第3课时 等腰三角形的判定与反证法(PDF部分书稿)-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版 山西专版）

第3课时 等腰三角形的判定与反证法 ②基础过关。逐点击破 知识点2反证法 知识点1等腰三角形的判定 5.(2024·晋中期未)请阅读以下关于解答“在 △ABC中，AB=AC.求证：∠ABC<90”的 1.情境题平板保护壳如图是一个自带支架的平 板保护壳及其简易图，若∠ACB=∠ABC, 过程 证明：假设∠ABC>≥90° AB=13cm,则AC的长为 .AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB>90°， ∴.∠ABC+∠ACB>180° 这与“三角形三个内角的和等于180”相矛盾 ∴.假设不成立，.∠ABC<90° A.11 cm B.12 cm 这种证明方法是 C.13 cm D.14 cm A.综合法 B.反证法 2.下列三角形不是等腰三角形的是 ( C.枚举法 D.归纳法 6.(2024·太原期中)用反证法证明命题“三角 00 45P0 559 409 形的三个内角中，不能有两个直角”时，应假 B D 设这个三角形的三个内角中 ) 3.(教材P可题T,变式)如图，上午8时，一条 A.可以有一个角是直角 船从海岛A出发，以20 n mile/h的速度向正 B.可以有两个角是直角 北方向航行，10时到达海岛B处.从海岛A,B C.三个角都是直角 望灯塔C,测得∠NAC=34°，∠NBC=68°，则从 D.三个角都不是直角 海岛B到灯塔C的距离为 n mile. 7.已知命题A:“带根号的数都是无理数”，在 几灯塔CN 下列选项中，可以作为判断“命题A是假命 68 岛B 题”的反例的是 ( A.√ B.2 C.√⑧ D.5 岛4 8.阅读下列文字，回答问题， 4.如图，点E,F在BC上，BE=CF,AB=DC, 题目：在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠ AF=DE,AF与DE交于点G 45°，则AC≠BC 求证：△EFG是等腰三角形. 证明：假设AC=BC.因为∠A≠45°，∠C 90°，所以∠A≠∠B,所以AC≠BC.这与假 设矛盾，所以AC≠BC 上面的证明有没有错误？若没有错误，指出 其证明的方法；若有错误，请予以纠正 名师测控·数学八年级下册(S)5 习能力提升。整合运用 思维拓展。学科素养 9.(2024·临汾侯马市二模)反证 11.新考法精想验证法如图，在△ABC中，已知 法是从反方向证明命题的论证 ∠ABC=∠ACB,BO平分∠ABC,CO平分 方法.如图，想要证明“如果直Co味 ∠ACB. 线AB,CD被直线EF所截，AB∥CD,那么 (1)图①中的等腰三角形是 ∠EOB=∠EOD.”先假设∠ECOB≠∠EOD (2)若过点O作一直线EF和边BC平行， 过点O作直线A'B',使∠EOB=∠EOD, 与AB交于点E,与AC交于点F,如图 由“同位角相等，两直线平行”，可得A'B∥ ②，则图②中有哪几个等腰三角形？线 CD.这样过点O就有两条直线AB,A'B'都 段EF和EB,FC之间有怎样的关系？ 平行于直线CD,这与数学中的一条基本事 (3)若∠ABC≠∠ACB,其他条件不变，如 实相矛盾，说明∠EOB≠∠EOD的假设是 图③，则图③中是否还有等腰三角形？ 不正确的，于是有∠EOB=∠EOD,上述材 (2)中第二问的关系是否仍然成立？写 料中的“基本事实”是指 出你的理由。 10.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,E是 BC上一点，BE=CD,EF∥AD交AB于点 图① 图② 图③ F,交CA的延长线于点P,CH∥AB交AD 的延长线于点H (1)求证：△APF是等腰三角形： (2)猜想AB与PC之间有什么数量关系？ 证明你的猜想。 【变式】（教材P,随堂练习T 变式)如图，在△ABC中， BC=7,∠ABC和∠ACB的 平分线相交于点D,过点D B 作BC的平行线交AB于点E,交AC于点 F.若△AEF的周长为14，则△ABC的周 长是 6第一章三角形的证明解力提升 第4课时等边三角形的判定 参考答案 段D机B1.12解，(1)：么AC是等站三角形，二∠=∠A=∠C-. 基键过关 “∠B+∠1-∠w-∠DF+∠2.又“∠WF-,六∠2-1-，25F L,D2B3.两：DC=DB,品∠DB∠B.∠AHC-∠H+∠H6 第一章三角形的证明 议3.品∠2=∠11)可得∠1=∠2.品∠1=∠ +=又，AD=汇，.△4晶等边三角形.4A景C(C7,0m 早围拓展 I等腰三角形 13解，(1过点P作F8Q'交于直F.△AC量等动三角形，，∠A=∠A用 元解，0=AC,∠-15，∴∠-∠C-号×0-18w-30."A5 第1深时全等三角形和等能三角琴 -∠-m.“paC,÷∠AFP-∠-，∠AW-∠-r.则∠A BE∠E=∠I=W,∠CAE∠且C-∠HE=10r-0旷1 帮毽过关 ∠AFP一∠AP下一r..△AFP是等边三角形，AP一PF-AF,:点P,Q同时 1,B22知表量明：C是∠E的早分授，∠HC-∠D4E在△HC和 发，且速度相树.QAP.,Q=PFPF8QC,击∠Q∠DPF在△D知有 ∠CAE∠C-,品AR=又YD为的中点E助- ∠假C=∠ME, ∠LQD-∠PF, A=又：∠ASD-∠B+∠RAB-r3m一网，.△AD呢是等道其角形 △E中，∠C=∠E .△B0△nAM,:DE4B510r △成P中.∠Q-∠，.△D心△WP(AAS.÷D=FA∠A- 韩力慢升 AB-AD. 0-FP, 头，目组y4寻于L,6或比社解：接D”AB-AD=7∠A=m,六△AD k1.【变式11C【麦式118%丽：YAB=MC,∠4C-8,AD⊥， 时，∠2aD=.+∠Q∠AW-∠a0--=a,∠屁0∠0 基写音三角形.)-AB-1.∠AD-,在△国)中.程一1，少一5，-2， 分∠D-∠CD-∠我C-士×-，”AD-A.∠6-士×8- 四-0.州-FD-W-A-号-号-.六AP-3(2复段成的长 ?7+2=,.D+议子=D,△D:是直角三角形，且∠H0mW, 不发生雯化由门相D?△AFP是等边三角慰，PEAF,E一E平，，DE ∠BD-号×1r-的-，∠E-∠A-∠CD-0-0r.头7 ÷∠A度-∠AB图十∠C=ar十国'=1,1成用：：AH=m'-AM.△A ◆(I+AD=A=4,.呢+《D+力=5，海[E+尾=6，÷DE-1 ABCI 【雯式小 第3课时等稀三角形的判定与反远法 是等边三角形.∠M0=∠C=r,在△AE和△CAD中. ∠MFm∠C. 能力智升 幕陆位关 AE-CD. 1B5,H210心k证明：生接A以￥AB=AC,D是的中点.AD平分 LCA群人4箱4证用：：BE(F,.E+FF+EF,目FE在△AHF ÷△AB△CA8A8,∠A=∠CAA∠i9-∠AB5+∠BAP-∠CD AEAF. AF DC. +∠A1P=∠BM=f,又2LD,,∠QP=,,∠PQ=-∠Q ∠EC,品∠EAD∠FUR在△AD阳△AFD中，∠EAD-∠FAD,△AED 自△笔中，-(E△4F△0.∠AF-∠置.-，目 0一-.∴.-gQ AD-AD. AF-DE. 明雄英展 △FxSS.六DE-E4.解，(DD-贴，∠DE-∠DRYE半分 △EF0是腰三角冠，5B反B?,A米解：希情覆，改正如下：餐设AC=我周 4解U在等迪三是形A中，-A6一0m”拉广肆动的速度为会/，结动 ∠W∠D-∠HE.∠EB-∠《E.p呢家：E,∠C- ∠A=∠L,∠C=时，∠=∠A=.这与∠A秉屑，C=不度立， 的时间为t,,P=m山P■C一P■一m点Q移动的速度为 ∠D=45.直△A'中.∠A+∠AC+∠C-3',∠AC+1s-∠A-∠C “AC≠ 能力规外 1m,徐动的时间为r.二一03)“在等边三角形Aa中.2小=4.∴.若 1r45--.E是△V江的分线∠汇子∠-寸×-浴 象经过直线外一点，有且只有-一条直线与已知直风平行依解1)如周，E于AD. △四为等洁角卷，剩有国-P,厚动一-，解得一是的过号，△P网 思撞拓展 ∠1=∠4∠2=∠P.VAD平分∠AC∠1m∠2，∠4=∠P.AF=AP.则 为等边三角服 1线期，I”(2)3f1∠D=空∠EDC(4)仍成立，理由如下，？UD■AE, △APF是等幅三角形： A=代理由u下，：CH及A,∠= 小专题（一）运用分类时论思求解等版三角形中多解向题 ÷∠A12-∠AD,∠D+∠I=∠U-∠A0E+∠C'-∠A0+∠ LC玉7孩：矿，6线T,,切3非419m减1n5.生我年点.解，分偶料 -∠E+∠+∠ED-2∠ETDC+∠CAh-C,∠B-∠C,∠HD 情混H怆①君∠<，如DL,∠A+∠的-，号∠AD= 2/X 第2深时等能三角彩的精珠性质与等边三角移的性覆 ·∠A---亿.：A-六∠A度-么C-支×1m-2的-若 ∠H,∠H=∠、EFAD,∠1=∠3.·∠H=∠1，在△F和△DH中 基础过美 ∠A>W,1用②同BW得∠AD-e-g-世.？AB=C,六∠A度=∠C 1.1准玉E明，了即，正是△Ag的两条中线.D一专C,E子A级 ∠=∠H,△E△DHCAAS,F-CH.,AD平分∠AC.÷∠I=∠2 ?∠A千∠-∠A0∠A-.∠A段一，3上所延，波等聘兰角形 BE-C. 幢角的度数为该2： BE CD. ∴∠2-∠HAC=H.A'=BFAB-AF+F,P-AP+AB= -C六E-(D∠A-∠1K在△B和△B中.∠EK-∠B. 早围拓展 =, 1L解，(1)△，L,△C(2)思g中共有5个尊腰三角形，△A,△段，△白入 △2a☑△CH59.∠B-∠DC,+D后4.B下.1F8.证明： △U,△A手线段罩阳出.之民的关系为F=E+《并=B,(3丽 △相A从E是等边三角®，·∠B■∠CA=,F=度，M=直 中还有等覆三角形，图△E和△形，()中F一B十FC仍然减之，甲由知下 7,解：分两种辅况转论：①如图面，当An的系直平分视1N与A心相定于点D时： ∠FRB十∠报A=∠文1十∠A.即∠FA=∠仪军在△F℃A和△军中， 甲计∠A,)平分∠B.∠Ea∠a人∠F口)=∠汉又女EF》 ?∠AD-,∠ADM=,∠A=g--以.BM∠B=∠C =改 ,,∠且8=∠C-∠度∠上T度)=∠得，∠C=∠，，E ∠FEA-∠E,△F℃△E或sAS,证E 荐人其一气.△模害相△球韩是等睡三角形，.下一计月一+ 国。辽一5，如周，弯A出特零直平分线AN有CA阴题长线相受干点D时， C-CE. 【空式划 ∠AD-m,∠A0R-4世.∠AB-r-0-.5-C,∴∠A-∠C 第1页（共60南） 第2军（共0百） 第3ī（共60页）