精品解析：黑龙江省哈尔滨市道里区光华中学2024-2025学年八年级上学期数学测试

光华中学2024-2025学年度上学期 八学年数学测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. 中 B. 国 C. 文 D. 化 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（ ） A. B. C. D. 5. 在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三条高的交点 6. 如图，在中，，D、E分别为上的点，且，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，、是的两条中线，P是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ） A. B. C. D. 8. 若是一个完全平方式，则m的值应为（ ） A. B. 8 C. D. 16 9. 下列说法正确的有（ ） A. 有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形全等 B. 等腰三角形顶角的角平分线是等腰三角形对称轴 C. 轴对称图形的对应点所连线段被对称轴垂直平分 D. 两个全等三角形一定关于某条直线对称 10. 如图，等边与等边，连接、，的延长线与交于点F，连接，下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题： 11. 若，则m的取值范围是______． 12. 因式分解：_______________________． 13. 若点与点关于轴成轴对称，则______． 14. 已知，，则的值为____________． 15. 已知，则______． 16. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是______． 17. 如图，在中，是的角平分线，，若，则的长为______． 18. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的度数为______． 19. 在等腰三角形中，，点D在直线上，且，则______． 20. 如图，线段的同侧有两点C、D，且满足，于点E，过点B作的垂线交于点F，则的长为______． 三、解答题（共60分） 21. 计算： （1）； （2）． 22. 因式分解： （1）； （2）． 23. 平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）试在平面直角坐标系中画出． （2）的面积为__________； （3）画出与关于x轴对称． 24. 如图，AD是ABC的角平分线，DE，DF分别是ABD和ACD的高线． （1）求证：AD垂直平分EF． （2）若∠BAC＝90°，直接写出图中所有的等腰直角三角形（不添加新的字母）． 25. 如图①，沿长方形中的虚线将这个长方形平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． （1）观察图②，补充完整，之间的等量关系式： ； （2）根据（1）中得到的关系式，填空：若，则 ； （3）实际上，有许多代数恒等式都可以用图形的面积来表示．如图③，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．它的面积表示了以下恒等关系： 请利用上述等式解答下列问题： ①若实数a，b，c满足，求的值； ②若实数x，y，z满足，求的值． 26. 如图①，将沿着翻折，得到，与关于成轴对称，以此变换，如图②，中，． （1）求证：为等边三角形； （2）如图③，点E，F分别在上，且，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，如图④作于点H，点M为上一点，且，连接并延长至点N，使，连接，，作于点K，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，且、满足． （1）求点的坐标； （2）点、分别为轴负半轴和正半轴上的点，连接、，在线段延长线上取一点，连接，使，线段上有一点，若，求的度数； （3）在（2）的条件下，延长至，连接交轴于点，连接，当时，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 光华中学2024-2025学年度上学期 八学年数学测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. 中 B. 国 C. 文 D. 化 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．利用轴对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，平方差公式，利用幂的乘方与积的乘方法则，单项式乘单项式的法则，平方差公式进行计算，即可解答． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选：B． 3. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式”，熟记因式分解的定义是解题关键．根据因式分解的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、等式的右边不是整式积的形式，则此项不属于因式分解，不符合题意； B、等式的右边，与等式的左边不相等，则此项不属于因式分解，不符合题意； C、等式的右边是整式积的形式，且等式的左右两边相等，则此项属于因式分解，符合题意； D、等式的右边不是整式积的形式，则此项不属于因式分解，不符合题意； 故选：C． 4. 从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．根据图1可得剩余部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，根据图2可得剩余部分的面积等于长为，宽为的矩形的面积，由此即可得． 【详解】解：由图1可知，剩余部分的面积为， 由图2可知，拼成的矩形的长为，宽为，则剩余部分的面积为， 所以能验证的等式是， 故选：B． 5. 在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条边的垂直平分线的交点 D. 三条高的交点 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴三角形三条边的垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等． 6. 如图，在中，，D、E分别为上的点，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边对等角，三角形的外角定理．正确确定相等关系列出方程是解题的关键．可以设，，根据，，即可列出方程，从而求解． 【详解】解：∵ ∴， 设，， ∴， 又， ， 则， 又， ， 解得， 的度数是． 故选：B． 7. 如图，在中，，、是的两条中线，P是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点间线段最短，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是关键．由等腰三角形三线合一的性质，得到垂直平分，则，从而得出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，是的中线， ，， 垂直平分， ， ， 即的最小值是线段的长， 故选：C． 8. 若是一个完全平方式，则m的值应为（ ） A. B. 8 C. D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式“”，熟记完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式可得，由此即可得． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形全等 B. 等腰三角形顶角的角平分线是等腰三角形对称轴 C. 轴对称图形的对应点所连线段被对称轴垂直平分 D. 两个全等三角形一定关于某条直线对称 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质、轴对称的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．根据等腰三角形的性质、全等三角形的性质、轴对称的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为相等的边不知道是底边还是腰，相等的内角也不知道是顶角还是底角，所以有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形不一定全等，则此项错误，不符合题意； B、轴对称图形的对称轴是一条直线，所以等腰三角形顶角的角平分线所在的直线是等腰三角形对称轴，则此项错误，不符合题意； C、轴对称图形的对应点所连线段被对称轴垂直平分，则此项正确，符合题意； D、如图，全等三角形不一定是关于某直线对称的，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 10. 如图，等边与等边，连接、，的延长线与交于点F，连接，下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题关键．证出，根据全等三角形的性质即可得结论①正确；过点作于点，作于点，先根据三角形的外角性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得结论②正确；设交于点，先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理即可得结论③正确；在上截取，连接，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得结论④正确． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，，，则结论①正确； 如图1，过点作于点，作于点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即平分，结论②正确； 如图2，设交于点， ∵， ∴， 即结论③正确； 如图3，在上截取，连接， 由上可知，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，则结论④正确； 综上，结论正确的有4个， 故选：D． 二、填空题： 11. 若，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂“任何不等于0的数的0次幂都等于1”，熟记零指数幂的定义是解题关键．根据0次幂的底数不能为0求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 因式分解：_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再用平方差公式分解． 【详解】解： 【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键． 13. 若点与点关于轴成轴对称，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变换-轴对称，熟练掌握点坐标的轴对称变化规律是解题关键．根据关于轴对称的两个点的横坐标互为相反数、纵坐标相等可求出的值，再代入计算即可得． 【详解】解：∵点与点关于轴成轴对称， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 14. 已知，，则的值为____________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查了幂的乘方运算以及二元一次方程组的解法，直接利用幂的乘方运算性质将原式变形，进而得出关于x，y的方程组求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， 则． 故答案为：3． 15. 已知，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将已知等式利用完全平方公式变形可得，由此即可得． 【详解】解：∵①，， ∴②， 由②①得：， ∴， 故答案为：10． 16. 如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质可得，，即可得出，则的周长，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∵的周长， ∴， ∴的周长． 故答案为：15． 17. 如图，在中，是的角平分线，，若，则的长为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，先由角平分线的定义得，再由平行线的性质得，进而得，再由等角对等边得，再由即可得解． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，． 故答案为：5． 18. 如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，根据线段垂直平分线的性质得到，求得，设，得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19. 在等腰三角形中，，点D在直线上，且，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质．首先根据题意画出图形，然后利用等腰三角形的性质求解即可求得答案，注意分为点D在边上或在的延长线上． 【详解】解：如图1， ∵在等腰中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2， 在等腰中，，， ∴， ∵， ∴； 综上所述：或． 故答案为：或． 20. 如图，线段的同侧有两点C、D，且满足，于点E，过点B作的垂线交于点F，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，通过作辅助线，构造等边三角形和全等三角形是解题关键．延长至点，使得，连接，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得的长，最后根据求解即可得． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共60分） 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了乘法公式、单项式乘以多项式，熟练掌握整式的运算法则和乘法公式是解题关键． 对于（1），先计算平方差公式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减法即可得； 对于（2），先计算完全平方公式，再计算整式的加减法即可得． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，提公因式法与公式法的综合运用． （1）先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可； （2）根据提公因式法进行因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 23. 平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）试在平面直角坐标系中画出． （2）的面积为__________； （3）画出与关于x轴对称． 【答案】（1）如图所示： （2）5； （3）根据关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得 A1 (0,- 4)、B1 (2,- 4)、C1 (3, 1 )，用线段连接即可. 【解析】 【分析】（1）根据三点的坐标，在直角坐标系中分别标出位置连接即可； （2）以AB为底，则点C到AB得距离即是底边AB的高，结合坐标系可得出高为点C的纵坐标的绝对值加上点B的纵坐标的绝对值，从而根据三角形的面积公式计算即可． （3）关于x轴对称的点的坐标，横坐标不变，纵坐标互为相反数，从而可得出A1、B1、C1的坐标． 【详解】（1）略 （2）由题意知，面积为2×5×=5， 故答案为：5 (3) 略 【点睛】本题考查轴对称作图及直角坐标系的知识，解答本题的关键是正确的找出三点的位置，另外要掌握关于x轴对称的点的坐标的特点． 24. 如图，AD是ABC的角平分线，DE，DF分别是ABD和ACD的高线． （1）求证：AD垂直平分EF． （2）若∠BAC＝90°，直接写出图中所有的等腰直角三角形（不添加新的字母）． 【答案】 （1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高， ∴DE＝DF， 在Rt△AED和Rt△AFD中， ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE＝AF， 又DE＝DF， ∴AD垂直平分EF； （2）△AEF、△DEF、△ADE和△ADF都是等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质得到DE＝DF，证明Rt△AED≌Rt△AFD，根据全等三角形的性质、线段垂直平分线的判定定理即可得到结论； （2）根据等腰直角三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）∵∠BAC＝90°，AE＝AF， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED＝∠EAF＝∠AFD＝90°， ∴四边形AEDF是正方形， ∴∠EDF＝90°， ∴EDF是等腰直角三角形． ∵∠BAC＝90°，AD是ABC的角平分线，DE，DF分别是ABD和ACD的高线， ∴∠DAE=∠DAF=∠BAC=45°,∠AED=∠AFD=90° ∴∠ADE=∠ADF=45° ∴△ADE和△ADF都是等腰直角三角形． 故△AEF、△DEF、△ADE和△ADF都是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形，角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角平分线的性质、直角三角形全等的判定定理是解题的关键． 25. 如图①，沿长方形中的虚线将这个长方形平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． （1）观察图②，补充完整，之间的等量关系式： ； （2）根据（1）中得到的关系式，填空：若，则 ； （3）实际上，有许多代数恒等式都可以用图形的面积来表示．如图③，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形．它的面积表示了以下恒等关系： 请利用上述等式解答下列问题： ①若实数a，b，c满足，求的值； ②若实数x，y，z满足，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式、整式混合运算、幂的混合运算等知识点，根据题图得到新等式、再利用新等式进行整理计算成为解题的关键． （1）观察图②即可得到它们的关系； （2）直接利用（1）的结论即可解答； （3）①利用，然后将已知条件代入计算即可；②利用幂的乘方与同底数幂的乘除整理得到，然后将平方，由整理即可解答． 【小问1详解】 解：由图②可知：表示大正方形的面积，表示小正方形的面积，表示每个小长方形的面积． 所以：这三个代数式之间的等量关系是：． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，解得：． 【小问3详解】 解：①∵且， ∴， ； ②∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 26. 如图①，将沿着翻折，得到，与关于成轴对称，以此变换，如图②，中，． （1）求证：为等边三角形； （2）如图③，点E，F分别在上，且，连接，求证：； （3）在（2）的条件下，如图④作于点H，点M为上一点，且，连接并延长至点N，使，连接，，作于点K，求的长． 【答案】（1） 证明：根据题意得：， ∵， ∴为等边三角形； （2） 证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）利用有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可判定； （2）证明和全等，再利用全等三角形的性质和外角和定理即可得到本题答案； （3）以为边在左侧作等边三角形，连接，证明和全等，再证明和全等，再设，，继而得，继而列式解出，再利用直角三角形三边关系即可得到本题答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：以为边在左侧作等边三角形，连接， ， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， 设，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∵ ∴． 【点睛】本题考查等边三角形判定，全等三角形判定及性质，外角和定理，翻折性质，直角三角形三边关系等，明确题意，添加合适辅助线，构造等边三角形是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，且、满足． （1）求点的坐标； （2）点、分别为轴负半轴和正半轴上的点，连接、，在线段延长线上取一点，连接，使，线段上有一点，若，求的度数； （3）在（2）的条件下，延长至，连接交轴于点，连接，当时，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶次方和绝对值的非负性求出的值，由此即可得； （2）过点作于，根据直角三角形的两锐角互余及角的和差得证明是等边三角形，得，进而利用等边对等角及三角形的外角性质得再利用角的和差即可得解； （3）如图，过点作交直线于点，过点作直线于点，由题意可得，先证明得，再证明（）得，从而即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点作于， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作交直线于点，过点作直线于点，由题意可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（）得 ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴， 在和中， ∴（） ∴， 由（）得， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，绝对值的非负性，以及同角的余角相等，熟练掌握全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质是解题的管． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $