专题5 微专题13 直线与圆（word练习）-【精讲精练】2025年高考数学二轮专题辅导与训练

一、单项选择题 1．(2024·湖南长沙雅礼中学模拟)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是(　　) A．x2＋2＝1　　 B．x2＋2＝1 C．(x－1)2＋2＝1 D．x2＋2＝1 解析　因为圆心在y轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为(0，b)，则圆的方程为x2＋2＝1，又点(1,2)在圆上，所以1＋2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋2＝1.故选A. 答案　A 2．已知圆M：2＋y2＝1，则下列说法错误的是(　　) A．点(3,2)在圆外 B．直线2x＋y－4＝0平分圆M C．圆M的周长为2π D．直线x＋y＝0与圆M相离 解析　由2＋y2＝1可知圆心坐标为M(2,0)，圆的半径为1. 对于选项A：由点(3,2)到圆心的距离d＝＝>1，所以点(3,2)在圆外，故A正确； 对于选项B：因为圆心M(2,0)在直线2x＋y－4＝0上，所以圆M关于直线2x＋y－4＝0对称，故B正确； 对于选项C，圆M的周长为2πr＝2π，故C正确； 对于选项D，因为圆心M(2,0)到直线x＋y＝0的距离为d＝＝1，所以直线x＋y＝0与圆M相切，故D错误．故选D. 答案 D 3．若直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆(x－a)2＋(y－b)2＝与圆O(　　) A．外切 B．相交 C．内切 D．没有公共点 解析　直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切， 则圆心O(0,0)到直线ax＋by＝1的距离等于圆O的半径1，即d＝＝1，得a2＋b2＝1. 圆2＋2＝的圆心坐标为(a，b)，半径为，其圆心在圆O上，所以两圆相交．故选B. 答案　B 4．(2024·人大附中三模)若两条直线l1：y＝2x＋m，l2：y＝2x＋n与圆x2＋y2－4x＝0的四个交点能作为一个正方形的顶点，则|m－n|＝(　　) A．4 B．2 C．2 D．4 解析　由x2＋y2－4x＝0，得(x－2)2＋y2＝4， ∴圆的圆心坐标为(2,0)，半径为2.由题意知直线l1，l2平行，且与圆的四个交点能作为一个正方形的顶点，则圆心到两条直线的距离相等且为，即圆心(2,0)到l1：y＝2x＋m的距离d＝＝，∴m＝±－4，同理可得n＝±－4， 又m≠n，∴|m－n|＝2.故选B. 答案　B 5．(2024·江苏南京、盐城一模)设O为坐标原点，圆M：(x－1)2＋2＝4与x轴切于点A，直线x－y＋2＝0交圆M于B，C两点，其中B在第二象限，则·＝(　　) A. B． C. D． 解析　由题意A(1,0)，圆心M(1,2)，M(1,2)到直线x－y＋2＝0距离为，所以BC＝2 ＝，直线x－y＋2＝0的斜率为，则其倾斜角为，则与的夹角为，所以·＝||||cos〈，〉＝1××＝.故选D. 答案 D 6．(2024·安徽安庆二模)已知点P(1,0)，C，O是坐标原点，点B满足||＝1，则与夹角的最大值为(　　) A. B． C. D． 解析　设点B(x，y)，可得＝，因为||＝1，可得x2＋2＝1，即点B的轨迹是以C为圆心，半径r＝1的圆， 如图所示，设过点P与圆C相切的直线PB的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0，则圆心到直线的距离等于圆的半径，可得＝1，解得k＝－，设切线的倾斜角为α(0≤α<π)，则tan α＝－，可得α＝，即与夹角的最大值为.故选A. 答案　A 7．(2024·江苏苏州3月适应性考试)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝k上存在一点P，圆x2＋(y－1)2＝1上存在一点Q，满足＝3，则实数k的最大值为(　　) A．0 B．3 C．－ D． 解析　根据题意，设点P(x，y)，由＝3可得Q，又点Q在圆x2＋2＝1上，可得2＋2＝1，即x2＋2＝9；所以点P既在直线y＝k上，又在以(0,3)为圆心，半径为3的圆x2＋2＝9上，即直线和圆有公共点，所以圆心到直线距离d＝≤3，解得－≤k≤0，所以实数k的最大值为0.故选A. 答案　A 8．过圆x2＋y2＝16上的动点作圆C：x2＋y2＝4的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为(　　) A．π B． C．2π D．3π 解析　如图所示，过圆x2＋y2＝16上一动点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则|OP|＝4，|OA|＝|OB|＝2，|PB|＝|PA|＝＝2，则sin∠OPA＝＝，且∠OPA为锐角，所以∠OPA＝30°， 同理可得∠OPB＝30°，所以∠APB＝60°，则△APB为等边三角形，连接OP交AB于点M，因为OP为∠APB的角平分线，则M为AB的中点，所以OM⊥AB，且∠OAB＝90°－∠PAB＝30°， 所以|OM|＝|OA|＝1，若圆C内的点不在任何切点弦上，则该点到圆C的圆心的距离应小于|OM|，即圆C内的这些点构成了以原点为圆心，半径为1的圆的内部，因此，圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为π×12＝π.故选A. 答案　A 二、多项选择题 9．(2024·贵州模拟)已知点P，点Q在圆C：(x－1)2＋y2＝1上，则(　　) A．点P在直线3x＋4y＋7＝0上 B．点P可能在圆C上 C．|PQ|的最小值为1 D．圆C上有2个点到点P的距离为1 解析　由题意可知：圆C：(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1,0)，半径为r＝1， 对选项A：由P(4m＋3，－3m－4)得消去参数m得3x＋4y＋7＝0，所以点P在直线3x＋4y＋7＝0上，故A正确． 对选项B：因为圆心C到直线3x＋4y＋7＝0的距离d＝＝2>r，可知直线3x＋4y＋7＝0与圆C相离，结合选项A可知：点P不可能在圆C上，故B错误； 对选项C：结合选项B可知|PQ|的最小值为d－r＝1，故C正确． 对选项D：因为d＝r＋1，可知圆C上有且仅有1个点到点P的距离为1，故D错误．故选AC. 答案　AC 10．(2024·福建泉州模拟)已知圆C：x2＋y2＋6x＝0，直线l：kx－y＋5k＋1＝0，则下列结论正确的是(　　) A．直线l过定点(－5,1) B．若直线l平分圆C，则k＝ C．圆心C到直线l的距离的取值范围为 D．若直线l与圆C交于点A，B，则△ABC面积的最大值为 解析　由kx－y＋5k＋1＝0，得y－1＝k(x＋5)，∴直线l过定点(－5,1)，故A正确；将圆C的方程化成标准方程为(x＋3)2＋y2＝9，∴圆心为C(－3,0)，∵直线l平分圆C，∴直线l过圆心C，∴－3k＋5k＋1＝0，解得k＝－，故B错误；设D(－5,1)，连接CD，当CD⊥l时，圆心C到直线l的距离最大，最大值为|CD|＝＝，当直线l过圆心C时，圆心C到直线l的距离最小，最小值为0，∴圆心C到直线l的距离的取值范围为[0，]，故C正确；圆C的半径r＝3，设圆心C到直线l的距离为d，则△ABC的面积为×d×2＝d≤＝，当且仅当d＝时等号成立，故D正确．故选ACD. 答案　ACD 11．已知点P为圆C：x2＋y2－4y＋3＝0上的动点，点A的坐标为(2,0)，＝2，设B点的轨迹为曲线D，O为坐标原点，则下列结论正确的有(　　) A．tan∠PAO的最大值为2 B．曲线D的方程为(x－1)2＋2＝1 C．圆C与曲线D有两个交点 D．若E，F分别为圆C和曲线D上任一点，则||AE|－|AF||的最大值为＋ 解析　对于A，当直线PA与圆在第一象限相切时，(如图)此时∠PAO最大，进而tan∠PAO最大， 由于圆C：x2＋y2－4y＋3＝0的圆心C(0,2)，半径R＝1，故|CP|＝1，|CA|＝＝2，|AP|＝＝，∠CAO＝，因此tan∠PAC＝＝，tan∠PAO＝tan＝＝≠2，故A错误； 对于B，设B(x，y)，则＝2＝2⇒P，由于P(2x－2,2y)在圆C：x2＋(y－2)2＝1上，代入可得2＋2＝1⇒(x－1)2＋2＝，故B错误； 对于C，由于曲线D的方程为(x－1)2＋2＝，是圆心为D(1,1)，半径为r＝的圆，故两圆圆心距离|CD|＝∈，故两圆相交，因此有两个交点，故C正确； 对于D，由于|AE|－|AF|≤|EF|≤|CD|＋R＋r＝＋1＋＝＋，当且仅当A，E，F三点共线时，如图，故||AE|－|AF||的最大值为＋，故D正确．选CD. 答案　CD 三、填空题 12．(2024·湖北武汉调研)已知直线l1：y＝2x，l2：y＝kx＋1与x轴围成的三角形是等腰三角形，则满足条件的k的所有可能取值为________． 解析　设直线l1，l2的倾斜角分别为α，θ，则tan α＝2，tan θ＝k.当围成的等腰三角形底边在x轴上时，θ＝π－α，k＝tan(π－α)＝－tan α＝－2；当围成的等腰三角形底边在直线l2上时，α＝2θ或α＝2θ－π，则tan α＝tan 2θ＝＝＝2，整理得k2＋k－1＝0，解得k＝或k＝；当围成的等腰三角形底边在直线l1上时，θ＝2α，k＝tan θ＝tan 2α＝＝＝－.所以满足条件的k的所有可能取值为－2，，，－. 答案　－2，，，－ 13．(2024·湘豫名校联考)已知圆C：x2＋2＝4，点P(2,4)，若直线l：x＋(m＋1)y－7m－1＝0与圆C相交于A，B两点，且∠APB＝90°，则实数m的值为________． 解析　由题意，易得圆C的圆心为C(0,4)，半径为2，点P(2,4)在圆C上． 因为∠APB＝90°，所以PA⊥PB. 所以线段AB为圆C的一条不过点P的直径． 直线l：x＋(m＋1)y－7m－1＝0与圆C相交于A，B两点，圆心C(0,4)在直线l上， 所以4(m＋1)＝7m＋1，解得m＝1.检验知m＝1符合题意． 答案　1 14．(2024·河南郑州名校联盟)平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：三角形任意一个顶点到其垂心(三角形三条高的交点)的距离等于外心(外接圆圆心)到该顶点对边距离的2倍．若点A，B，C都在圆E上，直线BC方程为x＋y－2＝0，且|BC|＝2，△ABC的垂心G(2,2)在△ABC内，点E在线段AG上，则圆E的标准方程为________． 解析　由△ABC的垂心G(2,2)到直线BC距离d＝，设圆E半径为r，由塞尔瓦定理可得r＋|EG|＝2，由圆的几何性质可得(|EG|＋)2＋()2＝r2，联立解得|EG|＝，r＝3，因为直线BC方程为x＋y－2＝0，所以直线EG方程为y＝x，设E(a，a)，则E到直线BC的距离d′＝＝2，解得a＝－1(舍去)或a＝3，所以圆E的标准方程为2＋2＝18. 答案　2＋2＝18 学科网（北京）股份有限公司 $$