第11讲 矩形的判定（1个知识点+5大考点举一反三+过关测试）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（人教版）

第11讲 矩形的判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.探索并证明矩形的判定定理，并能运用它们进行证明和计算； 2. 通过矩形的判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力。 知识点：矩形的判定 （1） 有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2） 对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三各直角的四边形是矩形。 考点一：添一条件使四边形是矩形 例1.（23-24八年级下·辽宁大连·期末）在数学活动课上，小明准备用一根绳子检查一个书架是否为矩形．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列验证方法中错误的为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级下·江西上饶·期中）如图，已知的对角线相交于点O，下列条件能使成为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在中，为上一点，．请你再添加一个适当的条件： ，使四边形为矩形． 考点二：证明四边形是矩形 例2.（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，，D为中点，四边形是平行四边形，，相交于点O． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长度． 【变式2-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图：在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点，若，求的长度． 【变式2-2】（23-24八年级下·山东菏泽·阶段练习）在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接． (1)求证：． (2)如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【变式2-3】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 考点三：根据矩形的性质与判定求角度 例3.（22-23八年级下·福建厦门·期中）在一次数学活动中，小辉将一块矩形纸片对折，使与重合，得到折痕．把纸片展开，再一次折叠纸片，使点A落在N上，得到折痕．    (1)若点N刚好落在折痕上时， ①如图1，过N作，求证：； ②如图2，求的度数； (2)如图3，当M为射线上的一个动点时，已知，，若的直角三角形时，求的长． 【变式3-1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ． 【变式3-2】（2023·广东梅州·一模）如图，四边形中，对角线，相交于点，，，且．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的度数． 【变式3-3】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，于点E，求的度数． 考点四：根据矩形的性质与判定求线段长 例4.（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 【变式4-1】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，在中，为的中点，四边形是平行四边形，，相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【变式4-2】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）（1）如图①，已知，点是边上一定点，试在边上确定一点，使得平分的面积，并直接写出与之间的数量关系； （2）在（1）的条件下，若 ．求的长度． 【变式4-3】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）如图，在中，O为的中点，延长交的延长线于点E，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 考点五：根据矩形的性质与判定求面积 例5.（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形中，，与相交于点O，且O是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求四边形的面积． 【变式5-1】（21-22八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在四边形中，对角线，垂足为O，点E、F、G、H分别为边、、、的中点．若，则四边形的面积为（    ） A．48 B．24 C．32 D．12 【变式5-2】23-24八年级下·安徽安庆·期末）已知：如图，平行四边形的对角线相交于点，，，且．      (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【变式5-3】（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在直角梯形中，，．求．    一、单选题 1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）在平行四边形中添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·期末）工人师傅在没有测量角度工具的情况下，下列测量方案中，能确定四边形桌面为矩形的是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等 D．测量对角线是否相等 3．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）将6张宽为1的小长方形如图摆放在平行四边形中，则平行四边形的面积为（    ） A．32 B．16 C．12 D． 5．（2024·福建南平·一模）如图，在矩形纸片中，，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为．则的长为（    ） A．4 B． C． D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·全国·期末）如图，点G在矩形的对角线上，且不与A，C重合，过点G分别作边平行线交两组对边于点E，F和点 M，N，则图中阴影部分，面积之间的关系是 ． 7．（23-24八年级下·河南平顶山·期中）如图：，将沿着射线方向平移，得到．已知，，则阴影部分的面积为 ． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，，P为斜边上一动点，过点P分别作交于点E，作交于点F．则的最小值为 ． 9．（23-24八年级下·河南南阳·期末）在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E为AB上一动点，DE交AC于F，当∠CFE＝2∠ACB时，线段DF的长为 ． 三、解答题 10．（23-24九年级下·北京西城·开学考试）如图，在平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，连接交于点F．    (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 矩形的判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.探索并证明矩形的判定定理，并能运用它们进行证明和计算； 2. 通过矩形的判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力。 知识点：矩形的判定 （1） 有一个角是直角的平行四边形是矩形； （2） 对角线相等的平行四边形是矩形； （3）有三各直角的四边形是矩形。 考点一：添一条件使四边形是矩形 例1.（23-24八年级下·辽宁大连·期末）在数学活动课上，小明准备用一根绳子检查一个书架是否为矩形．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，下列验证方法中错误的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项A不符合题意； ， 平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； 由无法判断平行四边形是矩形，故选项C符合题意； 平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项D不符合题意； 故选C 【变式1-1】（23-24八年级下·江西上饶·期中）如图，已知的对角线相交于点O，下列条件能使成为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，有一个角时直角的平行四边形为矩形，对角线相等的平行四边形为矩形，进行作答即可． 【详解】解：A、，四边形是菱形，不能判定是矩形，故不符合题意； B、，不能判定是矩形，故不符合题意； C、，四边形是矩形，故符合题意； D、，四边形是菱形，不能判定是矩形，故不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等，熟练掌握相关的判定定理与性质定理是解题的关键． 先证明四边形为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答． 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， A.∵，， ∴， ∴为矩形，故本选项不符合题意； B.∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意； C.∵， ∴， ∴为矩形，故本选项不符合题意； D.∵， ∴， ∴为矩形，故本选项不符合题意， 故选：B． 【变式1-3】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在中，为上一点，．请你再添加一个适当的条件： ，使四边形为矩形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定； 根据已知可得四边形是平行四边形，然后添加可得四边形为矩形． 【详解】解：添加条件， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 故答案为：． 考点二：证明四边形是矩形 例2.（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，，D为中点，四边形是平行四边形，，相交于点O． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）先根据四边形是平行四边形和D 为中点判定四边形是平行四边形，再结合，推出，即可得出结论； （2）根据和矩形的对角线相等且互相平分，得出为等边三角形，即可求出的长，从而得到矩形的长． 【详解】（1）证明：∵ 四边形是平行四边形， ∴，. ∵D 为中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形. ∵ ，D 为中点， ∴，即， ∴是矩形. （2）∵ 四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ 是等边三角形. ∵， ∴ ∴. 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式2-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图：在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点，若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是： （1）根据等腰三角形三线合一得到，，结合是的外角的平分线，可得出，又由即可得到，然后根据矩形的判断即可得证； （2）利用矩形的性质可求，即可求解． 【详解】（1）证明：，是中线， ，， ， 为的外角的平分线， ， ， 即， ， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）知，四边形为矩形， ，， 又， ， ， ． 【变式2-2】（23-24八年级下·山东菏泽·阶段练习）在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接． (1)求证：． (2)如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定、矩形的判定等知识． （1）先由，利用平行线的性质可证，而是中点，那么，，利用可证，那么有，又，从而有； （2）四边形是矩形．由于平行等于，易得四边形是平行四边形，又，，利用等腰三角形三线合一定理，可知，即，那么可证四边形是矩形． 【详解】（1）∵， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）四边形是矩形． 理由： ，是的中点， ， ， 过点作的平行线交的延长线于点，即， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 【变式2-3】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是等边三角形是解题的关键． （1）由，，得，由四边形是平行四边形，点在的延长线上，得，则四边形是平行四边形，即可由，根据矩形的定义证明四边形是矩形； （2）由平行四边形的性质和矩形的性质得，，，因为，所以是等边三角形，则，，所以，即可根据勾股定理求得． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形，点在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 的长是． 考点三：根据矩形的性质与判定求角度 例3.（22-23八年级下·福建厦门·期中）在一次数学活动中，小辉将一块矩形纸片对折，使与重合，得到折痕．把纸片展开，再一次折叠纸片，使点A落在N上，得到折痕．    (1)若点N刚好落在折痕上时， ①如图1，过N作，求证：； ②如图2，求的度数； (2)如图3，当M为射线上的一个动点时，已知，，若的直角三角形时，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2)1或9 【分析】（1） ①证明四边形是矩形，得到，根据折叠的性质，矩形的性质，得到,，证明即可； ②根据折叠的性质，求解即可． （2）根据矩形的性质，判定不可能是直角，只有，分直角在矩形内部和外部两种情况计算即可． 【详解】（1）解：①∵矩形纸片对折，使与重合，得到折痕， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得到,， ∴． ②过点G作于点G， ∵矩形纸片对折，使与重合，得到折痕， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得到,， ∴． 根据折叠的性质， ∴，， ∴，，    ∴． （2）根据矩形的性质，故不可能是直角， ∴， ∵矩形纸片， ∴， ∵， ∴三点共线， 根据折叠的性质， ∴，， ∵矩形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 根据矩形的性质，故不可能是直角， ∴， ∵矩形纸片， ∴， ∵， ∴三点共线， 根据折叠的性质， ∴，， ∵矩形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形与折叠，勾股定理是解题的关键． 【变式3-1】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及性质，由平行四边形的性质得出，，得出，即可证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，进一步即可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（2023·广东梅州·一模）如图，四边形中，对角线，相交于点，，，且．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先判断四边形是平行四边形，继而根据已知条件推导出，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证； （2）由矩形的性质得到，再由平行线的性质得到，然后由三角形的内角和求出，再根据直角三角形的两锐角互余，即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定与性质，证明是解题的关键． 【变式3-3】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，于点E，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，利用勾股定理逆定理，得到，即可得证； （2）求出的度数，根据三角形的内角和，求出，然后根据，得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵在四边形中，对角线，相交于点O，，， ∴四边形是平行四边形，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）∵四边形是矩形 ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键．注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形 考点四：根据矩形的性质与判定求线段长 例4.（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，且，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，角平分线的定义等知识，熟练掌握矩形和等腰三角形的判定是解答的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可得证； （2）先证明，由平行四边形的性质，得到，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，． 【变式4-1】（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，在中，为的中点，四边形是平行四边形，，相交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）先根据四边形是平行四边形和为的中点，判定四边形是平行四边形，再结合，推出，即可得出结论； （）根据和矩形的对角线相等且互相平分，得出为等边三角形，即可求出的长，从而得到矩形对角线的长，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵为中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 【变式4-2】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）（1）如图①，已知，点是边上一定点，试在边上确定一点，使得平分的面积，并直接写出与之间的数量关系； （2）在（1）的条件下，若 ．求的长度． 【答案】（1）见解析，；（2） 【分析】（1）连接交于点O，连接并延长交于点F，过点A作，垂足为H，根据平分的面积，由梯形的面积公式得到，得到，根据平行四边形的性质，证明，得到，进而得到； （2）在（1）图基础上，过点E作，垂足为G，证明四边形是矩形，得到，，根据含30度角的直角三角形的特征，求出，进而求出，再利用勾股定理求出，推出，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：（1）连接交于点O，连接并延长交于点F，过点A作，垂足为H， 平分的面积， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ，即； （2）在（1）图基础上，过点E作，垂足为G， 由（1）知，， ，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的特征，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式4-3】（23-24八年级下·贵州黔南·期中）如图，在中，O为的中点，延长交的延长线于点E，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，然后根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”即可得四边形是矩形． （2）过点O作于点F．根据矩形的性质可得，根据“等腰三角形三线合一”可得．再证明为的中位线，则可得．再根据平行四边形的性质可得，则可得，在中，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵O为的中点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：如图，过点O作于点F． ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴． ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即的长为． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 考点五：根据矩形的性质与判定求面积 例5.（23-24八年级下·广西河池·期末）如图，在四边形中，，与相交于点O，且O是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是等边三角形，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、矩形的判定与性质等知识点，掌握矩形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，再证明可得人然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质可得、，再结合等边三角形的性质可得是矩形；再根据勾股定理求得，最后根据矩形的面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：， ． 又，， ， ． 又， 四边形是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ，． 是等边三角形，且， ， ， 是矩形， ，， ， 四边形的面积． 【变式5-1】（21-22八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在四边形中，对角线，垂足为O，点E、F、G、H分别为边、、、的中点．若，则四边形的面积为（    ） A．48 B．24 C．32 D．12 【答案】D 【分析】利用中位线定理可得出四边形矩形，根据矩形的面积公式解答即可． 【详解】解：∵点E、F分别为四边形的边、的中点， ∴，且． 同理：，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 同理：，， 又∵， ∴． ∴四边形是矩形． ∴四边形的面积， 即四边形的面积是12． 故选：D． 【点睛】本题考查的是中点四边形的含义，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的中位线的性质，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键． 【变式5-2】23-24八年级下·安徽安庆·期末）已知：如图，平行四边形的对角线相交于点，，，且．      (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）根据已知条件得出，进而得到，再结合平行四边形的性质，得出，即可证明结论； （2）根据矩形的性质，易证是等边三角形，进而得到，，再证明四边形是平行四边形，从而推出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【变式5-3】（23-24八年级下·上海奉贤·期末）如图，在直角梯形中，，．求．    【答案】 【分析】本题考查矩形的判定与性质，勾股定理，梯形的面积．正确作出辅助线，构造直角三角形利用勾股定理求出梯形下底长是解题的关键． 过点A作于E，先证明四边形是矩形，得，，再用勾股定理求出长，从而求得梯形下底长，然后用梯形面积公式求解即可． 【详解】解：过点A作于E，如图，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则， 由勾股定理，得， 解得：， ∴， ∴． 一、单选题 1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）在平行四边形中添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据矩形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：如图， A、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，故本选项不符合题意； B、根据四边形是平行四边形和不能推出四边形是矩形，故本选项符合题意； C、∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形，故本选项不符合题意； D、∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级下·全国·期末）工人师傅在没有测量角度工具的情况下，下列测量方案中，能确定四边形桌面为矩形的是（   ） A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等 C．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等 D．测量对角线是否相等 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、熟记矩形的判定定理是解题的关键．由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， ∴对角线互相平分且相等的四边形才是矩形， ∴选项A不符合题意； B、∵两组对边分别相等是平行四边形， ∴选项B不符合题意； C、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等， ∴对角线互相平分且相等， ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形， ∴选项C符合题意； D、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形， ∴对角线相等的四边形不是矩形， ∴选项D不符合题意； 故选：C 3．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，由角的和差关系求出，再根据等边对等角求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 4．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）将6张宽为1的小长方形如图摆放在平行四边形中，则平行四边形的面积为（    ） A．32 B．16 C．12 D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质，过点作于，过点作于，证明四边形是矩形，由图形可知小长方形的长为3，是直角边为1的等腰直角三角形，求得，即可得出答案．熟练掌握平行四边形的性质和矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于，过点作于，如图所示： 四边形是平行四边形， ，，， ，， 四边形是矩形， ， ， 由图形可知：小长方形的长为3，是直角边为1的等腰直角三角形， ∴，与都是直角边为的等腰直角三角形， ∴， ∴ 平行四边形的面积为：， 故选：A． 5．（2024·福建南平·一模）如图，在矩形纸片中，，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为．则的长为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质，矩形的性质可知，，，则，设，则，由勾股定理得，，即，可求，则，如图，作于，则四边形是矩形，，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知，，， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， 如图，作于，则四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，等角对等边，矩形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形与折叠，等角对等边，矩形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 二、填空题 6．（23-24八年级下·全国·期末）如图，点G在矩形的对角线上，且不与A，C重合，过点G分别作边平行线交两组对边于点E，F和点 M，N，则图中阴影部分，面积之间的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，掌握矩形的性质与判定是解题的关键．由矩形的性质找出，结合对边互相平行即可证出四边形和四边形都是矩形，再根据矩形的性质可得出三对三角形的面积相等，由此即可得结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴． 又∵， ∴四边形和四边形都是矩形． ， ，即， 故答案为：． 7．（23-24八年级下·河南平顶山·期中）如图：，将沿着射线方向平移，得到．已知，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平移的性质，勾股定理，首先根据勾股定理求出，再计算三角形的面积和矩形的面积即可得阴影部分的面积，关键是掌握矩形和三角形的面积公式． 【详解】解：∵，，， ∴ ∵是沿着射线方向平移得到， ∴四边形为矩形，， ∴， ， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，，P为斜边上一动点，过点P分别作交于点E，作交于点F．则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．连接，当时，最小，则最小，利用三角形面积解答即可． 【详解】解：连接， ， ∴ ， 四边形是矩形， ， 当最小时，也最小， 即当时，最小， ∵，， ， 的最小值为：． 线段长的最小值为； 故答案为：． 9．（23-24八年级下·河南南阳·期末）在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E为AB上一动点，DE交AC于F，当∠CFE＝2∠ACB时，线段DF的长为 ． 【答案】5 【分析】连接BD交AC于点O，由矩形的性质可知，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，OA＝OB＝OC＝OD＝5，∠AOB＝2∠ACB；所以∠AOB＝∠CFE，所以∠DFO＝∠DOF，由“等角对等边”可知DF＝DO＝5． 【详解】解：如图，连接BD交AC于点O， 在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6， ∴AC＝BD＝10， ∴OA＝OB＝OC＝OD＝5， ∴∠ACB＝∠OBC， ∴∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝2∠ACB， ∵∠CFE＝2∠ACB， ∴∠AOB＝∠CFE， ∵∠AOB+∠DOF＝∠CFE+∠DFO＝180°， ∴∠DFO＝∠DOF， ∴DF＝DO＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质与判定等相关知识，熟知矩形的性质，由此作出辅助线是解题的关键． 三、解答题 10．（23-24九年级下·北京西城·开学考试）如图，在平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，连接交于点F．    (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是等边三角形是解题的关键． （1）由，，得，由四边形是平行四边形，点E在的延长线上，得，则四边形是平行四边形，即可由，根据矩形的定义证明四边形ACED是矩形； (2)由平行四边形的性质和矩形的性质得， 推出是等边三角形，则，，所以，即可根据勾股定理求得结果． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形，点E在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 的长是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！30 学科网（北京）股份有限公司 $$