专题6 微专题20 利用导数证明不等式（word练习）-【精讲精练】2025年高考数学二轮专题辅导与训练

解答题 1．已知函数f(x)＝ax＋ln x＋1，g(x)＝xex－2x. (1)若f(x)的极大值为1，求实数a的值； (2)若a＝－1，求证：f(x)≤g(x)． 解析　(1)f(x)的定义域为，f′(x)＝a＋＝. 当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)无极值； 当a<0时，令f′(x)>0，得0<x<－，令f′(x)<0，得x>－，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，故当x＝－时，f(x)取得极大值，极大值为f＝ln＝1，解得a＝－. 经验证a＝－符合题意，故实数a的值为－. (2)证明　当a＝－1时，f(x)＝ln x－x＋1，故要证f(x)≤g(x)，即证xex－x－ln x－1≥0. 令F(x)＝xex－x－ln x－1，则F′(x)＝(x＋1)ex－－1＝(x＋1)，x>0， 令G(x)＝ex－，x>0，则G′(x)＝ex＋>0， 所以G(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又因为G＝－2<0，G(1)＝e－1>0， 所以∃x0∈，使得G＝0，即ex0＝， 当x∈时，G(x)<0，当x∈时，G(x)>0，所以F(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以F(x)min＝F＝x0ex0－x0－ln x0－1. 又因为ex0＝，即x0＝－ln x0， 所以F(x)min＝1－x0＋x0－1＝0， 所以F(x)≥0，即xex－x－ln x－1≥0， 故f(x)≤g(x)得证． 2．已知函数f(x)＝. (1)求函数f(x)的单调区间； (2)解关于x的不等式f(x)>. 解析　(1)函数f(x)＝，定义域为∪. f′(x)＝，f′(1)＝0. 令g(x)＝1＋ln x－，g′(x)＝＋>0， 所以函数g(x)在定义域上单调递增． 所以当0<x<，<x<1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增． 所以f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为，. (2)不等式f(x)>， 即>. 当0<x<时，f(x)<0，舍去． 当x＝1时，不等式的左边＝右边，舍去． 所以x>，且x≠1. ①当<x<1时，由ex－1>x，要证不等式>，可以证明>. 等价于证明>1＋ln x. 令F(x)＝－， F′(x)＝<0， 所以函数F(x)在上单调递减，所以F(x)>F(1)＝0. ②当x>1时，f(x)>⇔>. 令h(x)＝，u(x)＝. h′(x)＝>0，函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)>h(1)＝1. 由ln x<x－1，所以u(x)<1. 所以不等式>成立． 综上可得：不等式f(x)>的解集为∪. 3．已知函数f(x)＝eln x－ax(常数a∈R)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0. 解析　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝－a， ①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②若a>0，则当0<x<时，f′(x)>0； 当x>时，f′(x)<0，故f(x)在上单调递增，在上单调递减． (2)证明　当a＝e时，根据(1)知，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f(x)max＝f(1)＝－e. 设g(x)＝－2e(x>0)，则g′(x)＝， 所以当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 所以g(x)min＝g(1)＝－e. 综上，当x>0，a＝e时，f(x)≤g(x)，即f(x)≤－2e. 即xf(x)－ex＋2ex≤0得证． 4．已知函数f(x)＝kln x＋. (1)若函数y＝f(x)在定义域上为增函数，求k的取值范围； (2)已知0<x1<x2，证明：－>1－. 解析　(1)∵f(x)＝kln x＋，则f′(x)＝－(x>0)，若f(x)在定义域上为增函数，则f′(x)＝－≥0，且x>0，可得k≥， 故原问题等价于k≥对∀x>0恒成立， 构建φ(x)＝(x>0)，则φ′(x)＝(x>0)， 令φ′(x)>0，解得0<x<1；令φ′(x)<0，解得x>1； 则φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故φ(x)≤φ(1)＝， ∴k的取值范围为. (2)证明　由(1)可知：当k＝时，f(x)＝＋在(0，＋∞)上是增函数，∵0<x1<x2，则f(x2)>f(x1)，即ln x2＋>ln x1＋，整理得－>ln x1－ln x2＝－ln ，构建函数g(x)＝x－ln x－1，则g′(x)＝1－＝(x>0)，令g′(x)<0，解得0<x<1；令g′(x)>0，解得x>1； 则g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故g(x)＝x－ln x－1≥g(1)＝0，即－ln x≥1－x，当且仅当x＝1时等号成立，令x＝>1，可得－ln >1－，故－>1－. 学科网（北京）股份有限公司 $$