专题4 微专题12 统计与成对数据的统计分析（word练习）-【精讲精练】2025年高考数学二轮专题辅导与训练

一、单项选择题 1．(2024·天津卷)下列图中，线性相关系数最大的是(　　) 解析　选项A中的散点有明显的从左下角到右上角沿直线分布的趋势，且散点集中在一条直线的附近，故选项A中的线性相关系数最大，故选A. 答案　A 2．(2024·福建福州质检)如图为某地近一年商品零售总额和餐饮收入总额同比增速情况折线图，根据该图，下列结论正确的是(　　) A．2024年1～2月的商品零售总额同比增长9.2% B．2023年3～12月的餐饮收入总额同比增速都降低 C．2023年6～10月的商品零售总额同比增速都上升 D．2023年12月，餐饮收入总额环比增速为－14.1% 解析　对于A,2024年1～2月的商品零售总额同比增长2.9%，故A错误；对于B,2023年8月份，餐饮收入总额同比增速上升，故B错误；对于C,2023年6～10月的商品零售总额同比增速都上升，故C正确；对于D,2023年12月，餐饮收入总额环比增速并未告知，故D错误．故选C. 答案　C 3．(2024·安徽安庆三模)某统计机构对1 000名拥有汽车的人进行了调查，对得到的数据进行整理并制作了如图所示的统计图表，下列关于样本的说法正确的是(　　) A．30岁以上人群拥有汽车的人数为720 B．40～45岁之间的人群拥有汽车的人数最多 C．55岁以上人群每年购买车险的总费用最少 D．40～55岁之间的人群每年购买车险的总费用比18～30岁和55岁以上人群购买车险的总费用之和还要多 解析　对于A，由1 000×(1－18%)＝820，知30岁以上人群拥有汽车的人数为820，故A中说法错误；对于B，图表当中并没有40～45岁的人口基数，所以由图得不出40～45岁之间的人群拥有汽车的人数最多，故B中说法错误；对于C,55岁以上人群每年购买车险的总费用为1 000×17%×3 100＝527 000(元)，18～30岁之间的人群每年购买车险的总费用为1 000×18%×2 800＝504 000(元)，故C中说法错误；对于D,40～55岁之间的人群每年购买车险的总费用为1 000×40%×3 900＝1 560 000(元)，1 560 000>527 000＋504 000，故D中说法正确．故选D. 答案 D 4．(2024·江西鹰潭一模)某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男、女人数之比为5∶3，则单位职工体重的方差为(　　) A．166　　　　　　 B．167 C．168 D．169 解析　依题意，单位职工平均体重为＝×64＋×56＝61，则单位职工体重的方差为s2＝＋＝169.故选D. 答案 D 5．(2024·江西红色十校联考)样本中共有5个个体，其值分别为a,1,2,3,4，若该样本的中位数为2，则a的取值范围为(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(－∞，2] D．[1,2] 解析　因为样本a,1,2,3,4的中位数为2，所以2排在第三位，所以a≤2，即实数a的取值范围是(－∞，2]．故选C. 答案　C 二、多项选择题 6．(2024·安徽六校第二次素养测试)在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．以下为过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息． 甲地：中位数为2，极差为5； 乙地：平均数为2，众数为2； 丙地：平均数为1，方差大于0； 丁地：平均数为2，方差为3. 则一定符合该标志的是(　　) A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 解析　因为甲地中位数为2，极差为5，故最大值不会大于2＋5＝7，故A正确．若乙地过去10日每天新增疑似病例分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8，则满足平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B错误．若丙地过去10日每天新增疑似病例分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9，则满足平均数为1，方差大于0，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C错误．若至少有一天疑似病例超过7人，则必有方差s2>×(8－2)2＝3.6>3，与条件方差为3矛盾，故过去10日，每天新增疑似病例不超过7人，故D正确． 答案　AD 7．(2024·河南开封第二次质量检测)为了解某地农村经济情况，某调查组对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是(　　) A．该地农户家庭年收入的极差为12 B．估计该地农户家庭年收入的75%分位数约为9 C．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 D．估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元 解析　观察频率分布直方图，对于A，该地农户家庭年收入的极差约为14－3＝11，A错误；对于B，数据在[2.5,8.5)的频率为0.02＋0.04＋0.1＋0.14＋0.2＋0.2＝0.7，数据在[2.5,9.5)的频率为0.8，因此75%分位数m∈(8.5,9.5)，(m－8.5)×0.1＝0.05，解得m＝9，B正确；对于C，数据在[4.5,8.5)内的频率为0.1＋0.14＋0.2＋0.2＝0.64>0.5，C正确；对于D，家庭年收入的平均值＝3×0.02＋4×0.04＋5×0.1＋6×0.14＋7×0.2＋8×0.2＋9×0.1＋10×0.1＋11×0.04＋×0.02＝7.68(万元)，D正确．故选BCD. 答案　BCD 8．(2024·湘豫名校联考)下列说法中，正确的是(　　) A．设有一个经验回归方程为＝1－2x，变量x增加1个单位时，平均增加2个单位 B．已知随机变量ξ～N，若P(ξ>2)＝0.2，则P(－2≤ξ≤2)＝0.6 C．两组样本数据：x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4的方差分别为s，s.若已知xi＋yi＝10且xi<yi(i＝1,2,3,4)，则s＝s D．已知一系列样本点(xi，yi)(i＝1,2,3，…)的经验回归方程为＝3x＋，若样本点(m,3)与(2，n)的残差相等，则3m＋n＝10 解析　经验回归方程＝1－2x，随着x的增大，会减小，A错误；曲线关于x＝0对称，因为P(ξ>2)＝0.2，所以P(ξ<－2)＝0.2，所以P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ>2)－P(ξ<－2)＝0.6，B正确；因为xi＋yi＝10，＝i，＝i，所以＋＝i＋i＝＝10，所以s ＝ ＝ ＝＋2 ＝－22＋2＝－2， 同理可得：s＝－2＝－(10－)2 ＝－(10－)2＝100－20＋－100＋20－2＝－2，故s＝s，C正确；经验回归方程为＝3x＋，且样本点(m,3)与(2，n)的残差相等，则3－(3m＋)＝n－(6＋)⇒3m＋n＝9，D错误．故选BC. 答案　BC 三、填空题 9．(2024·河南新乡二模)若一组数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为3，方差为，则a1，a2，a3，a4，a5,9这6个数的平均数为________，方差为________． 解析　依题意，知这6个数的平均数为＝4，又＝，得＝63，所以这6个数的方差为＝(63＋92－6×42)＝8. 答案　4　8 10．(2024·山东济宁一模)2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分(若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分)．已知在某次新结构数学试题的考试中，小明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，则小明同学多选题所有可能总得分(相同总分只记录一次)的中位数为________． 解析　由题意得小明同学第一题得6分； 第二题选了2个选项，可能得分情况有3种，分别是得0分、4分和6分； 第三题选了1个选项，可能得分情况有3种，分别是得0分、2分和3分； 由于相同总分只记录一次，因此小明的总分情况有：6分、8分、9分、10分、12分、13分、14分、15分，共8种情况，所以中位数为＝11. 答案　11 四、解答题 11．(2024·河北石家庄质量检测三)在推动电子制造业高质量发展的大环境下，某企业统筹各类资源，进行了积极的改革探索．下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量x(3≤x≤15)(件)与相应的生产总成本y(万元)的四组对照数据. x 5 7 9 11 y 200 298 431 609 企业研究人员建立了y与x的两种回归模型，利用计算机算得近似结果如下： 经验回归方程①：1＝＋173；经验回归方程②：2＝68x－160. 其中经验回归方程①的残差图如图所示(残差＝观测值－预测值)： (1)在下表中填写经验回归方程②的残差，根据残差分析，判断哪一个经验回归方程更适宜作为y关于x的回归方程，并说明理由； x 5 7 9 11 y 200 298 431 609 (2)从该企业在过去几年生产的该产品中随机抽取100件，优等品有60件，合格品有40件．每件优等品利润为20万元，每件合格品利润为15万元．若视频率为概率，该企业某月计划生产12件该产品，记优等品件数为X，总利润为Y. (ⅰ)求Y与X的关系式，并求E(X)和E(Y)； (ⅱ)记该月的成本利润率为p，在(1)中选择的经验回归方程下，求p的估计值．(结果保留2位小数) 附：成本利润率＝. 解析　(1)经验回归方程②的残差数据如下表： x 5 7 9 11 y 200 298 431 609 20 －18 －21 21 经验回归方程②的残差图如图所示： 经验回归方程①更适宜作为y关于x的回归方程． (以下理由或其他合理的理由，说出一条即可得分)： 理由1：经验回归方程①这4个样本点的残差的绝对值都比经验回归方程②的小． 理由2：经验回归方程①这4个样本的残差点落在的带状区域比经验回归方程②的带状区域更窄． 理由3：经验回归方程①这4个样本的残差点比经验回归方程②的残差点更贴近x轴． (2)(ⅰ)由题意知，每件产品为优等品的概率P0＝＝0.6，则X～B(12,0.6)，因此E(X)＝12×0.6＝7.2，由Y＝20X＋15×(12－X)＝5X＋180，则E(Y)＝5E(X)＋180＝216； (ⅱ)由(ⅰ)知总利润为216万元，总成本估计值1＝＋173＝749(万元)，则p＝≈0.29. 12．(2024·河南九师联盟)PM2.5是指环境空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物．它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量越高，说明空气污染越严重．城市中的PM2.5成分除扬尘等自然因素外，燃料的燃烧也是一个重要来源．某市环境检测部门为检测燃油车流量对空气质量的影响，在一个检测点统计每日过往的燃油车流量x(单位：辆)和空气中的PM2.5的平均浓度y(单位：μg/m3)．检测人员采集了50天的数据，制成2×2列联表(部分数据缺失)： 燃油车日 流量x<1 500 燃油车日 流量x≥1 500 合计 PM2.5的平均浓度y<100 16 24 PM2.5的平均浓度y≥100 20 合计 22 (1)完成上面的2×2列联表，并根据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为PM2.5的平均浓度小于100 μg/m3与燃油车日流量小于1 500辆有关联？ (2)经计算得y与x之间的回归直线方程为＝0.12x－73.86，且这50天的燃油车的日流量x的标准差sx＝249，PM2.5的平均浓度y的标准差sy＝36.若相关系数r满足|r|≥0.75，则判定所求回归直线方程有价值；否则判定其无价值． ①判断该回归直线方程是否有价值； ②若这50天的燃油车的日流量x满足＝1.23×108，试求这50天的PM2.5的平均浓度y的平均数(利用四舍五入法精确到0.1)． 参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. α 0.01 0.005 0.001 xα 6.635 7.879 10.828 回归方程＝＋x，其中＝＝，＝－. 相关系数r＝. 参考数据：×1.23＝0.024 6,2492＝62 001，≈1 548.55. 解析　(1)2×2列联表如下： 燃油车日流量x<1 500 燃油车日流 量x≥1 500 合计 PM2.5的平均浓度y<100 16 8 24 PM2.5的平均浓度y≥100 6 20 26 合计 22 28 50 零假设H0：PM2.5的平均浓度小于100 μg/m3与燃油车日流量小于1 500辆无关联． 根据列联表中的数据，计算得 χ2＝≈9.624>7.879＝x0.005，所以根据小概率值α＝0.005的独立性检验，推断H0不成立，所以可以认为PM2.5的平均浓度小于100 μg/m3与燃油车日流量小于1 500辆有关联． (2)①由题意，得＝＝0.12， 得(xi－)(yi－)＝0.12(xi－)2， 由sx＝ ＝249， sy＝ ＝36， 得r＝ ＝＝0.12×＝0.12×≈0.83>0.75， 所以该回归直线方程有价值． ②因为sx＝ ＝249， 即 ＝249， 所以＝ ≈1 548.55， 又＝0.12－73.86≈0.12×1 548.55－73.86＝111.966≈112.0. 故可推算出这50天PM2.5平均浓度y的平均数约为112.0. 学科网（北京）股份有限公司 $$