第12讲 菱形的性质与判定（2个知识点+6大考点举一反三+过关测试）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（人教版）

第12讲 菱形的性质与判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解菱形的概念； 2. 探索并证明菱形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算； 3.通过菱形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力。 知识点1：菱形的概念与性质 1. 概念：一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.性质： 边：菱形的四条边都相等． 对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半． 知识点2：菱形的判定 1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）． 2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线）． 3. 四条边相等的四边形是菱形（边） 考点一：利用菱形的性质求角度 例1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A．24度 B．25度 C．40度 D．65度 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键； 先根据菱形的性质得，再根据菱形的对角线平分一组对角求出的度数，然后根据直角三角形两锐角互余，同角的余角相等即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-1】24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在菱形中如图，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等边对等角的性质，三角形内角和定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，由等边对等角可得，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴， 故选：B ． 【变式1-2】（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ，，， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ∵， ∴， ． 故选：B． 【变式1-3】（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分菱形内角，直角三角形两个锐角互余．根据菱形的性质得出，从而得出，则，再根据直角三角形两个锐角互余，即可求解． 【详解】解：四边形为菱形， ， ，则， ， ， 故选：D 考点二：利用菱形的性质求线段长 例2.（24-25九年级上·广东揭阳·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，过点A作于点，若，，则的长为（　　） A．14 B． C．15 D． 【答案】D 【分析】由菱形的性质得出，得出菱形的面积54，勾股定理算出，最后结合等面积法列式计算，即可作答．本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， 在中， ∵ ， ∴， 故选：D． 【变式2-1】（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长为（  ）    A．14 B．16 C．15 D．17 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线和菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可． 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ， ∴菱形的周长为． 故选：B． 【变式2-2】（24-25九年级上·吉林长春·期末）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，．则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题综合考查了菱形的性质和坐标的确定，根据菱形的性质，作轴，先求C点坐标，然后求得点B的坐标． 【详解】解：作轴于点D， ∵四边形是菱形，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则点C的坐标为， 又∵， ∴B的横坐标为，纵坐标为， 则点B的坐标为． 故选：C． 【变式2-3】（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：设菱形的对角线交于点，则：， ， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选D 考点三：利用菱形的性质求面积 例3.（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）菱形的两条对角线长为6和8，那么这个菱形的面积为（   ） A．48 B．32 C．12 D．24 【答案】D 【分析】本题考查菱形面积的计算．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半．根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线长为6和8， ∴菱形的面积为：． 故选：D． 【变式3-1】（24-25九年级上·山西晋中·期中）如图，四边形是菱形，．则菱形的面积（   ） A． B．16 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含特殊角的直角三角形的性质．根据菱形的性质可得是等边三角形，，在中，根据含特殊角的直角三角形的性质可求出的长，由此可求出的长，根据菱形的面积的计算方法即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了菱形的性质和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据菱形的性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴菱形的面积． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，在菱形中，M、N分别为、的中点，若，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、三角形中位线、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，灵活运用菱形的性质成为解题的关键． 如图：连接，根据三角形中位线定理可得；再根据菱形的性质可得，，，；再根据直角三角形的性质、勾股定理可得、，进而得到，则 ，最后根据即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵M、N分别为、的中点，若， ∴， ∵在菱形中， N分别为的中点，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 考点四：利用萎形的性质证明 例4.如图：在菱形中，过点A作于点E，延长至点F，使，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记特殊四边形的性质与判定是解本题的关键． （1）证明且，AD＝EF，可得四边形是平行四边形，结合，可得结论； （2）设，则，在中，，则，再解方程即可． 【详解】（1）证明：∵在菱形中， ∴且， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵菱形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】如图，在荾形中，过点B作于点，过点作于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．根据证明得，进而可证明． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 在与中 ， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式4-2】如图，在菱形中，于点，于点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定以及性质，勾股定理． （1）利用菱形的性质结合已知条件用即可证明． （2）利用全等三角形的性质得出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：，， ， 又四边形是菱形， ，， ． （2）， ， ，， ． 【变式4-3】如图，菱形中，对角线交于点，点是的中点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，勾股定理； （1）根据对角线互相平分可得四边形是平行四边形，根据菱形的性质可得，即可证明四边形是矩形；       （2）根据菱形的性质得出，，，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，勾股定理求得，进而根据菱形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点是的中点， ∴，                      ∵， ∴四边形是平行四边形，      ∵四边形是菱形， ∴，即，       ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵四边形是菱形，      ∴，，，， ∵ ， ∴，   ∴，， ∴，， ∴四边形的面积为． 考点五：添一个条件使四边形是菱形 例5.如图，已知的对角线交于点O，下列条件不能证明是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的判定，掌握对角线垂直的垂直或邻边相等的平行四边形是菱形解题的关键．根据得出，根据邻边相等的平行四边形是菱形，判定A选项不符合同意；根据勾股定理得出，得出，即可判断B不符合同意；根据无法判断四边形为菱形，即可判断C符合题意；根据，证明，得出，即可判断D不符合同意． 【详解】解：A．由得出，根据邻边相等的平行四边形是菱形可得：四边形是菱形，故该选项不符合题意； B．∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， ∴四边形是菱形，故该选项不符合题意； C．由不能证明是菱形，故该选项符合题意； D．∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形．故该选项不符合题意． 故选：C． 【变式5-1】在中，如果只添加一个条件即可证明是菱形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 根据菱形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：由题意可作出图形： 当时，则为矩形，故A错误； 当时，则为矩形，故B错误； 当时，不能判定出是菱形，故C错误； 当平分时，则， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为菱形，故D正确； 故选：D． 【变式5-2】如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质．由四边形的对角线互相平分，得四边形是平行四边形，再由菱形的判定定理知，只需添加条件是邻边相等． 【详解】解：∵四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴要使四边形是菱形，需添加或， 故选：C． 【变式5-3】如图，顺次连结四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的判定，先说明四边形为平行四边形，再结合四个答案依次判断即可. 【详解】连结，如图所示， ∵E、F、C、H分别为四边形各边中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 当或时， 只能判断四边形为平行四边形，故A、B选项错误； 当时，能判断四边形为矩形，故C选项错误； 当时，能判断四边形为菱形，故D选项正确． 故选：D. 考点六：根据萎形的性质与判定求线段长/面积/角度 例6.如图，在四边形中，ABDC，，对角线、交于点0，平分，过点C作交延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形 (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)先证，则四边形是平行四边形，再由，即可得出结论； (2)由菱形的性质可得,,由直角三角形的性质和勾股定理可求的长，即可求解. 【详解】（1）证明：, , 平分, , , , , , 四边形是平行四边形， , 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，, , ,, , ， , (负值舍去), , 菱形的面积. 【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的定义，勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的面积公式是解决此题的关键． 【变式6-1】如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足． (1)判断四边形的形状，并证明； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)平行四边形，证明见解析 (2)24 【分析】本题主要考查平行四边形、菱形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握其判定方法及性质是解题的关键． （1） 根据平行的性质可得，运用角边角可证，可得，结合平行四边形的判定方法“对角线相互平分的四边形是平行四边形”即可求解； （2）根据题意可得四边形是菱形，运用勾股定理可得，由此菱形的面积计算方法即可求解． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形． 证明如下：， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （2）解：，， ， 四边形是菱形， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ． 【变式6-2】如图，在中，分别是边，，的中点． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，解题的关键是： （）由三角形中位线的性质可得，，即可得四边形为平行四边形，又由中点定义可得，即可求证； （2）先根据平行线的性质求出的度数，然后根据菱形的对角线平分每一组对角求解即可． 【详解】（1）证明：∵分别是的中点， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 【变式6-3】如图，在中，点分别在边上，与交于点，且垂直平分，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用平行四边形和线段垂直平分线的性质可证，即得，即可得四边形是平行四边形，进而由线段垂直平分线的性质即可求证； （）由，可得，进而可得为等边三角形，得到，再根据菱形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质求出对角线的长即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴ ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 一、单选题 1．下列性质中矩形具有面菱形不一定具有的是（   ） A．两组对边分别相等 B．两组对角分别相等 C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等 【答案】D 【分析】此题考查了菱形的性质与矩形的性质此题难度不大，注意熟练掌握菱形与矩形的性质定理．根据菱形的性质与矩形的性质，可求得答案． 【详解】两组对边分别相等：是矩形和菱形共同的性质； 两组对角分别相等：是矩形和菱形共同的性质； 两条对角线互相垂直：是菱形的性质，矩形不一定有； 两条对角线相等：是矩形的性质，菱形不一定有． 故选：D． 2．如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，点E是上一点，连接，若，则的长是（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据菱形的性质，结合勾股定理求出的长，等边对等角结合等角的余角相等，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 3．已知菱形的周长为20，其中一条对角线的长为8，则另一条对角线的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，菱形各边长相等的性质，勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求的值是解题的关键．根据菱形的周长可以计算菱形的边长，菱形的对角线互相垂直平分，已知，，根据勾股定理即可求得的值． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵菱形周长为20，， ∴，， ， ， 故选：C． 4．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形，若，则菱形的面积为（  ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查折叠性质、矩形的性质、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握矩形和菱形的性质是解答的关键．根据矩形和折叠性质得到，，，进而利用勾股定理求解，根据菱形的性质得到，，，然后利用勾股定理求得即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， 由折叠性质得，则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，则， 在中，由得， 解得， ∴菱形的面积为， 故选：A． 5．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁．李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形形状和面积分别是（   ） A．平行四边形， B．平行四边形， C．菱形， D．菱形， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理．先证明四边形是平行四边形，则，如图，作于，于，利用面积法证明，得到四边形是菱形，再由勾股定理求得，然后根据重合部分四边形的面积为，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图，作于，于，连接，则，    ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 则， ∴重合部分四边形的面积为： ， 故选：D． 6．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得，之间的距离为，，之间的距离为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，连接相交于点，过点作于，于，由题意可得，，，可得四边形是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得，即得到四边形是菱形，再利用菱形的性质即可求解，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接相交于点，过点作于，于， ∵四边形由两张等宽的纸条重叠在一起形成的， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴ ，， ∴， ∴， 故选：． 7．如果点E、F、G、H分别是四边形四条边的中点，要使四边形EFGH为菱形，则四边形应具备的条件是（    ） A．一组对边平行而另一组对边不平行 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】B 【分析】据已知条件可以得出要使四边形为菱形，应使，根据三角形中位线的性质可以求出四边形应具备的条件．此题主要考查了三角形中位线的性质以及菱形的判定方法，正确运用菱形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：连接，，   四边形中，、、、分别是四条边的中点，要使四边形为菱形， ， ，， 要使， ， 四边形应具备的条件是， 故选：B． 8．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，于点E．若，，则的长为（　　） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理， 首先根据菱形的性质得到，，，然后利用勾股定理求出，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】∵在菱形中，， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴． 故选：A． 二、填空题 9．如图，菱形中，和交于点O，过点D作于点E，连接，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，解决这类问题的方法是四边形转化为三角形．根据直角三角形的斜边中线性质可得，根据菱形性质可得，从而得到度数，再依据即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ，为中点，． ， 在中，， ． ． 故答案为：． 10．如图，菱形的边长是， 于点 E．若，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查求菱形面积，涉及菱形性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形中含角所对的边是斜边的一半是解决问题的关键．根据菱形的边长是，，得到，，，从而得到菱形的面积为即可解答． 【详解】解： ，， ∴在中，则， 菱形的边长是cm， 在中，， ， 菱形的面积为， 故答案为：． 11．如图，菱形的边在轴上，已知、，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，过点C作，设，则，在中，由可求出x的值，即可得到点的坐标． 【详解】过点 C 作，垂足为E，设， 则， 四边形是菱形， ， 在中，， ， 解得， 点C的坐标为. 三、解答题 12．（23-24.江苏.期中）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键； （1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【详解】（1）证明： ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ， ， 在中，， ， ， ， ． 13．（23-24.广西.期中）如图，平行四边形的两条对角线相交于点O，且． (1)求证：平行四边形是菱形； (2)求平行四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理的逆定理： （1）根据勾股定理的逆定理证明，则可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明； （2）根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴是直角三角形，且，即， ∴平行四边形是菱形； （2）解；∵平行四边形是菱形， ∴， ∴． 14．（23-24.江苏.期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点 O，过点 A 作，过 点 D 作，两线相交于点 E． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，交于点 F．若于点 E，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理并灵活运用． （1）先证明四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，即可得出四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，再结合矩形的性质得到，最后利用勾股定理求解，即可得到的长． 【详解】（1）证明： ，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形，对角线与相交于点 O， ， 四边形是菱形； （2）解： ，四边形是菱形， ， 四边形是矩形， ， 于点 E， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 菱形的性质与判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解菱形的概念； 2. 探索并证明菱形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算； 3.通过菱形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力。 知识点1：菱形的概念与性质 1. 概念：一组邻边相等的平行四边形是菱形 2.性质： 边：菱形的四条边都相等． 对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半． 知识点2：菱形的判定 1. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）． 2. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线）． 3. 四条边相等的四边形是菱形（边） 考点一：利用菱形的性质求角度 例1．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A．24度 B．25度 C．40度 D．65度 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在菱形中如图，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级下·河南郑州·期中）如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为（　　） A． B． C． D． 考点二：利用菱形的性质求线段长 例2.（24-25九年级上·广东揭阳·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，过点A作于点，若，，则的长为（　　） A．14 B． C．15 D． 【变式2-1】（24-25九年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长为（  ）    A．14 B．16 C．15 D．17 【变式2-2】（24-25九年级上·吉林长春·期末）菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，．则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（   ） A．4 B．5 C． D． 考点三：利用菱形的性质求面积 例3.（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）菱形的两条对角线长为6和8，那么这个菱形的面积为（   ） A．48 B．32 C．12 D．24 【变式3-1】（24-25九年级上·山西晋中·期中）如图，四边形是菱形，．则菱形的面积（   ） A． B．16 C． D． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为 ． 【变式3-3】（24-25九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，在菱形中，M、N分别为、的中点，若，，则菱形的面积为 ． 考点四：利用萎形的性质证明 例4.如图：在菱形中，过点A作于点E，延长至点F，使，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【变式4-1】如图，在荾形中，过点B作于点，过点作于点，求证：． 【变式4-2】如图，在菱形中，于点，于点．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式4-3】如图，菱形中，对角线交于点，点是的中点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 考点五：添一个条件使四边形是菱形 例5.如图，已知的对角线交于点O，下列条件不能证明是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】在中，如果只添加一个条件即可证明是菱形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D．平分 【变式5-2】如图，四边形的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，顺次连结四边形各边中点得到四边形，要使四边形为菱形，应添加的条件是（ ） A． B． C． D． 考点六：根据萎形的性质与判定求线段长/面积/角度 例6.如图，在四边形中，ABDC，，对角线、交于点0，平分，过点C作交延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形 (2)若，，求四边形的面积． 【变式6-1】如图，在四边形中，与相交于点，且，点在上，满足． (1)判断四边形的形状，并证明； (2)若，，，求四边形的面积． 【变式6-2】如图，在中，分别是边，，的中点． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求的大小． 【变式6-3】如图，在中，点分别在边上，与交于点，且垂直平分，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求四边形的面积． 一、单选题 1．下列性质中矩形具有面菱形不一定具有的是（   ） A．两组对边分别相等 B．两组对角分别相等 C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等 2．如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，，点E是上一点，连接，若，则的长是（   ） A．2 B． C．3 D．4 3．已知菱形的周长为20，其中一条对角线的长为8，则另一条对角线的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 4．将矩形纸片按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形，若，则菱形的面积为（  ） A． B． C．4 D．8 5．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁．李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形形状和面积分别是（   ） A．平行四边形， B．平行四边形， C．菱形， D．菱形， 6．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得，之间的距离为，，之间的距离为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 7．如果点E、F、G、H分别是四边形四条边的中点，要使四边形EFGH为菱形，则四边形应具备的条件是（    ） A．一组对边平行而另一组对边不平行 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 8．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，于点E．若，，则的长为（　　） A． B． C．6 D．8 二、填空题 9．如图，菱形中，和交于点O，过点D作于点E，连接，若，则的度数是 ． 10．如图，菱形的边长是， 于点 E．若，则菱形的面积为 ． 11．如图，菱形的边在轴上，已知、，则点的坐标为 ． 三、解答题 12．（23-24.江苏.期中）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 13．（23-24.广西.期中）如图，平行四边形的两条对角线相交于点O，且． (1)求证：平行四边形是菱形； (2)求平行四边形的面积． 14．（23-24.江苏.期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点 O，过点 A 作，过 点 D 作，两线相交于点 E． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，交于点 F．若于点 E，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$