第10讲 矩形的性质（2个知识点+7大考点举一反三+过关测试）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（人教版）

第10讲 矩形的性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解矩形的概念； 2. 探索并证明矩形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算； 3.理解直角三角形斜边的中线定理，运用其进行计算。 知识点1：矩形的概念与性质 1. 概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2. 性质：（1）矩形的对边平行且相等； （2）矩形的四个角都是直角； （3）矩形的对角线相等。 知识点2：直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 考点一：利用矩形的性质求角度 例1.（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，矩形的对角线与相交于点，过点作，交于点，连接．若，则 ． 【变式1-2】（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，则 度．    【变式1-3】（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点E，连接，则 ． 考点二：根据矩形的性质求线段长 例2.（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图，矩形的两条对角线相交于点O，，则该矩形的周长是（  ） A．16 B． C． D． 【变式2-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知：如图，矩形中，，，对角线、相交于点O，点P是线段上任意一点，且于点E，于点F，则等于（　　） A．6 B．5 C． D． 【变式2-2】（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点．，在点从移动到（点不动）的过程中，则线段 ． 【变式2-3】（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，点O是矩形的对角线的中点，点E是的中点，，则的长为 ． 考点三：根据矩形的性质求面积 例3.（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如图，过矩形 对角线的交点 O，且分别交于 E 、F，那么阴影部分的面积是矩形 的面积的（      ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）矩形的两条对角线之和为，其中一条边长为，则该矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式3-3】（23-24八年级下·重庆大足·期末）如图， 点 E 是矩形内任一点， 若． 则图中阴影部分的面积为 ． 考点四：利用矩形的性质证明 例4.（23-24八年级下·全国·期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别与边和边的延长线交于点M，N，与边交于点E，垂足为点O． (1)求证： (2)若，请直接写出的长为 ． 【变式4-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四边形是矩形，点E在边上，点F在的延长线上，且． 求证：四边形是平行四边形．      【变式4-2】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图所示，矩形中，与交于O点，于E，于F，求证：． 【变式4-3】（23-24八年级下·山东泰安·期中）如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 考点五：求矩形在坐标系中的坐标 例5.（22-23九年级下·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已标出，那么的值为（   ） A． B． C．3 D．1 【变式5-2】（22-23八年级下·重庆江津·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 【变式5-3】（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 考点六：矩形与折叠问题 例6.（23-24八年级下·全国·开学考试）已知：将长方形沿直线对折，将点折到点处，交于点， (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的面积． 【变式6-1】（23-24八年级下·云南昆明·期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】（1）请猜想线段的数量关系，并证明． 【应用】（2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为．若，求的长． 【变式6-2】（23-24八年级下·全国·单元测试）把一张矩形纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在上），折痕分别为，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求线段的长． 【变式6-3】（23-24八年级下·广东广州·期中）在矩形中，，，在上取一点E，将沿直线折叠，得到． (1)如图1，若点F刚好落在上时，求的长； (2)如图2，若点E从C到D的运动过程中，的角平分线交的延长线于点M，求M到的距离． 考点七：斜边的中线等于斜边的一半 例7.（23-24八年级下·河北保定·期末）已知A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示．若D地位于A，C两地的中点处，则B，D两地之间的距离是（   ）    A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，为的中点，则的长为（　　） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【变式7-2】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，D 是上一点，连接，，E、F分别是、的中点，连接、，若，， 则的长是（    ） A． B． C． D．3 【变式7-3】（23-24八年级下·贵州黔西·期末）如图，在中，，点D，E分别是，的中点，连接，在上有一点F，且，连接，若，则的长为(    ) A．12 B．14 C．16 D．18 一、单选题 1．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，矩形的对角线与相交于点O，，已知，则的长度是（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（23-24八年级下·山西·期末）如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，在直角三角形中，，，，为的中线，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在矩形中，点D的坐标是，则的长是（　　） A．3 B． C． D． 5．（23-24八年级下·吉林松原·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的实数为（   ） A． B． C．3 D． 7．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在矩形中，点E，F分别在上，，若G是的中点，H是的中点，连接，则的长为（　　） A． B． C．2 D． 二、填空题 8．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，是斜边上的中线，，则 ． 9．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接，则的周长为 ． 10．（23-24八年级下·全国·单元测试）把一张矩形纸片（矩形按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为，若，，则重叠部分的面积是 ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）已知：如图，矩形的对角线、相交于点O，，交的延长线于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 12．（23-24九年级上·福建莆田·期末）已知如图，将矩形绕点C按顺时针方向旋转得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，交于点H， 求证： (1) (2)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 矩形的性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.理解矩形的概念； 2. 探索并证明矩形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算； 3.理解直角三角形斜边的中线定理，运用其进行计算。 知识点1：矩形的概念与性质 1. 概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2. 性质：（1）矩形的对边平行且相等； （2）矩形的四个角都是直角； （3）矩形的对角线相等。 知识点2：直角三角形斜边上的中线 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半 考点一：利用矩形的性质求角度 例1.（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及等腰三角形的判定与性质，利用矩形的对角线相等是解决问题的关键. 连接，依据矩形的性质，即可得到，再根据即可得出，进而得到的度数. 【详解】解：如图, 连接交于点O， ∵矩形中, ， ， ， ∴， ， 故选: D. 【变式1-1】（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，矩形的对角线与相交于点，过点作，交于点，连接．若，则 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查了矩形的性质，根据垂直的定义及角的和差求出，根据矩形的性质推出，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求解即可．熟记矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ，即， 故答案为：． 【变式1-2】（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作，垂足为点，若，则 度．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的外角性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质．根据矩形的性质可得到，推出，根据三角形的外角性质和，可得，由，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1-3】（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点E，连接，则 ． 【答案】45 【分析】此题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，等边对等角和三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 首先证明出是等边三角形，得到，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求出，进而求解即可． 【详解】∵四边形是矩形 ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∵以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点E， ∴ ∴ ∴． 故答案为：45． 考点二：根据矩形的性质求线段长 例2.（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图，矩形的两条对角线相交于点O，，则该矩形的周长是（  ） A．16 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，矩形对角线的性质和利用勾股定理求边长，熟练掌握矩形及等边三角形的性质是解题的关键． 根据矩形的对角线互相平分且相等可得是等边三角形，可求出，勾股定理可求出，即可求出矩形的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∴矩形的周长， 故选：C． 【变式2-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）已知：如图，矩形中，，，对角线、相交于点O，点P是线段上任意一点，且于点E，于点F，则等于（　　） A．6 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，利用矩形的性质和勾股定理求出的长，然后由求得答案． 【详解】解：连接， ∵矩形中，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， 即：， ∴． 故选：C． 【变式2-2】（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点．，在点从移动到（点不动）的过程中，则线段 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质及三角形中位线定理．因为点不动，所以不变，根据中位线定理，可得的长． 【详解】解：连接 分别是的中点 为的中位线， 是矩形 ， 故答案为：． 【变式2-3】（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，点O是矩形的对角线的中点，点E是的中点，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．由三角形中位线定理求出，由勾股定理求出的长，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：为的中点，是的中点， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 故答案为：5． 考点三：根据矩形的性质求面积 例3.（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）如图，过矩形 对角线的交点 O，且分别交于 E 、F，那么阴影部分的面积是矩形 的面积的（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要根据矩形的性质，得，再由与同底等高，与同底且的高是高的得出结论．本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质． 【详解】解：四边形为矩形， ， ∴ 在与中， ， ， 阴影部分的面积， ∵与同底且的高是高的 ． 故选：B． 【变式3-1】（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）矩形的两条对角线之和为，其中一条边长为，则该矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质和勾股定理，根据矩形的性质求出对角线的长，再根据勾股定理求出矩形的另一边长，即可求出矩形的性质．利用勾股定理求出矩形的另一边长是解题的关键． 【详解】解：∵矩形的两条对角线之和为， ∴矩形的一条对角线长为：， ∵矩形的一边长为， 又∵矩形的相邻两边与一条对角线构成直角三角形， ∴与矩形边长为相邻的另一边长为：， ∴矩形的面积为：． 故选：B． 【变式3-2】（23-24八年级下·河南新乡·期末）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形的面积等知识．先作辅助线，然后根据矩形的性质可得到两个矩形面积相等． 【详解】解：作于点M，交于点N，如图所示： 则四边形，，，都是矩形， ∴，，，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：9． 【变式3-3】（23-24八年级下·重庆大足·期末）如图， 点 E 是矩形内任一点， 若． 则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算．根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于矩形面积的一半；即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设两个阴影部分三角形的底为，高分别为，则， ∴， ∴图中阴影部分的面积为24； 故答案为：24． 考点四：利用矩形的性质证明 例4.（23-24八年级下·全国·期末）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别与边和边的延长线交于点M，N，与边交于点E，垂足为点O． (1)求证： (2)若，请直接写出的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用矩形的性质和线段垂直平分线的性质证明三角形全等即可． （2）连接，根据垂直平分线得出，设，则，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴，． ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． （2）解：如图所示，连接， ∵是的垂直平分线， ， 设，则， ∵四边形是矩形， ， 中，， 即， 解得：，即的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理和全等三角形的判定等知识点，解答关键是证明三角形全等． 【变式4-1】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四边形是矩形，点E在边上，点F在的延长线上，且． 求证：四边形是平行四边形．      【答案】见解析 【分析】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定．由，推出，推出，又，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形．    【变式4-2】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图所示，矩形中，与交于O点，于E，于F，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵矩形， ∴， ∵于E，于F， ∴， 在和中 ∵ ∴， ∴． 【变式4-3】（23-24八年级下·山东泰安·期中）如图，在矩形中，是边上的点，，，垂足为，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理； （1）根据矩形是性质可以证明，即可得； （2）结合（1）证明，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）四边形是矩形， ，，， ， ，， ，， ， ； （2）∵， ，， ，， ∴， ， ， 在中，根据勾股定理，得， ． 考点五：求矩形在坐标系中的坐标 例5.（22-23九年级下·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方形的性质求出点的横、纵坐标即可获得答案． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴，， ∵， ∴点的横坐标与点相同，为， 点的纵坐标与点相同，为， ∴点的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解题关键是利用矩形“对边平行且相等”的性质解决问题． 【变式5-1】（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的四个顶点坐标均已标出，那么的值为（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，涉及矩形性质、中点坐标公式等知识，熟练掌握矩形性质及中点坐标公式是解决问题的关键．由矩形的对角线交于一点，且对角线相互平分，从而由中点坐标公式求出对角线交点的坐标，列方程求解即可得到的值，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由中点坐标公式可知中点的坐标为，即； 中点的坐标为，即； ， 解得， ， 故选：D． 【变式5-2】（22-23八年级下·重庆江津·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由两点距离公式可求的长，由矩形的性质可求，即可求解． 【详解】解：连接， 点，， ， 四边形是矩形， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 【变式5-3】（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了坐标与图形的性质,矩形的性质，等腰三角形的性质，由点是的中点，可得出点的坐标，当，由等腰三角形的性质即可得出点的坐标 【详解】解：过点作于点， 矩形的顶点的坐标分别为，点是的中点， 点 ，， ， 即点 点， 故选：A 考点六：矩形与折叠问题 例6.（23-24八年级下·全国·开学考试）已知：将长方形沿直线对折，将点折到点处，交于点， (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积为 【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关的知识． （1）根据矩形的性质可得，得到，结合折叠的性质可得，即可证明； （2）设，则，在中，由勾股定理求出，最后根据，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，， ， 由折叠可得：， ， ， 是等腰三角形； （2）解：设，则， 在中，由勾股定理可得：，即， 解得：， ， ． 【变式6-1】（23-24八年级下·云南昆明·期中）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】（1）请猜想线段的数量关系，并证明． 【应用】（2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为．若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键． （1）由折叠的性质可得，再证明，易得，即可证明； （2）由折叠的性质可得，，，设，易得，在中，由勾股定理解得的值，易知，同理可证明，然后计算的长即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （2）∵矩形沿所在直线折叠， ∴，，， 设， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， 同理可证明， ∴． 【变式6-2】（23-24八年级下·全国·单元测试）把一张矩形纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在上），折痕分别为，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了与矩形有关的折叠问题，平行四边形的证明及勾股定理，准确分析计算是解题的关键． （1）根据矩形的性质和折叠的性质证明即可； （2）由折叠可得，，，在根据勾股定理计算即可； 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， 又由折叠可得：，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形； （2）解：由折叠可得，，， 在中， ， ， ， 设，则， 在中， ， ， 解得：， 即． 【变式6-3】（23-24八年级下·广东广州·期中）在矩形中，，，在上取一点E，将沿直线折叠，得到． (1)如图1，若点F刚好落在上时，求的长； (2)如图2，若点E从C到D的运动过程中，的角平分线交的延长线于点M，求M到的距离． 【答案】(1)； (2)M到的距离为8． 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理与折叠问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）先由矩形的性质和折叠的性质得到，再利用勾股定理求出，则，设，则，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可得到答案； （2）过点作于，交的延长线于，交的延长线于．证明，推出，可得结论． 【详解】（1）解：四边形是矩形，将沿直线折叠，点F刚好落在上， ∴，，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ； （2）解：如图，过点作于，交的延长线于，交的延长线于． 四边形是矩形， ，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， 到的距离为8． 考点七：斜边的中线等于斜边的一半 例7.（23-24八年级下·河北保定·期末）已知A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示．若D地位于A，C两地的中点处，则B，D两地之间的距离是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理得出是直角三角形是解题的关键．根据勾股定理得出是直角三角形，再利用直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：，， ， 是直角三角形， 地位于、两地的中点处， ， 故选：C 1【变式7-1】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，为的中点，则的长为（　　） A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的特征量，先计算，根据为斜边上的中线，计算即可． 【详解】∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴为斜边上的中线， ∴， 故选：D． 【变式7-2】（23-24八年级下·全国·期末）如图，在中，D 是上一点，连接，，E、F分别是、的中点，连接、，若，， 则的长是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，以及勾股定理，由等腰三角形三线合一的性质可得出，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出，由勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：∵，F是的中点， ∴， ∴， ∵在中，E为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式7-3】（23-24八年级下·贵州黔西·期末）如图，在中，，点D，E分别是，的中点，连接，在上有一点F，且，连接，若，则的长为(    ) A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DF，进而求出DE，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：， ， 点D是的中点，， ， ， ， 点D，E分别是，的中点， 是的中位线， ， 故选：C． 一、单选题 1．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，矩形的对角线与相交于点O，，已知，则的长度是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质，根据矩形的对角线相等且互相平分得到，，再证明是等边三角形，得到，则． 【详解】解：∵矩形的对角线与相交于点O， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级下·山西·期末）如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由矩形的性质可得出，，由折叠的性质可得出，，设，则，再证明，由全等三角形的性质可得出，再由勾股定理得出，解出x即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵由翻折而成， ∴，， 设，则， ∵，， ∴， 在与中， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为5． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定以及性质，勾股定理，掌握这些性质是解题的关键． 3．（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，在直角三角形中，，，，为的中线，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．先利用勾股定理算出，再利用直角三角形斜边中线的性质求出． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵为的中线， ∴， 故选：C． 4．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在矩形中，点D的坐标是，则的长是（　　） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，过作轴于，由矩形的性质得，再由点的坐标得，，然后由勾股定理求出的长，即可解决问题．本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过作轴于， 四边形是矩形， ， 点的坐标是， ，， ， ， 故选：D． 5．（23-24八年级下·吉林松原·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质及等边三角形的判定与性质是解题的关键．根据矩形的性质可得，结合，可证明是等边三角形，所以，再根据对顶角相等即得答案． 【详解】四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 故选B． 6．（23-24八年级下·吉林长春·开学考试）如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的实数为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出，根据，由此即可解决问题． 本题考查了矩形的性质，实数与数轴，勾股定理，等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M， ∴， ∴点M表示的实数为， 故选：A． 7．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在矩形中，点E，F分别在上，，若G是的中点，H是的中点，连接，则的长为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、中位线的性质定理，掌握相关结论是解题关键．连接，并延长交于N，连接，证可得；结合H是的中点，，可得，即可求解； 【详解】解：如图，连接，并延长交于N，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵H是的中点，， ∴． 故选：D． 二、填空题 8．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，是斜边上的中线，，则 ． 【答案】70 【分析】本题主要考查直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题关键．首先根据“直角三角形两锐角互余”可解得的值，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，可证明，即可获得答案． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴． 故答案为：70． 9．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接，则的周长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查三角形中位线定理、矩形的性质，勾股定理，因为四边形是矩形，所以，，，在 中，可得，推出，因为E，F分别是 、的中点，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴， ∵E、F分别是，的中点， ∴，，， ∴的周长． 故答案为：9． 10．（23-24八年级下·全国·单元测试）把一张矩形纸片（矩形按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为，若，，则重叠部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，等角对等边，先由矩形的性质得到，，再由折叠的性质和平行线的性质推出，则，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（23-24八年级下·江苏徐州·期中）已知：如图，矩形的对角线、相交于点O，，交的延长线于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定及性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由矩形的性质可得，再结合，即可证明结论； （2）由矩形的性质可得，再结合四边形是平行四边形，即可求得． 【详解】（1）证明：在矩形中，，则， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：在矩形中，， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴． 12．（23-24九年级上·福建莆田·期末）已知如图，将矩形绕点C按顺时针方向旋转得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，交于点H， 求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，根据“”得到是解题关键． （1）由平行线的性质可得，再证明，然后根据“”可得； （2）由全等三角形的性质得，等量代换可证． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∴． ∵， ∴， ∴． 又， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$