1）由矩形的性质可得∠B＝∠C＝∠D＝90°，由翻折的性质可得∠AFE＝∠D＝90°，进而推出∠FAB＝∠EFC，即可得证； （2）由题意可知，，勾股定理得出BF，根据相似三角形的性质可得BF＝4，再根据勾股定理计算即可得到答案． 【解答】（1）证明：由矩形ABCD得∠B＝∠C＝∠D＝90°． 把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F， ∴∠AFE＝90°， ∴∠BAF+∠AFB＝90°， ∠EFC+∠AFB＝90°， ∴∠BAF＝∠EFC， ∴△ABF∽△FCE． （2）解：在矩形ABCD中，． 在Rt△ABF中，由勾股定理得：， ∴． ∵△ABF∽△FCE， ∴，即， 解得，EF＝4； 在Rt△AEF中，根据勾股定理得，8． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），熟练掌握以上知识点是解题的关键． 21．（8分）如图，在△ABC中，D是AC上一点，已知． （1）求证：∠ABD＝∠C； （2）已知∠A＝20°，∠C＝40°，求∠CBD的度数． 【分析】（1）根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”推出△ABD∽△ACB，根据三角形的对应角相等即可得证； （2）根据三角形内角和定理求出∠ABC＝120°，结合（1）根据角的和差求解即可． 【解答】（1）证明：∵，∠DAB＝∠BAC， ∴△ABD∽△ACB， ∴∠ABD＝∠C； （2）解：∵∠A＝20°，∠C＝40°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝120°， 由（1）知，∠ABD＝∠C＝40°， ∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝80°． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 22．（8分）一天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面1.6米，凉亭顶端离地面3.2米，小明到凉亭的距离为4米，凉亭离城楼底部的距离为11米，小亮身高为1.7米．请根据以上数据求出城楼的高度． 【分析】过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，由题意得：AN＝4米，CD＝3.2米，MN＝11米，AB＝1.6米，进而得到FM＝1.6米，CN＝1.6米，AM＝15米，证明△ACN∽△AEM得到，求出EM＝6米，最后根据线段的和差即可求解． 【解答】解：已知小明的眼睛离地面1.6米，凉亭顶端离地面3.2米，小明到凉亭的距离为4米，凉亭离城楼底部的距离为11米，小亮身高为1.7米．过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N， 由题意得：AN＝4米，CD＝3.2米，MN＝11米，AB＝1.6米， ∵∠ABF＝∠AMF＝∠BFM＝90°， ∴四边形ABFM是矩形， 又∵AB∥CD， ∴FM＝AB＝DN＝1.6米， ∴CN＝CD﹣DN＝3.2﹣1.6＝1.6（米），AM＝AN+MN＝4+11＝15（米）， ∵CD∥EF， ∴△ACN∽△AEM， ∴，即， ∴EM＝6米， ∴城楼的高度为：6﹣1.7+1.6＝5.9（米）． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，构造直角三角形，利用相似三角形的判定证出△ACN∽△AEM是解题的关键． 23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4． （1）尺规作图：在线段AB上找一点D，使得△ACD∽△ABC．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，求AD的长． 【分析】（1）结合相似三角形的判定与性质，作∠ACD＝∠ABC交AB于点D，则点D即为所求． （2）由相似三角形的性质可得，即，进而可得答案． 【解答】解：（1）若△ACD∽△ABC， 则∠ACD＝∠ABC． 如图，作∠ACD＝∠ABC交AB于点D， 则点D即为所求． （2）∵△ACD∽△ABC， ∴， 即， ∴AD． 【点评】本题考查作图﹣相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 24．（8分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE＝ED，DFDC，连接EF并延长交BC的延长线于点G． （1）求证：△ABE∽△DEF． （2）若正方形的边长为8，求FG的长． 【分析】（1）由正方形的性质可得AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°，然后根据对应边成比例且夹角相等可判定△ABE∽△DEF； （2）通过证明△DEF∽△CGF，可得，根据DFDC可得CF＝6，CG＝12，由勾股定理可求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB＝DC＝BC，∠A＝∠D＝90°， ∵AE＝ED， ∴， ∵DFDC， ∴， ∴， ∴△ABE∽△DEF； （2）解：∵四边形ABCD为正方形， ∴ED∥BG， ∴△DEF∽△CGF， ∴， 又∵DFDC，正方形的边长为8， ∴DF＝2，ED＝4， ∴CF＝6，CG＝12， ∴GF6． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是掌握两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． 25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD和AC． （1）求证：AD＝AC； （2）若AD＝BE，求的值． 【分析】（1）由AB是直径，CD⊥AB，得，故AD＝AC； （2）证明△CAE∽△BAC，可得AC2＝AE×AB，即得BE2＝AE×（AE+BE），故（）21＝0，解得． 【解答】（1）证明：∵AB是直径，CD⊥AB， ∴， ∴AD＝AC； （2）解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， ∴∠ACB＝90°＝∠AEC， ∵∠BAC＝∠CAE， ∴△CAE∽△BAC， ∴， ∴AC2＝AE×AB， 由（1）知AD＝AC， ∵AD＝BE， ∴AC＝BE， ∴BE2＝AE×（AE+BE）， ∴AE2+AE•BE﹣BE2＝0， ∴（）21＝0， 解得：（负值已舍去）， ∴的值为． 【点评】本题考查相似三角形判定与性质，涉及圆周角定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 26．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．现在有动点P从点B出发，沿线段BA向终点A运动，动点Q从点A出发，沿折线AC—CB向终点运动．如果点P的速度是1cm/s，点Q的速度是1cm/s．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒． （1）如图1，Q在AC上，当t为多少秒时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？ （2）如图2，Q在CB上，是否存着某时刻，使得以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）如图1，当∠AQP＝90°时，△AQP∽△ACB，由相似三角形的性质就可以求出t值，如图2，当∠APQ＝90°时，就有△APQ∽△ACB，由相似三角形的性质就可以求出其t值； （2）如图3，当△BPQ∽△BAC时，当△BQP∽△BAC时，根据相似三角形的性质可以求出t的值． 【解答】解：（1）如图1，当∠AQP＝90°时，△AQP∽△ACB， ∴． 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB10（cm）． ∵BP＝t，AQ＝t， ∴PA＝10﹣t， ∴， ∴t， 如图2，当∠APQ＝90°时，△APQ∽△ACB， ∴， ∴， t． 综上所述，t或时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似； （2）如图3，当△BPQ∽△BAC时， ． ∵BQ＝14﹣t，BP＝t， ∴， ∴t， 当△BQP∽△BAC时， ∴， ∴t（舍去）， ∴t时，Q在CB上，以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【点评】本题考查了勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答本题时证明三角形相似是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$