第1课时 角平分线的性质定理及其判定定理(PDF部分书稿)-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版 山西专版）

思准拓爆 ,R△ER△DHl.O,∠DE=∠DCF.∠DCF+∠CD=, 写这点E用AB的平行线交C的是长线于一点)上话明，过点A作A联凳D 上解：小连接PB℃P军有直平分H,N有直平分C,1=PH.卫LP, ∠Dk+∠MD=I.即∠A0+∠ACD=1ar 的E长复于点明∠M-∠D取二D平分∠A,∠D=∠取，∠M 二H=,点P在线爱C的属直平登接上，()P吧承直平分AB,PA=B. ∠Ai队∴1M=A:MC,EF及，.AMF,÷∠=∠DFE在△A国 EA-B,六∠PAI=∠PH4,∠PAB=∠F4,六，∠AB-∠AI=∠PH =∠eE, ∠FL,锋∠PF=∠PHF同现∠PAN=∠N.★1)年PB=代，∴∠PHF △F中， ∠=∠EDF,△2△TFAS》,AMmF,,A ∠FX∠F-∠N,原AP华分∠LN:)r[第所，PE套在平分 AD-ED. AB,直平分AC,FA=FB,NA=N,∠AE于=∠A-G.复∠AC=r, 第2课时三角形的三条内角平分线 F亚隔：量长AD交C子边F.E平分A..∠A一∠以，AD ∠uB=头∠F出m∠A=∠NC=∠TX在△ABC中，∠A十 淋密议美 5-,∠A/N=∠T=N,r一∠AD-∠A=r-∠FD-∠F7,p ∠D∠FD.∠FD=∠AD+∠C,∠D=∠CD+∠C4旺， ∠B+∠oWr∠FANi+y+广4+y-,+yr在国 LC2IA21:34解，走接OL,过点0作E⊥AB干直E(FLAC千直F 指0)登科平分∠A和∠第，军-0=4F一多，.■=8+5m 长1，(D交于点Q:∠B1E-,山∠CAQ-,∠Q十∠Q=w.i∠BE 边BAEP中，∠AEP+∠AMP+∠E1是+∠FPNH3,∠FPN=1r-r =∠AQ￥(DLE..∠'=，，/AE+∠Q=,.∠日=∠AHB在 E·B+球，A-×2《+-×2×如-1群&B 7解：图.意0甲是小停中心的良置 △AE和△AQ中，ABM, ,△AE2△AQA541,,E=OD +角平分线 ∠BAE=∠CQ 第1课时角平分线的性质定理及其刺定定理 平分∠Aw,∠=∠T又：∠图=∠HDQ=..mr-∠QI0 基毽过美 能力规升 CD,Q=2D,E=2以5解，如图，作AEAL ADI 1,0【安式】3号玉证螺：“∠-阿，EL.AD是∠从给平分线，地 餐非A日N国IL,解：补充延月过程超下，∠A=T,AM=(3 DE-IC. ·24-∠ARA-号×(1r-1)-现，：△4r为等迹三雅8，∠B .∠C=∠港=在△DH阳△F中，，∠E出∠C,∴△DT△ ∠IAC=∠A=r,:∠BAM=∠k+∠AC=r+3=0,∠M= C,D=DE-4.”ABAE.∠Bm∠AEDT∠空∠C,∠D2∠C.又 ∠APD=∠C+∠EC∠-∠C+∠EC,∠=∠Ek,AE.AH S.D一下A4D名在一个角的内厚，到角的料边距肉相零特点在这学角的 ∠度M十∠RA=0+=可，∴.A上4，M⊥CPM平分∠PN,复 平线上a解：点)在A的平分线上，理由如下，：以)，若是△A的两条高， NP,=M=在R△N△2N中， N-AM.ih△sLv MAMQ. -f,1D=6,2=4.∴军=1Df=n4=2,.A=忆 6用：u润 在边AC上截取AP=AB,莲接贝 A0平分∠俱C,.∠AD ∠m∠T4 5∠D=∠(70=.在△EBD有△D)中. ∠AE∠(D,△.BB k:△12NHl3,-AN=QN属理可图.4P-Q".∴.NP-QN+Q-AN+月 0=t, 思量后解 AB-AP, △(TKAs.感-(0义：LAC4ELA比：点)在∠A的平年线上 2解，1正E=FD理由下，过点F作FM⊥山干点，FN⊥干点N:FH工 =∠Ln在△AD和△AD中，∠BD=∠PAA△ABDZAPD4SS1, 佳力雪升 AC干直H,则∠3业-∠FND-0?D.CE分湖是∠BC,∠B的平分钱 AD-AD. T,D8,3万男解，(1)，A(,÷∠6D+∠AxC=1了.AM平分∠D. iFM-H-FN,∠2AFP-∠Fa-∠B-1r-∠n-×-- ∠8=∠APD,l)=:∠I-2C,∠=∠呢4，∠，÷2∠C∠+ ∠LMD=2∠A"f平分∠ADC:∠A=2∠AD,2∠ND+ ∠，：∠PC∠C,电=，六=℃，，AB+提A+找=C.乙解， 1,∠E-∠AT-÷∠MI-文×-，÷∠A-∠C+∠xA-a 2∠AD-i,∠MD十∠AAM,∴∠AD,图LDM(2)过点M 小在灯上藏取D一E,连接DE能图霄. AB-AC, 作MN LAD F点N.:∠=，A8D..∠C=1'-∠B-1==, +4=75,∠A=r-∠DM=-1=T,÷∠F=∠NIF,△E ÷A,(M山：AM平分∠D,Dw半耸∠A风，÷M-MX,X-(M, △DNMS,FE和FD:2成之，话明mF,过点F作F⊥AB于点G,FZ⊥C 于点Z,AD,E分拼是∠k.∠AH的平分线.F=FZ.∠FRE=∠FD ∠=0.∠A==(一r门+2=半∠AC.∠E 六MN--(一子推-号×将-.甲点到AD的离为七 ,"∠FD-∠B+∠BAD-+∠C,∠F-∠B+∠E-∠BAC+ ∠AE-.HDuE,∠E=∠ET(一a+1又V∠DE 思推拓属 =∠C+∠ED,∠C=,∠CD=-∠C.E=DC过点E作LB交 明，I)如州②，过点D作DE⊥B下点E:研⊥C交C岭矣线干点F. 宁∠T-∠RC+1m-∠B-∠O-∠C+子1ar-m-∠O- AA的猛长投于点M.作NL于点N.:球平分∠AC.制LHL.NLC四 ?D甲分∠LCE⊥H,DF⊥CDE=DF,∠DEB=∠F■0，：∠ED+ f=EN.:∠RC'=Ir,,∠CAf=1-I0W=.在△E2A相A.ND中， ∠AD-I",∠D+∠F=1r.∠BD=∠FT在△DH和△F℃中. 阿+令∠MC.∠Fi-∠F2.△Fa△F2AS,F-Fm ∠EM=∠EDN=8r, C-∠， 小专题（三）构造等腰三角形的四种法 ∠A1R=∠DNE-,品△@△D(AS,EA=2又YDE DC ∠DE=∠F,÷△△XAAs1,÷第=C2U如国3，过点D作E L明：这点D作风N.交食CP点M.÷∠沿=∠.∠DN=∠RA M-EN. DE-DF, =MC,,∠B∠ACB,,∠B=∠M形，，D=,D=E,,D=(E在 ∴EA=风，-D十-E+品2-E+A限毫由 L于点E,W⊥交AC的延长线于点F,“D草登∠儿DE⊥AB,WI ∠FM-∠E 量下，在百上本P■E连我PE,如答求.？U小C =- C第-D球.∠E消-∠-，在A管相的AD中， △DAF和△BF中 ∠FD-∠cFE.△DNF2△下AA5).DF-EF,度 ∠-10.∴.∠山报=∠C=(w-1w÷8=6.(中- 1L店mDF, MD-CE. 笔.÷∠f-1r-◆2=2..F=1T-72=1需.∴.∠g=∠九图 第7页（共60南） 第8医（共0百） 第0直共6D页)4 角平分线 第1课时 角平分线的性质定理及其判定定理 基础过关逐点击破 知识点2 角平分线的判定定理 知识点1 角平分线的性质定理 4.如图,OC是 MON内部一条射线,P为射 线OC上一点,PA |ON于点A,PB |OM 1.(教材P。习题T;变式)如图,点P是 AOB 于点B.下列不能判定OP是 MON的平 的平分线OC上一点,PD OB,垂足为D 分线的是 ( ) 若PD-2,则点P到边OA的距离是 ~ A. MOC= /NOC B. PA-PB A.1 B.2 C.③ D.4 C.OA=OB D. PB-OB (第1题图) (变式题图) )叫 【变式】(2024·太原期末)在RtABC中. (第4题图) C=90*,AD平分 CAB交BC于点D (第5题图) 若BC-8,BD=5,则点D到AB的距离$ 5.(2024·晋中平遥具期中)小明同学在学习 为 ) 了角平分线的性质后发现,只用两把完全相 C A.3 B.4 C.5 D.6 同的直尺就可以作出一个角的平分线,如 2.(2024·北京朝阳区校级三 图,一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住 射线OA并目与第一把直尺交于点P,小明 模)如图,在△ABC中,AD平 分 BAC,DE | AB.若AC= 说:“射线OP就是 BOA的平分线,”小明 3.DE-1,则△ACD的面积为 的做法的理论依据是 3.如图,在△ABC中,C=90{*},AD是BAC 6.如图,锐角三角形ABC的两条高BD.CE相 的平分线,DE AB于点E,点F在AC上 交于点O,且OB-OC.判断点O是否在 A 且. BE=CF.求证:BD-FD 的平分线上,并说明理由 名师测控·数学八年级 下册(BS) 19 能力提升整合运用 思维拓展 学科素养 7.(2024·运城盐湖区期末)如图,在△ABC 10.【感知】 中, BAC=90*,AD是高,BE是中线,CF 如图①,AD平分BAC,B十C= 是角平分线,CF交AD于点G,交BE于点 $8 0^{*},$ B-90^{*,易知:DB-DC$ H,给出以下结论:①SA=ScE; 【探究】 $② AFG= AGF;③ FAG=2 ACF;$$$$ (1)如图②,AD平分BAC,ABD+ ④SAcF:Sncr=AC:BC.其中,正确的个 ACD-180*,ABD90”。 数为 ) 求证:DB-DC; A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (2)如图③,AD平分 BAC,BD=DC,AC AB.求证:ABD十ACD=180* ##_#_# (第7题图) (第8题图) 图① 图② 8.如图,射线OA上有一定点C,AOB的平 图③ 分线上有一动点P,过点P作PM IOA于 点M.若 AOB=60{*},OC=6,则PM+P$C$ 的最小值为 9.如图,在四边形ABCD中,B三90{*,AB/ CD.M为BC边上的一点,且AM平分 BAD,DM平分ADC (1)求证:AM DM; (2)若BC-8,求点M到AD的距离 20 第一章 三角形的证明