专题05 解直角三角形（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版）

专题05 解直角三角形 【考点01：锐角三角函数的定义】 【考点02：三角函数的有关运算】 【考点03：特殊角的三角函数值】 【考点04：解直角三角形】 【考点05：解直角三角形的实际应用】 优网 知识点1:锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 知识点2:特殊角的三角函数值 　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 知识点3:解直角三角形 　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　　，，， 　　　，，. 　　④，h为斜边上的高. 知识点4：解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 知识点5：解直角三角形的应用 1.坡度坡角 　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. 2.仰角俯角问题 　仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　 3.方位角问题 （1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　 (2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 【考点01：锐角三角函数的定义】 1．如图，在中，，的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【考点02：三角函数的有关运算】 6．如图，在中，已知，那么的长为（   ） A． B． C．4 D．5 7．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．10 8．在中，，若，则 ． 9．已知为锐角，，则的值为 ． 10．在中，，若，，则的长是 ． 【考点03：特殊角的三角函数值】 11．计算：． 12．计算：． 13．计算： (1) (2) 14．计算： (1)； (2)． 15．计算：． 【考点04：解直角三角形】 16．如图，在中，，，，，求的长和的值． 17．如图，在中，，于点D，，，求与的值．    18．如图，在中，，于点，是的中点，连接，，． (1)求线段的长． (2)求线段的长． 19．如图，在中，于点D，． (1)求的长； (2)求的面积． 20．如图，在中，    (1)若，求的长； (2)若，直接写出的值． 21．在三角形中，， (1)求三角形的面积． (2)求角A的对边a的长． 22．如图，在中，，，求的长． 23．阅读理解：如图1，在中，若所对的边分别为a，b，c，则可以得到． 证明：如图，过点A作，垂足为D． 在中，， ． 同理，， ， ． 学以致用： (1)如图2，在中，，求的长． (2)如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A，B，C三个测量点，在点B处测得点A在其北偏东方向上，从点B沿笔直公路向正东方向行驶到达点C处，测得点A在点C的北偏西方向上，根据以上信息，求顺次连接A，B，C三点围成的三角形的面积．（本题参考数值：；结果取整数） 【考点05：解直角三角形的实际应用】 24．自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的D处看见飞机A的仰角为，已知斜坡的坡比，铅垂高度米（点E、G、C、B在同一水平线上）．（结果保留根号） (1)求此时甲、乙两市民的距离； (2)求飞机此时距离地面的高度． 25．如图，某办公楼的后面有一栋建筑物，当光线与地面的夹角是时，办公楼在建筑物的墙上留下高米的影子，而当光线与地面夹角是时，办公楼顶在地面上的影子与墙角有米的距离（，，在一条直线上）．求办公楼的高度．（参考数据：） 26．某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度，如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部D与大楼底端C的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶B测得路灯顶端A处的俯角是．试求大楼的高度．（参考数据：，，，，，） 27．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为．又经过人工测量操控者A和教学楼距离为57米，则教学楼的高度为多少米？（） 28．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4.4米，当太阳光线与地面的夹角为时． (1)求遮阳棚边缘点A到墙体的距离； (2)求阴影的长． （结果精确到米．参考数据：，，） 29．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节（、）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：，，，） 1．如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．在中，，则（    ） A． B． C． D． 3．某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（、在同一平面内，、在同一水平面上），则需测量的建筑物的高为（    ） A．24米 B．18米 C．米 D．米 4．如图，正六边形螺帽的边长是，这个扳手开口的距离是，a的值是（   ）    A． B． C． D．1 5．2024年10月30日，“神州十九号”载人宇宙飞船搭乘长征二号运载火箭从酒泉卫星发射升空，如图，当火箭上升到点A处时，位于海平面B处的“远望六号”测量船测得点B到点A的距离为m千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（   ）    A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 6．如图是某超市里电梯的截面图，已知米，，则高（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．如图所示，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，过点作，垂足为点，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，为测量观光塔的高度，冬冬在坡度为的斜坡的点测得塔顶的仰角为，斜坡的长为，到塔底的水平距离为，图中点，，，在同一平面内，则观光塔的高度为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，是边上的高，，那么的长是 ． 11．如图，在中，，，，则 ． 12．如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 m．（结果保留根号） 13．如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，． (1)求的长． (2)求的正弦值． 14．综合与实践：光线从空气中进入液体，会发生折射现象，嘉琪学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽中注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 【测量数据】 如图，点A，，，，，，，，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：    (1)求入射角的大小和的长． (2)求点，之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，，） 15．如图1，这是一种折叠椅，忽略支架等的宽度，得到其侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示．若座板平行于地面，前支撑架与后支撑架分别与座板交于点E，D，现测得，，，． (1)求椅子的展角的度数． (2)求点P到地面的距离．（精确到） （参考数据：，，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 解直角三角形 【考点01：锐角三角函数的定义】 【考点02：三角函数的有关运算】 【考点03：特殊角的三角函数值】 【考点04：解直角三角形】 【考点05：解直角三角形的实际应用】 优网 知识点1:锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 　 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即； 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即； 锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；． 知识点2:特殊角的三角函数值 　利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下： 锐角 30° 45° 1 60° 知识点3:解直角三角形 　在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形. 　　在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角. 　　设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有： 　　①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理). 　　②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°. 　　③边角之间的关系： 　　　，，， 　　　，，. 　　④，h为斜边上的高. 知识点4：解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如c，a) 由求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A， ， 知识点5：解直角三角形的应用 1.坡度坡角 　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： 　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. 2.仰角俯角问题 　仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. 　　　　　　　　　　 3.方位角问题 （1）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. 　　　　　　　　 (2)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45° 【考点01：锐角三角函数的定义】 1．如图，在中，，的对边分别为a，b，c，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理，三角函数的定义判断解答即可． 本题考查了三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：A. ，该选项正确，该选项不符合题意；     B. ，该选项正确，该选项不符合题意；     C. ，该选项正确，该选项符合题意；     D. ，该选项正确，该选项不符合题意；     故选：C． 2．如图，已知在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查余弦的定义，根据余弦的定义即可解答． 【详解】解：在中，． 故选：C． 3．在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的概念可知，设，则，再由勾股定理求出，再根据锐角三角函数的概念求出． 【详解】解：∵在中，， ∴， 设：，则， ∴由勾股定理得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的概念是解答本题的关键． 4．如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，根据锐角三角函数的定义得出，代入即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴在中，， 故选：D． 5．如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形，可过点B作的垂线，构造出直角三角形即可解决问题． 【详解】解：过点B作的垂线，垂足为D， 令小正方形的边长为1， 则， 在中， ． 故选：D． 【考点02：三角函数的有关运算】 6．如图，在中，已知，那么的长为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，先根据余弦的定义计算出，然后利用勾股定理计算出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 7．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、正切函数，由菱形的对角线互相垂直平分可得，，结合求出，再利用勾股定理解可得答案． 【详解】解：菱形中，对角线、相交于点O，， ，， ， ， ， 故选C． 8．在中，，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦与余弦的定义是解题关键．先画出图形，根据正弦的定义可得，再根据余弦的定义即可得． 【详解】解：如图，∵， ∴， 故答案为：． ． 9．已知为锐角，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】先确定锐角的对边与邻边的比，再根据勾股定理求出斜边，即可求出的值． 【详解】由，则设锐角的对边为，邻边为， 由勾股定理得：斜边为， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了锐角三角函数，解题的关键是正确理解三角函数的概念． 10．在中，，若，，则的长是 ． 【答案】80 【分析】本题考查解直角三角形．根据，代入数据求得，再利用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 【考点03：特殊角的三角函数值】 11．计算：． 【答案】5 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂和零指数幂的意义，特殊角的三角函数值．先根据负整数指数幂、零指数幂、算术平方根的意义和特殊角的三角函数值化简，再算加减即可． 【详解】解： 12．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了特殊角的三角函数值、二次根式的化简、零指数幂等知识，分别进行特殊角的三角函数值、二次根式的化简、零指数幂等运算，然后合并． 【详解】解： ． 13．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． （1）将特殊角的三角函数值代入求解； （2）将特殊角的三角函数值代入计算，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 14．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的混合运算． （1）将特殊角的三角函数值代入，再根据负整数指数幂、绝对值、二次根式的运算法则化简计算即可； （2）将特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式、绝对值的运算法则化简计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．计算：． 【答案】7 【分析】本题考查的是实数的运算，根据零指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值、绝对值计算即可． 【详解】解： ． 【考点04：解直角三角形】 16．如图，在中，，，，，求的长和的值． 【答案】， 【分析】此题考查了三角函数值和勾股定理，解题的关键是找出直角三角形并解直角三角形． 由，根据三角函数可得，根据勾股定理可得，则，再根据正切的定义求出的值． 【详解】解：∵， ， ， ， 根据勾股定理可得，则， ． 17．如图，在中，，于点D，，，求与的值．    【答案】， 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理．根据余角的性质得，根据勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，． 18．如图，在中，，于点，是的中点，连接，，． (1)求线段的长． (2)求线段的长． 【答案】(1)25 (2)7 【分析】本题主要考查了正弦函数、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握正弦函数成为解题的关键． （1）在中运用正弦函数可得，然后再根据直角三角形的性质即可解答； （2）先运用勾股定理求得，再中运用正弦函数求出，然后利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴，即，解得：， ∵是的中点， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，即， 解得：， ∴． 19．如图，在中，于点D，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)432 【分析】本题考查了正切、勾股定理，熟练掌握正切的定义是解题关键． （1）根据正切的定义求解即可得； （2）先利用勾股定理可求出的长，从而可得的长，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 20．如图，在中，    (1)若，求的长； (2)若，直接写出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的相关计算，掌握三角函数的定义是解本题的关键； （1）由条件可得，可得，结合可得答案； （2）由条件可得，，设，则，可得，再进一步求解，即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．在三角形中，， (1)求三角形的面积． (2)求角A的对边a的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形，熟练应用特殊角的三角函数值是解题关键， （1）作于点H，先求出，即可求出结论； （2）先求出，进而得出，根据勾股定理求出结论即可； 【详解】（1）解：作于点H， 在中，， ， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ， ， 在中， ． 22．如图，在中，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及解直角三角形等知识，过点B作，交的延长线于点D，由含角的直角三角形的性质得，再由锐角三角函数定义求出，然后由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于点D， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：的长为． 23．阅读理解：如图1，在中，若所对的边分别为a，b，c，则可以得到． 证明：如图，过点A作，垂足为D． 在中，， ． 同理，， ， ． 学以致用： (1)如图2，在中，，求的长． (2)如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择A，B，C三个测量点，在点B处测得点A在其北偏东方向上，从点B沿笔直公路向正东方向行驶到达点C处，测得点A在点C的北偏西方向上，根据以上信息，求顺次连接A，B，C三点围成的三角形的面积．（本题参考数值：；结果取整数） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据提供的方法解答即可． （2）仿照给出的公式，解答即可． 本题考查了新知识的应用，正确理解新知识是解题的关键． 【详解】（1）在中，， ， 解得， 故的长为． （2）解：由题意，得． 由， 得， ， ． 故顺次连接A，B，C三点围成的三角形的面积约是． 【考点05：解直角三角形的实际应用】 24．自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的D处看见飞机A的仰角为，已知斜坡的坡比，铅垂高度米（点E、G、C、B在同一水平线上）．（结果保留根号） (1)求此时甲、乙两市民的距离； (2)求飞机此时距离地面的高度． 【答案】(1)米； (2)飞机距离地面的高度为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键． （1）过点作于点，先根据坡比的概念得到米，再利用勾股定理即可求解； （2）证明米，，设米，在中，根据三角函数的定义列方程，并求解即得答案． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， 斜坡的坡比，铅垂高度米， ， 米， 米； （2）解：，， 四边形是矩形， 米，， ，， 是等腰直角三角形， ， 设米，则米， 米， 在中，， ， 解得， 米， 答：飞机距离地面的高度为米． 25．如图，某办公楼的后面有一栋建筑物，当光线与地面的夹角是时，办公楼在建筑物的墙上留下高米的影子，而当光线与地面夹角是时，办公楼顶在地面上的影子与墙角有米的距离（，，在一条直线上）．求办公楼的高度．（参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了矩形得判定及性质、直角三角形的应用，过点作于点，设，由题意得四边形是矩形，则米，，在中，由可知，在中，利用锐角三角函数的定义求出的值即可． 【详解】解：过点作于点，设， 由题意得四边形是矩形， ∴米，， 在中， ， ． 在中， ∴，即， 解得：． ∴办公楼的高度为； 26．某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度，如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部D与大楼底端C的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶B测得路灯顶端A处的俯角是．试求大楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】米 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，作出正确的辅助线构造直角三角形的是解题的关键． 延长交延长线于，过A作于，则四边形是矩形，，，利用解直角三角形求出、，得到，再求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交延长线于，过A作于， 则四边形是矩形， ，， 在中，， ，， （米）， （米）， （米）， 在中，， ， （米）， （米）， 答：大楼的高度为米． 27．如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为．又经过人工测量操控者A和教学楼距离为57米，则教学楼的高度为多少米？（） 【答案】教学楼的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，过点作于点，由题意得米，米，，，再由矩形的性质米，然后证是等腰直角三角形，得米，即可解决问题． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 则四边形是矩形， 由题意得：米，米，，． 在中，， ， （米， （米， 四边形是矩形， 米， 在中，，， 是等腰直角三角形， 米， （米， 答：教学楼的高度为米． 28．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4.4米，当太阳光线与地面的夹角为时． (1)求遮阳棚边缘点A到墙体的距离； (2)求阴影的长． （结果精确到米．参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，求出相关线段的长度． （1）过作于，在中，根据余弦定义求出即可； （2）过作于，在中，根据余弦定义求出，根据矩形的判定与性质可得米，（米），而，知米，故，计算即可． 【详解】（1）解：如图，过作于， 在中， （米）， 即遮阳棚边缘点A到墙体的距离米； （2）解：过作于， 在中， （米）， ， 四边形是矩形， 米，（米）， 在中， ， 米， （米）， 阴影的长约为米． 29．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节（、）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】每节拉杆的长度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数求线段的长是解题的关键． 如图1，作，垂足为，设，则，利用三角函数求出，如图2，作，垂足为，则，得到，然后利用列方程求解即可． 【详解】解：如图1，作，垂足为，设，则， ， ， 如图2，作，垂足为，则， ， ， ， ， 解得：． 答：每节拉杆的长度为． 1．如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求锐角的正切值，根据正切的定义计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：A． 2．在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角函数的定义，根据，设，利用勾股定理求出，则，代入计算即可． 【详解】解：如图， ∵在中，， ∴设， ∴， ∴． 故选：B． 3．某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图所示，在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房，琪琪同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为．（、在同一平面内，、在同一水平面上），则需测量的建筑物的高为（    ） A．24米 B．18米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，设过点A的水平线于交于点E，在中，用表示，在中，用表示，再利用列方程即可求出． 【详解】解：设过点A的水平线于交于点E，如图， 由题意知：四边形是矩形米，， 在中，， 在中，, ∴ ∴ ∴， 解得（米）， 故选：D． 4．如图，正六边形螺帽的边长是，这个扳手开口的距离是，a的值是（   ）    A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形以及解直角三角形．根据正六边形的内角度数可得出，再通过解直角三角形可得到，进而可求出的值，此题得解． 【详解】解：正六边形的任一内角为， （如图），    ， ． 故选：A． 5．2024年10月30日，“神州十九号”载人宇宙飞船搭乘长征二号运载火箭从酒泉卫星发射升空，如图，当火箭上升到点A处时，位于海平面B处的“远望六号”测量船测得点B到点A的距离为m千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（   ）    A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据正弦定义求解即可． 【详解】解：根据题意，，千米， 由得千米， 故选：A． 6．如图是某超市里电梯的截面图，已知米，，则高（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，直接根据的正弦定义即可得到结论． 【详解】解：在中，， 米， 米， 故选：A． 7．如图所示，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都为1，的三个顶点都在格点上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．如图，取格点E，连接．利用勾股定理的逆定理证明即可解决问题． 【详解】解：如图，取格点E，连接， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．如图，在中，，，，过点作，垂足为点，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解直角三角形，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 过点B作于点F，由平行四边形的性质得到，，解直角三角形得到，然后利用勾股定理求出，然后利用等面积法求出，然后利用正弦值的概念求解即可． 【详解】过点B作于点F． ∵在平行四边形中，， ∴，， ∴，即 ∴ ∴， ， ． ， ， ． 故选：C． 9．如图，为测量观光塔的高度，冬冬在坡度为的斜坡的点测得塔顶的仰角为，斜坡的长为，到塔底的水平距离为，图中点，，，在同一平面内，则观光塔的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，勾股定理，延长交过点D的水平面于F，过点C作于E，则四边形是矩形，解直求出的长，进而求出的长，再解求出的长，即可求出的长． 【详解】解：如图，延长交过点D的水平面于F，过点C作于E，则四边形是矩形， ∴，， ∵斜坡的坡度为， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 10．如图，在中，是边上的高，，那么的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键． 先解求出，再利用线段和差即可求解． 【详解】解：∵是边上的高，， ∴， ∴， 故答案为：6． 11．如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是特殊角的三角函数值、直角三角形的性质等，此题比较简单，关键是设出，便于解决此题．先设，根据是边上的高，，得出，再根据，表示出的长，再在中，根据，即可求出的值，从而得出的长，再求出． 【详解】解：过点A作， 设， 在中， ，即， ， , 故答案为：． 12．如图，无人机在空中A处测得某校旗杆顶部B的仰角为，底部C的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 m．（结果保留根号） 【答案】8 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，分别在和中利用锐角三角函数关系得出，的长，进而求出该旗杆的高度． 【详解】解：在，米，， ∴， 解得：米， 在，米，， ∴， 解得：米， 故该校的旗杆高约为：（米）， 故答案为：． 13．如图，在中，，D是边的中点，，垂足为E，，． (1)求的长． (2)求的正弦值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了正弦与余弦、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握正弦与余弦的概念是解题关键． （1）先根据余弦的定义可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得； （2）先求出，利用余弦可求出的长，从而可得的长，再在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， 所以的长为5． （2）解：∵是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， 所以的正弦值为． 14．综合与实践：光线从空气中进入液体，会发生折射现象，嘉琪学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽中注水，水面上升到的中点处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 【测量数据】 如图，点A，，，，，，，，在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：    (1)求入射角的大小和的长． (2)求点，之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，，） 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识点，明确题意、掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）由中点的定义可得，进而得到，再根据等腰直角三角形的性质可得，再根据角的和差以及等腰三角形的判定即可解答； （2）利用锐角三角函数求出长，然后再运用线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵，点为的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴在中，． ∵， ∴，， ∴， ∴在中，． （2）解：∵在中，， ∴， ∴． 15．如图1，这是一种折叠椅，忽略支架等的宽度，得到其侧面简化结构图（图2），支架与坐板均用线段表示．若座板平行于地面，前支撑架与后支撑架分别与座板交于点E，D，现测得，，，． (1)求椅子的展角的度数． (2)求点P到地面的距离．（精确到） （参考数据：，，） 【答案】(1)椅子的展角的度数约为 (2)点到地面的距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握解直角三角形的应用是解题关键． （1）过点作于点，先证出，根据相似三角形的性质可得的长，再根据等腰三角形的性质可得的长，然后在中，解直角三角形可得的大小，最后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）过点作于点，在中，利用正弦的定义求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 答：椅子的展角的度数约为． （2）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：点到地面的距离约为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$