专题01 利用勾股定理判定直角三角形（4大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（河南专用）

专题01 利用勾股定理判定直角三角形 题型一 勾股定理的证明方法 1．（23-24八年级上·河南郑州·期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ） A． B．C． D． 2．（21-22八年级下·河南三门峡·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·河南新乡·期末）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一．下列图形中可以证明勾股定理的有（    ）    A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 4．（22-23八年级上·河南安阳·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为（　　）    A．3 B．4 C． D． 5．（23-24八年级上·河南周口·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．现在勾股定理的证明已经有400多种方法，下面的两个图形就是验证勾股定理的两种方法，在验证著名的勾股定理过程，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．在验证过程中它体现的数学思想是（    ） A．函数思想 B．数形结合思想 C．分类思想 D．方程思想 6．（22-23八年级上·河南周口·期末）图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状．    (1)小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程； (2)当，时，求图2中空白部分的面积． 7．（22-23八年级上·河南驻马店·期末）阅读下列材料，完成任务 我们知道，平方差公式可以用如图所示的平面几何图形的面积来表示，实际上，还有一些代数式恒等式也可以用这种形式表示．    任务： (1)图1是由2个边长分别为，的正方形和2个全等的长方形所拼成的大正方形，根据图中的信息，可以写出所表示的代数恒等式为______； (2)图2所示的图形是由四个直角边长分别为，，斜边长为的全等的直角三角形和一个正方形的拼成的大正方形，请你用面积法推导恒等式的方法，证明勾股定理． (3)在中，，为直角边长，为斜边长，且，，求直角三角形的斜边长． 8．（22-23八年级上·河南新乡·期末）勾股定理的发现可以称为数学史上的里程碑，人们也对它进行了大量的研究，至今已有几百种证法．我们知道，利用图形中有关面积的等量关系可以证明勾股定理．如图，在，，以为斜边作等腰直角三角形，连接，．设，，，请利用下面的图形验证勾股定理． 9．（22-23八年级上·河南驻马店·期末）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个长方形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成一个关的正方形（如图1），这个长方形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式，称为勾股定理． 爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程． 题型二 以弦图为背景的计算题 10．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图是“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 11．（19-20八年级上·河南新乡·期末）如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形的面积是（    ） A．13 B．47 C． D． 12．（21-22八年级上·河南开封·期末）如图是“赵爽弦图”，由个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是（    ） A． B． C． D． 13．（22-23八年级上·河南濮阳·期末）如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，则 ． 14．（23-24八年级上·河南焦作·期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ． 15．（23-24八年级上·河南信阳·期末）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为12，则的长为 ．    16．（22-23八年级上·河南安阳·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为15，则小正方形的面积为 ． 17．（21-22八年级上·河南安阳·期末）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．下图是3世纪我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．此图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则的值是 ． 18．（20-21八年级下·河南濮阳·期末）我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”，如图，若勾AF＝6，弦AD＝10，则小正方形EFGH的面积是 ． 19．（21-22八年级上·河南洛阳·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为5，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ． 题型三 以勾股定理构造图形解决问题 20．（23-24八年级上·河南安阳·期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　）    A． B． C． D． 21．（21-22八年级上·河南平顶山·期末）为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为米的市民正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即米），测温仪自动显示体温（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 22．（22-23八年级下·河南濮阳·期末）我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（尺），将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺，即尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺（尺），求这个秋千的绳索有多长？（    ） A．12尺 B．尺 C．尺 D．尺 23．（23-24八年级上·河南许昌·期末）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺）．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长为x尺，则根据题意可列方程为 ． 24．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则 米． 25．（23-24八年级上·河南郑州·期末）佩奇一家在公园里荡秋千，如图，当秋千静止时，踏板离地面的垂直高度，当佩奇被推送至水平距离处时，秋千踏板离地面的垂直高度，求绳子的长度．    26．（23-24八年级上·河南南阳·期末）小明家有一块四边形地（如图），已知其周长为，其中，，且．请帮小明计算一下这块地的面积． 27．（22-23八年级上·河南焦作·期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，绳子始终绷紧且绳长保持不变． (1)若米，米，米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号） (2)在（1）的基础上，此人以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 28．（22-23八年级上·河南周口·期末）图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状．    (1)小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程； (2)当，时，求图2中空白部分的面积． 29．（22-23八年级下·河南新乡·期末）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 题型四 勾股定理与无理数 30．（22-23八年级上·河南郑州·期末）如图，在数轴上，过表示数2的点作数轴的垂线，以点为圆心，1长为半径画弧，交垂线于点，再以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（    ）    A． B． C． D． 31．（22-23八年级上·河南南阳·期末）如图，数轴于A，，，以O为圆心，以长为半径作圆弧交数轴于点P，则点P表示的数为（    ）        A．2 B． C． D． 32．（23-24八年级上·河南许昌·期末）如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心、正方形对角线的长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（    ） A． B． C． D． 33．（23-24八年级上·河南新密·期末）如图，矩形中，，，点，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（    ）． A． B． C． D． 34．（19-20八年级上·河南郑州·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为1，过点作直线垂直于，在上取点，使，以点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24八年级上·河南林州·期末）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于(   ) A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 36．（23-24八年级上·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（    ） A．－4和－3之间 B．3和4之间 C．－5和－4之间 D．4和5之间 37．（17-18八年级上·河南周口·期末）如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2……依此法继续作下去，得OP2018的值为(　　) A． B． C． D． 38．（18-19八年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，，以原点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是 ． 39．（23-24八年级上·河南开封·期末）为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得+1 ．（填“＞”或“＜”或“=”） 试卷第16页，共16页 试卷第15页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 利用勾股定理判定直角三角形 题型一 勾股定理的证明方法 1．（23-24八年级上·河南郑州·期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ） A． B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：A、大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故A选项不能说明勾股定理， B、由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故B选项可以证明勾股定理， C、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故C选项可以证明勾股定理， D、整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ， 整理得，故D选项可以证明勾股定理， 故选：A． 2．（21-22八年级下·河南三门峡·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，根据面积公式，逐项推理论证判断即可． 【详解】解：A．大正方形面积为：，也可以看做是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．梯形的面积为：，也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，∴，可以证明勾股定理，故本选项不符合题意； C．大正方形的面积为：，也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴故本选项不符合题意； D．图形中不涉及直角三角形，故无法证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（22-23八年级下·河南新乡·期末）勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一．下列图形中可以证明勾股定理的有（    ）    A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可． 【详解】解：①，， ∴， 整理得， 故①满足题意； ④或， ∴， ∴， 故④满足题意； ②没有体现直角三角形斜边的长度，故②不符合题意； ③无法证明直角三角三边关系，故③不符合题意； 故选：D 4．（22-23八年级上·河南安阳·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若，大正方形的面积为25，则图2中的长为（　　）    A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出，再结合即可得出的值，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形， ∵大正方形的面积为25， ∴， 又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍）， 即图2中小正方形的边长为3， ∴， 故选：D． 5．（23-24八年级上·河南周口·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．现在勾股定理的证明已经有400多种方法，下面的两个图形就是验证勾股定理的两种方法，在验证著名的勾股定理过程，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．在验证过程中它体现的数学思想是（    ） A．函数思想 B．数形结合思想 C．分类思想 D．方程思想 【答案】B 【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B． 6．（22-23八年级上·河南周口·期末）图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状．    (1)小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程； (2)当，时，求图2中空白部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】（1）根据图形可得，图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积；也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积；两种表示方法面积相等，即可求证； （2）根据图形可得空白部分面积等于以c为边的正方形的面积-两个直角三角形的面积，将，代入求解即可． 【详解】（1）解：图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积， 即， 也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积， 即， ∴，即． （2）解：当时，， 由图可知，空白部分面积=以c为边的正方形的面积-两个直角三角形的面积， 即：空白部分面积为：． 7．（22-23八年级上·河南驻马店·期末）阅读下列材料，完成任务 我们知道，平方差公式可以用如图所示的平面几何图形的面积来表示，实际上，还有一些代数式恒等式也可以用这种形式表示．    任务： (1)图1是由2个边长分别为，的正方形和2个全等的长方形所拼成的大正方形，根据图中的信息，可以写出所表示的代数恒等式为______； (2)图2所示的图形是由四个直角边长分别为，，斜边长为的全等的直角三角形和一个正方形的拼成的大正方形，请你用面积法推导恒等式的方法，证明勾股定理． (3)在中，，为直角边长，为斜边长，且，，求直角三角形的斜边长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个矩形的面积和计算即可． （2）根据正方形的面积不变性，三角形的面积公式计算证明即可． （3）根据勾股定理，公式变形计算即可． 【详解】（1）解：根据正方形的面积等于边长的平方，得到正方形的面积为； 结合图形，得到正方形的面积还等于， 故， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴（舍去）． 8．（22-23八年级上·河南新乡·期末）勾股定理的发现可以称为数学史上的里程碑，人们也对它进行了大量的研究，至今已有几百种证法．我们知道，利用图形中有关面积的等量关系可以证明勾股定理．如图，在，，以为斜边作等腰直角三角形，连接，．设，，，请利用下面的图形验证勾股定理． 【答案】见解析 【分析】过点作，垂足分别为，过点作于点，设，得出，根据，进而即可得证． 【详解】解：如图所示，过点 ，垂足分别为，过点作于点， ∵， ∴ 又∵， 在中， ∴ ∴， ∵中， ， ∴ ∴ ∴设， 则 ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， 即， ， ∵， ∴， ∴， 即． 9．（22-23八年级上·河南驻马店·期末）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个长方形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成一个关的正方形（如图1），这个长方形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式，称为勾股定理． 爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程． 【答案】见解析 【分析】由图2可知：四个全等的直角三角形的面积+中间正方形的面积=大正方形的面积，然后化简即可证明． 【详解】证明：大正方形面积为： 整理得 ∴ 题型二 以弦图为背景的计算题 10．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图是“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，以及完全平方公式，正确根据图形的关系求得和的值是关键； 求出小直角三角形的面积，得出的值，根据勾股定理求出等于大正方形的面积，然后根据完全平方公式求解即可． 【详解】大正方形的面积是29，小正方形的面积是9， 一个小三角形的面积是，三角形的斜边为， ，即， ， ，即， 或（不符合题意舍去）， 故选：C． 11．（19-20八年级上·河南新乡·期末）如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形的面积是（    ） A．13 B．47 C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方，而正方形的面积等于边长的平方，故可得到以斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的面积之和． 【详解】由勾股定理得：正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积， 同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积， ∴正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积． 故选B． 12．（21-22八年级上·河南开封·期末）如图是“赵爽弦图”，由个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理可以求得 等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据即可求解． 【详解】解：因为大正方形的面积是，小正方形的面积是， 所以一个小三角形的面积是，三角形的斜边为， 所以，， 所以， 所以． 故选：C． 13．（22-23八年级上·河南濮阳·期末）如图，在水平直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别为，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理和正方形的性质等知识点，先根据正方形的性质得到，，，再根据等角的余角相等得到，则可根据“”判断，于是有，然后利用勾股定理得到，代换后有，根据正方形的面积公式得到，，，所以，利用同样方法可得到，通过计算可得解，解答此题的关键是注意发现两个小正方形的面积和正好是中间的正方形的面积． 【详解】如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：4． 14．（23-24八年级上·河南焦作·期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ． 【答案】76 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个即风车的外围周长． 【详解】解：依题意，可得“数学风车”中的四个大直角三角形的两条直角边长分别为5和12， “数学风车”中的四个大直角三角形的斜边长为：， 这个风车的外围周长是， 故答案为：76． 15．（23-24八年级上·河南信阳·期末）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为12，则的长为 ．    【答案】 【分析】由四边形与四边形均为正方形，点H是的中点，可知分别为的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形面积的，从而阴影部分总面积为正方形面积的3倍，即可得正方形面积为，继而得，由勾股定理可求得的长． 【详解】解：由四边形与四边形均为正方形，点H是的中点， 可知分别为的中点， 且， ， ， ， ， 又， ， 故答案为：． 16．（22-23八年级上·河南安阳·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为15，则小正方形的面积为 ． 【答案】6 【分析】观察图形可知，小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为15，可以得出4个直角三角形的面积和，进而求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵大正方形的面积为15， ∴， ∴，即四个小直角三角形的面积和为9， ∴小正方形的面积为． 故答案为：6． 17．（21-22八年级上·河南安阳·期末）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．下图是3世纪我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”．此图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则的值是 ． 【答案】49 【分析】根据题意和图形，可以得到，，然后变形即可得到ab的值，再将展开，将a2 + b2和ab的值代入计算即可． 【详解】解：由图可得， ，， ∴， ∵小正方形的面积是1， ∴， ∴， ∴， ∴ = = = 25+ 24 =49； 故答案为：49． 18．（20-21八年级下·河南濮阳·期末）我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”，如图，若勾AF＝6，弦AD＝10，则小正方形EFGH的面积是 ． 【答案】 【分析】应用勾股定理和正方形的面积公式可求解． 【详解】解：如图所示，“赵爽弦图”中的直角三角形都是全等的三角形，即： ∵勾AF＝6，弦AD＝弦AB＝10， ∴股BF＝＝8， ∴小正方形的边长， ∴小正方形的面积， 故答案是：4． 19．（21-22八年级上·河南洛阳·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为5，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ． 【答案】21 【分析】由四个全等的直角三角形，大正方形，小正方形之间的面积关系得出a2+b2=13，(b-a)2=5，进而得出2ab=8，再由完全平方公式即可求出答案． 【详解】解：由题意得：a2+b2=13，(b-a)2=5， ∴b2-2ab+a2=5， ∴2ab=a2+b2-5=13-5=8， ∴(a+b)2=a2+b2+2ab=13+8=21， 故答案为：21． 题型三 以勾股定理构造图形解决问题 20．（23-24八年级上·河南安阳·期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为，则，故．在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解决问题的关键． 【详解】由题意可知，， ∴． 设的长为，则， 所以． 在直角中，，即， 解得：． 故选：B． 21．（21-22八年级上·河南平顶山·期末）为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为米的市民正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即米），测温仪自动显示体温（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E，      ∵米，米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得到： （米）， 故选：A． 22．（22-23八年级下·河南濮阳·期末）我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（尺），将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺，即尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺（尺），求这个秋千的绳索有多长？（    ） A．12尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺和秋千的上端的端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解． 【详解】解：设绳索有x尺长， 则， 解得：． 故选：C． 23．（23-24八年级上·河南许昌·期末）《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺）．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长为x尺，则根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设绳索长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】设绳索长为尺， 可列方程为：， 故答案为：． 24．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门米的地方时（米），感应门自动打开，则 米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用；过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 米，米，米， （米）． 在中，由勾股定理得到（米），    故答案为：． 25．（23-24八年级上·河南郑州·期末）佩奇一家在公园里荡秋千，如图，当秋千静止时，踏板离地面的垂直高度，当佩奇被推送至水平距离处时，秋千踏板离地面的垂直高度，求绳子的长度．    【答案】绳子的长度为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，四边形是矩形，，设绳子的长度为，则，再由勾股定理列出方程，解方程即可得出答案，根据勾股定理得出方程是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，，四边形是矩形， ， ， 设绳子的长度为，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：绳子的长度为． 26．（23-24八年级上·河南南阳·期末）小明家有一块四边形地（如图），已知其周长为，其中，，且．请帮小明计算一下这块地的面积． 【答案】这块地的面积是． 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．连接，根据勾股定理先求出，再利用周长求出，根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形即可解答． 【详解】解：连接， ，， 在中，根据勾股定理，得 ， 四边形的周长为， ， ， 在中，， ， ， 为直角三角形， ， 答：这块地的面积是． 27．（22-23八年级上·河南焦作·期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，绳子始终绷紧且绳长保持不变． (1)若米，米，米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号） (2)在（1）的基础上，此人以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 【答案】(1)米 (2)不能 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，求出的长是解题的关键． （1）根据勾股定理求的长，然后作差求解即可； （2）先求出从A处移动到岸边点F的时间，比较大小，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴求男子需向右移动的距离为米； （2）解：由题意知，需收绳的绳长（米）， ∴此人的收绳时间为秒， ∵， ∴该男子不能在秒内将船从A处移动到岸边点F的位置． 28．（22-23八年级上·河南周口·期末）图1为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．根据该图，赵爽用两种不同的方法计算正方形的面积，通过正方形面积相等，从而证明了勾股定理．现有4个全等的直角三角形（图2中灰色部分），直角边长分别为a，b，斜边长为c，将它们拼合为图2的形状．    (1)小诚同学在图2中加了相应的虚线，从而轻松证明了勾股定理，请你根据小诚同学的思路写出证明过程； (2)当，时，求图2中空白部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】（1）根据图形可得，图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积；也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积；两种表示方法面积相等，即可求证； （2）根据图形可得空白部分面积等于以c为边的正方形的面积-两个直角三角形的面积，将，代入求解即可． 【详解】（1）解：图2中图形的总面积可以表示为：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积， 即， 也可以表示为：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积， 即， ∴，即． （2）解：当时，， 由图可知，空白部分面积=以c为边的正方形的面积-两个直角三角形的面积， 即：空白部分面积为：． 29．（22-23八年级下·河南新乡·期末）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （2）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， 米，米， 米 米． 答：处与地面的距离是米； （2）在中， 米，米， 米 米． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 题型四 勾股定理与无理数 30．（22-23八年级上·河南郑州·期末）如图，在数轴上，过表示数2的点作数轴的垂线，以点为圆心，1长为半径画弧，交垂线于点，再以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴点所表示的实数为， 故选：C． 31．（22-23八年级上·河南南阳·期末）如图，数轴于A，，，以O为圆心，以长为半径作圆弧交数轴于点P，则点P表示的数为（    ）        A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，进而得出，则，即可求解． 【详解】解：根据勾股定理可得： ， ， ∵以长为半径作圆弧交数轴于点P， ∴， ∴点P表示的数为． 故选：C． 32．（23-24八年级上·河南许昌·期末）如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心、正方形对角线的长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用勾股定理得出的长，再利用得出点位置，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得： ， ， 故， 则点表示的数是：． 故选：B． 33．（23-24八年级上·河南新密·期末）如图，矩形中，，，点，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出AC的长，根据AC=AM，即可得出点M表示的数． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴BC=AD=1， ∠ABC=90°， ∴AC=， ∴AM=AC=， 即点M 表示的数为：； 故选：A 34．（19-20八年级上·河南郑州·期末）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为1，过点作直线垂直于，在上取点，使，以点为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数轴上点表示的数为，点表示的数为1，得PA=2，根据勾股定理得，进而即可得到答案． 【详解】∵数轴上点表示的数为，点表示的数为1， ∴PA=2， 又∵l⊥PA，， ∴， ∵PB=PC=， ∴数轴上点所表示的数为：． 故选B． 35．（23-24八年级上·河南林州·期末）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于(   ) A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据无理数的估算即可求得答案. 【详解】由作法过程可知，OA=2，AB=3， ∵∠OAB=90°， ∴OB=， ∴P点所表示的数就是， ∵， ∴， 即点P所表示的数介于3和4之间， 故选C. 36．（23-24八年级上·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（    ） A．－4和－3之间 B．3和4之间 C．－5和－4之间 D．4和5之间 【答案】A 【分析】由勾股定理求出OP，从而得到OA的长度，问题可解． 【详解】由点P坐标为(－2，3)， 可知OP=, 又因为OA=OP, 所以A的横坐标为-，介于－4和－3之间， 故选A． 37．（17-18八年级上·河南周口·期末）如图，OP＝1，过点P作PP1⊥OP，且PP1＝1，得OP1＝；再过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2……依此法继续作下去，得OP2018的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由勾股定理求出各边，再观察结果的规律． 【详解】∵OP=1，OP1= OP2=，OP3==2， ∴OP4=， …， OP2018=． 故选D 38．（18-19八年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，，以原点为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是 ． 【答案】- 【分析】根据勾股定理，可得OA的长，根据半径相等，可得答案． 【详解】由勾股定理，得 OA＝＝， 由半径相等，得OP＝OA＝， ∴点表示的实数是- 故答案为：-． 39．（23-24八年级上·河南开封·期末）为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得+1 ．（填“＞”或“＜”或“=”） 【答案】＞ 【分析】依据勾股定理即可得到AD==，AB==，BD+AD=+1，再根据△ABD中，AD+BD＞AB，即可得到+1＞． 【详解】∵∠C=90°，BC=3，BD=AC=1， ∴CD=2，AD==，AB==， ∴BD+AD=+1， 又∵△ABD中，AD+BD＞AB， ∴+1＞， 故答案为＞． 试卷第22页，共38页 试卷第23页，共38页 学科网（北京）股份有限公司 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$