第09讲 三角形的中位线（1个知识点+4大考点举一反三+过关测试）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（人教版）

第09讲 三角形的中位线 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.探索并证明三角形中位线定理； 2. 利用中位线的性质计算。 知识点：三角形的中位线 三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 的中点，连接 DE.像 DE 这样， 连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线. 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。 考点一：与三角形中位线有关的求解问题 例1.（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是的中点，连接，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，是的中位线，若，则的长是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1-2】（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，四边形，已知对角线相交于点，且，点分别依次为四边形的边的中点，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式1-3】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为 ． 考点二：三角形中位线与三角形面积问题 例2.（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，平分，于点D，且，则的面积为（　） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式2-1】（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是的中点，在上且，连接，相交于点，则 ．    【变式2-2】（2023·吉林长春·一模）如图，将△ABC沿其中位线DE翻折，点A落在BC边上的A′处．若BA′：A′C＝2：1，且△DB A′的面积为4，则△ABC的面积为 ． 【变式2-3】（22-23八年级下·广西钦州·阶段练习）如图所示，已知的面积为，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，，依此类推，第个三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 考点三：与三角形中位线有关的证明 例3.（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）如图1，如图，在四边形中，，E、F分别是、的中点，连接并延长，分别与、的延长线交于点M、N，求证：．（不需证明）． (1)如图2，在四边形中，与相交于点O，，E、F分别是中点，连接，分别交于点M、N，判断的形状，请直接写出结论； (2)如图3，在中，，点D在AC上，，点E、F分别是、的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，若，连接，判断的形状并证明． 【变式3-1】（23-24八年级下·山东滨州·期中）（1）如图①，在四边形中，、、、分别是、、、的中点．求证：四边形是平行四边形． （2）如图②，在四边形中，、、、分别为、、、的中点，求证：与互相平分． 【变式3-2】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在四边形中，对角线和相交于点O，，点M、P、N分别是边的中点，连接，交于点E，交于点F，Q是的中点，连接．    (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【变式3-3】（23-24八年级下·广东梅州·期末）如图，在中，平分， 于点E， 点F是的中点． (1)如图1，的延长线与边相交于点 D， 求证：； (2)如图2，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 考点四：三角形中位线的实际应用 例4.（23-24八年级下·广西南宁·期末）【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．    测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小．    小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得．    求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．         【变式4-1】（23-24八年级下·青海海东·期末）如图，小康想测量池塘两端的距离，他采用了如下方法：在的一侧选择一点C，连接，再分别找出的中点，连接，现测得米，则之间的距离为 米． 【变式4-2】（2024·广东汕头·一模）如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点C，D分别是的中点，若，则该工件内槽宽的长为 cm． 【变式4-3】（23-24八年级下·河南三门峡·期末）（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________． 证明：过点作，与的延长线交于点． （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________________．    一、单选题 1．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点），若，则点距离地面的高度为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·全国·期末）如图，为测量池塘边上两点A，B之间的距离，小敏在池塘的一侧选取一点O，测得的中点分别是点 D，E，且，那么A，B两点间的距离是（      ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·福建南平·单元测试）如图，在中，D、E分别是的中点，，F是线段上一点，连接，，若，则的长度是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，在中，，，点，，分别是，，的中点，则四边形的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 6．（23-24八年级下·江西南昌·单元测试）如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．不确定 7．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图，在四边形中，E、F分别是，的中点，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 8．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，D，E分别为，的中点，平分，交于点F，若，则的长为（　　） A． B．1 C． D．2 9．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 10．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图，中，，，，，，则的长为（  ）    A．6 B． C．7 D．8 11．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图， 四边形 中，，，，点 M，N 分别为线段， 上的动点（含端点， 但点 M不与点B 重合）， 点 E， F 分别为， 的中点，则长度的最大值为（     ） A．3 B． C．4 D．2 二、填空题 12．（23-24八年级·山东枣庄·期末）如图，的对角线、相交于点O，E是中点，且，则的周长为 ． 13．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，的对角线相交于点，点分别是线段的中点，若，的周长是，则 ． 14．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，的周长为，连接三边中点构成第一个，再连接的各边中点构成第二个，依此类推，则第个三角形的周长为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 三角形的中位线 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.探索并证明三角形中位线定理； 2. 利用中位线的性质计算。 知识点：三角形的中位线 三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 的中点，连接 DE.像 DE 这样， 连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线. 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。 考点一：与三角形中位线有关的求解问题 例1.（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是的中点，连接，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键； 根据题意可得O是的中点，利用三角形的中位线的性质即可求解． 【详解】因为四边形是平行四边形， 所以对角线、互相平分， 即O是的中点， 又是的中点， 所以是中位线， 所以， 所以． 故选：B． 【变式1-1】（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，是的中位线，若，则的长是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．已知是的中位线，，根据中位线定理即可求得的长． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴． 故选：B． 【变式1-2】（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，四边形，已知对角线相交于点，且，点分别依次为四边形的边的中点，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，在中，根据点为中点可得，同理可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，在中，点为的中点， ∴， 同理，在中，， 在中，， 在中，， ∵四边形的周长为， ∵， ∴四边形的周长为， 故选：B ． 【变式1-3】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理计算得到答案． 【详解】解：∵， ， 平分， ， ∵E为的中点， ∴是的中位线， ， 故答案为：3． 考点二：三角形中位线与三角形面积问题 例2.（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，平分，于点D，且，则的面积为（　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】延长交于E，利用“”证明得到，，再根据三角形的中线平分三角形的面积得到，进而可求解． 【详解】解：延长交于E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， , ∴， ∴，， ∴，又， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，添加辅助线构造全等三角形求图形的面积是解答的关键． 【变式2-1】（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是的中点，在上且，连接，相交于点，则 ．    【答案】/0.6 【分析】取中点可证得，进一步推出故可得出结论． 【详解】解：取中点，则是中位线， ∴， ， ∴， ∴ 设，则，， ∴， 故答案为．    【点睛】本题考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识点．结合条件进行几何推导是解题关键． 【变式2-2】（2023·吉林长春·一模）如图，将△ABC沿其中位线DE翻折，点A落在BC边上的A′处．若BA′：A′C＝2：1，且△DB A′的面积为4，则△ABC的面积为 ． 【答案】12 【分析】连结AA′，将△ABC沿其中位线DE翻折，点A落在BC边上的A′处．可得DE∥BC，且DE=，AA′⊥DE，根据BA′：A′C＝2：1，可得S△BDA′：S△EA′C =，由，S△EA′C=，由S△BDA′+S△EA′C=6=，而S△ADE=S△A′DE=，可求S△ABC=S△ADE+S△A′DE+S△DBA′+S△AEC即可． 【详解】解：连结AA′， ∵将△ABC沿其中位线DE翻折，点A落在BC边上的A′处． ∴DE∥BC，且DE=，AA′⊥DE， ∴S△BDA′=，S△EA′C=， ∵BA′：A′C＝2：1， ∴S△BDA′：S△EA′C=：=， ∵， ∴S△EA′C=， ∵S△BDA′+S△EA′C=+====4+2=6， 而S△ADE=S△A′DE=， ∴S△ABC=S△ADE+S△A′DE+S△DBA′+S△AEC=4+3+2+3=12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查三角形面积，折叠性质，中位线性质，掌握三角形面积求法，折叠性质，中位线性质，利用等高三角形面积比等于底的比来运算是解题关键． 【变式2-3】（22-23八年级下·广西钦州·阶段练习）如图所示，已知的面积为，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，，依此类推，第个三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理求出第二个三角形的面积，同理第三个三角形的面积，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图：过点A作于G，交于H，则， 、E、F分别为、、的中点， 、、分别为的中位线， ，，，， ，， ， 同理：第三个三角形的面积=， 第四个三角形的面积第三个三角形面积， ……， ∴第2013个三角形的面积为， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，找出规律是解题的关键． 考点三：与三角形中位线有关的证明 例3.（23-24八年级下·辽宁阜新·期末）如图1，如图，在四边形中，，E、F分别是、的中点，连接并延长，分别与、的延长线交于点M、N，求证：．（不需证明）． (1)如图2，在四边形中，与相交于点O，，E、F分别是中点，连接，分别交于点M、N，判断的形状，请直接写出结论； (2)如图3，在中，，点D在AC上，，点E、F分别是、的中点，连接并延长，与的延长线交于点G，若，连接，判断的形状并证明． 【答案】(1)为等腰三角形； (2)是直角三角形，证明见解析 【分析】（1）取的中点H，连接、，证明分别是的中位线，得到，，进而证明，，即可证明是等腰三角形； （2）连接，取的中点H，连接，根据三角形中位线定理和平行的性质证明即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形；证明如下： 如图，取的中点H，连接、， ∵E、F分别是、的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：为直角三角形，证明如下： 如图，连接，取的中点H，连接，      ∵F是的中点， ∴， ∴， 同理，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． ∵， ∴， ∴， ∴， 即是直角三角形． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理以及平行线的性质和等腰三角形和直角三角形的判定．通过添加辅助线构造三角形的中位线是解题的关键． 【变式3-1】（23-24八年级下·山东滨州·期中）（1）如图①，在四边形中，、、、分别是、、、的中点．求证：四边形是平行四边形． （2）如图②，在四边形中，、、、分别为、、、的中点，求证：与互相平分． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键． （1）连接，根据“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”可得，，，，进而可得且，即可证明结论； （2）连接、、、，结合三角形中位线的性质可证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可证明结论． 【详解】证明：（1）连接， ∵、分别为、的中点， ∴为的中位线,， ∴，， 同理可得，∴为的中位线， ∴，， ∴且， ∴四边形是平行四边形； （2）如下图，连接、、、，    ∵、、、分别为、、、的中点， ∴且，且， ∴且， ∴ 四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 【变式3-2】（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在四边形中，对角线和相交于点O，，点M、P、N分别是边的中点，连接，交于点E，交于点F，Q是的中点，连接．    (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形．理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理： （1）根据三角形中位线定理得到，则由三线合一定理可得； （2）根据三角形中位线定理得到，，则，．再由，得到，则．即可得到，即是等腰三角形． 【详解】（1）证明：连接． ∵点M，P分别是边的中点， ∴为的中位线， ∴． 同理可知． 又∵， ∴． ∵Q是的中点， ∴．    （2）解：是等腰三角形．理由如下： ∵点M，P分别是边的中点， ∴为的中位线， ∴， 同理可得， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∴，即是等腰三角形． 【变式3-3】（23-24八年级下·广东梅州·期末）如图，在中，平分， 于点E， 点F是的中点． (1)如图1，的延长线与边相交于点 D， 求证：； (2)如图2，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、等腰三角形的判定和性质． （1）先根据, 得, 再根据角平分线的定义得出, 进而得出, 所以, 根据等腰三角形的三线合一, 推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题. （2）延长交的延长线于根据角平分线得到得出, 根据两角和为, 证明，根据等腰三角形的“三线合一”，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题. 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵于点E， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点， 又∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴； （2） 证明如下： 如图中，延长交的延长线于. ∵, ∴, ∴, ∵ 平分, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∵是的中点, ∴是中位线 ． 考点四：三角形中位线的实际应用 例4.（23-24八年级下·广西南宁·期末）【综合与实践】 任务 如图1， 测出水池A， B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）．    测量工具 皮尺    皮尺的功能： 直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 测角仪    测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P， Q两点，可测得的大小．    小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2， 水池外选点 C， 用皮尺测得； （2）分别在上用皮尺测得，测得．    求解过程 由测量可知： ∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的______ ∵， ∴______． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离，依据是 ； (3)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用直角三角形的知识求水池A，B两点间的距离，请你画出示意图并写出测量及求解过程（要求测量得到的线段长度用字母a，b，c，…表示，测量次数不超过3次）．         【答案】(1)见解析 (2)三角形的中位线等于第三边的一半 (3)示意图见解析， 【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，含30度直角三角的特征． （1）根据三角形中位线的性质即可解答； （2）三角形的中位线等于第三边的一半； （3）用测角仪在点A处测出，在射线上找一点G，用测角仪测出，然后用皮尺测量出，利用含30度直角三角的特征即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴点M是的中点， 点N是的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． （2）解：由（1）可知小明测出水池A，B两点间的距离， 依据是：三角形的中位线等于第三边的一半； （3）解：如图，   ， ． 【变式4-1】（23-24八年级下·青海海东·期末）如图，小康想测量池塘两端的距离，他采用了如下方法：在的一侧选择一点C，连接，再分别找出的中点，连接，现测得米，则之间的距离为 米． 【答案】92 【分析】本题考查了三角形的中位线定理．根据中位线定理可得：，即可求解． 【详解】解：∵点分别是的中点，米， ∴米． 故答案为：92 【变式4-2】（2024·广东汕头·一模）如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点C，D分别是的中点，若，则该工件内槽宽的长为 cm． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用．利用三角形中位线定理“三角形的中位线是第三边的一半”即可求解． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：6． 【变式4-3】（23-24八年级下·河南三门峡·期末）（1）回归课本 请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________． （2）回顾证法 证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程． 已知：在中，点分别是的中点． 求证：________________． 证明：过点作，与的延长线交于点． （3）实践应用 如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________________．    【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2），；详见解析；（3）18米 【分析】（1）根据三角形的中位线定理直接阐述即可； （2）过点作，与的延长线交于点，证明，再证四边形是平行四边形，即可证明结论； （3）直接利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半； （2）求证：，． 证明：∵点分别是的中点， ∴，， 过点作，与的延长线交于点． ∴， 在和中， ． ，． ，． 四边形是平行四边形， ，， 又， ，． 故答案为：，； （3）∵点分别是的中点，米， ∴，即：米 故答案为：18米． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题． 一、单选题 1．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点），若，则点距离地面的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 根据三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：分别为的中点，， ， 点距离地面的高度为． 故选：B． 2．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在四边形中，点P是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”．根据题意可得是的中位线，是的中位线，推出，，结合，可得，再根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：点是对角线的中点，点、分别是、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，， ， ， ， 故选：D． 3．（23-24八年级下·全国·期末）如图，为测量池塘边上两点A，B之间的距离，小敏在池塘的一侧选取一点O，测得的中点分别是点 D，E，且，那么A，B两点间的距离是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于底边的一半成为解题的关键． 根据三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：∵ 的中点分别是点 D，E, ∴． 故选：C． 4．（23-24八年级下·福建南平·单元测试）如图，在中，D、E分别是的中点，，F是线段上一点，连接，，若，则的长度是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质．先由三角形中位线定理得到，再由，求出，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到． 【详解】解：∵D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点E是的中点， ∴， 故选：D． 5．（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，在中，，，点，，分别是，，的中点，则四边形的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了三角形中位线定理．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理、线段中点可得，根据四边形的周长为计算求解即可． 【详解】解：在中，，， 点，，分别是，，的中点， ， 四边形的周长为， 故选：C． 6．（23-24八年级下·江西南昌·单元测试）如图，在中，，E为上一动点，M，N分别为，的中点，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理，利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理来求有关线段的长度是解答本题的关键．由平行四边形的对边相等的性质求得，然后利用三角形中位线定理求得即可解答． 【详解】解：如图，在平行四边形中，． ，分别为的中点， 是的中位线， ． 故选：B． 7．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图，在四边形中，E、F分别是，的中点，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明出是的中位线，得到，然后证明出是等腰直角三角形，进而求解即可． 此题考查了三角形中位线的性质和判定， 勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】连接， ∵E、F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：B． 8．（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，在中，，D，E分别为，的中点，平分，交于点F，若，则的长为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等角对等边，勾股定理． 先根据勾股定理求出，根据三角形的中位线定理得出 ，，再推出，即可得出，即可解答． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ∵F平分， ∴， ∵D，E分别为，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．（23-24八年级下·山东聊城·期中）如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．利用勾股定理列式求出的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵，，， ， ∵、、、分别是、、、的中点， ∴， ∴四边形的周长， 又∵， ∴四边形的周长． 故选A． 10．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）如图，中，，，，，，则的长为（  ）    A．6 B． C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形中位线的性质，熟练掌握全等三角形判定和性质及三角形中位线的性质是解题的关键．延长交于F，证明可得，，即是的中点，又由，可得是的中位线，根据中位线性质可得，进而可求得答案． 【详解】延长交于F，如图所示：    ∵， ∴ ∵， ∴ ∴，，即是的中点， 又∵， ∴点E是的中点， ∴是的中位线， ∴, ∴， 故选：C． 11．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图， 四边形 中，，，，点 M，N 分别为线段， 上的动点（含端点， 但点 M不与点B 重合）， 点 E， F 分别为， 的中点，则长度的最大值为（     ） A．3 B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查三角形中位线定理、勾股定理，连接，根据三角形中位线定理可得，再根据当点N与点B重合时，的值最大，即的值最大，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵点 E， F 分别为， 的中点， ∴是的中位线， ∴， 当点N与点B重合时，的值最大，即的值最大， ∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 12．（23-24八年级·山东枣庄·期末）如图，的对角线、相交于点O，E是中点，且，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理．熟练掌握平行四边形的性质、三角形中位线定理是解题的关键． 首先证明，再由，推出，然后计算周长即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， E是中点， ∴， ， ， ， ， 平行四边形的周长， 故答案为：． 13．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，的对角线相交于点，点分别是线段的中点，若，的周长是，则 ． 【答案】4 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，求出的值，由的周长求出，根据三角形中位线的性质求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∵点分别是线段的中点， ∴， 故答案为：4． 14．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，的周长为，连接三边中点构成第一个，再连接的各边中点构成第二个，依此类推，则第个三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，解决本题的关键是利用三角形的中位线定理得到第个三角形的周长与第一个三角形的周长的关系．根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，按规律求解即可． 【详解】解：∵的周长为16，连接三边中点构成第一个， ∴，，， ∴第1个三角形周长为， 同理：第2个三角形的周长为； 以此类推，第个三角形的周长为； 所以第个三角形的周长为， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$