专题5 微专题15 圆锥曲线热点问题(一)——计算类（word练习）-【精讲精练】2025年高考数学二轮专题辅导与训练

解答题 1．(2024·海南省部分学校一诊)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点F到双曲线－y2＝1的渐近线的距离是. (1)求p的值； (2)过点F的直线与E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与E的准线l交于点P，且线段AB的中点为M，设|PM|＝λ|AB|，求实数λ的取值范围． 解析　(1)E的焦点为F，双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，不妨取y＝x，即x－y＝0. 由点到直线的距离公式得＝，得p＝2. (2)由(1)知E：y2＝4x，F(1,0)，l：x＝－1. 如图，设直线AB的方程为x＝my＋1，联立，得消去x并整理，得y2－4my－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2， ∴|AB|＝|y1－y2|＝·＝4(1＋m2)． 易得M点的坐标为， 即M(2m2＋1,2m)， ∴线段AB的垂直平分线的方程为y－2m＝－m(x－2m2－1)，令x＝－1得y＝2m3＋4m，∴P(－1,2m3＋4m)，从而|PM|＝＝2(1＋m2)·，∴λ＝＝≥， ∴实数λ的取值范围为. 2．(2024·苏锡常镇四市调研(一))在平面直角坐标系xOy中，已知点P，过椭圆C：＋y2＝1(a>1)的上顶点A作两条动直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x＋1(0<k1<k2)分别与C交于另外两点M，N.当k1＝时，|AM|＝|PM|. (1)求a的值； (2)若k1k2＝1，＝，求k1和k2的值． 解析　(1)由题意得A(0,1)，P，直线AM的方程为y＝x＋1，联立 ∴x2＋a2x＝0，解得x＝0或x＝，代入y＝x＋1，得y＝， ∴M. 由|AM|＝|PM|，得2＋2＝2＋2， 解得a2＝4，∵a>1，∴a＝2. (2)由(1)知椭圆方程为＋y2＝1，联立得x2＋8k1x＝0，解得x＝0或x＝－，即xM＝－，则yM＝k1xM＋1＝，即M，同理可得N，则kPM＝＝－，kPN＝＝－，由于k1k2＝1，故k1＝，故kPM＝kPN，即P，M，N三点共线， 又＝，故＝，∴＝， 又xM＝－，xN＝－＝－＝－，故＝＝，解得k＝，由于0<k1<k2，故k1＝，k2＝2. 3．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)一个顶点为A，直线l过点Q(3,0)交双曲线右支于M，N两点，记△AMN，△AOM，△AON的面积分别为S，S1，S2.当l与x轴垂直时，S1的值为. (1)求双曲线E的标准方程； (2)若l交y轴于点P，＝λ，＝μ，求证：λ＋μ为定值； (3)在(2)的条件下，若S＝μS1＋mS2，当5<λ≤8时，求实数m的取值范围． 解析　(1)由题意得a＝2，|OA|＝2，则当l与x轴垂直时，不妨设M，由S1＝|OA|·|y1|＝，得|y1|＝，将M代入方程－＝1，得－＝1，解得b2＝3，所以双曲线E的方程为－＝1. (2)证明　设M，N，P，由＝λ与Q(3,0)，得＝λ，即x1＝，y1＝，将M代入E的方程得－＝1，整理得15λ2－24λ－4y－12＝0　①，同理由＝μ可得15μ2－24μ－4y－12＝0　②. 由①②知，λ，μ是方程15x2－24x－4y－12＝0的两个不等实根． 由韦达定理知λ＋μ＝＝，所以λ＋μ为定值． (3)又S＝μS1＋mS2，即··|AQ|·|y1－y2|＝μ·2·|y1|＋m··2·|y2|， 整理得|y1－y2|＝μ|y1|＋m|y2|， 又y1y2<0，不妨设y2<0<y1，则＝μy1－my2，整理得m＝－，又λ＋μ＝，故m＝－λ，而由(2)知y1＝，y2＝，故＝，故m＝－λ·＝－，令1＋λ＝t，得m＝－＝－3＋t＋，由双勾函数y＝t＋在(6,9]上单调递增，得m＝－3＋t＋∈，所以m的取值范围为. 4．(2024·江苏徐州适应性测试)将x2＋y2＝2上各点的纵坐标变为原来的(0<λ<2)，横坐标不变，所得曲线为E.记P，Q，过点P的直线与E交于不同的两点A，B，直线QA，QB与E分别交于点C，D. (1)求E的方程； (2)设直线AB，CD的倾斜角分别为α，β.当0<α<时， ①求的值； ②若β－α有最大值，求λ的取值范围． 解析　(1)设所求轨迹E上的任意点为(x，y)，与x2＋y2＝2对应的点为，根据题意，可得即 代入方程x2＋y2＝2，可得x2＋2＝2， 整理得＋＝1(0<λ<2)， 所以曲线E的轨迹方程为＋＝1(0<λ<2)． (2)①设直线AC的方程为y＝k(x－1)，A，B，C，D，联立方程组整理得x2－4k2x＋2k2－2λ＝0，则Δ＝(－4k2)2－4(λ＋2k2)(2k2－2λ)>0，且x1＋x3＝，x1x3＝，可得(x1＋x3)－x1x3＝＝2，所以x3＝，可得y3＝·＝，所以C，同理可得D， 又因为P，A，B三点共线，可得＝， 即x2y1－x1y2＝2， 所以kCD＝ ＝＝ ＝7kAB，所以＝＝. ②设直线AB的方程为y＝k(x＋2)，其中k>0，由①知，直线CD的斜率为7k，则tan(β－α)＝＝＝≤， 当且仅当＝7k，即k2＝时，等号成立， 联立方程组整理得(λ＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2λ＝0， 则Δ＝64k4－4(λ＋2k2)(8k2－2λ)>0，解得λ>2k2，若β －α有最大值，则λ>2×＝，又因为0<λ<2，所以实数λ的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$