13.2.6斜边直角边同步练习 2024-2025学年华东师大版八年级数学上册

2024—2025学年华东师大版八年级上册数学13.2.6斜边直角边 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，，，，60°，那么等于（    ） A．20° B．30° C．40° D．50° 2．下列各组所列的条件中，不能判定△ABC和△DEF全等的是(    ) A．AB＝DE，∠C＝∠F，∠B＝∠E B．AB＝EF，∠B＝∠F，∠A＝∠E C．∠B＝∠E，∠A＝∠F，AC＝DE D．BC＝DE，AC＝DF，∠C＝∠D 3．如图所示，点E在上，，，则图中全等的三角形有（     ）    A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 4．如图，中，点在上，点在上，，要使，还需添加一个条件，下列四个条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，四边形ABCD中，AC、BD为对角线，且AC＝AB，∠ACD＝∠ABD，AE⊥BD于点E，若BD＝6，CD＝4．则DE的长度为（　　） A．2 B．1 C．1.4 D．1.6 6．如图，如果 BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，那么∠CFD （  ）        A．大于90° B．等于90° C．小于90° D．不能确定 7．如图，， ，要使，需添加一个条件，下列所给的条件及相应的判定定理不正确的是（ ） A． B． C． D． 8．如图C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边△ABC和等边△CDE,AD交CE于F，BE交AC于G，则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有(    ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 二、填空题 9．如图，相交于点O，且，观察图形，明显有，只需补充条件 就有． 10．下列说法：①三角形三条中线的交点叫做三角形的重心；②三角形按边分类可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形；③ 各边都相等的多边形是正多边形；④周长相等的两个三角形全等;⑤两条直角边分别相等的两个直角三角形全等.其中正确的有 .(填序号) 11．根据下列条件：①AB＝3，AC＝4，AC＝8；②∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4；③AB＝5，BC＝3，∠A＝30°；④AB＝3，BC＝4，AC＝5，其中能画出唯一三角形是 （填序号）． 12．如图，中，于点D，要使，若根据“”判定，还需要加条件 ． 13．如图，AE=AD，请你添加一个条件，使△ABE≅△ACD，这个条件是 （写出一种情况即可）． 三、解答题 14．综合与实践 问题情境 数学活动课上，老师让同学们根据如下问题情境，发现并提出问题． 如图1，△ABC与△EDC都是等腰直角三角形，点E，D分别在AC和BC上，连接EB．将线段EB绕点B顺时针旋转90°，得到的对应线段为BF．连接DF．“兴趣小组”提出了如下两个问题：①AE=BD，AE⊥BD；②DF=AB，DF⊥AB．    解决问题： （1）请你证明“兴趣小组”提出的第②个问题． 探索发现： （2）“实践小组”在图1的基础上，将△EDC绕点C顺时针旋转角度（0°＜＜90°），其它条件保持不变，得到图2． ①请你帮助“实践小组”探索：“兴趣小组”提出的两个问题是否还成立？如果成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． ②如图3，当AD=AF时，请求出此时旋转角α的大小． 15．如图，在中，，于点D，，且，过C作． (1)求证：； (2)求证：． 16．已知：，，，，垂足分别为点D，点E．    (1)如图1， ①证明； ②证明． (2)如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段，，之间的数量关系并说明理由． 17．如图, 已知AE⊥BC于E, DF⊥BC于F, AE=DF, AB=DC,AC与BD有怎样的数量关系？你能进行证明吗？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C A B B C C 1．A 【分析】运用SAS证明△ABD≌△ACE，得∠B=∠C．根据三角形内角和定理可求∠DAE的度数．则易求∠CAE的度数． 【详解】∵∠1=∠2=110°， ∴∠ADE=∠AED=70°， ∴∠DAE=40°． ∵BE=CD， ∴BD=CE． 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴∠BAD=∠CAE． ∵∠BAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE=20°， 故选：A． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，证明三角形为等腰三角形是关键． 2．C 【分析】根据全等三角形的判定条件可直接进行排除选项． 【详解】A、由AB＝DE，∠C＝∠F，∠B＝∠E可得根据“AAS”判定△ABC≌△DEF，故不符合题意； B、由AB＝EF，∠B＝∠F，∠A＝∠E可得根据“ASA”判定△ABC≌△EFD，故不符合题意； C、由∠B＝∠E，∠A＝∠F，AC＝DE可得对应关系错误，所以不能判定△ABC≌△EFD，故符合题意； D、由BC＝DE，AC＝DF，∠C＝∠D可得根据“SAS”判定△ABC≌△FED，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 3．C 【分析】由，，为公共边，证得，再由全等三角形的性质可得，，从而可得，，即可求解． 【详解】解：∵，，为公共边， ∴， ∴，， ∴，， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 4．A 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法．根据三角形全等的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、，无法判断三角形全等，本选项符合题意； B、由，推出，可以根据，判断三角形全等，本选项不符合题意； C、由，推出，可以根据，判断三角形全等，本选项不符合题意； D、，可以根据判断三角形全等． 故选：A． 5．B 【分析】过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，根据AAS证明△AFC≌△AEB，得到AF=AE，CF=BE，再根据HL证明Rt△AFD≌Rt△AED，得到DF=DE，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】解：过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F， ∴∠AFC=90°， ∵AE⊥BD， ∴∠AFC=∠AED=∠AEB=90°， 在△AFC和△AEB中， ， ∴△AFC≌△AEB（AAS）， ∴AF=AE，CF=BE， 在Rt△AFD和Rt△AED中， ， ∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL）， ∴DF=DE， ∵CF=CD+DF，BE=BD-DE，CF=BE， ∴CD+DF=BD-DE， ∴2DE=BD-CD， ∵BD=6，CD=4， ∴2DE=2， ∴DE=1， 故选：B． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据AAS证明△AFC≌△AEB及根据HL证明Rt△AFD≌Rt△AED是解题的关键． 6．B 【分析】利用HL证出Rt△CEB≌Rt△AED，从而证出∠B=∠D，然后根据直角三角形的性质和判定即可证出结论． 【详解】解：∵BE⊥CD， ∴∠CEB=∠AED=90° 在Rt△CEB和Rt△AED中 ∴Rt△CEB≌Rt△AED ∴∠B=∠D ∵∠B＋∠C=90° ∴∠D＋∠C=90° ∴∠CFD=90° 故选B． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和直角三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质和直角三角形的判定及性质是解题关键． 7．C 【分析】利用全等三角形的判定方法分别进行分析即可． 【详解】解：∵∠A=∠D=90°， ∴△ABC和△DFE都是直角三角形， A、添加条件AB=DF能用(SAS)判定△ABC≌△DFE，正确，不符合题意； B、添加条件∠B=∠F能用(AAS)判定△ABC≌△DFE，正确，不符合题意； C、添加条件BC=FE能用(HL)判定△ABC≌△DFE，故原题说法错误，符合题意； D、添加条件∠ACB=∠DEF能用(ASA)判定△ABC≌△DFE，正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 8．C 【分析】分别证明△ACD≌△BCE、△ACF≌△BCG、△GEC≌△FDC，即可解决问题． 【详解】∵△ABC和△CDE均为等边三角形， ∴∠ACB=∠ECD=60∘，AC=BC，CE=CD， ∴∠BCE=∠ACD,∠ACE=180°-120°=60°； 在△ACD与△BCE中， ∴△ACD≌△BCE(SAS)， ∴∠CAF=∠CBG，∠CEG=∠CDF； 在△ACF与△BCG中， ∴△ACF≌△BCG(ASA)， 同理可证△GEC≌△FDC， ∴以点C为旋转中心，可通过旋转而相互得到的三角形有：△ACD与△BCE、△ACF与△BCG、△GEC与△FDC，共三对. 故选C. 【点睛】本题考查了旋转的性质, 等边三角形的性质，掌握三角形全等的判定是解题的关键. 9．（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法的理解，根据全等三角形的判定方法确定添加的条件即可． 【详解】解：∵，， 根据全等三角形的判定定理得出另一个条件是 即可推出． 或添加或添加； 故答案为：．（答案不唯一） 10．①⑤. 【详解】根据三角形的重心、三角形的分类、正多边形、三角形全等进行判断即可. 解：①三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，正确； ②三角形按边分类可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形，错误； ③各边都相等、各角都相等的多边形是正多边形，错误； ④周长相等的两个三角形不一定全等，错误； ⑤两条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确； 故答案为①⑤. 11．②④ 【分析】根据三角形的三边关系定理，先看看能否组成三角形，再根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：①∵3+4＜8，∴根据AB＝3，BC＝4，AB＝8不能画出三角形，故本选项错误； ②根据∠A＝60°，∠B＝30°，AB＝4，符合全等三角形的判定定理ASA，即能画出唯一三角形，故本选项正确； ③根据AB＝5，BC＝3，∠A＝30°不能画出唯一三角形，故本选项错误； ④根据AB＝3，BC＝4，AC＝5，符合全等三角形的判定定理SSS，即能画出唯一三角形，故本选项正确； 故答案为②④． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 12． 【解析】略 13．AB=AC 【分析】要使△ABE≌△ACD，且已知AE=AD，图中可以看出有一个共同的角∠A，则可以用AAS、SAS来判定． 【详解】解：添加AB=AC． 在△ABE与△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）． 故答案为：AB=AC（答案不唯一）． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（适合于两直角三角形）．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 14．（1）见解析；（2）①成立，见解析；②45° 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质及线段的和差关系可得AE=DB，由旋转的性质可得∠EBF=90°，BE=BF，根据三角形外角性质及角的和差关系可得∠AEB=∠DBF，利用SAS可证明△AEB≌△DBF，可得AB=DF，∠ABE=∠DFB，由∠ABE+∠ABF=90°可得∠DFB+∠ABF=90°，即可得出∠AQF=90°，可得AB⊥DF； （2）①如图，延长AE与BD交于点P，交BC于O，根据旋转的性质可得∠ACE=∠DCB，利用SAS可证明△ACE≌△BCD，可得AE=BD，∠CAE=∠CBD，根据角的和差关系可得∠APB=90°，可得AE⊥BD；根据三角形外角性质及角的和差关系可得∠AEB=∠DBF，利用SAS可证明△AEB≌△DBF，可得AB=DF，∠ABE=∠DFB，由∠ABE+∠ABF=90°可得∠DFB+∠ABF=90°，即可得出∠AQF=90°，可得AB⊥DF； ②根据AD=AF，AB⊥DF可得AB垂直平分DF，可得BD=BF=BE，利用SSS可证明△BEC≌△BDC，可得∠DCB=∠ECB=∠ECD=45°，根据旋转的性质可得α=∠DCB=45°． 【详解】（1）∵△ABC与△EDC为等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=DC， ∴AE=DB． ∵将线段EB绕点B顺时针旋转90°，得到的对应线段为BF， ∴∠EBF=90°，BE=BF， ∵∠AEB=∠C+∠EBC，∠DBF=∠EBF+∠DBE，∠C=∠EBF=90°， ∴∠AEB=∠DBF． 在△AEB和△DBF中， ∴△AEB≌△DBF， ∴AB=DF，∠ABE=∠DFB． ∵∠ABE+∠ABF=90°， ∴∠DFB+∠ABF=90°， ∴∠AQF=90°，即AB⊥DF． （2）①如图，延长AE与BD交于点P，交BC于O， ∵将△EDC绕点C顺时针旋转角度 ∴∠ACE=∠DCB， 在△ACE和△BCD中， ∴△ACE≌△BCD， ∴AE=BD，∠CAE=∠CBD． ∵∠AOC=∠BOP，∠AOC+∠CAO=90°， ∴∠CBD+∠BOP=90°， ∴∠APB=90°，即AP⊥BD． ∵∠AEB=∠APB+∠EBD，∠DBF=∠EBF+∠DBE，∠APB=∠EBF=90°， ∴∠AEB=∠DBF． 在△AEB和△DBF中， ∴△AEB≌△DBF， ∴AB=DF，∠ABE=∠DFB． ∵∠ABE+∠ABF=90°， ∴∠DFB+∠ABF=90°， ∴∠AQF=90°，即AB⊥DF．    ②∵AD=AF，AB⊥DF， ∴AB垂直平分DF． ∴BD=BF=BE， 在△BEC和△BDC中， ∴△BEC≌△BDC， ∴∠DCB=∠ECB=∠ECD=45°． ∴旋转角α的大小是45°． 【点睛】本题考查旋转的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，正确找出对应边、对应角及旋转角并熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 15．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键； （1）证明，即可得到结论； （2）先证明，再证明即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．(1)见解析 (2)不成立， 【分析】（1）①由，得到，再证明即可证明全等； ②由①得得到，即可证明； （2）先证明，得到，，即可得到答案． 【详解】（1）证明：①，， ， ， ， ， ， 在，中， ， ； ②由①得， ，， ， ， ； （2）； 证明：，， ， ， ， ， ， 在，中， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 17．相等 【详解】试题分析：先由条件可以得出Rt△ABE≌Rt△DCF，就可以得出∠ABE=∠DCF，就可以由SAS得出△ABC≌△DCB就可以得出AC=DB． 试题解析：AC=DB 证明：∵AE⊥BC于E,DF⊥BC, ∴∠AEB=∠DFC=90°. 在Rt△ABE和Rt△DCF中 ， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)， ∴∠ABE=∠DCF. 在△ABC和△DCB中 ， ∴△ABC≌△DCB(ASA)， ∴AC=DB. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$