专题1 微专题4 平面向量（word练习）-【精讲精练】2025年高考数学二轮专题辅导与训练

一、单项选择题 1．(2024·福建漳州第三次质量检测)在△ABC中，D是边BC上一点，且BD＝2DC，E是AC的中点，记＝m，＝n，则＝(　　) A.n－3m B．n－3m C.m－3n D．m－3n 解析　＝－＝－(＋)＝－－3＝－－3＝－3＝m－3n，故选D. 答案 D 2．(2024·湘豫名校联考)已知向量a＝，b＝，c＝，若2a＋b，a－c反向共线，则实数x的值为(　　) A．－7 B．3 C．3或－7 D．－3或7 解析　因为a＝，b＝，c＝，所以2a＋b＝(2＋x，－5)，a－c＝(5，－2－x)． 因为2a＋b，a－c共线，所以×－×5＝0，解得x＝3或x＝－7. 又2a＋b，a－c反向共线，代入验证可知x＝3时为同向，舍去．而x＝－7满足条件，所以x＝－7.故选A. 答案　A 3．(2024·江苏南京六校联考)已知平面向量a＝，b＝，则向量a－b与a－b的夹角为(　　) A.　 　 B． C.　　 D．. 解析　因为a＝，b＝，所以a－b＝，a－b＝，所以·＝3，设向量a－b与a－b的夹角为θ，所以cos θ＝＝，又0≤θ≤π，所以θ＝，即向量a－b与a－b的夹角为.故选A. 答案　A 4．(2024·山东菏泽一模)已知向量a＝(sin θ，cos θ)，b＝，若a·b＝|b|，则tan θ＝(　　) A.　 　 B． C.　 　 D．. 解析　由a·b＝|b|得sin θ＋cos θ＝＝，又sin2θ＋cos2θ＝1，故sin2θ＋2＝1，即3sin2θ－2sin θ＋2＝0，解得sin θ＝，故cos θ＝－sin θ＝－＝，故tan θ＝＝×＝.故选B. 答案　B 5.(2024·江西赣州模拟)在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，·＝－6，＝3，则·＝(　　) A．16 B．14 C．12 D．10 解析　因为AB＝3，AD＝4，·＝－6，＝3，所以·＝·(－)＝·＝2－·－2＝2－·－2＝16＋2－2＝16.故选A. 答案　A 6．(2024·湖南常德模拟)已知平面向量a，b均为单位向量，且夹角为60°，若向量c与a，b共面，且满足a·c＝b·c＝1，则|c|＝(　　) A．1 B． C. D．2 解析　设c＝ma＋nb，因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝1×1×＝，又a·c＝b·c＝1， 即 解得m＝n＝，所以c＝a＋b，所以|c|＝ ＝，故选B. 答案　B 7.(2024·江苏无锡四校联考)勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图所示，已 知等边三角形ABC的边长为2，P为勒洛三角形的弧AC上的点，且∠PBC＝45°，则·的值为(　　) A．4－ B．4＋ C．4－2 D．4＋2 解析　以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．因为∠PBC＝45°，PB＝2，所以P(2cos 45°，2sin 45°)，即P(，)，又B(0,0)，C(2,0)，所以＝(，)，＝(－2，)，所以·＝2－2＋2＝4－2，故选C. 答案　C 8．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值为(　　) A．－2 B．－ C．－ D．－1 解析　取BC的中点D，连接AD，PD，取AD的中点E，连接PE.由△ABC是边长为2的等边三角形，E为中线AD的中点得AE＝AD＝，则·(＋)＝2·＝2(||2－||2)＝2≥2×＝－，当且仅当||＝0时，等号成立，∴·(＋)的最小值为－. 答案　B 二、多项选择题 9．(2024·山东聊城二模)已知向量a＝(－1,2)，b＝(1，λ)，若b在a上的投影向量为a，则(　　) A．λ＝3 B．a∥b C．a⊥(b－a) D．a与b的夹角为45° 解析　对于A，因为b在a上的投影向量为a，即·＝a，所以＝1，即＝1，解得λ＝3，故A正确； 对于B，a＝，b＝(1,3)，所以×3－2×1≠0，故B错误； 对于C，a·＝·＝－2＋2＝0，所以a⊥，故C正确； 对于D，cos〈a，b〉＝＝＝，所以a与b的夹角为45°，故D正确．故选ACD. 答案　ACD 10．已知△ABC是边长为2的正三角形，该三角形的重心为点G，点P为△ABC所在平面内任意一点，下列等式一定成立的是(　　) A．|＋|＝2 B.·＝2 C.＋＋＝3 D．|＋|＝|＋| 解析　因为|＋|＝＝ ＝2，所以A中等式不成立；因为·＝||·||·cos ＝2×2×＝2，所以B中等式一定成立；因为G为△ABC的重心，所以＋＋＝0，所以＋＋＝－＋－＋－＝－3＝3，所以C中等式一定成立；因为|＋|＝||＝2，|＋|＝＝ ＝2，所以D中等式不成立．故选BC. 答案　BC 11．已知a，b是两个不共线的向量，且|a|＝，|b|＝1，则下列结论正确的是(　　) A．|a－b|的取值范围是 B．－<a·b< C．a在b上的投影向量不可能为0 D．a＋b与a－b的夹角的最大值为 解析　对于A，由||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|以及a，b不共线可知，－1<|a－b|<＋1，故A错误；对于B，由于a，b不共线，所以－1<cos〈a，b〉<1，又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉，因此－<a·b<，故B正确； 对于C，当a⊥b时，a在b上的投影向量为·b＝0，故C错误；对于D，设a＋b与a－b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝＝，由于－<a·b<，所以0≤(a·b)2<3，∈，所以θ∈，即a＋b与a－b的夹角的最大值为，故D正确．故选BD. 答案　BD 三、填空题 12．(2024·陕西商洛联考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝，a＝2，D为AB的中点，E为CD的中点，＝3，则·的最大值为________． 解析　由题意知，＝＋，＝＋，则·＝·＝2＋·＋2，所以·＝c2＋bc×＋b2＝(b2＋c2)＋bc，因为A＝，a＝2，所以b2＋c2＝4＋bc≥2bc，则bc≤4，所以·＝(b2＋c2)＋bc＝＋bc≤＋＝，当且仅当b＝c＝2时，等号成立． 答案　 13．如图所示，A，B，C，D是正弦函数y＝sin x图象上四个点，且在A，C两点函数值最大，在B，D两点函数值最小，则(＋)·(＋)＝________. 解析　由题图知，A，B，C，D，所以＝，＝，＝，＝，所以＋＝，＋＝，所以(＋)·＝2π×6π＋0×0＝12π2. 答案　12π2 14．已知正方形ABCD的边长为1，当每个λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|的最小值是________，最大值是________． 解析　以AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．则＝，＝，＝，＝(0，－1)，＝，＝.令y＝|λ1＋λ2＋λ3＋λ4＋λ5＋λ6|＝≥0.又因为λi(i＝1,2,3,4,5,6)可取遍±1，所以当λ1＝λ3＝λ4＝λ5＝λ6＝1，λ2＝－1时，有最小值ymin＝0.因为(λ1－λ3＋λ5)和(λ2－λ4＋λ5)的取值不相关，λ6＝1或λ6＝－1，所以当(λ1－λ3＋λ5)和(λ2－λ4＋λ5)分别取得最大值时，y有最大值，所以当λ1＝λ2＝λ5＝λ6＝1，λ3＝λ4＝－1时，有最大值ymax＝＝＝2. 答案　0　2 学科网（北京）股份有限公司 $$