6.1 正弦、余弦、正切、余切(第2课时)（十三大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

6.1 正弦、余弦、正切、余切(第2课时) 题型一 任意角的正弦、余弦、正切、余切（由终边上的点确定三角函数值） 1．任意角的三角比的定义：在任意角的终边上任取一点P，设，则，那么的四个三角比定义为： ； ； ； . 2．已知角的终边分别经过以下各点，求角的正弦、余弦、正切和余切值： (1)； (2)． 3．若角的终边经过点，则 ， ． 4．若角的终边经过点，则 ， ， ． 题型二 由三角函数值确定终边上的点或参数 5．已知角的终边经过点，且，则实数 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为，若，则这条射线是 . 7．已知为第二象限角，点在其终边上，且，则 ． 8．已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上的一点，且，则 . 题型三 各象限角三角函数值的符号 9．三角函数值的符号.如图所示： 正弦： 象限正， 象限负； 余弦： 象限正， 象限负； 正切： 象限正， 象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 10．根据角所属的象限，判断下列各式的符号： (1)； (2)； (3)． 11．已知． (1)求角的集合； (2)判断的符号． 12．（1）若，且，则角属于第几象限？ （2）若，且，则角属于第几象限？ 题型四 由单位圆求任意角的正弦、余弦、正切、余切 13．角与单位圆的交点坐标为 . 14．求角的正弦、余弦、正切、余切值. 15．已知角的终边与单位圆交于点，其中． (1)求实数的值； (2)求的值． 16．利用单位圆写出符合下列条件的角α的取值集合． (1)； (2)； (3)tan α≥1. 题型五 特殊角的三角函数值 17．填表： 角 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° 角的弧度数 18．计算: (1); (2)已知在第四象限，求的值. 题型六 任意角的正弦、余弦、正切、余切，知一求三 19．根据下列条件，求角的正弦、余弦、正切和余切值中未知的量： (1)已知，并且是第三象限的角； (2)已知，并且是第二象限的角. 20．若，则 ， ． 21．已知，，则 ． 22．已知是第三象限角，且 ，则 . 23．（1）已知，且是第四象限的角．求及； （2）已知，求及． 题型七 由条件等式求三角函数值 24．若，，则 ． 25．若，且，则 ． 题型八 由平方关系求参数 26．已知，，则实数k的值为 . 27．若，，则 ． 题型九 三角函数线的应用 28．已知，且，，，则a，b，c的大小关系为 ． 29．已知O为坐标原点，点P的初始位置坐标为，线段绕点O顺时针转动后，点P所在位置的坐标为 . 题型十 同角三角函数的基本关系 30．化简： (1)； (2). 31．化简： (1)； (2)． 32．若为第二象限角，则可化简为 ． 题型十一 正、余弦齐次的计算 33．已知角的终边过点，则 . 34．化简： ． 35．已知，则的值是 . 题型十二 与的关系 36．已知，，求下列式子 (1) (2) (3)和和 37．已知，且，则 ． 38．已知，，则的值为 . 39．已知，，则 . 40．若．则 ． 41．已知是方程的两个根，，则角等于 ． 题型十三 证明恒等式 42．证明下列恒等式： (1)； (2)． 43．证明下列恒等式： (1)； (2)． 一、填空题 1．若，其中，则 . 2．已知，若，则的值为 3．若，则的最大值为 ． 二、单选题 4．以下命题正确的是（    ） A．都是第一象限角，若，则 B．都是第二象限角，若，则 C．都是第三象限角，若，则 D．都是第四象限角，若，则 5．已知，则（    ） A．6 B． C． D．2 6．当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（    ） A．6 B．10 C．12 D．16 三、解答题 7．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点． (1)若，求及的值； (2)若，求点的坐标． 8．已知关于的方程的两个根分别为和，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)求方程的两根及的值. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1 正弦、余弦、正切、余切(第2课时) 题型一 任意角的正弦、余弦、正切、余切（由终边上的点确定三角函数值） 1．任意角的三角比的定义：在任意角的终边上任取一点P，设，则，那么的四个三角比定义为： ； ； ； . 【答案】 （） （） 【分析】略 【解析】略 2．已知角的终边分别经过以下各点，求角的正弦、余弦、正切和余切值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据角的终边经过点的三角函数计算公式即可求解. 【解析】（1）因为， 所以 （2）因为， 所以 3．若角的终边经过点，则 ， ． 【答案】 【分析】根据三角函数中余弦函数和正切函数的定义求解即可. 【解析】解：因为角的终边经过点， 所以； . 所以答案为： ； 4．若角的终边经过点，则 ， ， ． 【答案】 【分析】利用公式，，，即可求解. 【解析】解：，，. 故答案为：；；. 题型二 由三角函数值确定终边上的点或参数 5．已知角的终边经过点，且，则实数 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义，已知角终边上的点，则角的正切值为，可得答案 【解析】由三角函数的定义可知，解得． 故答案为： 6．如图，在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为，若，则这条射线是 . 【答案】 【分析】根据题意，可得点，进而可得答案. 【解析】由题意，得点，，，，则. 故答案为： 7．已知为第二象限角，点在其终边上，且，则 ． 【答案】 【分析】根据根据三角函数定义和所在象限求出x值，再根据三角函数定义求出正切值. 【解析】根据三角函数定义，解得， 因为为第二象限角，所以， 所以. 故答案为：. 8．已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上的一点，且，则 . 【答案】 【分析】根据三角函数的定义得到方程，解得即可. 【解析】因为是角终边上一点，所以， 由三角函数的定义，得，解得. 故答案为：. 题型三 各象限角三角函数值的符号 9．三角函数值的符号.如图所示： 正弦： 象限正， 象限负； 余弦： 象限正， 象限负； 正切： 象限正， 象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 【答案】 一二 三四 一四 二三 一三 二四 【分析】根据三角函数的定义可判断出在各个象限的正负. 【解析】因为， 在第一象限中，横坐标纵坐标均为正数，所以， 在第二象限中，横坐标为负，纵坐标为正，所以， 在第三象限中，横坐标纵坐标均为负数，所以， 在第四象限中，横坐标为正，纵坐标为负，所以， 则正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负； 故答案为：一二；三四；一四；二三；一三；二四. 10．根据角所属的象限，判断下列各式的符号： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）判断出所在象限，再利用三角函数在各个象的符号，即可求解； （2）判断出所在象限，再利用三角函数在各个象的符号，即可求解； （3）判断出所在象限，再利用三角函数在各个象的符号，即可求解； 【解析】（1）因为，所以是第三象限角，得到， 又,所以是第一象限角，得到， 所以. （2）因为是第二象限角，所以，又是第四象限角，所以， 故. （3）因为是第二象限角，所以，又是第四象角，所以， 又是第二象限角，所以，故. 11．已知． (1)求角的集合； (2)判断的符号． 【答案】(1) (2)正号 【分析】（1）根据三角函数值的符号，确定角的终边所在位置. （2）先分情况讨论的终边所在位置，再确定它的三角函数值的符号即可. 【解析】（1）由，知在第三、四象限或轴的非正半轴上； 由，知在第一、三象限， 故角在第三象限，其集合为． （2）由，得， 故的终边在第二、四象限． 当在第二象限时，，所以取正号； 当在第四象限时，，所以也取正号． 综上，取正号． 12．（1）若，且，则角属于第几象限？ （2）若，且，则角属于第几象限？ 【答案】（1）第三象限；（2）第四象限． 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式化切为弦，再根据三角函数在各象限内的符号即可得解； （2）根据三角函数在各象限内的符号即可得解. 【解析】（1）因为，则，即， 又因为，则，即， 所以角属于第三象限； （2）由，且，知， 又因为，所以角属于第四象限． 题型四 由单位圆求任意角的正弦、余弦、正切、余切 13．角与单位圆的交点坐标为 . 【答案】 【分析】根据三角函数的定义结合任意角的定义分析求解. 【解析】因为，可知角与角的终边相同， 且，， 所以角与单位圆的交点坐标为. 故答案为：. 14．求角的正弦、余弦、正切、余切值. 【答案】，，， 【分析】在角的终边上取点P，使的长为1，利用定义求三角函数的值. 【解析】解：设角的终边交以原点为圆心的单位圆于点P，如图，过P点作x轴的垂线，其垂足为M.    在中，，由此可得 ，，所以，， 于是，，，. 15．已知角的终边与单位圆交于点，其中． (1)求实数的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题意可得，再结合可求得答案； （2）根据任意角的三角函数的定义求解即可. 【解析】（1）由角的终边与单位圆交于点，有， 又由，解得； （2）因为角的终边与单位圆交于点， 所以． 16．利用单位圆写出符合下列条件的角α的取值集合． (1)； (2)； (3)tan α≥1. 【答案】(1){α|α＝－＋2kπ或α＝＋2kπ，k∈Z}． (2){α|－＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z}． (3){α|＋kπ≤α＜＋kπ，k∈Z}． 【解析】略 题型五 特殊角的三角函数值 17．填表： 角 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° 角的弧度数 【答案】答案见详解. 【分析】利用特殊角的三角函数值即可求解. 【解析】 角 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° 角的弧度数                                                                                                     不存在 不存在 18．计算: (1); (2)已知在第四象限，求的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据特殊三角函数值直接计算得到答案. （2）根据同角三角函数关系结合角度范围得到答案. 【解析】（1）原式. （2），在第四象限，故， . 题型六 任意角的正弦、余弦、正切、余切，知一求三 19．根据下列条件，求角的正弦、余弦、正切和余切值中未知的量： (1)已知，并且是第三象限的角； (2)已知，并且是第二象限的角. 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】由三角函数值在各个象限的符号，再结合同角关系式即可求解 【解析】（1） 是第三象限的角， ，， ， （2）， 是第二象限的角，， ， ，. 20．若，则 ， ． 【答案】 / 【分析】根据同角的三角函数关系，即可求得答案. 【解析】由题意知，故， 则， 故答案为：； 21．已知，，则 ． 【答案】 【分析】利用三角函数的基本关系式结合即可求得和的具体值，则可求. 【解析】因为， 由 解得或 又， 所以，， 所以． 故答案为：. 22．已知是第三象限角，且 ，则 . 【答案】 【分析】利用三角函数同角基本关系式求解即可. 【解析】因为，且是第三象限角， 所以，， 所以. 故答案为：. 23．（1）已知，且是第四象限的角．求及； （2）已知，求及． 【答案】答案见解析 【分析】（1）先根据象限角判断，然后根据同角三角函数的关系求解； （2）先根据判断角所在象限，然后根据同角三角函数的关系求解 【解析】（1）是第四象限的角，则，于是，则； （2），则是第二或四象限的角， 当是第二象限角时，，由，解得； 当是第四象限角时，，由，解得； 题型七 由条件等式求三角函数值 24．若，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意结合求，，即可得. 【解析】因为，即， 且， 整理可得，解得或， 且，则，可得，， 所以. 故答案为：. 25．若，且，则 ． 【答案】/ 【分析】由已知条件结合平方和关系求出和即可求. 【解析】因为，所以， 又即， 故由平方和关系得即， 所以即，故， 所以. 故答案为：. 题型八 由平方关系求参数 26．已知，，则实数k的值为 . 【答案】0或1 【分析】运用同角三角函数关系式，结合正余弦值域解题即可 【解析】由于，．根据题意得到： ，即，解得. 满足,则k的值为0或1. 故答案为：0或1. 27．若，，则 ． 【答案】0或 【分析】根据，代入整理求解得出的值，进而得出的值，即可得出答案. 【解析】由已知可得，， 所以，， 整理可得，，解得或. 当时，，，； 当时，，，. 综上所述，或. 故答案为：0或. 题型九 三角函数线的应用 28．已知，且，，，则a，b，c的大小关系为 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义即可结合图形关系求解. 【解析】如图：作出的终边与单位圆的交点分别为, 由于，且， 所以，且，故，，， 故， 故答案为： 29．已知O为坐标原点，点P的初始位置坐标为，线段绕点O顺时针转动后，点P所在位置的坐标为 . 【答案】 【分析】求出点P在单位圆上，转动前和转动后的角，从而求出点P所在位置的坐标. 【解析】在第一象限，又， 故点P在单位圆上， 设点P的初始位置所在角为， 则，故， 顺时针转动后，点P在第四象限， 设转动后的角为，则， 因为， 所以点P所在位置的坐标为. 故答案为： 题型十 同角三角函数的基本关系 30．化简： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用同角公式的平方关系，结合通分变形，化简即得. （2）利用同角公式化简即得. 【解析】（1）原式. （2）原式. 31．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用平方关系，即可求出结果； （2）根据条件，利用平方关系和商数关系，即可求出结果. 【解析】（1）. （2）. 32．若为第二象限角，则可化简为 ． 【答案】 【分析】根据同角三角函数关系化简即可. 【解析】因为为第二象限角，所以，， 所以原式 . 故答案为：. 题型十一 正、余弦齐次的计算 33．已知角的终边过点，则 . 【答案】 【分析】由三角函数的定义求得，然后将齐次式化简求解即可. 【解析】由题得， . 故答案为：. 34．化简： ． 【答案】/0.5 【分析】根据同角平方和关系即可求解. 【解析】， 故答案为： 35．已知，则的值是 . 【答案】1 【分析】根据，由求解. 【解析】因为， 所以， ， ， 故答案为：1 题型十二 与的关系 36．已知，，求下列式子 (1) (2) (3)和和 【答案】(1) (2) (3)，，， 【分析】（1）由，两边平方可得； （2）由，求值即可； （3）由，求和和. 【解析】（1）由， 两边平方可得：， 所以. （2）由，又，则， 可得 （3）由，得：，，. 37．已知，且，则 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数的平方关系计算即可. 【解析】由可知， 又 ，即， 则， 所以， 故. 故答案为：. 38．已知，，则的值为 . 【答案】 【分析】由题意可得可得，，再根据，计算求得结果． 【解析】由，，可得，， ． . 故答案为：. 39．已知，，则 . 【答案】 【分析】两边平方即可得到，代入得到即可. 【解析】由已知，所以， 所以. 故答案为：. 40．若．则 ． 【答案】8 【分析】对等式两边同时平方，由同角的平方关系可得，结合同角的三角函数关系化简计算即可求解. 【解析】由，得， 解得， 所以. 故答案为：8 41．已知是方程的两个根，，则角等于 ． 【答案】 【分析】由韦达定理结合同角三角函数的基本关系即可求得答案. 【解析】∵ 代入，得，即． 又∵，∴，， ∴，． 又∵，∴． 故答案为：. 题型十三 证明恒等式 42．证明下列恒等式： (1)； (2)． 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】（1）展开即可. （2）通分，再利用化简即可得到答案. 【解析】（1）， . （2） . 43．证明下列恒等式： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）由左边，利用同角间正弦、余弦的关系，化简变形即可的证； （2）由右边，展开，利用同角间正弦、余弦的关系，化简后分解因式，即可得到左边，恒等式的证. 【解析】（1）左边 右边. 则恒等式成立. （2）右边 左边. 则恒等式成立. 一、填空题 1．若，其中，则 . 【答案】 【分析】由确定，讨论、，应用作差法比较大小，即可得答案. 【解析】由且，则， 当时，，此时，， 所以，即，满足题设； 当时，，此时，， 所以，即，不满足题设； 综上，. 故答案为： 2．已知，若，则的值为 【答案】 【分析】根据给定条件，利用同角公式求出，再代入计算作答. 【解析】因为，，则有， 有，即，， 因此， 所以. 故答案为： 3．若，则的最大值为 ． 【答案】0 【分析】记，则将原等式代换化简为，则得到最后答案. 【解析】由题意可得,的取值范围均是，所以. 记，则， 于是题中等式即为， 化简整理得， 于是或或. 若,则,不符合题意. 因此或，所以. 故的最大值为0. 故答案为：0. 二、单选题 4．以下命题正确的是（    ） A．都是第一象限角，若，则 B．都是第二象限角，若，则 C．都是第三象限角，若，则 D．都是第四象限角，若，则 【答案】D 【分析】根据角所在象限，应用对应函数线的大小关系判断各项正误. 【解析】A：都是第一象限角，如下图单位圆中， 此时，错；    B：都是第二象限角，如下图单位圆中， 此时，错；    C：都是第三象限角，如下图单位圆中， 此时，错；    D：都是第四象限角，如下图单位圆中， 此时，对.    故选：D 5．已知，则（    ） A．6 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先应用把已知分式转化为齐次式，再应用弦化切计算得值. 【解析】 故选：C. 6．当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（    ） A．6 B．10 C．12 D．16 【答案】D 【分析】由同角三角函数的基本关系和基本不等式求最值. 【解析】因为，所以. 由，得. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以实数的最小值为16. 故选：D. 三、解答题 7．在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点． (1)若，求及的值； (2)若，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标及，再利用齐次式法计算即得. （2）利用同角公式，结合三角函数定义求解即得. 【解析】（1）角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点， 当时，，则， 所以． （2）依题意，， 由，得，代入， 于是，解得， 即，所以点的坐标为． 8．已知关于的方程的两个根分别为和，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)求方程的两根及的值. 【答案】(1) (2) (3)两根为，或 【分析】（1）由和是方程的两个根得，利用商数关系，求出代数式的值； （2）利用平方关系，和，求得的值. （3）解方程，得和的值，由，得的值. 【解析】（1）因为和是方程的两个根，所以， 原式. （2）因为，所以， 所以，解得. （3）由（2）可知，，所以方程为，其两根为， 所以或，又因为，所以或. 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$