第07讲 平行四边形的性质（3个知识点+4大考点举一反三+过关测试）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（人教版）

第07讲 平行四边形的性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解平行四边形的概念 2. 探索并证明平行四边形的性质定理，并能运用它们进行证明和计算； 3.了解两条平行线之间距离的意义 ，能度量两条平行线之间的距离。 知识点1：平行四边形的性质（一） 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 知识点2：平行四边形的性质（二） 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 知识点3：平行线之间的距离与平行四边形的综合 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之 间的距离 性质：平行线之间距离处处相等 考点一：利用平行四边形的性质求边长（周长） 例1.（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在平行四边形中，，若，，则的长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【变式1-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，平分，交于点，平分，交于点，若，，则的长为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式1-2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形，O是、的交点，过点O与垂直的直线交边于点E，若的周长为，则平行四边形的周长为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，平分交于点E，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点二：利用平行四边形的性质求角度 例2.（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，在中，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，过点C作，垂足为E， 若，则的度数为 ．    【变式2-2】（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，在平行四边形中，，则 ． 【变式2-3】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图在同一平面内的两和的周长相等，且，，则 °． 考点三：利用平行四边形的性质证明 例3.（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，点，在对角线上，连接，，使得，求证：，． 【变式3-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，连接，．求证：． 【变式3-2】（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）已知：如图，平行四边形中，是对角线，于E，于F． (1)求证：； (2)若，，，求平行四边形的面积． 【变式3-3】（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，点，分别在，上，且，，相交于点，求证：． 考点四：平行四边形性质的其他应用 例4.（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）如图▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，图中有（　　）对面积相等的平行四边形． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF交AB于点E，交CD于点F，且，若，则阴影部分面积是（    ） A． B． C．2 D．3 【变式4-2】（23-24山东临沂·中考真题）如图，P是面积为S的内任意一点，的面积为，的面积为，则（    ） A． B． C． D．的大小与P点位置有关 【变式4-3】（23-24八年级下·江苏·期末）如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 一、单选题 1．（23-24八年级下·云南昆明·期中）在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东汕头·期中）平行四边形的对角线交于点O，若，则平行四边形的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）平行四边形中，，，对边、之间的距离是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点 F，若 ，，则的长为 （      ） A．24 B．26 C．23 D．20 二、填空题 5．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，是平行四边形的对角线，点在上，，则的度数是 ． 6．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，平行四边形的周长是，对角线和相交于点O，和的周长差为，那么这个平行四边形的两邻边、的长分别为 、 ．    7．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，在中，对角线，交于点O，，于点H，若，，则的长为 ． 8．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，对角线， 相交于点O．过点O作，交于点E，连接．已知的周长为8，则 的周长为 ．      三、解答题 9．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在 中，已知． (1)实践与操作：作的平分线交于点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)猜想并证明：猜想 与 是否相等，并给予证明． 10．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知：如图，平行四边形中，平分交于E，平分交于F， (1)求证：； (2)已知，，求的长； (3)、交于点O， 在满足（2）的条件下，已知，求的长． 11．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，平分，延长交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 平行四边形的性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解平行四边形的概念 2. 探索并证明平行四边形的性质定理，并能运用它们进行证明和计算； 3.了解两条平行线之间距离的意义 ，能度量两条平行线之间的距离。 知识点1：平行四边形的性质（一） 1. 边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD； 2. 角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D 知识点2：平行四边形的性质（二） 对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO 知识点3：平行线之间的距离与平行四边形的综合 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之 间的距离 性质：平行线之间距离处处相等 考点一：利用平行四边形的性质求边长（周长） 例1.（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在平行四边形中，，若，，则的长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，由平行四边形的性质可得，，再由勾股定理求出的长即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，平分，交于点，平分，交于点，若，，则的长为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质和角平分线的定义推出均为等腰三角形，进而得到，根据，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【变式1-2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形，O是、的交点，过点O与垂直的直线交边于点E，若的周长为，则平行四边形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，由平行四边形的性质得出，，，从而得出垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，根据的周长为得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴平行四边形的周长为， 故选：B． 【变式1-3】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，平分交于点E，则的长是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 由四边形是平行四边形，可得，，，得，又由平分，可得，根据等角对等边，可得，所以求得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 考点二：利用平行四边形的性质求角度 例2.（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，在中，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，四边形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 先根据平行四边形的性质求出，再由垂直的定义得到，由此即可利用四边形内角和定理求出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， 、， ， ， 故选：B． 【变式2-1】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，过点C作，垂足为E， 若，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形两锐角互余，根据平行四边形的性质可得出，再利用直角三角形两锐角互余即可得出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】（23-24八年级下·广西南宁·期中）如图，在平行四边形中，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，邻补角．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的对角相等的性质得到，然后由邻补角的定义解答即可． 【详解】解：在平行四边形中，， 则， 所以， 故答案为：． 【变式2-3】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图在同一平面内的两和的周长相等，且，，则 °． 【答案】25 【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质求出，，进而求出，再根据与的周长相等，推出，最后根据等腰三角形“等边对等角”、三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵与中，，， ∴由平行四边形的性质可得，，，，，，， ∴，， ∴， ∵与的周长相等， ∴， ∴， 故答案为：25． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求出的度数、证明是等腰三角形是解题的关键． 考点三：利用平行四边形的性质证明 例3.（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，点，在对角线上，连接，，使得，求证：，． 【答案】证明见解析． 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识．证明，则，，再利用补角的性质得到，则． 【详解】解析：证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 【变式3-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，对角线与相交于点，点，分别为，的中点，连接，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的性质得，，又点，分别为，的中点，可证，通过“”证明，然后利用全等三角形对应边相等即可证得结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵四边形是平行四边形 ∴，， ∵点，分别为，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． 【变式3-2】（23-24八年级下·山东济南·阶段练习）已知：如图，平行四边形中，是对角线，于E，于F． (1)求证：； (2)若，，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理： （1）根据平行四边形的性质得出，，进而证明，即可得出； （2）作于点，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得的长，再利用平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积． 【变式3-3】（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，点，分别在，上，且，，相交于点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先判断出，进而判断出即可．本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ，且，， ， 考点四：平行四边形性质的其他应用 例4.（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）如图▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，图中有（　　）对面积相等的平行四边形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】平行四边形的对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形．所以三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积．三角形BGP的面积等于EBP的面积，三角形HPD的面积等于三角形PDF的面积，从而可得到AEPH的面积等于GCFP的面积，同时加上一个公共的平行四边形，可以得出答案有三个． 【详解】解：∵ABCD为平行四边形，BD为对角线， ∴△ABD的面积等于△BCD的面积， 同理△BGP的面积等于△EBP的面积，△PFD的面积等于△HPD的面积， ∵△BCD的面积减去△BGP的面积和△PDF的面积等于平行四边形PGCF的面积，△ABD的面积减去△EBP和△HPD的面积等于平行四边形AEPH的面积． ∴▱PGCF的面积等于▱AEPH的面积． ∴同时加上平行四边形PFDH和BGPE， 可以得出▱AEFD面积和▱HGCD面积相等，▱ABGH和▱BCFE面积相等． 所以有3对面积相等的平行四边形． 故选C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的性质. 【变式4-1】（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF交AB于点E，交CD于点F，且，若，则阴影部分面积是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】先证△BOE≌△DOF(AAS)，得S△BOE=S△DOF，所以S阴影=2S△BOE，又因为，所以S△BOE=S△AOB，再根据平行四边形性质得S△AOB=，所以S阴影=，把=16代入即可求解． 【详解】解：∵□ABCD， ∴OB=OD，ABCD， ∴∠EBO=∠FDO，∠BEO=∠DFO， ∴△BOE≌△DOF(AAS)， ∴S△BOE=S△DOF， ∴S阴影=2S△BOE， ∵， ∴S△BOE=S△AOB， ∵□ABCD， ∴S△AOB=， ∴S阴影=2×S△AOB=2××＝＝×16=， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定，求得S△BOE=S△AOB，S△AOB=是解题的关键． 【变式4-2】（23-24山东临沂·中考真题）如图，P是面积为S的内任意一点，的面积为，的面积为，则（    ） A． B． C． D．的大小与P点位置有关 【答案】C 【分析】过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E，表示出S1+ S2，得到即可． 【详解】解：如图，过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E， 根据平行四边形的性质可知PE⊥BC，AD=BC， ∴S1=AD×PF，S2=BC×PE， ∴S1+ S2 =AD×PF+BC×PE =AD×（PE+PE） =AD×EF =S， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的面积和平行四边形的性质，解题的关键是作出平行四边形过点P的高． 【变式4-3】（23-24八年级下·江苏·期末）如图，在中，、分别是、边上的点，与交于点，与交于点，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】50 【分析】连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△APD，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC． 【详解】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC=S△BCF， ∴S△EFC－S△QFC =S△BCF－S△QFC， 即S△EFQ=S△BCQ， 同理：S△EFD=S△ADF， ∴S△EFP=S△APD， ∵S△APD=20cm2，S△BQC=30cm2， ∴S四边形EPFQ= S△APD + S△BQC =50cm2， 故答案为：50． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形． 一、单选题 1．（23-24八年级下·云南昆明·期中）在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，根据平行四边形的对角相等、邻角互补以及图形可知与是对角，即可求出和的度数；再根据与是邻角，即可求得． 【详解】解：如图： 四边形为平行四边形， ∴，， ， ， ， ． 故选：D． 2．（23-24八年级下·广东汕头·期中）平行四边形的对角线交于点O，若，则平行四边形的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，从而得出，，根据，计算即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图， 四边形为平行四边形， ，， ，， ， ， 故选：B． 3．（23-24八年级下·全国·单元测试）平行四边形中，，，对边、之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，利用直角三角形性质，等腰三角形性质和平行四边形性质得到，，再利用勾股定理求出，即可解题． 【详解】解：平行四边形中，过点作于点，如图所示： ，， ，， ， ， ， 即对边、之间的距离是， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形性质，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，解题的关键在于画出图形利用数形结合的思想解决问题． 4．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点 F，若 ，，则的长为 （      ） A．24 B．26 C．23 D．20 【答案】A 【分析】设交于点O，根据平行四边形的性得到，得到，由平分，得到，进而得到，推出，根据基本作图得到，推出是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到，，利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】解：设交于点O， 在中，， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形， 由作图得到， 是等腰三角形， ， ，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质和基本作图-角平分线，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题 5．（23-24八年级下·安徽黄山·期末）如图，是平行四边形的对角线，点在上，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质是关键；设；由等腰三角形的性质及三角形外角的性质得，由平行四边形的性质及已知，，则有，则，再由平行线性质即可求解． 【详解】解：设； ∵， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴， 即， ∴， 即． 故答案为：． 6．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，平行四边形的周长是，对角线和相交于点O，和的周长差为，那么这个平行四边形的两邻边、的长分别为 、 ．    【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．由平行四边形的周长是得：，再由和的周长差是得出，两式联立求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵平行四边形的周长是， ∴， ∵和的周长差是， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：；． 7．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，在中，对角线，交于点O，，于点H，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键． 根据勾股定理求得的长，结合平行四边形的性质求得的长，然后利用勾股定理求出的长，然后利用等面积法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴在中， ∴在中， 在Rt△ABO中， ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 8．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，对角线， 相交于点O．过点O作，交于点E，连接．已知的周长为8，则 的周长为 ．      【答案】16 【分析】本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的判定与性质，根据题意得出为边的垂直平分线是解题的关键．由平行四边形对角线互相平分和可知为边的垂直平分线，推出，可知的周长等于，由此可解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，． 又∵， ∴． ∴的周长为． ∴的周长为． 故答案为：16． 三、解答题 9．（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在 中，已知． (1)实践与操作：作的平分线交于点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)猜想并证明：猜想 与 是否相等，并给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)相等，证明见解析 【分析】本题考查角平分线的画法、平行四边形的性质等，熟练掌握尺规作图的基本方法是解题的关键． （1）以点A为圆心，任意长为半径画弧，交、于两点，再分别以两交点为圆心，大于两交点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，连接交点与点A交于点E，AE即为所求； （2）先根据平行四边形的性质得出，得出，由角平分线的性质得出，所以，即可证明． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）相等，证明如下： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 10．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知：如图，平行四边形中，平分交于E，平分交于F， (1)求证：； (2)已知，，求的长； (3)、交于点O， 在满足（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，然后根据平行线的性质和角平分线的定义得到，即可得到，同理可得，即可得到，进而得到结论； （2）根据（1）中结论，利用线段的和差解题即可； （3）先根据角平分线的定义得到，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）证明：∵是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴，即； （2）解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）由（1）可得：，， ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，勾股定理，等角对等边，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 11．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，，平分，延长交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）由角平分线定义得，则，再由直角三角形的性质得，然后由平行线的性质即可得出结论； （2）证，即可得出结论． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， ； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$