专题02 利用勾股定理求线段长（5大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题02 利用勾股定理求线段长 题型一 利用勾股定理解直角三角形 1．（22-23八年级下·河南焦作·期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和11，则c的面积为（   ） A．6 B．5 C．11 D．16 2．（23-24八年级下·河南许昌·期末）如图，，，是边上的中线，则的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，，，，，则的长等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，，为上一点，且，，，，则（    ） A．3 B． C．4 D． 5．（23-24八年级上·河南南阳·期末）已知一个直角三角形的两边长分别为、，则这个三角形的第三边长为（    ） A．13cm B．17cm C． D．13cm或 6．（23-24八年级上·河南信阳·期末）已知在中，，，，则的长为（    ） A． B．3 C．5或 D．5 7．（23-24八年级上·河南许昌·期末）在中，，，则的度数为 ． 8．（20-21八年级上·河南开封·期末）《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺）将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 9．（23-24八年级上·河南周口·期末）为推进乡村振兴，某地大力修建崭新的公路．如图，现从地分别向三地修了三条笔直的公路 和，地、地、地在同一笔直公路上，公路 和公路互相垂直，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且公路和公路互相垂直，已知 千米，千米，千米． (1)求公路 的长度； (2)若修公路 每千米的费用是万元，请求出修建公路的费用． 题型二 已知两点坐标求两点距离 10．（22-23八年级上·河南三门峡·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．1 B． C．3 D． 11．（22-23八年级上·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，则线段的长度为（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 12．（20-21八年级上·河南周口·期末）在平面直角坐标系中，点P（x，4）到原点O的距离等于5，则x的值是（　　） A．±3 B． C．﹣3 D．3 13．（20-21八年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中有一个点A（﹣4，3），则点A到坐标原点O的距离是（　　） A．﹣5 B．5 C． D． 14．（22-23八年级上·河南许昌·期末）如图，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴于点，再过点作x轴的垂线交直线于点，以点A为圆心，长为半径画弧交x轴于点，，按此做法进行下去，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 15．（18-19八年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是 ． 16．（21-22八年级上·河南安阳·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为 ． 17．（20-21八年级上·河南安阳·期末）在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，5)，点A，B之间的距离是 ． 18．（20-21八年级上·河南濮阳·期末）如图P(3,4)是直角坐标系中一点，则P到原点的距离是 ． 题型三 勾股定理与网格问题 19．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交网格线于点D，则的长为（　　） A． B． C．3 D．无法确定 20．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图，左边为参加年国庆周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与全等的三角形是（    ） A． B． C． D． 21．（20-21八年级上·河南南阳·期末）如图，在的正方形网格中，以格点为顶点的面积为3如图，则点A到边的距离为（　　） A． B．3 C．4 D．3 22．（20-21八年级上·河南信阳·期末）如图1，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是（    ） A． B． C． D． 23．（20-21八年级上·河南信阳·期末）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ． 24．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图，在的网格中，每个格点小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在网格点的位置上，则的边上的高为 ．    25．（20-21八年级上·河南濮阳·期末）如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为 ．    26．（22-23八年级上·河南南阳·期末）解答 (1)已知三边长分别为,,,小迪在解决这一问题时有以下思路：先画如图①的正方形网格（小正方形边长均为1），再画出格点三角形利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出的面积，请帮助小迪计算出的面积； (2)若三边长分别为，，在图②的正方形网格（小正方形边长均为）中，画出格点三角形，并求出的面积为 ．    27．（22-23八年级上·河南南阳·期末）（1）已知△ABC三边长分别为，小迪在解决这一问题时有以下思路：先画如图①的正方形网格（小正方形边长均为1），再画出格点三角形利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出的面积．请你帮助小迪计算出的面积； （2）若三边长分别为在图②的正方形网格（小正方形边长均为 ）中，画出格点三角形，并求出的面积为___________． 题型四 勾股定理与折叠问题 28．（22-23八年级上·河南新密·期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A． B． C． D． 29．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 30．（22-23八年级上·河南南阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A． B． C． D． 31．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图所示，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 32．（11-12八年级上·河南郑州·期末）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（　　） A．6 B．7 C．10 D．12 33．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ． 34．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，中，，，点D为线段上一个动点，将沿直线翻折得到，线段交直线于点F．若为直角三角形，则的长是 ． 35．（23-24八年级上·河南新密·期末）如图，在中，，于点D．为线段上一点，连接，将边沿折叠，使点的对称点落在的延长线上．若，，则的面积为 ．    36．（23-24八年级上·河南郑州·期末）学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸片，进行如下操作： 操作一：在中，，，，如图①，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，请求出的长； 操作二：如图②，在长方形中，，，在边上取一点P，将沿直线折叠，点C恰好与边上的点E重合，求的长． 37．（22-23八年级上·河南南阳·期末）如图，长方形中，点E在边上，将长方形沿直线折叠，点A恰好落在边上的点F处，若，，求的长    题型五 利用勾股定理证明线段平方关系 38．（21-22八年级上·河南郑州·期末）如图，四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作正方形，面积分别为，若，则（    ） A．184 B．86 C．119 D．81 39．（17-18八年级上·河南安阳·期末）在中，，，、、的对边分别是、、，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 40．（21-22八年级上·河南郑州·期末）下列说法中正确的是（    ） A．已知，，是三角形的三边长，则 B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C．在中，若，则 D．在中，若，则 41．（22-23八年级上·河南漯河·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是 ．    42．（21-22八年级上·河南濮阳·期末）已知：在中，，点D在直线上，连接，在的右侧作． (1)如图1， ①点D在边上，线段和线段数量关系是___________，位置关系是___________； ②直接写出线段之间的数量关系___________； (2)如图2，点D在B右侧．之间的数量关系还成立吗？说明理由； (3)在（2）的条件下，若．求出的长． 43．（21-22八年级上·河南平顶山·期末）已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点． 求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 利用勾股定理求线段长 题型一 利用勾股定理解直角三角形 1．（22-23八年级下·河南焦作·期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和11，则c的面积为（   ） A．6 B．5 C．11 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．如图，证明得然后利用勾股定理来求解即可． 【详解】解：由于都是正方形，所以 ∵ 即 在和中， ∴， ∴ 在中， 由勾股定理得：， 即， 故选A． 2．（23-24八年级下·河南许昌·期末）如图，，，是边上的中线，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出，则，再根据三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：， ， 是边上的中线， ， 的面积， 故选：A． 3．（23-24八年级下·河南平顶山·期末）如图，，，，，则的长等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出，熟练掌握勾股定理的计算是解题的关键 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， 故选：D 4．（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，，为上一点，且，，，，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，平行线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 过作交于，，可得，，进而，根据勾股定理可得的长． 【详解】解：过作交于，    ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 故选B． 5．（23-24八年级上·河南南阳·期末）已知一个直角三角形的两边长分别为、，则这个三角形的第三边长为（    ） A．13cm B．17cm C． D．13cm或 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，分为直角边和斜边两种情况进行求解即可． 【详解】解：当为直角边时，第三边长为； 当为斜边时，第三边长为； 故选D． 6．（23-24八年级上·河南信阳·期末）已知在中，，，，则的长为（    ） A． B．3 C．5或 D．5 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理求线段长，根据题意，作出图形，数形结合，由勾股定理列式求解即可得到答案，熟记勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，作出图形，如图所示： 在中，，，，则由勾股定理可得， 故选：D． 7．（23-24八年级上·河南许昌·期末）在中，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理的运用是解题的关键．根据题意可知，，在根据题意进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（20-21八年级上·河南开封·期末）《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺）将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 【答案】秋千绳索的长度为尺． 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，设尺，表示出的长，在中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可，学会利用参数构建方程，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设尺， 由题意得四边形是长方形，尺，， ∵尺， ∴（尺）， ∴（尺）， 在中，由勾股定理得， ∴，解得：， 答：秋千绳索的长度为尺． 9．（23-24八年级上·河南周口·期末）为推进乡村振兴，某地大力修建崭新的公路．如图，现从地分别向三地修了三条笔直的公路 和，地、地、地在同一笔直公路上，公路 和公路互相垂直，又从地修了一条笔直的公路与公路在处连接，且公路和公路互相垂直，已知 千米，千米，千米． (1)求公路 的长度； (2)若修公路 每千米的费用是万元，请求出修建公路的费用． 【答案】(1)千米，千米； (2)修建公路的费用为万元． 【分析】（）利用勾股定理即可求解； （）利用三角形的等面积方法即可求解； 本题考查了勾股定理，三角形的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴由勾股定理得：（千米）， ∴（千米）， 在中，由勾股定理得：（千米）； （2）解：∵， ∴， ∴（千米）， ∴修建公路的费用为（万元）， 答：修建公路的费用为万元． 题型二 已知两点坐标求两点距离 10．（22-23八年级上·河南三门峡·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据平面直角坐标系中，两点间的距离公式，即可求解． 【详解】∵，原点坐标为， ∴点到原点的距离， 故选B． 11．（22-23八年级上·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，则线段的长度为（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据勾股定理即可求得两点之间的距离． 【详解】解：已知点，点， 则线段的长度为， 故选：A． 12．（20-21八年级上·河南周口·期末）在平面直角坐标系中，点P（x，4）到原点O的距离等于5，则x的值是（　　） A．±3 B． C．﹣3 D．3 【答案】A 【分析】由勾股定理得出x2+42＝52，即可求解． 【详解】解：∵点P（x，4）到原点O的距离等于5， ∴x2+42＝52， 解得：x＝±3， 故选：A． 13．（20-21八年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中有一个点A（﹣4，3），则点A到坐标原点O的距离是（　　） A．﹣5 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据两点间的距离公式，即可得到结论． 【详解】解：∵点A（﹣4，3）， ∴点A到坐标原点O的距离＝， 故选：B． 14．（22-23八年级上·河南许昌·期末）如图，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴于点，再过点作x轴的垂线交直线于点，以点A为圆心，长为半径画弧交x轴于点，，按此做法进行下去，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用勾股定理求出，，的长，得到各点坐标，找到规律即可解答． 【详解】解：当时，； 当时，； 可得，， ； ； ； ，，； 即，，； 可得，． 故选A． 15．（18-19八年级上·河南许昌·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查求两点之间的距离，利用勾股定理直接计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，点到原点的距离为， 故答案为：13． 16．（21-22八年级上·河南安阳·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为 ． 【答案】10 【分析】利用两点间的距离公式进行求解即可． 【详解】解：点到原点的距离为：， 故答案为：10． 17．（20-21八年级上·河南安阳·期末）在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，5)，点A，B之间的距离是 ． 【答案】 【分析】直接由两点间的距离公式，即可求解． 【详解】解：∵A(4，0)，B(0，5)， ∴点A，B之间的距离是 ． 故答案为： ． 18．（20-21八年级上·河南濮阳·期末）如图P(3,4)是直角坐标系中一点，则P到原点的距离是 ． 【答案】5 【分析】根据勾股定理，可得答案． 【详解】解： PO==5， 故填5. 题型三 勾股定理与网格问题 19．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，以A为圆心，为半径画弧，交网格线于点D，则的长为（　　） A． B． C．3 D．无法确定 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理，连接，从而根据勾股定理计算是解题的关键． 【详解】解：连接， 则, ∴， 故选A． 20．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图，左边为参加年国庆周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与全等的三角形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，勾股定理，由勾股定理分别求出每个三角形的边长，再根据全等三角形的判定方法逐一判断即可求解，掌握勾股定理和全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理可得，，，， 、在中，，，，与三边不对应相等，故和不会全等，该选项不合题意； 、在中，，，，与三边不对应相等，故和不会全等，该选项不合题意； 、在中，，，，与三边对应相等，故和会全等，该选项符合题意； 、在中，，，，与三边不对应相等，故和不会全等，该选项不合题意； 故选：． 21．（20-21八年级上·河南南阳·期末）如图，在的正方形网格中，以格点为顶点的面积为3如图，则点A到边的距离为（　　） A． B．3 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据勾股定理计算出的长，再根据三角形的面积为3，即可求出点A到边的距离． 【详解】解：∵，， 又， ∴点A到边的距离h为， 故选B． 22．（20-21八年级上·河南信阳·期末）如图1，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出三角形ABC的面积，再根据三角形的面积公式即可求得AC边上的高． 【详解】解：四边形DEFA是正方形，面积是4； △ABF，△ACD的面积相等，且都是1×2＝1． △BCE的面积是：1×1． 则△ABC的面积是：4﹣1﹣1． 在直角△ADC中根据勾股定理得到：AC． 设AC边上的高线长是x．则AC•xx， 解得：x． 故选：C． 23．（20-21八年级上·河南信阳·期末）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了勾股定理，分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数． 【详解】解：连接， 根据勾股定理可以得到：，， ∵，即， ∴是等腰直角三角形． ∴． 故答案为：． 24．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图，在的网格中，每个格点小正方形的边长均为1，的三个顶点A，B，C都在网格点的位置上，则的边上的高为 ．    【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．先根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：由图可知，， 设的边上的高为，则． 故答案为：． 25．（20-21八年级上·河南濮阳·期末）如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为 ．    【答案】3 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据题意求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由图形可知，，边上的高为3， 的面积， 由勾股定理得，， 则， 解得，， 故答案为：3 26．（22-23八年级上·河南南阳·期末）解答 (1)已知三边长分别为,,,小迪在解决这一问题时有以下思路：先画如图①的正方形网格（小正方形边长均为1），再画出格点三角形利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出的面积，请帮助小迪计算出的面积； (2)若三边长分别为，，在图②的正方形网格（小正方形边长均为）中，画出格点三角形，并求出的面积为 ．    【答案】(1)见解析， (2)见解析， 【分析】（1）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （2）构造网格图，利用分割法求解即可． 【详解】（1）解：，，， 如图所示：    ； （2），，， 如图，即为所求．    ． 故答案为：． 27．（22-23八年级上·河南南阳·期末）（1）已知△ABC三边长分别为，小迪在解决这一问题时有以下思路：先画如图①的正方形网格（小正方形边长均为1），再画出格点三角形利用外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出的面积．请你帮助小迪计算出的面积； （2）若三边长分别为在图②的正方形网格（小正方形边长均为 ）中，画出格点三角形，并求出的面积为___________． 【答案】（1）5；（2）见解析， 【分析】（1）用的外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出的面积； （2）用的外接长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出的面积； 【详解】解：（1）的面积为． （2）如图②，即为所求． 根据题意得：， 的面积为． 故答案为：． 题型四 勾股定理与折叠问题 28．（22-23八年级上·河南新密·期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴，， 设，则：， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选C． 29．（23-24八年级上·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设，再根据图形翻折变换的性质得出，再根据勾股定理求出的值． 【详解】解：设，则， 是翻折而成， ， 在中，， 即， 解得． 故选：C． 30．（22-23八年级上·河南南阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，勾股定理．设，则，根据题意可证得，可得．在中，根据勾股定理可得到关于x的方程，求解即可得到答案． 【详解】解：设，则． 根据图形折叠的性质得：． ∵四边形为长方形， ∴． ∴． 在和中 ∵， ∴． ∴． 在中， 即． 解得：． ∴． 故选：A． 31．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）如图所示，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理和折叠的性质，根据勾股定理求出，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 32．（11-12八年级上·河南郑州·期末）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（　　） A．6 B．7 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，问题随之得解． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 33．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题； 先利用勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，求出，然后在中，利用勾股定理构建方程，即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠得：，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：3． 34．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，中，，，点D为线段上一个动点，将沿直线翻折得到，线段交直线于点F．若为直角三角形，则的长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； ∵折叠， ∴， 当为直角三角形时，分两种情况， ①当时，过点作，交的延长线于点， 则四边形为长方形， ∴， 设，则：， ∴， 在中，， ∴， 解得：（舍去）或； ∴； ②当时，此时点与点重合，如图： ∴， 设，则：， 由勾股定理，得：， 解得：； ∴， 综上：或； 故答案为：或． 35．（23-24八年级上·河南新密·期末）如图，在中，，于点D．为线段上一点，连接，将边沿折叠，使点的对称点落在的延长线上．若，，则的面积为 ．    【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形面积的计算，由勾股定理求得的长，由面积关系可求得的长，再由勾股定理可求得的长；由折叠的性质可得，，由此面积关系可求得与的关系，从而可求得的长，进而可求得结果． 【详解】解：，，， ， ， ，即， ， ， 由折叠的性质可得，， ，即， ， ， ， ， 故答案为：． 36．（23-24八年级上·河南郑州·期末）学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸片，进行如下操作： 操作一：在中，，，，如图①，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，请求出的长； 操作二：如图②，在长方形中，，，在边上取一点P，将沿直线折叠，点C恰好与边上的点E重合，求的长． 【答案】操作一∶；操作二：的长为． 【分析】本题考查直角三角形，矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理列方程． (1)求出，，设，可得∶ ，即可解得答案∶ (2)求出，设，可得，即可解得的长． 【详解】操作一：在中，，，， ， 由翻折可得，，， ， 设，则，， 在中，，由勾股定理得：， 解得： ， ∴； 操作二：在长方形中，，， 根据折叠的性质得，， 在中，， 根据勾股定理可得，， ， 设，则， 在中，， ， 解得， 的长为． 37．（22-23八年级上·河南南阳·期末）如图，长方形中，点E在边上，将长方形沿直线折叠，点A恰好落在边上的点F处，若，，求的长    【答案】9 【分析】由折叠的性质可知，再结合勾股定理即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知． ∵四边形为长方形， ∴，， ∴， ∴． 即的长为9． 题型五 利用勾股定理证明线段平方关系 38．（21-22八年级上·河南郑州·期末）如图，四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作正方形，面积分别为，若，则（    ） A．184 B．86 C．119 D．81 【答案】B 【分析】连接BD，根据勾股定理可得，，即，即可求解． 【详解】解：连接BD， 根据勾股定理可得，， 即， ∴， 故选：B． 39．（17-18八年级上·河南安阳·期末）在中，，，、、的对边分别是、、，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的性质得到c＝2a，根据勾股定理计算，判断即可． 【详解】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴c＝2a，A正确，不符合题意； 由勾股定理得，a2＋b2＝c2，B正确，不符合题意； b＝＝a，即a：b＝1：，C正确，不符合题意； ∴b2＝3a2，D错误，符合题意， 故选：D． 40．（21-22八年级上·河南郑州·期末）下列说法中正确的是（    ） A．已知，，是三角形的三边长，则 B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C．在中，若，则 D．在中，若，则 【答案】C 【分析】如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．依此即可作出选择． 【详解】A、已知a、b、c是三角形的三边，无法确定a2+b2=c2，故选项错误； B、在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，故选项错误； C、在Rt△ABC中，∠C=90°，所以AC2+BC2=AB2，故选项正确； D、在Rt△ABC中，∠B=90°，所以AB2+BC2=AC2，故选项错误． 故选C． 41．（22-23八年级上·河南漯河·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是 ．    【答案】64 【分析】由勾股定理，得，于是，代入求解即可. 【详解】解：连接， 由题意得：，，，， ∵， ∴. ∴. ∴.    故答案为：64． 42．（21-22八年级上·河南濮阳·期末）已知：在中，，点D在直线上，连接，在的右侧作． (1)如图1， ①点D在边上，线段和线段数量关系是___________，位置关系是___________； ②直接写出线段之间的数量关系___________； (2)如图2，点D在B右侧．之间的数量关系还成立吗？说明理由； (3)在（2）的条件下，若．求出的长． 【答案】(1)①BE＝AD，BE⊥AD；②AD2+BD2＝DE2 (2)AD2+BD2＝DE2，理由见解析 (3) 【分析】（1）①根据已知条件，证明即可求解；②在，根据勾股定理，结合即可求解； （2）连接BE，根据（1）的方法证明即可求解； （3）根据题意勾股定理求得，进而可得，在Rt△BDE中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD， 即∠ACD＝∠BCE， ∵AC＝BC，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°， ∵∠A+∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°， ∴∠DBE＝90°， 在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+BD2＝DE2， ∴AD2+BD2＝DE2， 故答案为：①BE＝AD，BE⊥AD；②AD2+BD2＝DE2； （2）（1）的结论仍成立，理由如下， 如图2，连接BE， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD， 即∠ACD＝∠BCE， ∵AC＝BC，CD＝CE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠A＝∠CBE＝45°， ∵∠A+∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°， ∴∠DBE＝90°， 在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+BD2＝DE2， ∴AD2+BD2＝DE2， （3）∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4， ∴， ∴， ∴， 在Rt△BDE中，由勾股定理得： ∴DE＝＝＝． 43．（21-22八年级上·河南平顶山·期末）已知：如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，，D为AB边上一点． 求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）由题意知DC=EA，AC=BC，∠ACB=∠ECD，∠ACD是公共角，可知∠BCD=∠ACE，根据SAS得出△ACE≌△BCD． （2）由（1）的论证结果得出∠DAE=90°，从而求出AD2+AE2=DE2． 【详解】（1）证明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形， ∴CE=CD，AC=CB， ∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD， ∴∠ACE=∠DCB， 在△ACE和△BCD中 ∴△ACE≌△BCD（SAS）． （2）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠B=∠BAC=45°， ∵△ACE≌△BCD， ∴∠B=∠CAE=45°， ∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°， ∴在Rt△AED中，由勾股定理得：AD2+AE2=DE2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$