专题7.1同底数幂的乘法（2大考点+6大题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（苏科版）

专题7.1同底数幂的乘法（2大考点+6大题型+强化训练） 1.掌握同底数幂乘法的运算性质，会用符号表示同底数幂乘法运算性质，体会模型思想，发展符号意识. 2.能正确地运用同底数幂的乘法法则进行计算，并知道每一步运算的依据. 3.体会探索同底数幂的乘法运算性质的过程，感受从特殊到一般、从具体到抽象的思考问題的方法 知识点01同底数幂的乘法法则 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝a m+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 【即学即练1】 1．计算m2•m3的结果是（　　） A．m5 B．2m5 C．m6 D．2m6 【答案】A 【详解】解：m2•m3＝m2+3＝m5． 故选：A． 2．计算： （1）x•x5•x6； （2）（x﹣2y）2（x﹣2y）5． 【答案】x12；（x﹣2y）7． 【详解】解：（1）原式＝x1+5+6 ＝x12； （2）原式＝（x﹣2y）2+5 ＝（x﹣2y）7． 3．判断下面的计算对不对，错误的应怎样改正？ （1）x5+x5＝x10； （2）a3•a3＝2a3； （3）m3•m2＝m6； （4）b3•b＝b 【详解】解：（1）x5+x5＝x10，错，改正：x5+x5＝2x5； （2）a3•a3＝2a3，错，改正：a3•a3＝a6； （3）m3•m2＝m6，错，改正：m3•m2＝m5； （4）b3•b＝b，错，改正：b3•b＝b4． 知识点02 同底数幂的乘法法则的逆运算 将同底数幂的乘法法则反过来，即 (m,n是正整数)，也就是说，可以把一个幂分成两个同底数幂的积，这两个同底数幂的底数与原来幂的底数相同，它们的指数之和等于原来幂的指数，如 、这就是同底数幂的乘法法则的逆向运用 【即学即练2】 1．已知ax＝5，ax+y＝25，求ax+ay的值． 【答案】10 【详解】解：∵ax+y＝25， ∴ax•ay＝25， ∵ax＝5， ∴ay＝5， ∴ax+ay＝5+5＝10． 2．已知xa+b＝6，xb＝3，求xa的值． 【答案】2 【详解】解：xa＝xa+b÷xb＝6÷3＝2． 题型01 应用同底数幂的乘法法则进行计算 【典例】计算： （1）104×10； （2）2n•2n+3； （3）﹣a2•a6； （4）（x﹣y）（x﹣y）n﹣3． 【分析】利用同底数幂的乘法的法则对各式子进行求解即可． 【详解】解：（1）104×10 ＝104+1 ＝105； （2）2n•2n+3 ＝2n+n+3 ＝22n+3； （3）﹣a2•a6 ＝﹣a2+6 ＝﹣a8； （4）（x﹣y）（x﹣y）n﹣3 ＝（x﹣y）1+n﹣3 ＝（x﹣y）n﹣2． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是熟记同底数幂的乘法的法则． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据合并同类项的法则及同底数幂乘法的运算法则逐一分析判断即可． 【详解】A．和a不是同类项，不能合并，故原式计算错误，该选项不符合题意； B．和不是同类项，不能合并，故原式计算错误，该选项不符合题意； C．，故原式计算错误，该选项不符合题意； D．，故原式计算正确，该选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了同底数幂的乘法．利用同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 【答案】D 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，有理数的乘方运算，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故选D． 4．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算． （1）按照同底数幂的乘法运算法则计算即可． （2）把变成，然后再按照同底数幂的乘法运算法则计算即可． （3）把变成，然后再按照同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） 5．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）计算：． 【答案】 【分析】题考查同底数幂的乘法计算，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】解： ． 题型02 同底数幂乘法与整式的加减的混合运算 【典例】计算：x2•x3+x4•x﹣2x5． 【答案】0． 【分析】根据同底数幂的乘法法则解决此题． 【详解】解：x2•x3+x4•x﹣2x5 ＝x5+x5﹣2x5 ＝0． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解决本题的关键． 【变式训练】6．（2024七年级下·浙江·专题练习）计算：． 【答案】0 【分析】此题考查了整式积的乘方、同底数幂相乘等混合运算的能力，先计算积的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后计算整式的加减． 【详解】解： ． 7．计算： （1）102×10×105； （2）﹣b2×（﹣b）2×（﹣b3）； （3）﹣（﹣m2）•（﹣m）3•（﹣m）； （4）a5•（﹣a）3﹣（﹣a）7•a； （5）（x﹣y）•（y﹣x）2•（y﹣x）3﹣（y﹣x）6． （6）m•m2•m+m2•m﹣m2•m2﹣2m3． 【答案】（1）108； （2）b7； （3）m6； （4）0； （5）﹣2（y﹣x）6． （6）﹣m3． 【分析】（1）（2）（3）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （4）（5）根据同底数幂的乘法法则化简后，再合并同类项即可． 【详解】解：（1）102×10×105＝102+1+5＝108； （2）﹣b2×（﹣b）2×（﹣b3）＝﹣b2×b2×（﹣b3）＝b2+2+3＝b7； （3）﹣（﹣m2）•（﹣m）3•（﹣m）＝m2+3+1＝m6； （4）a5•（﹣a）3﹣（﹣a）7•a＝﹣a8+a8＝0； （x﹣y）•（y﹣x）2•（y﹣x）3﹣（y﹣x）6＝﹣（y﹣x）6﹣（y﹣x）6＝﹣2（y﹣x）6． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法以及科学记数法，掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键． 题型03 利用同底数幂乘法法则求值 【典例】（1）已知am＝2，an＝3，求am+n的值； （2）已知33x+1＝81，求x． 【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案； （2）利用幂的乘方运算法则求出答案． 【详解】解：（1）∵am＝2，an＝3， ∴am+n＝am×an＝2×3＝6； （2）∵33x+1＝81， ∴33x+1＝34， ∴3x+1＝4， 解得：x＝1． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 【变式训练】 8．（24-25八年级上·广东江门·期中）已知（m，n为正整数），则 ． 【答案】30 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．利用同底数幂的乘法的逆用把化为已知的形式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·广东广州·期中）若，，则等于 ． 【答案】42 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆运算，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键．将化为，代入即可． 【详解】解：， 故答案为：42． 10．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）若，，求的值． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法的逆运算求解即可； 【详解】解：（1）； 题型04 同底数幂乘法法则的逆运用 【典例】设3m+n能被10整除，试证明3m+4+n也能被10整除． 【分析】把原式化成含有3m+n的式子即可． 【详解】解：∵3m+4+n＝34×3m+n＝81×3m+n＝80×3m+（3m+n）， ∵3m+n能被10整除， ∴80×3m与3m+n均能被10整除， 即3m+4+n能被10整除． 【点睛】本题利用了整除的知识和同底数幂的乘法的逆运算，比较简单． 【变式训练】 11．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）若，则 ． 【答案】8 【分析】此题考查了同底数幂的乘法运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据同底数幂的乘法得到，然后得到求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：8． 12．（24-25八年级上·河南周口·期中）若，，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，根据，，得出，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：6． 13．（23-24七年级下·陕西榆林·期中）已知，求x的值． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，利用幂的乘方的法则进行整理，即可得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得： 14．（2024七年级下·江苏·专题练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了幂的乘方与积的乘方．根据积的乘方，可得同底数的幂，根据同底数的幂相等，可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 题型05 同底数幂的乘法的实际运用 【典例】宇宙空间的年龄通常以光年作单位，1光年是光在一年内通过的距离，如果光的速度为每秒3×105千米，一年约为3.2×107秒，那么1光年约为多少千米？ 【答案】1光年约为9.6×1012千米 【分析】根据题意得出算式3×105×3.2×107，求出即可． 【详解】解：3×105×3.2×107＝9.6×1012， 答：1光年约为9.6×1012千米． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法的应用，关键是根据题意得出算式，题型较好，难度适中． 【变式训练】15．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙逑度）是米/秒，则卫星绕地球运行秒走过的路程为 千米． 【答案】 【分析】本题考查的是科学记数法，同底数幂的乘法运算．利用路程等于速度乘以时间，再利用同底数幂的乘法法则进行运算即可得到答案． 【详解】解：由题意得：米． 米即千米． 故答案为：． 16．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （结果用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法，单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可． 【详解】解：计算机工作秒运算的次数为： ． 故答案为：． 17．（23-24八年级上·吉林长春·期末）世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达米，底边长米，用了约块大石块，每块重约千克，请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？ 【答案】胡夫金字塔总重约为千克 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，科学记数法的含义，根据同底数幂的乘法进行法则进行计算，将最后的结果写成科学记数法的形式即可得出答案． 【详解】解：由题意，得： （千克） 答：胡夫金字塔总重约为千克． 题型06同底数幂乘法的有关新定义问题 【典例】定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．若（3，5）+（3，7）＝（3，x），求x的值． 【答案】35． 【分析】设3m＝5，3n＝7，根据新运算定义用m、n表示（3，5）+（3，7），得方程，求出x的值． 【详解】解：设3m＝5，3n＝7， 依题意（3，5）＝m，（3，7）＝n， ∴（3，5）+（3，7）＝m+n． ∴（3，x）＝m+n， ∴x＝3m+n ＝3m×3n ＝5×7 ＝35． 【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方等知识点，理解并运用新运算的定义是解决本题的关键． 【变式训练】18．（21-22八年级上·河南·阶段练习）规定一种运算“※”：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，有理数的混合运算； （1）根据所规定的运算进行作答即可； （2）根据所规定的运算进行作答即可． 【详解】（1）原式； （2）∵， ∴， ∴， 解得． 19．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如果，则，例如：，则， (1)根据上述规定，若= x ，则x= (2)记，求之间的数量关系 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，同底数幂的乘法运算，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义运算直接可得结果； （2）根据同底数幂的乘法运算结合新定义即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ． 故答案为： （2）解：∵，，， ∴ 即 ． 一．选择题（共10小题） 1．（2024春•大渡口区校级期中）计算x3•x2的结果是（　　） A．x3 B．x5 C．x2 D．x 【答案】B 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】解：x3•x2＝x5． 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 2．（2024秋•南安市校级月考）已知3m＝5，3n＝4，则3m+n等于（　　） A． B．9 C． D．20 【答案】D 【分析】利用同底数幂的乘法法则的逆运算对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：当3m＝5，3n＝4时， 3m+n＝3m×3n＝5×4＝20． 故选：D． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．（2024•池州二模）计算：（﹣a）2•a4的结果是（　　） A．a8 B．a6 C．﹣a8 D．﹣a6 【答案】B 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：（﹣a）2•a4＝a2•a4＝a6． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 4．（2024秋•郸城县月考）若3×32＝3n，则n的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法法则求解即可． 【详解】解：∵3×32＝31+2＝33＝3n， ∴n＝3． 故选：B． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5．（2024秋•路南区期中）已知7x＝y，则7x+1＝（　　） A．x B．1+y C．7+y D．7y 【答案】D 【分析】利用同底数幂的乘法的逆运算可得7x+1＝7x×7，再代入计算即可． 【详解】解：∵7x＝y， ∴7x+1＝7x×7＝7y． 故选：D． 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记“am+n＝am•an”是解本题的关键． 6．（2024秋•东区校级期中）若x+y＝4，则2x×2y的值为（　　） A．16 B． C． D．8 【答案】A 【分析】根据2x×2y＝2x+y直接代值计算即可． 【详解】解：∵2x×2y＝2x+y，x+y＝4， ∴2x+y＝24＝16． 故选：A． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 7．（2024秋•朝阳区校级期中）计算（4×106）×（5×103）的结果是（　　） A．2×109 B．9×109 C．2×1010 D．9×1010 【答案】C 【分析】按照单项式乘单项式法则和同底数幂相乘法则进行即可． 【详解】解：原式＝（4×5）×（106×103） ＝20×109 ＝2×1010， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法和科学记数法，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则和科学记数法的表示方法． 8．（2024春•东台市月考）下列各题能用同底数幂乘法法则进行计算的是（　　） A．（x﹣y）2（x+y）3 B．（﹣x﹣y）（x+y）2 C．（x+y）2+（x+y）2 D．﹣（x﹣y）2（﹣x﹣y）3 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘法的法则进行分析即可． 【详解】解：A、（x﹣y）2与（x+y）3的底数不一样，不能用同底数幂的乘法的法则运算，故A不符合题意； B、（﹣x﹣y）＝﹣（x+y），与（x+y）2的底数一样，能用同底数幂的乘法的法则运算，故B符合题意； C、（x+y）2+（x+y）2只能用合并同类项的法则运算，故C不符合题意； D、（﹣x﹣y）3＝﹣（x+y）3，与﹣（x﹣y）2的底数不一样，不能用同底数幂的乘法的法则运算，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 9．（2024春•邢台期末）若2n•2n＝2n+2n+2n+2n，则n的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则和合并同类项法则进行解答即可． 【详解】解：∵2n•2n＝2n+2n+2n+2n， ∴22n＝4•2n＝2n+2， ∴2n＝n+2， ∴n＝2． 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法及合并同类项是解答本题的关键． 10．（2024春•锡山区校级月考）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球53个、53个、5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出（2x+2y）个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则2x+y的值等于（　　） A．512 B．128 C．64 D．32 【答案】A 【分析】先表示每个袋子中的数量，再根据总数表示每个袋子中的数量，进而求出2x，2y，最后逆用同底数幂相乘即可求出结果． 【详解】解：调整后：甲袋有（53﹣2x+2y）个球，乙袋中有（53+2x﹣2x﹣2y）＝（53﹣2y）个球，丙袋中有（5+2x+2y﹣2y）＝（5+2x）个球． ∵甲、乙、丙三个袋子中一共有53+53+5＝111个球，且调整后三只袋中球的个数相同， ∴每只袋子中有111÷3＝37个球， ∴5+2x＝37，53﹣2y＝37， ∴2x＝32，2y＝16， ∴2x+y＝2x•2y＝32×16＝512． 故选：A． 【点睛】本题考查了幂的综合运算，找对数量关系正确表示，熟悉同底数幂的乘法运算法则是解题的关键． 二．填空题（共8小题） 11．（2024秋•黄浦区期中）计算：x4•（﹣x）＝ 　﹣x5　． 【答案】﹣x5． 【分析】根据同底数幂的乘法法则进行解题即可． 【详解】解：x4•（﹣x）＝﹣x5． 故答案为：﹣x5． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12．（2024秋•闵行区校级期中）2a2﹣a•a＝　a2　． 【答案】见试题解答内容 【分析】同底数幂的乘法，应底数不变，指数相加，依此法则计算即可． 【详解】解：2a2﹣a•a＝2a2﹣a2＝a2．故填a2． 【点睛】本题考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法的性质，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错． 13．（2024秋•徐汇区校级期中）计算，结果用幂的形式表示：﹣（b﹣a）（a﹣b）3（b﹣a）4＝ 　（a﹣b）8　． 【答案】（a﹣b）8． 【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【详解】解：﹣（b﹣a）（a﹣b）3（b﹣a）4 ＝（a﹣b）（a﹣b）3（a﹣b）4 ＝（a﹣b）1+3+4 ＝（a﹣b）8， 故答案为：（a﹣b）8． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 14．（2024秋•肇源县校级月考）已知2x+y﹣2＝0，则32x×3y＝ 　9　． 【答案】9． 【分析】利用同底数幂的乘法法则变形后把2x+y＝2代入计算即可． 【详解】解：∵2x+y﹣2＝0， ∴2x+y＝2， ∴32x×3y＝32x+y＝32＝9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 15．（2024秋•虹口区校级月考）若2n•23n+6＝1024，则n＝　1　． 【答案】1． 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则，将23n+6写成以2为底的幂相乘的形式进行计算即可． 【详解】解：∵2n•23n+6 ＝2n•23n•26 ＝64×24n ＝1024， ∴24n＝16＝24， ∴4n＝4， ∴n＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查同底数幂和乘法，掌握其运算法则是解题的关键． 16．（2024秋•周口月考）电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．若某视频文件的大小约为2GB，则2GB＝　231　B． 【答案】231． 【分析】根据同底数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意，得2GB＝2×210×210×210B＝231B， 故答案为：231． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 17．（2024春•砀山县期末）定义一种新的运算“（a，b）”，若ac＝b，则（a，b）＝c，如：（2，16）＝4．已知（3，9）＝x，（3，y）＝4，则x﹣y＝　﹣79　． 【答案】﹣79． 【分析】根据新定义的运算求出x、y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵32＝9， ∴（3，9）＝2， 即x＝2， ∵（3，y）＝4， ∴y＝34＝81， ∴x﹣y＝2﹣81＝﹣79． 故答案为：﹣79． 【点睛】本题考查有理数的运算，理解新定义运算的意义，掌握有理数混合运算的法则是正确解答的关键． 18．（2024春•兴隆县期中）规定a*b＝5a×5b． （1）求1*2＝　125　； （2）若2*（x+1）＝625，求x＝　1　． 【答案】（1）125；（2）1 【分析】（1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义列方程求解即可． 【详解】解：（1）由题意得，1*2＝51×52＝5×25＝125； 故答案为：125； （2）由题意得，52×5x+1＝625＝54， ∴2+x+1＝4， 解得x＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算以及同底数幂的乘法，掌握新定义以及同底数幂的乘法法则是解答本题的关键． 三．解答题（共7小题） 19．计算下列各题． （1）a2•（﹣a）2（﹣a）3； （2）22•212﹣8•211； （3）（x﹣y）•（x﹣y）3（y﹣x）2； （4）（2x﹣1）m•（2x﹣1）2m； （5）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）首先利用乘方的性质计算（﹣x）的乘方，确定结果的符号，然后根据同底数的幂的乘法法则即可求解； （2）首先利用同底数的幂的乘法法则计算，然后进行加减即可； （3）首先把（y﹣x）2写成（x﹣y）2的形式，然后利用同底数的幂的乘法法则计算； （4）直接利用同底数的幂的乘法法则：底数不变，指数相加即可求解； （5）首先利用幂的意义转化为24的形式，提取公因式即可． 【详解】解：（1）原式＝﹣a2•a2•a3＝﹣a7； （2）原式＝214﹣23•211＝214﹣214＝0； （3）原式＝（x﹣y）（x﹣y）3（x﹣y）2＝（x﹣y）6； （4）原式＝（2x﹣1）3m； （5）原式＝20×24﹣6×24+2×24＝（20﹣6+2）×24＝16×24＝24×24＝28． 【点睛】主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 20．计算： （1）an+2•an+1•an•a： （2）（a+b）3m•（b+a）m+n： （3）﹣x3•（﹣x）3•（﹣x）4： （4）（x﹣y）6•（y﹣x）6． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）、（2）直接根据同底数幂的乘法法则进行计算即可； （3）、（4）把各式同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】解：（1）原式＝an+2+n+1+n+1 ＝a3n+4； （2）原式＝（a+b）3m+m+n ＝（a+b）4m+n； （3）原式＝x3•x3•x4 ＝x3+3+4 ＝x10； （4）原式＝（x﹣y）6+6． ＝（x﹣y）12． 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，熟知同底数幂的乘法，是学校整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数）这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 21．计算： （1）（﹣y）2•yn﹣1； （2）x6•（﹣x）3﹣（﹣x）2•（﹣x）7； （3）4×2n； （4）（m﹣n）•（n﹣m）3•（n﹣m）4； （5）x•（﹣x）2•（﹣x）2n+1﹣x2n+2•x2（n为正整数）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）直接根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （2）先根据幂的乘方法则计算出各数，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （3）直接根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （4）先根据幂的乘方法则计算出各数，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可； （5）先根据幂的乘方法则计算出各数，再根据同底数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）原式＝y2+n﹣1＝y1+n； （2）原式＝﹣x6•x3+x2•x7； ＝﹣x9+x9 ＝0； （3）原式＝22×2n ＝22+n； （4）原式＝﹣（n﹣m）1+3+4 ＝﹣（n﹣m）8； （5）原式＝﹣x•x2•x2n+1﹣x2n+2•x2（n为正整数）． ＝﹣x2n+1+2+1﹣x2n+2+2 ＝﹣2x2n+4． 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，熟知同底数幂的乘法，是学校整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数）这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 22．计算 ①﹣x5•x2•x10 ②（﹣2）9（﹣2）8•（﹣2）3 ③a6•a2+a5•a3﹣2a•a7 ④（﹣a）2•（﹣a）3•a6 ⑤（a﹣1）3•（a﹣1）2•（a﹣1） ⑥（a﹣b﹣c）（b+c﹣a）（c﹣a+b）3． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法的知识求解即可求得答案； （2）直接利用同底数幂的乘法的知识求解即可求得答案，注意运算结果要化简； （3）首先利用同底数幂的乘法运算，然后利用合并同类项的知识求解，即可求得答案； （4）直接利用同底数幂的乘法的知识求解即可求得答案； （6）首先化为同底数幂，然后利用同底数幂的乘法的知识求解即可求得答案． 【详解】解：①﹣x5•x2•x10＝﹣x17； ②（﹣2）9（﹣2）8•（﹣2）3＝（﹣2）20＝220； ③a6•a2+a5•a3﹣2a•a7＝a8+a8﹣2a8＝0； ④（﹣a）2•（﹣a）3•a6＝﹣a2•a3•a6＝﹣a11； ⑤（a﹣1）3•（a﹣1）2•（a﹣1）＝（a﹣1）6； ⑥（a﹣b﹣c）（b+c﹣a）（c﹣a+b）3＝（a﹣b﹣c）（a﹣b﹣c）（a﹣b﹣c）3＝（a﹣b﹣c）5． 【点睛】此题考查了同底数幂的乘法．此题比较简单，注意掌握指数与符号的变化是解此题的关键． 23．已知：xm﹣n•x2n+1＝x8，y2m﹣1•yn+2＝y13，求10m•10n的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算并列出关于m、n的二元一次方程组，然后求解得到m、n的值，再进行计算即可得解． 【详解】解：∵xm﹣n•x2n+1＝xm﹣n+2n+1＝xm+n+1＝x8， y2m﹣1•yn+2＝y2m﹣1+n+2＝y2m+n+1＝y13， ∴， 解得， ∴10m•10n＝105•102＝107． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟记性质并根据指数相同列出关于m、n的二元一次方程组是解题的关键． 24．计算： （1）x2•xn+1﹣xn﹣2x4+xn﹣1•x4． （2）（x+y）2•（x+y）•（x+y）2+（x+y）2•（x+y）3． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则求出各项，然后再合并同类项即可． （2）根据同底数幂的乘法法则求出各项，然后再合并同类项即可． 【详解】解：（1）原式＝xn+3﹣xn+2+xn+3＝2xn+3﹣xn+2； （2）原式＝（x+y）5+（x+y）5＝2（x+y）5． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 25．（2024秋•秦安县校级月考）规定a*b＝2a×2b，求： （1）求1*2的值； （2）若2*（x+1）＝32，求x的值． 【答案】（1）8； （2）x＝2． 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义可得2*（x+1）＝22×2（x+1）＝22+x+1，可得2+x+1＝5，求出x的值即可． 【详解】解：（1）由题意得： 1*2 ＝21×22 ＝8； （2）由题意得： 2*（x+1） ＝22×2（x+1） ＝22+x+1； 即22+x+1＝32＝25， 2+x+1＝5， 3+x＝5， x＝2． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、有理数的混合运算，解决本题的关键是运用同底数幂的乘法的计算法则计算． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.1同底数幂的乘法（2大考点+6大题型+强化训练） 1.掌握同底数幂乘法的运算性质，会用符号表示同底数幂乘法运算性质，体会模型思想，发展符号意识. 2.能正确地运用同底数幂的乘法法则进行计算，并知道每一步运算的依据. 3.体会探索同底数幂的乘法运算性质的过程，感受从特殊到一般、从具体到抽象的思考问題的方法 知识点01同底数幂的乘法法则 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝a m+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 【即学即练1】 1．计算的结果是　　 A． B． C． D． 2．计算： （1）； （2）． 3．判断下面的计算对不对，错误的应怎样改正？ （1）； （2）； （3）； （4） 知识点02 同底数幂的乘法法则的逆运算 将同底数幂的乘法法则反过来，即 (m,n是正整数)，也就是说，可以把一个幂分成两个同底数幂的积，这两个同底数幂的底数与原来幂的底数相同，它们的指数之和等于原来幂的指数，如 、这就是同底数幂的乘法法则的逆向运用 【即学即练2】 1．已知，，求的值． 2．已知，，求的值． 题型01 应用同底数幂的乘法法则进行计算 【典例】计算： （1）104×10； （2）2n•2n+3； （3）﹣a2•a6； （4）（x﹣y）（x﹣y）n﹣3． 【变式训练】 1．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 4．计算： (1)； (2)； (3)． 5．计算：． 题型02 同底数幂乘法与整式的加减的混合运算 【典例】计算：x2•x3+x4•x﹣2x5． 【变式训练】 6．计算：． 7.计算： （1）102×10×105； （2）﹣b2×（﹣b）2×（﹣b3）； （3）﹣（﹣m2）•（﹣m）3•（﹣m）； （4）a5•（﹣a）3﹣（﹣a）7•a； （5）（x﹣y）•（y﹣x）2•（y﹣x）3﹣（y﹣x）6． （6）m•m2•m+m2•m﹣m2•m2﹣2m3． 题型03 利用同底数幂乘法法则求值 【典例】（1）已知am＝2，an＝3，求am+n的值； （2）已知33x+1＝81，求x． 【变式训练】 8．已知（m，n为正整数），则 ． 9．若，，则等于 ． 10．若，，求的值． 题型04 同底数幂乘法法则的逆运用 【典例】设3m+n能被10整除，试证明3m+4+n也能被10整除． 【变式训练】 11．若，则 ． 12．若，，则的值为 ． 13．已知，求x的值． 14．已知，求的值． 题型05 同底数幂的乘法的实际运用 【典例】宇宙空间的年龄通常以光年作单位，1光年是光在一年内通过的距离，如果光的速度为每秒3×105千米，一年约为3.2×107秒，那么1光年约为多少千米？ 【变式训练】 15．卫星绕地球运动的速度（即第一宇宙逑度）是米/秒，则卫星绕地球运行秒走过的路程为 千米． 16．一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为 （结果用科学记数法表示）． 17．世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达米，底边长米，用了约块大石块，每块重约千克，请问：胡夫金字塔总重约为多少千克？ 题型06同底数幂乘法的有关新定义问题 【典例】定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．若（3，5）+（3，7）＝（3，x），求x的值． 【变式训练】 18．规定一种运算“※”：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 19．如果，则，例如：，则， (1)根据上述规定，若= x ，则x= (2)记，求之间的数量关系 一．选择题（共10小题） 1．（2024春•大渡口区校级期中）计算x3•x2的结果是（　　） A．x3 B．x5 C．x2 D．x 2．（2024秋•南安市校级月考）已知3m＝5，3n＝4，则3m+n等于（　　） A． B．9 C． D．20 3．（2024•池州二模）计算：（﹣a）2•a4的结果是（　　） A．a8 B．a6 C．﹣a8 D．﹣a6 4．（2024秋•郸城县月考）若3×32＝3n，则n的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（2024秋•路南区期中）已知7x＝y，则7x+1＝（　　） A．x B．1+y C．7+y D．7y 6．（2024秋•东区校级期中）若x+y＝4，则2x×2y的值为（　　） A．16 B． C． D．8 7．（2024秋•朝阳区校级期中）计算（4×106）×（5×103）的结果是（　　） A．2×109 B．9×109 C．2×1010 D．9×1010 8．（2024春•东台市月考）下列各题能用同底数幂乘法法则进行计算的是（　　） A．（x﹣y）2（x+y）3 B．（﹣x﹣y）（x+y）2 C．（x+y）2+（x+y）2 D．﹣（x﹣y）2（﹣x﹣y）3 9．（2024春•邢台期末）若2n•2n＝2n+2n+2n+2n，则n的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 10．（2024春•锡山区校级月考）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球53个、53个、5个，先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出（2x+2y）个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则2x+y的值等于（　　） A．512 B．128 C．64 D．32 二．填空题（共8小题） 11．（2024秋•黄浦区期中）计算：x4•（﹣x）＝ 　 　． 12．（2024秋•闵行区校级期中）2a2﹣a•a＝　 　． 13．（2024秋•徐汇区校级期中）计算，结果用幂的形式表示：﹣（b﹣a）（a﹣b）3（b﹣a）4＝ 　 　． 14．（2024秋•肇源县校级月考）已知2x+y﹣2＝0，则32x×3y＝ 　 　． 15．（2024秋•虹口区校级月考）若2n•23n+6＝1024，则n＝　 　． 16．（2024秋•周口月考）电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．若某视频文件的大小约为2GB，则2GB＝　 　B． 17．（2024春•砀山县期末）定义一种新的运算“（a，b）”，若ac＝b，则（a，b）＝c，如：（2，16）＝4．已知（3，9）＝x，（3，y）＝4，则x﹣y＝　 　． 18．（2024春•兴隆县期中）规定a*b＝5a×5b． （1）求1*2＝　 　； （2）若2*（x+1）＝625，求x＝　 　． 三．解答题（共7小题） 19．计算下列各题． （1）a2•（﹣a）2（﹣a）3； （2）22•212﹣8•211； （3）（x﹣y）•（x﹣y）3（y﹣x）2； （4）（2x﹣1）m•（2x﹣1）2m； （5）． 20．计算： （1）an+2•an+1•an•a： （2）（a+b）3m•（b+a）m+n： （3）﹣x3•（﹣x）3•（﹣x）4： （4）（x﹣y）6•（y﹣x）6． 21．计算： （1）（﹣y）2•yn﹣1； （2）x6•（﹣x）3﹣（﹣x）2•（﹣x）7； （3）4×2n； （4）（m﹣n）•（n﹣m）3•（n﹣m）4； （5）x•（﹣x）2•（﹣x）2n+1﹣x2n+2•x2（n为正整数）． 22．计算 ①﹣x5•x2•x10 ②（﹣2）9（﹣2）8•（﹣2）3 ③a6•a2+a5•a3﹣2a•a7 ④（﹣a）2•（﹣a）3•a6 ⑤（a﹣1）3•（a﹣1）2•（a﹣1） ⑥（a﹣b﹣c）（b+c﹣a）（c﹣a+b）3． 23．已知：xm﹣n•x2n+1＝x8，y2m﹣1•yn+2＝y13，求10m•10n的值． 24．计算： （1）x2•xn+1﹣xn﹣2x4+xn﹣1•x4． （2）（x+y）2•（x+y）•（x+y）2+（x+y）2•（x+y）3． 25．（2024秋•秦安县校级月考）规定a*b＝2a×2b，求： （1）求1*2的值； （2）若2*（x+1）＝32，求x的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$