专题5 微专题14 圆锥曲线的标准方程与性质（word练习）-【精讲精练】2025年高考数学二轮专题辅导与训练

一、单项选择题 1．(2024·湖南岳阳质量监测(二))抛物线y＝x2的焦点坐标为(　　) A．(4,0)　　　　　　 B．(0,4) C．(2,0) D．(0,2) 解析　由y＝x2得x2＝8y，所以p＝4，故抛物线x2＝8y的焦点坐标为(0,2)．故选D. 答案 D 2．(2024·苏锡常镇四市调研(一))在平面直角坐标系xOy中，已知A为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点，以OA为直径的圆与C的一条渐近线交于另一点M，若|AM|＝b，则C的离心率为(　　) A. B．2 C．2 D．4 解析　由题意得，OM⊥AM，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，故tan∠AOM＝，即＝，又|AM|＝b，所以|OM|＝a，由勾股定理得|OM|2＋|AM|2＝|OA|2，即a2＋b2＝a2，解得b2＝3a2，e＝＝＝2，故选B. 答案　B 3．已知点F是抛物线C：x2＝4y的焦点，过F的直线l交抛物线C于不同的两点M，N，设＝2，点Q为MN的中点，则Q到x轴的距离为(　　) A. B． C. D． 解析　依题意知点F(0,1)，设M，N，则＝，＝，由＝2得－x1＝2x2,1－＝－2，解得x＝2，x＝8，因此点Q的纵坐标为＝，所以Q到x轴的距离为.故选B. 答案　B 4．(2024·人大附中三模)已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若cos∠MF1N＝，则C的离心率为(　　) A．2 B． C. D． 解析　易知点M，N关于x轴对称，令∠MF1F2＝α，0<α<，则cos∠MF1N＝cos 2α＝，∴cos2α＝×＝，∴sin2α＝，∴tan2α＝，∴tan α＝.由得不妨令M，则tan α＝＝，∴＝2，∴离心率e＝＝ ＝.故选C. 答案　C 5．(2024·河南TOP二十名校质检)直线x－y＋4＝0经过椭圆＋＝1(a>b>0)长轴的左端点A，交椭圆于另外一点B，交y轴于点C，若＝3，则该椭圆的焦距为(　　) A. B． C. D． 解析　在直线方程x－y＋4＝0中，令y＝0，则x＝－4，令x＝0，则y＝4，则a＝4，点C的坐标为(0,4)，点A的坐标为(－4,0)，设B(m，n)，因为＝3，即＝3，则解得所以B(－1,3)，代入椭圆的方程得＋＝1，所以b＝，所以椭圆的焦距为2＝2＝.故选C. 答案　C 6．(2024·河南济洛平许第三次质量检测)过抛物线y2＝4x的焦点F作斜率为k的直线与抛物线交于A，B两点，点M的坐标为，若·＝0，则k＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　由题知抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，则直线方程为y＝k(x－1)，联立消去x得ky2－4y－4k＝0，设A，B，则y1＋y2＝，y1y2＝－4，则x1＋x2＝＋2＝，x1x2＝＝1，又因为·＝0，所以(x1＋1，y1－1)·＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－＋1＝0，所以1＋＋1－4－＋1＝0，解得k＝2，故选B. 答案　B 7．(2024·山西太原三模)已知点F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，P(4,3)是C上一点，△PF1F2的内切圆的圆心为I(m,1)，则椭圆C的标准方程是(　　) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 解析　依题意，设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，由P(4,3)在C上，得＋＝1， 显然△PF1F2的内切圆与直线F1F2相切，则该圆半径为1，而S△PF1F2＝·1＝a＋c， 又S△PF1F2＝·2c·3＝3c，于是a＝2c，b2＝a2－c2＝a2，因此＋＝1，解得a2＝28，b2＝21， 所以椭圆C的标准方程是＋＝1.故选B. 答案　B 8．(2024·山东济宁一模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与y轴相交于M点，与双曲线C在第一象限的交点为P，若＝2，·＝0，则双曲线C的离心率为(　　) A. B． C. D．＋1 解析　设∠PF1F2＝θ，θ为锐角， ∵＝2，·＝0， ∴PF1⊥PF2，|PF1|＝|MF1|， ∵|MF1|＝， ∴|PF1|＝|MF1|＝， 又|PF2|＝2csin θ， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， ∴＋4c2sin2θ＝4c2， ∴9＋16sin2θcos2θ＝16cos2θ， ∴9＋16cos2θ＝16cos2θ， ∴9－16cos4θ＝0， ∴cos2θ＝，∴cos θ＝(负值舍去)，∴θ＝30°， ∴|PF1|＝|MF1|＝＝c， |PF2|＝2csin θ＝c， ∴双曲线C的离心率e＝＝＝＝＋1.故选D. 答案 D 二、多项选择题 9．(2024·山东烟台三模)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，其准线与x轴相交于点M，经过M点且斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列结论中正确的是(　　) A．k的取值范围是(－1,1) B．y1y2＝8x1x2 C．存在k，使得以AB为直径的圆经过点F D．若△ABF的面积为16，则直线AB的倾斜角为或 解析　依题意得，F(2,0)，M(－2,0)，直线l的方程为y＝k(x＋2)，联立得消去y得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，因为直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，所以解得－1<k<1且k≠0，故A选项错误；因为x1x2＝＝4，所以yy＝8x1·8x2＝64×4＝256，易知y1，y2同号，所以y1y2＝16，于是y1y2＝4x1x2，故B选项错误；由于＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，所以·＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝4－2·＋4＋16＝32－，显然当k2＝时，·＝0，此时∠AFB为直角，即以AB为直径的圆经过点F，故C选项正确；△AFB的面积S＝|S△MFA－S△MFB|＝·|MF|·|y1－y2|＝2，而y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4k＝k·＋4k＝，y1y2＝16，所以S＝2 ＝16 ，令S＝16，得k＝±，所以直线AB的倾斜角为或，故选项D正确．故选CD. 答案　CD 10．(2024·安徽合肥第一次质量检测)已知椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，M为C上异于A，B的一点，过点M且垂直于x轴的直线与C的另一个交点为N，交x轴于点T，则(　　) A．存在点M，使∠AMB＝ B.·＝2· C.·的最小值为－ D．△FMN周长的最大值为8 解析　对于A，设椭圆的上顶点为E，则直角三角形BOE中，tan∠OEB＝＝＝<，则∠AEB<，故A错误； 对于B，设M(m，n)，则T(m,0)，N(m，－n)，且＋＝1，即4－m2＝2n2，又A(－2,0)，B(2,0)， 则·＝·＝－＝－＝－2n2，又2·＝－2n2，故·＝2·，则B正确； 对于C，F，·＝·＝2－n2＝2－＝＋2m，－2<m<2，则当m＝－时，·取最小值为－，故C正确； 对于D，设椭圆的右焦点为F′，△FMN的周长为：|MF|＋|NF|＋|MN|＝4－|MF′|＋4－|NF′|＋|MN|＝8－(|MF′|＋|NF′|－|MN|)≤8，当且仅当M，N，F′三点共线时，等号成立，故D正确，故选BCD. 答案　BCD 11．(2024·湖南湘潭3月质量检测)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝λ(λ>0)的左、右焦点，点M满足·＝0，N为双曲线C的右支上的一个动点，O为坐标原点，则(　　) A．双曲线C的焦距为4 B．直线MF2与双曲线C的左、右两支各有一个交点 C．△NOM的面积的最小值为1 D．∠ONM< 解析　对于A，因为·＝0，所以MF1⊥MF2，则|MO|＝|OF1|＝|OF2|＝c，又|MO|＝＝2，所以c＝2，所以λ＋λ＝4，λ＝2， 双曲线C：－＝1的焦距2c＝4，故A正确； 对于B，由A知，F2，双曲线渐近线方程为y＝±x，则直线MF2的斜率为＝－<－1，所以直线MF2与双曲线的右支有两个交点，故B错误； 对于C，因为kOM＝，设直线l：y＝x＋m与双曲线右支相切，联立消去y，得2x2＋2mx＋2＋m2＝0，则Δ＝2－8＝0，解得m＝－2或者m＝2(舍去)， 则直线OM与l之间的距离为d＝＝1， 所以△NOM的面积最小值为|OM|·d＝1，故C正确； 对于D，以|OM|为直径的圆的方程为2＋2＝1，由C可知，直线l：y＝x－2与双曲线右支的切点为，此时，其圆心到直线l：y＝x－2的距离为d＝＝1，又直线OM与l两平行线之间的距离为1，切点(，1)到圆心的距离大于1，即双曲线上的点都在圆外，所以∠ONM<，故D正确．故选ACD. 答案　ACD 三、填空题 12．(2024·黄冈浠水一中模拟)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过点F的直线l与双曲线E的右支交于B，C两点，且|CF|＝3|FB|，点B关于原点O的对称点为点A，若·＝0，则双曲线E的离心率为________． 解析　设双曲线E的左焦点为F1，连接CF1，AF1，BF1，如图所示．因为·＝0，所以AF⊥BF，所以四边形AF1BF为矩形．设|BF|＝t，则|CF|＝3t.由双曲线的定义可得，|BF1|＝2a＋t，|CF1|＝2a＋3t.因为△CBF1为直角三角形，所以|BC|2＋|BF1|2＝|CF1|2，即(4t)2＋(2a＋t)2＝(2a＋3t)2，解得t＝a，所以|BF1|＝3a，|BF|＝a.因为△BFF1为直角三角形，所以|BF|2＋|BF1|2＝|FF1|2，即a2＋9a2＝4c2，所以＝，所以双曲线E的离心率e＝＝. 答案　 13．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其中|F1F2|＝2c，过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点，若·＝4c2，则该椭圆离心率的取值范围是________． 解析　设点A，而F1，F2，则＝，＝， 由·＝4c2，得(－c－x1，－y1)·(c－x1，－y1)＝x－c2＋y＝4c2，即x＋y＝5c2，因此点A在以(0,0)为圆心，半径为c的圆上，而A点在椭圆上，则圆x2＋y2＝5c2与椭圆＋＝1有公共点，由椭圆的几何性质知b≤c≤a，即b2≤5c2≤a2，亦即a2－c2≤5c2≤a2，整理得5c2≤a2≤6c2，即≤≤，所以椭圆离心率e∈. 答案　 14．(2024·江西赣州模拟)已知P是抛物线E：x2＝y上异于顶点的点，E在P处的切线l分别交x轴、y轴于点S，T，过P作l的垂线分别交x轴、y轴于点M，N，分别记△PMS与△PNT的面积为S1，S2，则的最小值为________． 解析　由抛物线的对称性，不妨设点P在第一象限，设P(m，m2)(m>0)，由y＝x2，得y′＝2x，当x＝m时，y′＝2m， 所以切线l的方程为y－m2＝2m(x－m)，即y＝2mx－m2，令y＝0，则x＝，令x＝0，则y＝－m2，即S，T，由题意直线MN的方程为y－m2＝－(x－m)，即y＝－x＋＋m2，令y＝0，则x＝2m3＋m，令x＝0，则y＝＋m2，即M，N，则S1＝×·m2＝·m3，S2＝m＝m， 故＝＝m＋≥2＝1，当且仅当m＝，即m＝时等号成立，所以的最小值为1. 答案　1 学科网（北京）股份有限公司 $$