第08讲 平行四边形的判定（1个知识点+6大考点举一反三+过关测试）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（人教版）

第08讲 平行四边形的判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.索并证明平行四边形的判定定理，并能运用它们进行证明和计算； 2. 通过平行四边形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展 学生的演绎推理能力； 知识点：平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 4.一组对边平行且相等的四边形时平行四边形 考点一：判断能否构成平行四边形 例1.（23-24八年级下·黑龙江鹤岗·期末）下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． ， B．， C．， D．， 【变式1-1】（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（   ） A．B．C．D． 【变式1-2】（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．两组对边分别平行的四边形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形 C．两组对角分别相等的四边形 D．对角线互相平分的四边形 【变式1-3】（23-24八年级下·贵州黔西·期末）如图，四边形中，对角线相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是(    )    A．， B．， C．， D．， 考点二：添一个条件成为平行四边形 例2.（2024八年级下·山东·专题练习）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则下列不正确的是（      ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，应添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，已知，增加下列条件仍不可以使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在四边形中，与相交于点O，，添加条件 ，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）    考点三：数图形中平行四边形的个数 例3.（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式3-1】（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有 个；    【变式3-2】（22-23八年级下·湖南永州·期末）如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有 个平行四边形．    【变式3-3】（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是 ． 考点四：求与己知三点组成平行四边形的点的个数 例4.（22-23八年级下·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标 ． 【变式4-1】（23-24年）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标是，点A的坐标是，点B不在第一象限，若以点O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标是 ． 【变式4-2】（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格，的三个顶点都在网格中的格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若以点A，B，C，D为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有D点的位置． 【变式4-3】（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，在正方形网格中，的顶点在边长为1的小正方形的顶点（格点）上，若坐标平面内的点的坐标分别为，．    (1)通过计算判断的形状， (2)若要使以四个点为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的D点的坐标是 ． 考点五：证明四边形是平行四边形 例5.（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)请在图中连接，若恰好平分，求证：四边形是平行四边形． 【变式5-1】（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在四边形中，，对角线、相交于点，．求证：四边形是平行四边形． 【变式5-2】（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图，已知． (1)利用无刻度的直尺和圆规作图：①以为顶点，为一边，在的外部作，在射线上截取，连接；②过点作边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，，求四边形的面积． 【变式5-3】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，E，F分别为，上两点，且，连接，分别与对角线交于点G，H． (1)求证：四边形为平行四边形： (2)若，，求点G到的距离． 考点六：平行四边形的性质与判定综合 例6.（23-24八年级下·湖南娄底·开学考试）如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 【变式6-1】（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，在四边形中， (1)证明：四边形是平行四边形； (2)当时，求四边形的面积． 【变式6-2】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【变式6-3】（23-24八年级下·浙江·期中）如图，在中，M，N是对角线的三等分点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）依据所标角度和边长的数据，下列四边形一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山西长治·期末）数学活动课上，已知，惠卓图同学利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形，以下是其作图过程：（）作；（）以点为圆心，长为半径作弧交与点；（）连接，则四边形即为所求．在上述做图中，可直接判定四边形为平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 3．（23-24八年级下·贵州安顺·期中）如图，四边形中，对角线与相交于点，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 4．（23-24八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）任意四边形的中点四边形是（    ）． A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 5．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，和的角平分线分别交于点E和F，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，在中，，是对角线上的两点，添加下列选项中的一个条件，不一定能使四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·全国·期末）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，任意四边形的中点四边形是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 三、填空题 8．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在中，过对角线上一点P作，，且，，则 ． 9．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，，以为圆心，长为半径的圆弧交射线于点，连接．若，则的度数为 ． 10．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在四边形中，，，为的中点，将，分别平移到和的位置，若，，则的长为 ． 11．（21-22八年级下·江苏镇江·期中）如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中，请你再添加一个条件，使四边形为平行四边形，可以添加的条件是 ． 12．（23-24八年级下·山东东营·期末）古代数学家贾宪曾经提出“从矩形对角线上任意一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两矩形面积相等”，如图①所示的图形中两阴影部分面积相等．这个方法可以帮助我们解决很多类似的数学问题，如图②，在平行四边形中，G为对角线上一点，过点G作的平行线分别交，于点F，E，连接，，若，则 ． 四、解答题 13．（23-24八年级下·天津河西·阶段练习）四边形中，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求四边形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 平行四边形的判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.索并证明平行四边形的判定定理，并能运用它们进行证明和计算； 2. 通过平行四边形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展 学生的演绎推理能力； 知识点：平行四边形的判定 1. 与边有关的判定： （1） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 2. 与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 3. 与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形 4.一组对边平行且相等的四边形时平行四边形 考点一：判断能否构成平行四边形 例1.（23-24八年级下·黑龙江鹤岗·期末）下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． ， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意； 、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意； 、，，两组对边分别相等的四边形为平行四边形，可得四边形是平行四边形，符合题意； 、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意． 故选：． 【变式1-1】（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：两组对角都不相等，不能判定是平行四边形， 故A选项错误； 一组对边相等，另一组对边无法判定是否相等，故不能判定是平行四边形， 故B选项错误； 根据，判定长为a的对边相等且平行，能判定是平行四边形， 故C符合题意； 根据，判定一组对边平行，，但是无法判定是否相等，不能判定是平行四边形， 故D不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（24-25八年级上·河南信阳·阶段练习）下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．两组对边分别平行的四边形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形 C．两组对角分别相等的四边形 D．对角线互相平分的四边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，不符合题意； B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形，符合题意； C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，由于四边形内角和为360度，那么两组对角相等可知一组邻角互补，则可推出两组对边平行，不符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】（23-24八年级下·贵州黔西·期末）如图，四边形中，对角线相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是(    )    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的判定，正确理解与运用平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理依次进行证明即可． 【详解】解： ，， 四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形， 由，不能判定这个四边形是平行四边形， 故A不符合题意； ，， 四边形是平行四边形， 故B符合题意； 由，，不能证明与全等， 不能证明与相等，可与相等， 不能证明与平行， 由，不能判定这个四边形是平行四边形， 故C不符合题意； ，， 四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形， 由，不能判定这个四边形是平行四边形， 故D不符合题意， 故选：B 考点二：添一个条件成为平行四边形 例2.（2024八年级下·山东·专题练习）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则下列不正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、根据，，能判断四边形为平形四边形，故该选项不符合题意； B、根据，，不能判断四边形为平形四边形，故该选项符合题意； C、根据，，能判断四边形为平形四边形，故该选项不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平形四边形， 故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式2-1】（23-24八年级下·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，应添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A．根据，无法判断四边形是平行四边形，故A错误； B．根据，无法判断四边形是平行四边形，故B错误； C．∵， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故C正确． D．∵， ∴， ∴无法判断四边形是平行四边形，故D错误； 故选：C． 【变式2-2】（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，已知，增加下列条件仍不可以使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理即可求解． 【详解】解：A．∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意；     B．∵，， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； C．∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意；     D．由，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； 故选D． 【变式2-3】（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在四边形中，与相交于点O，，添加条件 ，可得四边形为平行四边形（只需添加一个条件）    【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故可添加， 故答案为：． 考点三：数图形中平行四边形的个数 例3.（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，在的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画（    ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：在直线的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故选B． 【变式3-1】（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有 个；    【答案】2 【分析】根据等边三角形的性质，求出四边形角和边的关系，即可知道哪些四边形是平行四边形． 【详解】解：∵、、都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 【变式3-2】（22-23八年级下·湖南永州·期末）如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有 个平行四边形．    【答案】3 【分析】根据平移的性质，三角形的三条边与平移后的三条边分别相等，平行，进而根据平行四边形的判定定理即可求解． 【详解】解：依题意，，则四边形是平行四边形， ，四边形是平行四边形， ，四边形是平行四边形， ∴有个平行四边形 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【变式3-3】（23-24八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律，找出一行中的平行四边形的个数，再找出所有的行数，由此找出第个图中平行四边形的个数为是解题的关键．首先发现第一个图中平行四边形的个数是个，第二个图中平行四边形的个数是，第三个图中平行四边形的个数是，由此发现规律解答即可． 【详解】解：∵第一个图中平行四边形的个数是个， 第二个图中平行四边形的个数是， 第三个图中平行四边形的个数是， ∴第个图中平行四边形的个数是， 故答案为：． 考点四：求与己知三点组成平行四边形的点的个数 例4.（22-23八年级下·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标 ． 【答案】，， 【分析】需要分类讨论：以为边的平行四边形和以为对角线的平行四边形． 【详解】解：①当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， 相应的点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， ， ； ②当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， 相应的点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， ， ； ③当为对角线时：如图    因为点、， 所以点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， 相应的点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， ， ； 故答案为：，， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及点的平移问题，解题关键是准确作出对应图形，利用数形结合思想解决． 【变式4-1】（23-24年）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标是，点A的坐标是，点B不在第一象限，若以点O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了坐标与图形的性质以及平行四边形的性质，先建立平面直角坐标第，再分和两种情况求解即可． 【详解】解：①当，时，如图： ∵点C的坐标是，点A的坐标是， ∴， ∵点B不在第一象限， ∴点B坐标为，即 ①当，时，如图： 由坐标可知：点向下平移3个单位，向左平移1个单位到点O， ∴由坐标可知：点向下平移3个单位，向左平移1个单位到点B， 故点B坐标为：即， 综上所述：点B的坐标是或， 【变式4-2】（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格，的三个顶点都在网格中的格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若以点A，B，C，D为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有D点的位置． 【答案】(1)结论：是直角三角形．见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图一应用于设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定等知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． （1）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理判断即可； （2）根据平行四边形的判定作出图形即可． 【详解】（1）解：结论：是直角三角形． 理由：∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图点即为所求． 【变式4-3】（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，在正方形网格中，的顶点在边长为1的小正方形的顶点（格点）上，若坐标平面内的点的坐标分别为，．    (1)通过计算判断的形状， (2)若要使以四个点为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的D点的坐标是 ． 【答案】(1)直角三角形 (2)或或 【分析】（1）利用勾股定理可分别求得的长，再利用勾股定理的逆定理可判定为直角三角形； （2）分别过A作的平行线，过B作的平行线，过C作的平行线，这些线的交点即为满足条件的点D，则可求得答案． 【详解】（1）解：小正方形的边长为1， ， ， 为直角三角形； （2）解：的坐标分别为， 点为坐标原点， 如图，分别过作的平行线，过作的平行线，过作的平行线，    当为对角线时，从点A先向左平移一个单位，再向上平移两个单位得点C；相应的点B先向左平移一个单位，再向上平移两个单位得点； 当为对角线时，从点C先向右平移一个单位，再向下平移两个单位得点A；相应的点B先向右平移一个单位，再向下平移两个单位得点； 当为对角线时，从点B先向左平移四个单位，再向下平移两个单位得点C；相应的点A先向左平移四个单位，再向下平移两个单位得点； 满足条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和勾股定理，确定出D点的位置是解题的关键． 考点五：证明四边形是平行四边形 例5.（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)请在图中连接，若恰好平分，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出、，根据平行线的性质得出，求出，根据等腰三角形的判定，然后根据等量代换即可证明结论； （2）如图：连接，由（1）得，，由等腰三角形三线合一可得，再证明，即，再结合即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵是的平分线， ∴ ∴ ∴（等边对等角）. ∴ （2）解：如图：连接 由（1）得，. ∵恰好平分， ∴（等腰三角形三线合一） 在和中， ∴, ∴（全等三角形的对应边相等）， 又∵， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 【变式5-1】（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在四边形中，，对角线、相交于点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，通过证明三角形全等可以等到，再由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论． 【详解】证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式5-2】（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图，已知． (1)利用无刻度的直尺和圆规作图：①以为顶点，为一边，在的外部作，在射线上截取，连接；②过点作边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查尺规作图和勾股定理，涉及作一个角等于已知角、截取已知线段和过点作垂线， 根据作一个角等于已知角即可作的直线，结合截取已知线段的做法即可作出直线，利用过点作垂线方法即可作出直线； 根据题意可证明四边形是平行四边形，结合已知条件可求得，利用平行四边形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图， （2） ， ∴四边形是平行四边形 ，， ， ， 在中，解得， 的面积为． 【变式5-3】（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，E，F分别为，上两点，且，连接，分别与对角线交于点G，H． (1)求证：四边形为平行四边形： (2)若，，求点G到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，而，则，所以，，则四边形 为平行四边形； （2）作于点，由，得，由，得，可根据“”证明，得，因为，所以，即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，分别为，上两点，且， ， ，， 四边形 为平行四边形． （2）解：作于点，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点到的距离是2． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，点到直线的距离等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 考点六：平行四边形的性质与判定综合 例6.（23-24八年级下·湖南娄底·开学考试）如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)26 【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而利用平行四边形的判定解答即可； （2）由平行四边形的性质和角平分线的定义得出，再根据勾股定理求出的长，再求出，求解即可． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，，，， ， ， ， ，即， ， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， .， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长． 【点睛】此题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定，角平分线的定义，勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【变式6-1】（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）如图，在四边形中， (1)证明：四边形是平行四边形； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2)216 【分析】本题考查了平行四边的性质与判定，勾股定理，求平行四边的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由平行线的性质得，因为得，则两组对应边互相平行的四边形是平行四边形，即可作答． （2）运用勾股定理列式，，则，解出，再运算出，结合平行四边形的面积等于底乘高，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作 设 ∵ ∴在 在 则 解得 ∴ 则四边形的面积 【变式6-2】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论； （）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 【变式6-3】（23-24八年级下·浙江·期中）如图，在中，M，N是对角线的三等分点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，线段三等分点的定义，熟练掌握并运用相关知识即可解题． （1）连接交于点O，根据平行四边形的性质得出，再根据M，N是对角线的三等分点得到，进而利用平行四边形的判定解答即可； （2）根据三等分点得出，利用勾股定理进而得出，再利用勾股定理得出即可． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点O， ∵四边形是平行四边形， ，， ，N是对角线的三等分点， ， ∴ ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，，M，N是对角线的三等分点， ，， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ． 一、单选题 1．（23-24八年级下·四川成都·期末）依据所标角度和边长的数据，下列四边形一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定进行判断即可． 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故符合题意； B、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故不符合题意； C、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故不符合题意； D、有一组对边平行，一组对边相等不能确定是平行四边形，故不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级下·山西长治·期末）数学活动课上，已知，惠卓图同学利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形，以下是其作图过程：（）作；（）以点为圆心，长为半径作弧交与点；（）连接，则四边形即为所求．在上述做图中，可直接判定四边形为平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由题意可得，，进而可得，，根据根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵， ∴， ∵，， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形， 故选：． 3．（23-24八年级下·贵州安顺·期中）如图，四边形中，对角线与相交于点，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据各选项对比平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、符合两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定，故不符合题意； B、符合两组对边分别平行的四边形是平行四边形的判定，故不符合题意； C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故符合题意； D、符合对角线相互平分的四边形是平行四边形的判定，故不符合题意； 故选：C． 4．（23-24八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期中）任意四边形的中点四边形是（    ）． A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、中位线的判定与性质等知识点，综合运用了中位线定理、作辅助线是解题的关键． 如图：连接，根据中位线定理，可证得，再根据平行四边形的判定即可解答． 【详解】解：如图,E，F，G，H分别是四边形四边中点，连接，    ∵E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴ 同理：    ∴， ∴四边形是平行四边形． 故选：D． 5．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，和的角平分线分别交于点E和F，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】设与的交点为H，过点A作，交于点O，根据平行四边形的性质可得，，，即可得，再根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质和等腰三角形的判定可得，，即可求得，，即可求解． 【详解】解：如图，设与的交点为H，过点A作，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定、平行线的性质、等腰三角形判定、角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质与判定和等腰三角形判定是解题的关键． 6．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，在中，，是对角线上的两点，添加下列选项中的一个条件，不一定能使四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， 当时， ∴， ∴四边形是平行四边，故B选项不合题意； 当时，同理可得，故C选项不合题意， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ 当时，， ∴， ∴，则四边形是平行四边，故D选项不合题意 当时不能证明三角形全等，无条件证明四边形是平行四边，故A选项符合题意， 故选：A． 7．（23-24八年级下·全国·期末）我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，任意四边形的中点四边形是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】A 【分析】此题主要考查了三角形的中位线定理，根据三角形的中位线的性质，证明对边平行且相等，由此可得到平行四边形． 【详解】解：如图，四边形中，E，N，M，F分别是，，，的中点，连接，， ∵E，N，M，F分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形． 故选：A． 三、填空题 8．（23-24八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在中，过对角线上一点P作，，且，，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，由条件可证明四边形、为平行四边形，再利用面积的和差可证明，最后由等高四边形的条件即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形、、、为平行四边形， ∴， 同理可得，， ∴， 即． ∵，， ∴； 故答案为：2． 9．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，，以为圆心，长为半径的圆弧交射线于点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，等边对等角，根据作图可知，，进而得到四边形为平行四边形，进而得到，等边对等角即可得出结果． 【详解】解：由作图可知：， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； 故答案为：． 10．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图，在四边形中，，，为的中点，将，分别平移到和的位置，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形得平移变换及性质，平行四边形的判定和性质，首先证明四边形，四边形均为平行四边形，从而得，，进而得，据此可得出的长． 【详解】解：∵为的中点，， ∴ 根据平移的性质得：， 又∵， ∴四边形，四边形均为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 11．（21-22八年级下·江苏镇江·期中）如图，在四边形中，对角线，相交于点，其中，请你再添加一个条件，使四边形为平行四边形，可以添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理添加条件即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键 【详解】解：∵， ∴当时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形， 故答案为： 12．（23-24八年级下·山东东营·期末）古代数学家贾宪曾经提出“从矩形对角线上任意一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两矩形面积相等”，如图①所示的图形中两阴影部分面积相等．这个方法可以帮助我们解决很多类似的数学问题，如图②，在平行四边形中，G为对角线上一点，过点G作的平行线分别交，于点F，E，连接，，若，则 ． 【答案】4 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定， 首先根据题意证明出四边形，，，是平行四边形，然后得到，，，，然后利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】如图所示，过点G作 ∵ ∴ 同理可得， ∴四边形，，，是平行四边形 ∴，，， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴． 故答案为：4． 四、解答题 13．（23-24八年级下·天津河西·阶段练习）四边形中，，的平分线交于点F，交的延长线于点E，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．熟记并灵活运用各个知识点是解题的关键． （1）先根据，得出，根据角平分线的定义得出，则，推出，即可求证四边形是平行四边形； （2）通过证明是等边三角形，得出，，根据勾股定理得出，则，最后根据的面积，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$