6.1 正弦、余弦、正切、余切(第3课时)（七大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

6.1 正弦、余弦、正切、余切(第3课时) 题型一 四组诱导公式 诱导公式一 1．第一~四组诱导公式 公式一 公式二 公式三 公式四 2． . 3． ． 4．求下列各三角函数的值 (1) (2) (3) 5．分别求出满足下列条件的角的集合． (1)，； (2)，； (3)，． 题型二 诱导公式二、三、四 6．求下列各式的值： (1)； (2)． (3). 7．化简： (1)； (2)． 8．化简 9．化简的结果为（    ）． A． B． C． D． 题型三 诱导公式二、三、四的应用 10．若角，点是终边上一点，则 ． 11．给出下列四个结论，其中正确的是 ． ①；    ②； ③；    ④． 12．若，，则 . 13．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 14．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型四 诱导公式五、六 诱导公式综合 15．化简： (1)； (2)． 16．已知. (1)化简； (2)若，求的值. 17．已知. (1)化简； (2)若，求的值. 18．（1）化简：. （2）化简； （3）化简． （4）化简； （5）化简； （6）已知，求的值. 题型五 诱导公式五、六的应用 19．已知，则 ， ． 20．已知，则 ． 21．化简： . 22．如图，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于A，B两点，且． (1)求的值； (2)若点A的横坐标为，求的值． 题型六 诱导公式的综合应用 23．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，为其终边上一点，则 24．函数（，）的图象恒过定点A，且点A在角的终边上，则 . 25．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则 . 26．，化简： （    ） A． B． C． D．随k的变化而变化 27．粗心的教授在用计算器计算正角的正弦值时，忘了单位是角度制还是弧度制，幸运的是，不论是角度制还是弧度制，的正弦值都相等.教授还发现，正好是满足上述条件的所有正角中的最小角，求出的大小 . 28．在平面上，已知定点，动点.当在区间上变化时，动线段所形成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 题型七 证明恒等式 29．求证：. 30．证明：． 31．证明：． 32．求证：当或3时，. 33．证明：，． 34．（1）求证：； （2）设，求证. 一、填空题 1．已知，，且为第二象限角，则 . 2．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过函数（且）的定点M.则 3．已知，则的值为 ． 4．已知为锐角，且，，则 . 5．已知函数，若（），则= ． 二、单选题 6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则等于（    ） A． B． C． D． 8．设集合，则集合的元素个数为（    ）. A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 三、解答题 9．如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.    (1)求的值； (2)若，求的坐标. 10．（1）已知，求的值． （2）已知是关于的方程的两个实根，求的值． 11．在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. (1)求出的值和锐角的大小； (2)求的值； (3)记点的横坐标为，若，求的值． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1 正弦、余弦、正切、余切(第3课时) 题型一 四组诱导公式 诱导公式一 1．第一~四组诱导公式 公式一 公式二 公式三 公式四 【答案】 【分析】根据诱导公式进行化简即可. 【解析】；；；; ；；；； ；；；； ；；；； 2． . 【答案】/ 【分析】由三角函数诱导公式化简即可. 【解析】. 故答案为：. 3． ． 【答案】/ 【分析】根据题意利用诱导公式运算求解. 【解析】由题意可得：. 故答案为：. 4．求下列各三角函数的值 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】利用诱导公式一求解即可. 【解析】（1）. （2）. （3）. 5．分别求出满足下列条件的角的集合． (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角函数的特殊值对应的特殊角，得到，再由，即可得到角的取值集合； （2）利用三角函数的特殊值对应的特殊角，得到，再由，即可得到角的取值集合； （3）利用三角函数的特殊值对应的特殊角，得到，再由，即可得到角的取值集合； 【解析】（1）由题意得，或，， ∴或． ∵，∴ （2）由题意得或，， ∴或． ∵，∴． （3）由题意得，， ∴． ∵，∴． 题型二 诱导公式二、三、四 6．求下列各式的值： (1)； (2)． (3). 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）利用诱导公式化简成特殊角即可得解. 【解析】（1）. （2） . （3）∵，， ， ∴. 7．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】用诱导公式化简，然后再用商数关系切化弦即可． 【解析】（1）． （2）. 8．化简 【答案】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及同角公式化简作答. 【解析】原式 ． 9．化简的结果为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式化简. 【解析】 故选：B 题型三 诱导公式二、三、四的应用 10．若角，点是终边上一点，则 ． 【答案】/ 【分析】根据三角函数的定义求出，再由诱导公式计算可得. 【解析】因为点是终边上一点，，所以， 所以． 故答案为： 11．给出下列四个结论，其中正确的是 ． ①；    ②； ③；    ④． 【答案】①③ 【分析】利用诱导公式将三角函数化简，结合特殊角的三角函数值判断. 【解析】对于①，， ， ，故①正确； 对于②，， ， ，故②错误； 对于③，， ，，故③正确； 对于④，， ， ，故④错误． 综上，正确的有①③. 故答案为：①③. 12．若，，则 . 【答案】 【分析】利用诱导公式求得，由同角三角函数的平方关系求，再利用诱导公式求. 【解析】由，得， 由，则， 故. 故答案为：. 13．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合结论若，则，证明，由此可得，再证明，由此可得结论. 【解析】若，则，且， 所以， 所以， 因为，， 所以， 所以， 故选：D． 14．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简，再结合正余弦有齐次式法计算即得. 【解析】由，得， 所以. 故选：A 题型四 诱导公式五、六 诱导公式综合 15．化简： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)1 【分析】根据诱导公式结合整体化思想，化简即可得出答案. 【解析】（1）原式. （2）原式. 16．已知. (1)化简； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式化简即可； （2）由题知，进而根据同角三角函数关系求解即可. 【解析】（1）解：由题意得 （2）解：∵，∴. ∴为第一或第二象限角， ∴， ∴ 17．已知. (1)化简； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由三角函数的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限对函数进行化简即可得到答案. (2)利用得，再确定所在象限分别判断值的正负号，从而得到的值. 【解析】（1） （2）若，则， 为第二象限角或第三象限角， . 当为第二象限角时，，； 当为第三象限角时，，. 18．（1）化简：. （2）化简； （3）化简． （4）化简； （5）化简； （6）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）0；（5）；（6） 【分析】利用诱导公式计算即可. 【解析】（1）原式＝； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式； （5）原式； （6）由可得， . 题型五 诱导公式五、六的应用 19．已知，则 ， ． 【答案】 /-0.5 【分析】直接利用诱导公式化简，结合正余弦的齐次式法求值即可. 【解析】， . 故答案为：，. 20．已知，则 ． 【答案】7 【分析】先通过诱导公式化简，然后将分式化为齐次式，最后弦化切即可得到答案. 【解析】=7. 故答案为：7. 21．化简： . 【答案】1 【解析】利用诱导公式可求代数式的值. 【解析】原式， 故答案为：1. 22．如图，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于A，B两点，且． (1)求的值； (2)若点A的横坐标为，求的值． 【答案】(1)-1 (2) 【分析】（1）根据三角函数的诱导公式，可得答案； （2）根据图中的等量关系，进行等量代还，可得答案. 【解析】（1）由题意得， 所以． （2）因为点A的横坐标为， 所以，，， 所以． 题型六 诱导公式的综合应用 23．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，为其终边上一点，则 【答案】 【分析】由三角函数的定义可求出的值，然后由诱导公式可得得到答案. 【解析】点在角的终边上，则. 由三角函数的定义可得： 又 故答案为： 【点睛】本题考查三角函数的定义和诱导公式，属于基础题. 24．函数（，）的图象恒过定点A，且点A在角的终边上，则 . 【答案】/ 【分析】根据题意，由对数函数过定点可得的坐标，再由三角函数的定义可得，再由诱导公式化简，代入计算，即可求解. 【解析】对于函数，（，）， 令，求得，，可得它的图象恒过定点， 且点A在角的终边上，可得， 则. 故答案为： 25．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则 . 【答案】 【分析】由三角函数的定义结合诱导公式即可求解. 【解析】由题意知，因为角的终边与角的终边关于直线对称， 则， 故答案为： 26．，化简： （    ） A． B． C． D．随k的变化而变化 【答案】B 【分析】根据给定条件按k是奇数和偶数分类，借助诱导公式化简计算即得. 【解析】因，则当k是奇数时，， 当k是偶数时，， 所以 故选：B 27．粗心的教授在用计算器计算正角的正弦值时，忘了单位是角度制还是弧度制，幸运的是，不论是角度制还是弧度制，的正弦值都相等.教授还发现，正好是满足上述条件的所有正角中的最小角，求出的大小 . 【答案】 【分析】设是角度制，然后根据题意得到，进而转化为或，然后分别求出，并选择出其中最小的正角即可. 【解析】是角度制，由题意知， 则或， 所以或， 因为正好是满足上述条件的所有正角中的最小角， 所以当时，；当时，，因为， 所以. 故答案为： 28．在平面上，已知定点，动点.当在区间上变化时，动线段所形成图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图形，确定点的轨迹图形，结合图象可求得线段所形成图形的面积. 【解析】因为，所以点在单位圆上， 由于，， 所以，是其与轴正方向的有向角为， ，则， 记点，，所以，点的轨迹是劣弧， 所以，动线段所形成图形为阴影部分区域， 因为，因此，阴影部分区域的面积为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查动线段运动轨迹图形的面积，解题的关键在于确定动点的轨迹图形，数形结合求出图形的面积. 题型七 证明恒等式 29．求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用诱导公式和同角的三角函数的基本关系式化简左式，从而可证该恒等式. 【解析】左式 ， 故左式与右式相等，即原等式成立. 30．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式来证得等式成立. 【解析】 ， ， 故等式左边，等式成立． 31．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用诱导公式化简即可. 【解析】左边右边， 所以． 32．求证：当或3时，. 【答案】证明见解析 【分析】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可. 【解析】当时，左边=； 当时，左边=； 综上，或有原等式恒成立. 33．证明：，． 【答案】证明见解析 【分析】按的奇偶性分类讨论，用诱导公式变形可证． 【解析】证明：当n为偶数时，令，， 左边． 右边，∴左边=右边． 当n为奇数时，令，， 左边 ． 右边，∴左边=右边． 综上所述，，成立． 34．（1）求证：； （2）设，求证. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论. 【解析】（1）左边=  =右边，所以原等式成立. （2）方法1：左边=  ===右边，所以原等式成立. 方法2：由，得， 所以，等式左边= ===右边，等式成立. 一、填空题 1．已知，，且为第二象限角，则 . 【答案】/ 【分析】由已知可求出的取值范围，由同角三角函数的平方关系求出的值，可求出的值，再利用诱导公式结合弦化切可求得所求代数式的值. 【解析】因为，，且为第二象限角， 则，解得或， 因为， 整理可得，即，解得（舍）或， 所以，，， 所以，， 因此，. 故答案为：. 2．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过函数（且）的定点M.则 【答案】/ 【分析】求出定点M的坐标，利用三角函数定义求出，再利用诱导公式计算作答. 【解析】由，得，，即点，， 因此， 所以. 故答案为： 3．已知，则的值为 ． 【答案】18 【分析】利用诱导公式化简已知条件和所求的式子可得答案. 【解析】由，可得， ∴ ． 故答案为：18. 4．已知为锐角，且，，则 . 【答案】/ 【分析】由题可得①，②，联立得，再求的值. 【解析】由， 可得，即①． 由， 可得②． ①②得， ∴，即． ∵，∴， 又为锐角，∴． 故答案为：． 5．已知函数，若（），则= ． 【答案】 【分析】构造并判断奇偶性，根据及的奇偶性即可求. 【解析】令， 则且定义域为， 所以为奇函数，且， 又， 所以，即， 所以． 故答案为： 二、单选题 6．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由诱导公式分别计算出的大小即可得解. 【解析】由题意，， ， 所以. 故选：B. 7．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用正切函数的定义求出，再利用诱导公式化简，结合齐次式法计算即得. 【解析】显然点都在直线上，由正切函数定义得， 所以. 故选：B 8．设集合，则集合的元素个数为（    ）. A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为. 【解析】根据题意可知，当时，，此时； 又因为为奇数，为偶数，且中的任意两组角都不关于对称， 所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大， 所以当时，集合中有1011个元素； 当时，易知 又易知，所以可得 ， 即时的取值与时的取值相同， 根据集合元素的互异性可知，时并没有增加集合中的元素个数， 当时，易知 ， 可得当时，集合中的元素个数只增加了一个0， 所以可得集合的元素个数为个. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于通过观察集合中元素的特征，利用的三角函数值的范围以及图象的对称性，由集合中元素的互异性得出当时，集合中的元素个数的增加情况即可求得结果. 三、解答题 9．如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.    (1)求的值； (2)若，求的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，再根据诱导公式和同角三角函数关系化简求解即可； （2）由可得，，利用诱导公式化简结合三角函数的定义即可求解. 【解析】（1）因为点在单位圆上且，所以且，解得， 即， 由三角函数定义知，， 故原式. （2）由题意， 故. 10．（1）已知，求的值． （2）已知是关于的方程的两个实根，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得，再结合诱导公式，代入即可求解； （2）根据题意，得到，求得，代入即可求解. 【解析】解：（1）因为，且， 解得，可得， 则. （2）因为，是关于的方程的两个实根， 可得，平方可得，可得， 所以. 11．在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. (1)求出的值和锐角的大小； (2)求的值； (3)记点的横坐标为，若，求的值． 【答案】(1)，； (2)1 (3) 【分析】（1）先根据点在单位圆上求得，再根据三角函数的定义求得角. （2）利用诱导公式整体化简求解即可. （3）结合三角函数的定义及同角三角函数基本关系求得，再根据诱导公式化简代入求值即可. 【解析】（1）由于点在单位圆上，且是锐角，可得，则， 所以，且为锐角，可得； （2） ； （3）由（1）可知， 根据三角函数定义可得：， 因为，且， 因此，所以. 所以 . 24 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$