专题03 勾股定理的应用（6大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题03 勾股定理的应用 题型一 勾股定理求旗杆高度 1．（23-24八年级上·河南安阳·期末）古代数学名著《算法统宗》中有一首计算秋千绳索长度的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”．翻译成现代文：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为（    ） A．13.5尺 B．14尺 C．14.5尺 D．15尺 2．（22-23八年级上·河南开封·期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（    ）． A．17 B．16 C．15 D．14 3．（23-24八年级上·河南安阳·期末）学校旗杆上的绳子垂到地面还多3，将绳子的下端拉开9后，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为 ． 4．（21-22八年级上·河南信阳·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 5．（23-24八年级上·河南商丘·期末）在一棵树的米高的处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树米的池塘的处．另一只爬到树顶后直接跃到处．距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米？    6．（23-24八年级上·河南信阳·期末）风筝是由中国古代劳动人民发明于春秋时期，至今已有2000多年的历史，北宋张择端的《清明上河图》，苏汉臣的《百子图》里都有放风筝的生动景象．某校八年级五班的实践探究小组的同学学习了“勾股定理”之后，在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度CE（如图，线段AE表示水平地面），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②已经放出的风筝线的长为39米（其中风筝本身的长宽忽略不计）；③牵线放风筝的小辉同学的身高为1.7米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果实践探究小组的同学想让风筝沿方向下降到距地面21.7米，则小辉同学应该往回收线多少米？ 7．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图是人们喜爱的秋千，已知秋千静止的时候，踏板离地高为，将它往前推进到（即的长为，且），此时踏板离地的高为．求秋千绳索的长度． 题型二 勾股定理求大树折断前的高度 8．（21-22八年级上·河南安阳·期末）如图，一棵树（树干与地面垂直）高米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为米，则这棵树断裂处点B离地面的高度的值为（       ）    A．2.4米 B．2.6米 C．0.6米 D．1米 9．（21-22八年级上·河南南阳·期末）如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是（    ）    A．20米 B．18米 C．16米 D．15米 10．（21-22八年级上·河南信阳·期末）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（　　）    A． B． C． D． 11．（21-22八年级上·河南濮阳·期末）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，则折断处离地面的高度是（  ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 12．（20-21八年级上·河南南阳·期末）《九章算术》奠定了中国传统数学的基本框架，是中国古代最重要的数学著作之一．其中第九卷《勾股》章节中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”．意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子底部3尺远，问原处还有多高的竹子？（备注：1丈尺）这个问题的答案是（　　　） A．4尺 B．4.5尺 C．4.55尺 D．5尺 13．（16-17八年级上·河南周口·期末）一根旗杆在离地面3米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部4米处，旗杆折断之前的高度是（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 14．（21-22八年级上·河南开封·期末）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，树干顶部在离根部12米处，则这棵大树的高度为（   ）．    A．13 B．17 C．18 D．25 15．（21-22八年级上·河南焦作·期末）如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米． 16．（21-22八年级上·河南开封·期末）如图，一根竹子原高10尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面的高为x尺，则可列方程为 ．（不用化简） 题型三 勾股定理求解决航海问题 17．（23-24八年级上·河南开封·期末）如图所示，一轮船以3海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以4海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（   ） A．25海里 B．10海里 C．35海里 D．40海里 18．（23-24八年级上·河南开封·期末）一艘小船上午7点从某港口出发，它以海里/时的速度向北航行，1小时后另一艘小船也从该港口出发，以海里/时的速度向西航行，9点时两艘小船相距 海里． 19．（21-22八年级上·河南信阳·期末）如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是 nmile． 20．（21-22八年级上·河南安阳·期末）一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是． (1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间． (2)岛在港的什么方向？ 21．（21-22八年级上·河南新密·期末）如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，以每小时12海里的速度向B岛驶去．乙船沿南偏东55°的方向向C岛驶去，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？ 22．（23-24八年级上·河南开封·期末）轮船A以16海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，轮船B在同时同地以12海里/时的速度向西北方向航行．试求两船离开港口O一个半小时后的距离． 23．（22-23八年级上·河南南阳·期末）轮船同时从港口出发，若轮船以8海里/时的速度向西南方向航行，轮船以10海里/时的速度向东南方向航行，求两船离开港口一个半小时后的距离（结果保留根号）． 题型四 勾股定理求台阶上地毯长度 24．（20-21八年级上·河南郑州·期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（    ） A．6 B．8 C．9 D．15 25．（19-20八年级上·河南南阳·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点到点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（    ） A．4 B．5 C． D． 26．（19-20八年级上·河南新乡·期末）某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要 元． 27．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是 米． 28．（19-20八年级上·河南濮阳·期末）如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道上铺地毯，已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？    题型五 勾股定理判断汽车是否超数 29．（19-20八年级上·河南濮阳·期末）为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路的一侧有一报亭A，报亭A到公路的距离为600米，且宣讲车P周围1 000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿方向行驶．    (1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由； (2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？ 30．（22-23八年级上·河南开封·期末）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条高速公路上沿直线行驶，某时刻刚好行驶到路对面处车速检测仪的正前方的处，如图，过了大巴车到达处，此时测得大巴车与处车速检测仪的距离为． (1)求的长； (2)通过计算说明大巴车是否超速？ 31．（22-23八年级上·河南濮阳·期末）某路段限速70千米/时．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30米处的点C，过2秒后，测得小汽车（点B）与车速检测仪间的距离为50米．这辆小汽车超速了吗？ 32．（21-22八年级上·河南濮阳·期末）某地规定小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过72千米/时．若一辆“小汽车”在城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C处，过了5秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由． 33．（19-20八年级上·河南洛阳·期末）为整治城市街道的汽车超速现象，交警大队在某街道旁进行了流动测速.如图，一辆小汽车在某城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到离车速检测仪的处，过了后，小汽车到达离车速检测仪的处，已知该段城市街道的限速为，请问这辆小汽车是否超速？    34．（18-19八年级上·河南安阳·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在高速公路上的行驶速度不得超过120千米/小时，不得低于60千米/小时，如图，一辆小汽车在高速公路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到“车速检测点”正前方60米处，过了3秒后，测得小汽车位置与“车速检测点”之间的距离为100米，这辆小汽车是按规定行驶吗？ 题型六 勾股定理求最短路径 35．（22-23八年级上·河南新乡·期末）有一个圆柱体礼盒，高，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在A处，另一端绕礼盒侧面2周后粘贴在C处（B为的中点），则彩带最短为（    ）    A． B． C． D． 36．（22-23八年级上·河南焦作·期末）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 37．（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是 ． 38．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是 ． 39．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，点是正方体的一个顶点，点是正方体一条棱的中点，已知正方体的棱长为．一只蚂蚁如果要沿着正方体表面从点爬到点，需要爬行的最短距离为 ．    40．（22-23八年级上·河南安阳·期末）如图，圆柱体的底面圆周长为16，高为6，是上底面的直径．一只蚂蚁从圆柱的表面点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则爬行的最短路程为 cm．    41．（22-23八年级上·河南太康·期末）如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20m，宽AD＝10m．中间竖有一堵砖墙高MN＝2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 的路程． 42．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图，在长方体，，，，一只蚂蚁在这个长方体的表面上从A点爬行到点，求它走的最短路径是多少？    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 勾股定理的应用 题型一 勾股定理求旗杆高度 1．（23-24八年级上·河南安阳·期末）古代数学名著《算法统宗》中有一首计算秋千绳索长度的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”．翻译成现代文：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为（    ） A．13.5尺 B．14尺 C．14.5尺 D．15尺 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设秋千绳索长为尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设秋千绳索长为尺， 则（尺）， 在中，，即， 解得：， 故选：C． 2．（22-23八年级上·河南开封·期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（    ）． A．17 B．16 C．15 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，勾股定理的应用，作辅助线构造直角三角形是解题关键．过点作于点，设旗杆的高度为，则，，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，标注各点，过点作于点， ，， 设旗杆的高度为，则，， 在中，， ， 解得：， 故选：A 3．（23-24八年级上·河南安阳·期末）学校旗杆上的绳子垂到地面还多3，将绳子的下端拉开9后，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为，可得，，由勾股定理得，即可求解；能将问题转化为勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：设旗杆的高度为， 如图，    ， ， ， ， 解得：， ， 旗杆的高度为， 故答案：． 4．（21-22八年级上·河南信阳·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度为21.6米 (2)他应该往回收线8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米)， 答：风筝的高度为21.6米； （2）解：由题意得，米， 米， （米)， （米)， 他应该往回收线8米． 5．（23-24八年级上·河南商丘·期末）在一棵树的米高的处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树米的池塘的处．另一只爬到树顶后直接跃到处．距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米？    【答案】这棵树高米． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，由题意知，，，设，则，，再由勾股定理即可求解，理解题意，构造直角三角形是解题关键． 【详解】由题意知，，， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 答：这棵树高米． 6．（23-24八年级上·河南信阳·期末）风筝是由中国古代劳动人民发明于春秋时期，至今已有2000多年的历史，北宋张择端的《清明上河图》，苏汉臣的《百子图》里都有放风筝的生动景象．某校八年级五班的实践探究小组的同学学习了“勾股定理”之后，在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度CE（如图，线段AE表示水平地面），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②已经放出的风筝线的长为39米（其中风筝本身的长宽忽略不计）；③牵线放风筝的小辉同学的身高为1.7米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果实践探究小组的同学想让风筝沿方向下降到距地面21.7米，则小辉同学应该往回收线多少米？ 【答案】(1)37.7米 (2)14米 【分析】此题考查了勾股定理的应用， （1）根据勾股定理求出，进而求解即可； （2）首先求出，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】（1）由题意，得，，． 在中，由勾股定理，得． （米）． 答：风筝的高度为37.7米． （2）如图，由题意，得． ． 在中，由勾股定理，得 ． （米）． 答：小辉同学应该往回收线14米． 7．（23-24八年级上·河南周口·期末）如图是人们喜爱的秋千，已知秋千静止的时候，踏板离地高为，将它往前推进到（即的长为，且），此时踏板离地的高为．求秋千绳索的长度． 【答案】秋千绳索的长度为米 【分析】本题考查了勾股定理的运用，由题意易得，设，在中，由勾股定理建立方程，即可作答．理解题意，利用勾股定理建立方程是解决问题的关键． 【详解】解：∵踏板A离地高为，为， ∴， ∵的长为， 设，， ∴在中，，即 解得， 故秋千绳索的长度为米． 题型二 勾股定理求大树折断前的高度 8．（21-22八年级上·河南安阳·期末）如图，一棵树（树干与地面垂直）高米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为米，则这棵树断裂处点B离地面的高度的值为（       ）    A．2.4米 B．2.6米 C．0.6米 D．1米 【答案】D 【分析】设这棵树断裂处点B离地面的高度的值为，则，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设这棵树断裂处点B离地面的高度的值为x，则、， ∵是直角三角形， ∴，即，解得：，即． 故选：D． 9．（21-22八年级上·河南南阳·期末）如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是（    ）    A．20米 B．18米 C．16米 D．15米 【答案】B 【分析】利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设大树在折断之前的高是， 由勾股定理得：， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴大树在折断之前的高是； 故选B． 10．（21-22八年级上·河南信阳·期末）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程． 【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺 ∴图中直角三角形的斜边长尺 根据勾股定理建立方程得： 故选：D． 11．（21-22八年级上·河南濮阳·期末）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，则折断处离地面的高度是（  ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】根据题意可设折断处离地面的高度OA是x尺，折断处离竹梢AB是（10－x）尺，结合勾股定理即可得出折断处离地面的高度． 【详解】解：设折断处离地面的高度OA是x尺，则折断处离竹梢AB是（10－x）尺， 由勾股定理可得： 即：， 解得：x＝3.2 故折断处离地面的高度OA是3.2尺． 故答案选：D． 12．（20-21八年级上·河南南阳·期末）《九章算术》奠定了中国传统数学的基本框架，是中国古代最重要的数学著作之一．其中第九卷《勾股》章节中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”．意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子底部3尺远，问原处还有多高的竹子？（备注：1丈尺）这个问题的答案是（　　　） A．4尺 B．4.5尺 C．4.55尺 D．5尺 【答案】C 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设原处还有x尺的竹子，则斜边为（10−x）尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10−x）尺， 根据勾股定理得：x2＋32＝（10−x）2， 解得：x＝4.55 故选C． 13．（16-17八年级上·河南周口·期末）一根旗杆在离地面3米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部4米处，旗杆折断之前的高度是（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 【答案】C 【分析】如图，由题意，AC⊥BC，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB，求出AB即可解决问题． 【详解】解：如图，由题意，AC⊥BC，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB． 在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3米，BC=4米， ∴（米）， ∴旗杆折断之前的高度高度=AC+AB=3+5=8（米）， 故选：C． 14．（21-22八年级上·河南开封·期末）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，树干顶部在离根部12米处，则这棵大树的高度为（   ）．    A．13 B．17 C．18 D．25 【答案】C 【分析】由直角三角形三边关系，利用勾股定理解题即可． 【详解】    由题意可知：AC=5米，BC=12米， 在RtABC中，由勾股定理得：， 解得AB=13， 这棵大树的高度为：5+13=18米． 故选C． 15．（21-22八年级上·河南焦作·期末）如图，一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度． 【详解】解：一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处， 折断部分长为， 折断之前的高度为（米）， 故答案为：8． 16．（21-22八年级上·河南开封·期末）如图，一根竹子原高10尺，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面的高为x尺，则可列方程为 ．（不用化简） 【答案】 【分析】根据题意结合勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设折断处离地面x尺， 根据题意可得：， 故答案为：． 题型三 勾股定理求解决航海问题 17．（23-24八年级上·河南开封·期末）如图所示，一轮船以3海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以4海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（   ） A．25海里 B．10海里 C．35海里 D．40海里 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程速度时间，得两条船分别走了6海里，8海里．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：如图，设轮船向东北方向航行到B，向东南方向航行到C， 由题意得，海里，海里，， ∴海里， ∴离开港口2小时后，则两船相距10海里， 故选：B． 18．（23-24八年级上·河南开封·期末）一艘小船上午7点从某港口出发，它以海里/时的速度向北航行，1小时后另一艘小船也从该港口出发，以海里/时的速度向西航行，9点时两艘小船相距 海里． 【答案】 【分析】本题考查了方向角，勾股定理的应用．熟练掌握方向角，勾股定理的应用是解题的关键． 如图，为9点时两艘小船的距离，由题意知，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，为9点时两艘小船的距离， 由题意知，， 由勾股定理得，， 故答案为：． 19．（21-22八年级上·河南信阳·期末）如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是 nmile． 【答案】25 【分析】先根据题意可知是直角三角形，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】根据题意可知， ∴． 在中，，， ∴（nmile）． 故答案为：25． 20．（21-22八年级上·河南安阳·期末）一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的最短距离是． (1)若轮船速度为小时，求轮船从岛沿返回港所需的时间． (2)岛在港的什么方向？ 【答案】(1)从岛返回港所需的时间为3小时 (2)岛在港的北偏西 【分析】本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，是基础知识比较简单． （1）中，利用勾股定理求得的长度，则；然后在中，利用勾股定理来求的长度，则时间间路程速度； （2）由勾股定理的逆定理推知．由方向角的定义作答． 【详解】（1）由题意， 中，，得． ． ． ． （小时）． 答：从岛返回港所需的时间为3小时． （2）， ． ． ． 岛在港的北偏西． 21．（21-22八年级上·河南新密·期末）如图，甲乙两船同时从A港出发，甲船沿北偏东35°的方向，以每小时12海里的速度向B岛驶去．乙船沿南偏东55°的方向向C岛驶去，2小时后，两船同时到达了目的地．若C、B两岛的距离为30海里，问乙船的航速是多少？ 【答案】乙船的航速是9海里/时． 【分析】设乙船的航速是x海里/时，先由甲船的速度和航行时间求得，再由平角计算角度差求得，再由和的长度便可由勾股定理求得，再解方程即可； 【详解】解：设乙船的航速是x海里/时， 由甲船的速度和航行时间可得海里， 由乙船的速度和航行时间可得海里， ∵， ∴是直角三角形， 由勾股定理可得， ∴， ∴， 故乙船的航速是9海里/时； 22．（23-24八年级上·河南开封·期末）轮船A以16海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，轮船B在同时同地以12海里/时的速度向西北方向航行．试求两船离开港口O一个半小时后的距离． 【答案】海里 【分析】先根据题意画出示意图，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，由题意得，（海里），（海里）， ∴由勾股定理得：（海里）， ∴两船离开港口O一个半小时后的距离为海里． 23．（22-23八年级上·河南南阳·期末）轮船同时从港口出发，若轮船以8海里/时的速度向西南方向航行，轮船以10海里/时的速度向东南方向航行，求两船离开港口一个半小时后的距离（结果保留根号）． 【答案】海里 【分析】根据题意，得到海里，海里，且，利用勾股定理得到海里，即可求解该题． 【详解】解：轮船同时从港口出发，轮船以8海里/时的速度向西南方向航行，轮船以10海里/时的速度向东南方向航行，两船离开港口航行一个半小时， 海里，海里，， 在中，海里， 答：两船离开港口一个半小时后的距离海里． 题型四 勾股定理求台阶上地毯长度 24．（20-21八年级上·河南郑州·期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（    ） A．6 B．8 C．9 D．15 【答案】D 【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：如图，将台阶展开， 因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9， 所以AB2＝AC2＋BC2＝225， 所以AB＝15， 所以蚂蚁爬行的最短线路为15． 故选：D． 25．（19-20八年级上·河南南阳·期末）如图，长方体的长为，宽为，高为，点到点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解: 将长方体展开，连接A、B， 根据两点之间线段最短，BD＝1＋2＝3，AD＝4， 由勾股定理得：AB＝＝＝5． 故选B． 26．（19-20八年级上·河南新乡·期末）某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要 元． 【答案】420 【详解】解：已知直角三角形的一条直角边是3m，斜边是5m，根据勾股定理得到：水平的直角边是4m，地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长，则购买这种地毯的长是3m+4m=7m，则面积是14m2，价格是14×30=420元．故答案为420． 27．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是 米． 【答案】2.5 【详解】试题解析：将台阶展开，如图， 三级台阶平面展开图为长方形，长即为2米，宽即 为(0.2+0.3)×3米，即1.5米， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长即的斜边的长， 在中，米，米， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是2.5米． 28．（19-20八年级上·河南濮阳·期末）如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道上铺地毯，已知地毯平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？    【答案】612元 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积． 【详解】解：如图，    由题意得，， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为， 所以铺完这个楼道至少需要元． 题型五 勾股定理判断汽车是否超数 29．（19-20八年级上·河南濮阳·期末）为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路的一侧有一报亭A，报亭A到公路的距离为600米，且宣讲车P周围1 000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿方向行驶．    (1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由； (2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？ 【答案】(1)报亭的人能听到广播宣传，理由见解析 (2)报亭的人总共能听到8分钟的广播宣传 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，垂线段最短： （1）根据垂线段最短，结合600米米即可得到结论； （2）如图，假设当宣讲车P行驶到点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P行驶过点时，报亭的人开始听不到广播宣传，连接．利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据时间等于路程除以速度即可得到答案． 【详解】（1）解：报亭的人能听到广播宣传，理由如下： ∵600米米， ∴报亭的人能听到广播宣传． （2）解：如图，假设当宣讲车P行驶到点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P行驶过点时，报亭的人开始听不到广播宣传，连接． 由题意得，米，米，，    由勾股定理得米，米， ∴米． ∵ (分)， ∴报亭的人总共能听到8分钟的广播宣传． 30．（22-23八年级上·河南开封·期末）某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条高速公路上沿直线行驶，某时刻刚好行驶到路对面处车速检测仪的正前方的处，如图，过了大巴车到达处，此时测得大巴车与处车速检测仪的距离为． (1)求的长； (2)通过计算说明大巴车是否超速？ 【答案】(1)； (2)超速了． 【分析】（）利用勾股定理即可求解； （）求出大巴车的速度即可判断求解； 本题考查了勾股定理的实际应用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，，，， ∴， ∴的长为； （2）解：， ∵， ∴大巴车超速了． 31．（22-23八年级上·河南濮阳·期末）某路段限速70千米/时．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30米处的点C，过2秒后，测得小汽车（点B）与车速检测仪间的距离为50米．这辆小汽车超速了吗？ 【答案】这辆小汽车超速了 【分析】直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了． 【详解】解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m， 由勾股定理可得：BC＝＝40（m）， ∴小汽车的速度为v＝40÷2＝20（m/s）＝72（km/h）， ∵72（km/h）＞70（km/h）， ∴这辆小汽车超速了 32．（21-22八年级上·河南濮阳·期末）某地规定小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过72千米/时．若一辆“小汽车”在城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C处，过了5秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由． 【答案】超速了，理由见解析 【分析】根据题意得到AC和AB的长，用勾股定理求出BC的长，算出小汽车的速度，看是否超速． 【详解】解：根据题意，，， 由勾股定理，， 小汽车的速度是， ，超速了． 33．（19-20八年级上·河南洛阳·期末）为整治城市街道的汽车超速现象，交警大队在某街道旁进行了流动测速.如图，一辆小汽车在某城市街道上直行，某一时刻刚好行驶到离车速检测仪的处，过了后，小汽车到达离车速检测仪的处，已知该段城市街道的限速为，请问这辆小汽车是否超速？    【答案】超速 【分析】根据勾股定理求出BC的长，再求出汽车的速度即可求解. 【详解】解：超速． 理由如下： 在中，，， 由勾股定理可得， ∴汽车速度为， ∵， ∴这辆小汽车超速了． 34．（18-19八年级上·河南安阳·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在高速公路上的行驶速度不得超过120千米/小时，不得低于60千米/小时，如图，一辆小汽车在高速公路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到“车速检测点”正前方60米处，过了3秒后，测得小汽车位置与“车速检测点”之间的距离为100米，这辆小汽车是按规定行驶吗？ 【答案】这辆小汽车是按“中华人民共和国道路交通管理条例”规定行驶．̈ 【分析】根据勾股定理求出BC，求出速度，再比较即可． 【详解】解：由勾股定理得，（米）， （米/秒）， ∵米/秒千米/时，而， ∴这辆小汽车是按“中华人民共和国道路交通管理条例”规定行驶．̈ 题型六 勾股定理求最短路径 35．（22-23八年级上·河南新乡·期末）有一个圆柱体礼盒，高，底面周长为．现准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰，若彩带一端粘在A处，另一端绕礼盒侧面2周后粘贴在C处（B为的中点），则彩带最短为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆柱展开后，可得绕礼盒侧面2周后彩带最短为； 【详解】展开后图形是：    因为底面周长为，高，故， 故绕礼盒侧面2周后彩带最短为， 故答案为：D． 36．（22-23八年级上·河南焦作·期末）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查两点之间线段最短，勾股定理，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图： 长方体的宽为10，高为20，点离点的距离是5， ， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ； ， 蚂蚁爬行的最短距离是25， 故答案为：25． 37．（23-24八年级上·河南商丘·期末）如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是 ． 【答案】15 【分析】本题考查圆柱的展开图、最短路径问题、勾股定理，理解题意，灵活运用两点之间线段最短解决最短路径问题是解答的关键．先将圆柱侧面展开得到长为，宽是的长方形，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开得到长为，宽是的长方形，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最小长度是的长度， 由勾股定理得，解得， 则这条丝线的最小长度是， 故答案为：15． 38．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线．分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段的长度，再进行比较即可． 【详解】解：设定字母如图所示： ①如图1，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ②如图2，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ③如图3，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：． ∵ ∴蚂蚁爬行的最短路程是． 故答案为：． 39．（23-24八年级上·河南平顶山·期末）如图，点是正方体的一个顶点，点是正方体一条棱的中点，已知正方体的棱长为．一只蚂蚁如果要沿着正方体表面从点爬到点，需要爬行的最短距离为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了几何体展开图的最短路径问题、勾股定理的应用等知识点，正确画出展开图是解题的关键． 先根据题意画出最短路径的展开图，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意画出最短路径的展开图如图所示：    由题意可知：， ∴需要爬行的最短距离． 故答案为：． 40．（22-23八年级上·河南安阳·期末）如图，圆柱体的底面圆周长为16，高为6，是上底面的直径．一只蚂蚁从圆柱的表面点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则爬行的最短路程为 cm．    【答案】10 【分析】先把圆柱体沿剪开，则的长为圆柱体的底面圆周长的一半，在中，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】 圆柱体的侧面展开图如图所示，    ∵底面圆周长为16， ∴ 又∵高为6， ∴在中，． 故答案为：． 41．（22-23八年级上·河南太康·期末）如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝20m，宽AD＝10m．中间竖有一堵砖墙高MN＝2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 的路程． 【答案】26m 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可． 【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加2MN， 原图长度增加4米，则AB=20+4=24(m)， 连接AC， ∵四边形ABCD是长方形，AB=24m，宽AD=10m， ∴AC==26(m)， ∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走26m的路程． 故答案为：26m． 42．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图，在长方体，，，，一只蚂蚁在这个长方体的表面上从A点爬行到点，求它走的最短路径是多少？    【答案】 【分析】本题考查了平面展开—最短路线问题和勾股定理的应用，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意：要分类讨论．连接，求出的长即可，分为三种情况：画出图形，根据勾股定理求出每种情况时长，再找出最短的即可． 【详解】解：若小虫在正面和上面上沿直线从点A爬到点处，在侧面展开图上，    则在中，，，， 由勾股定理知：， 若小虫在正面和侧面上沿直线从点A爬到点处，在侧面展开图上，    则在中，，，， 由勾股定理知：， 如图    同法可得：， ∵， ∴小虫走的最短路径是在正面和上面上沿直线从点A爬到点处，长度为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$