专题5 微专题13 直线与圆（PPT课件）-【精讲精练】2025年高考数学二轮专题辅导与训练

专题五　解析几何 第一篇　专题突破　高考热点 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 微专题13　直线与圆 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 目 录 聚焦命题·巧突破 01 真题再现·明考向 02 专题集训·课时练 03 CONTENTS 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 聚焦命题·巧突破 01 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 真题再现·明考向 02 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 谢谢观看 返回目录 第一篇　专题五　解析几何 高考总复习（二轮）数学 1 命题点1　直线的方程 1．“a＝eq \f(1,2)”是“直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x－ay－1＝0互相平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x－ay－1＝0互相平行，则(－a)－2a(a－1)＝0，解得a＝0或a＝eq \f(1,2)，经检验a＝0或a＝eq \f(1,2)时两直线互相平行．故“a＝eq \f(1,2)”能得到“直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x－ay－1＝0互相平行”，但是“直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x－ay－1＝0互相平行”不能得到“a＝eq \f(1,2)”．故选A. 答案　A 2．(2024·江西上饶一模)作圆x2＋y2＝4的一个内接正十二边形，使该正十二边形中的4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正十二边形的一条边所在直线的为(　　) A．x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\r(3)))y－2＝0 B．x＋y＋1＋eq \r(3)＝0 C．x－y＋1－eq \r(3)＝0 D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\r(3)))x＋y－2＝0 解析　如图，可知Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，1))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\r(3)))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，2))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\r(3)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，1))，Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0))， H(eq \r(3)，－1)，I(1，－eq \r(3))，J(0，－2)，K(－1，－eq \r(3))，L(－eq \r(3)，－1)，直线FG的方程为y－0＝eq \f(0－1,2－\r(3))(x－2)，即x＋(2－eq \r(3))y－2＝0，A正确；直线LK的方程为y＋1＝eq \f(－1＋\r(3),－\r(3)＋1)(x＋eq \r(3))，即x＋y＋1＋eq \r(3)＝0，B正确；直线DE的方程为y＝eq \f(2－\r(3),0－1)x＋2，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\r(3)))x＋y－2＝0，D正确． 答案　C 3．(多选)已知直线l过点(3,4)，点A(－2,2)，B(4，－2)到l的距离相等，则l的方程可能是(　　) A．x－2y＋2＝0　　　 B．2x－y－2＝0 C．2x＋3y－18＝0 D．2x－3y＋6＝0 解析　A，B在直线l同侧时，kl＝kAB＝eq \f(－2－2,4＋2)＝－eq \f(2,3)，所以l：y＝－eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－3))＋4，即2x＋3y－18＝0；A，B在直线l异侧时，l过AB中点M(1,0)，所以kl＝eq \f(0－4,1－3)＝2，所以l：y＝2(x－3)＋4，即2x－y－2＝0.故选BC. 答案　BC (1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；求解两条直线的平行问题时，要注意排除两条直线重合的情况． (2)求两平行直线间的距离时，需注意直线方程中x，y对应的系数相等．　 命题点2　圆的方程 　(1)(2024·山东聊城三模)已知圆C与两坐标轴及直线x＋y－2＝0都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为(　　) A．(x＋eq \r(2))2＋(y－eq \r(2))2＝eq \r(2) B．(x－eq \r(2))2＋(y＋eq \r(2))2＝2 C．(x－eq \r(2))2＋(y＋eq \r(2))2＝eq \r(2) D．(x＋eq \r(2))2＋(y－eq \r(2))2＝2 (2)(多选)已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则下列结论中正确的是(　　) A．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心是(－1,2) B．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的半径是4 C．a＋b＝1 D．ab的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))) [解析]　(1)由题意设所求的圆方程为(x－a)2＋(y－b)＝r2(a<0，b>0)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|a|＝|b|＝r，,\f(|a＋b－2|,\r(2))＝r，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－a＝r，,\f(2,\r(2))＝r，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－a＝\r(2)，,r＝\r(2)，)) 所以圆C的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\r(2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\r(2)))2＝2.故选D. (2)将圆的方程化为标准方程可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－2))2＝4，所以该圆的圆心为(－1,2)，半径为2，故选项A正确，选项B不正确． 由已知可得，直线2ax－by＋2＝0经过圆心，所以2a×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))－2b＋2＝0，整理可得a＋b＝1，故选项C正确． 由选项C知b＝1－a，所以ab＝a(1－a)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq \f(1,4)≤eq \f(1,4)，所以ab的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))，故选项D正确．故选ACD. [答案]　(1)D　(2)ACD 解决圆的方程问题一般有两种方法 (1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． (2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．　 【预测练1】 1．已知圆C与x轴的正半轴相切于点A，圆心在直线y＝2x上，若点A在直线x－y－4＝0的左上方且到该直线的距离等于eq \r(2)，则圆C的标准方程为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋4))2＝4 B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋4))2＝16 C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－4))2＝4 D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－4))2＝16 解析　因为圆C的圆心在直线y＝2x上，所以可设C(a,2a)，又圆C与x轴的正半轴相切于点A，所以a>0，且圆C的半径r＝2a，A(a,0)．因为点A到直线x－y－4＝0的距离d＝eq \r(2)，所以d＝eq \f(|a－0－4|,\r(1＋1))＝eq \r(2)，解得a＝6或a＝2，所以A(2,0)或A(6,0)，又点A在直线x－y－4＝0的左上方，所以A(2,0)，所以Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，4))，r＝4，所以圆C的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))2＋(y－4)2＝16.故选D. 答案 D 2．(多选)(2024·湖南邵阳模拟)已知圆C：x2＋y2－4x－5＝0，点P(a，b)是圆C上的一点，则下列说法正确的是(　　) A．圆C关于直线x－3y－2＝0对称 B．(a－1)2＋(b＋1)2的最小值为3－eq \r(2) C．2a＋b的最小值为4－3eq \r(5) D.eq \f(a＋b＋3,a＋3)的最大值为eq \f(7,4) 解析　圆C：(x－2)2＋y2＝9的圆心C(2,0)，半径r＝3，对于A，显然点C(2,0)在直线x－3y－2＝0上，圆C关于直线x－3y－2＝0对称，A正确； 对于B，点C(2,0)与点(1，－1)的距离 eq \r(1－22＋－12)＝eq \r(2)<3，则点(1，－1)与点P(a，b)距离eq \r(a－12＋b＋12)的最小值为3－eq \r(2)，B错误；对于C，令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2＋3cos θ，,b＝3sin θ，))θ∈R，则2a＋b＝4＋6cos θ＋3sin θ＝4＋3eq \r(5)sin(θ＋φ)，其中锐角φ由tan φ＝2 确定，因此当sin(θ＋φ)＝－1时，(2a＋b)min＝4－3eq \r(5)，C正确；对于D，eq \f(a＋b＋3,a＋3)＝1＋eq \f(b,a＋3)，令t＝eq \f(b,a＋3)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝ta＋3，,a2＋b2－4a－5＝0))消去b得(t2＋1)a2＋(6t2－4)a＋9t2－5＝0，则Δ＝(6t2－4)2－4(t2＋1)·(9t2－5)≥0，整理得t2≤eq \f(9,16)，解得－eq \f(3,4)≤t≤eq \f(3,4)，因此－eq \f(3,4)≤eq \f(b,a＋3)≤eq \f(3,4)，eq \f(1,4)≤eq \f(a＋b＋3,a＋3)≤eq \f(7,4)，D正确．故选ACD. 答案　ACD 命题点3　直线、圆的位置关系 考向一　直线与圆的位置关系 　(1)(多选)已知点M在直线l：y－4＝k(x－3)上，点N在圆O：x2＋y2＝9上，则下列说法正确的是(　　) A．点N到l的最大距离为8 B．若l被圆O所截得的弦长最大，则k＝eq \f(4,3) C．若l为圆O的切线，则k的取值为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,24))) D．若点M也在圆O上，则O到l的距离的最大值为3 (2)已知圆的方程为x2＋y2－12x－16y＝0，该圆过点(3,4)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________． [解析]　(1)对于A选项，由题意可知，直线l过定点P(3,4)，圆O的圆心为原点O，半径为3，设圆心O到直线l的距离为d.当OP⊥l时，d＝|OP|＝eq \r(32＋42)＝5，当OP与直线l不垂直时，d<|OP|＝5.综上所述，d≤|OP|＝5，所以点N到l的最大距离为5＋3＝8，故A正确；对于B选项，若l被圆O所截得的弦长最大，则直线l过圆心O，可得－3k＝－4，所以k＝eq \f(4,3)，故B正确；对于C选项，若l为圆O的切线，则eq \f(|4－3k|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝eq \f(7,24)，故C错误；对于D选项，若M也在圆O上，则直线l与圆O相切或相交，当直线l与圆O相切时，O到l的距离取最大值3，故D正确．故选ABD. (2)依题意，圆eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－6))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－8))2＝100的圆心M(6,8)，半径r＝10，点Q(3,4)与圆心M(6,8)的距离|QM|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－6))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－8))2)＝5<10，则点Q(3,4)在圆内，过点Q(3,4)及圆心的直线与圆相交，得最长弦长|AC|＝2r＝20，当QM⊥BD时，|BD|最短，过Q(3,4)的最短的弦长|BD|＝2eq \r(r2－|QM|2)＝2eq \r(100－25)＝10eq \r(3)，所以四边形ABCD的面积SABCD＝eq \f(1,2)AC·BD＝eq \f(1,2)×20×10eq \r(3)＝100eq \r(3). [答案]　(1)ABD　(2)100eq \r(3) 考向二　圆与圆的位置关系 　(1)(2024·山东济南二模)已知圆C：x2＋y2＝1，A(4，a)，B(4，－a)，若圆C上有且仅有一点P使PA⊥PB，则正实数a的取值为(　　) A．2或4 B．2或3 C．4或5 D．3或5 (2)(多选)(2024·河北沧州模拟)已知圆C1：x2＋y2－2x－2y－2＝0，圆C2：x2＋y2－8x－10y＋32＝0，则下列选项正确的是(　　) A．直线C1C2的方程为4x－3y－1＝0 B．圆C1和圆C2共有4条公切线 C．若P，Q分别是圆C1和圆C2上的动点，则|PQ|的最大值为10 D．经过点C1，C2的所有圆中面积最小的圆的面积为eq \f(25,4)π [解析]　(1)由题意可知：圆C：x2＋y2＝1的圆心为C(0,0)，半径r＝1，且a>0，因为PA⊥PB，可知点P的轨迹为以线段AB的中点M(4,0)为圆心，半径R＝a的圆，又因为点P在圆C：x2＋y2＝1上，可知圆C与圆M有且仅有一个公共点，则|CM|＝r＋R或|CM|＝|r－R|，即4＝1＋a或4＝|1－a|，解得a＝3或a＝5.故选D. (2)由题意得，圆C1：(x－1)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－1))2＝4的圆心C1(1,1)，半径r1＝2，圆C2：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－4))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－5))2＝9的圆心C2(4,5)，半径r2＝3，对于A，直线C1C2的方程为eq \f(y－1,5－1)＝eq \f(x－1,4－1)，即4x－3y－1＝0，所以A正确；对于B，因为|C1C2|＝eq \r(4－12＋5－12)＝5且r1＋r2＝2＋3＝5，可得|C1C2|＝r1＋r2，所以圆C1与圆C2外切，所以两圆的公切线共有3条，所以B错误；对于C，因为|C1C2|＝5，所以|PQ|的最大值为|C1C2|＋r1＋r2＝10，所以C正确；对于D，当|C1C2|为圆的直径时，该圆在经过点C1，C2的所有圆中面积最小，此时圆的面积为πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2＝eq \f(25,4)π，所以D正确．故选ACD. [答案]　(1)D　(2)ACD (1)与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长eq \f(l,2)，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理． (2)两圆相交，公共弦的方程可通过两圆方程相减求得，进而在一个圆内，利用垂径定理求公共弦长．　 【预测练2】 1．(2024·山东聊城二模)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－a))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－b))2＝4恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点(a，b)的是(　　) A．2x＋y－eq \r(2)＝0 B．2x－y＋2＝0 C．x＋y－eq \r(2)＝0 D．x－y＋2＝0 解析　圆C1：x2＋y2＝1的圆心C1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0))，半径r1＝1，圆C2：(x－a)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－b))2＝4的圆心C2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，b))，半径r2＝2，若圆C1与圆C2恰有一条公切线，则两圆内切，所以|C1C2|＝|r1－r2|，即eq \r(a2＋b2)＝1，所以点(a，b)的轨迹为圆x2＋y2＝1.对于A，圆心(0,0)到直线2x＋y－eq \r(2)＝0的距离为eq \f(|0＋0－\r(2)|,\r(5))＝eq \f(\r(10),5)<1，则该直线过点(a，b)，故A不符合；对于B，圆心(0,0)到直线2x－y＋2＝0的距离为eq \f(|0－0＋2|,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5)<1，则该直线过点(a，b)，故B不符合；对于C，圆心(0,0)到直线x＋y－eq \r(2)＝0 的距离为eq \f(|0＋0－\r(2)|,\r(2))＝1，则该直线过点(a，b)，故C不符合；对于D，圆心(0,0)到直线x－y＋2＝0的距离为eq \f(|0－0＋2|,\r(2))＝eq \r(2)>1，则该直线不过点(a，b)，故D符合；故选D. 答案 D 2．(多选)已知直线l1：2x－y－3＝0，l2：x－2y＋3＝0，圆C：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－a))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－b))2＝r2，若圆C与直线l1，l2都相切，则下列选项一定正确的是(　　) A．l1与l2关于直线y＝x对称 B．若圆C的圆心在x轴上，则圆C的半径为3或9 C．圆C的圆心在直线x＋y－6＝0或直线x－y＝0上 D．与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个 解析　对于A，设直线l1：2x－y－3＝0上任意一点(x0,2x0－3)关于直线y＝x对称的点为(m，n)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2x0－3－n,x0－m)＝－1，,\f(m＋x0,2)＝\f(n＋2x0－3,2)，))解得m－2n＋3＝0，所以点(m，n)在直线l2：x－2y＋3＝0上，所以l1与l2关于直线y＝x对称，故A正确；对于B，因为圆C的圆心在x轴上，则圆心为(a,0)，因为圆C与直线l1，l2都相切，所以r＝eq \f(|2a－3|,\r(5))＝eq \f(|a＋3|,\r(5))，解得a＝0或a＝6，当a＝0时，r＝eq \f(3,\r(5))＝eq \f(3\r(5),5)；当a＝6 时，r＝eq \f(9,\r(5))＝eq \f(9\r(5),5)，故B错误；对于C，由圆C：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－a))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－b))2＝r2，得圆心为(a，b)，半径为r，因为圆C与直线l1，l2都相切，所以r＝eq \f(|2a－b－3|,\r(5))＝eq \f(|a－2b＋3|,\r(5))，解得a＋b－6＝0或a＝b，所以圆心(a，b)在直线x＋y－6＝0或直线x－y＝0上，故C正确；对于D，由圆C：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－a))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－b))2＝r2，得圆心为(a，b)，半径为r，因为圆C与两坐标轴都相切，得圆心到x轴的距离为|b|，到y轴的距离为|a|，所以r＝|a|且r＝|b|，即|a|＝|b|，解得a＝b或a＝－b，当a＝b时，由题意可知eq \f(|2a－b－3|,\r(5)) ＝|a|，解得a＝b＝－eq \f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5)＋1)),4)或a＝b＝eq \f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5)－1)),4)，当a＝－b时，此时不满足，所以与两坐标轴都相切的圆C有且只有2个，故D正确．故选ACD. 答案　ACD 1．(2024·全国甲卷·理)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C．4 D．2eq \r(5) 解析　根据题意有2b＝a＋c，即a－2b＋c＝0，所以直线ax＋by＋c＝0过点M(1，－2)．设圆x2＋y2＋4y－1＝0的圆心为C，连接CM，则AB⊥CM时，|AB|最小，将圆的方程化为x2＋(y＋2)2＝5，则C(0，－2)，所以|MC|＝1，所以|AB|的最小值为2eq \r(5－|MC|2)＝4，故选C. 答案　C 2．(2023·新课标Ⅰ卷)过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－2))与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　) A．1 B．eq \f(\r(15),4) C.eq \f(\r(10),4) D．eq \f(\r(6),4) 解析　解法一　因为x2＋y2－4x－1＝0，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))2＋y2＝5，可得圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0))，半径r＝eq \r(5)， 过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－2))作圆C的切线，切点为A，B， 因为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PC))＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)， 则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))＝eq \r(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PC))2－r2)＝eq \r(3)， 可得sin∠APC＝eq \f(\r(5),2\r(2))＝eq \f(\r(10),4)， cos∠APC＝eq \f(\r(3),2\r(2))＝eq \f(\r(6),4)， 则sin∠APB＝sin 2∠APC＝2sin∠APC·cos∠APC＝2×eq \f(\r(10),4)×eq \f(\r(6),4)＝eq \f(\r(15),4)，cos∠APB＝cos2∠APC＝cos2∠APC－sin2∠APC＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),4)))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),4)))2＝－eq \f(1,4)<0，即∠APB为钝角，所以sin α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－∠APB))＝sin∠APB＝eq \f(\r(15),4). 解法二　圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0))，半径r＝eq \r(5)，过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－2))作圆C的切线，切点为A，B，连接AB，可得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PC))＝eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PB))＝eq \r(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PC))2－r2)＝eq \r(3)，因为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))2＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PB))2－2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PA))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PB))cos∠APB＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(CA))2＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(CB))2－2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(CA))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(CB))cos∠ACB，且∠ACB＝π－∠APB，则3＋3－6cos∠APB＝5＋5－10coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－∠APB))，即3－3cos∠APB＝5＋5cos∠APB，解得cos∠APB＝－eq \f(1,4)<0，即∠APB为钝角，则cos α＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－∠APB))＝－cos∠APB＝eq \f(1,4)，且α为锐角，所以sin α＝eq \r(1－cos2 α)＝eq \f(\r(15),4). 解法三　圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0))，半径r＝eq \r(5)，若切线斜率不存在，则切线方程为y＝0，则圆心到切点的距离d＝2<r，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为y＝kx－2，即kx－y－2＝0，则eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2k－2)),\r(k2＋1))＝eq \r(5)，整理得k2＋8k＋1＝0，且Δ＝64－4＝60>0，设两切线斜率分别为k1，k2，则k1＋k2＝－8，k1k2＝1，可得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k1－k2))＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k1＋k2))2－4k1k2)＝2eq \r(15)，所以tan α＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k1－k2)),1＋k1k2)＝eq \r(15)，即eq \f(sin α,cos α)＝eq \r(15)，可得cos α＝eq \f(sin α,\r(15))，则sin2α＋cos2α＝sin2α＋eq \f(sin2α,15)＝1，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sin α>0，解得sin α＝eq \f(\r(15),4).故选B. 答案　B 3．(多选)(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则(　　) A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，|PB|＝3eq \r(2) D．当∠PBA最大时，|PB|＝3eq \r(2) 解析　计算出圆心到直线AB的距离，可得出点P到直线AB的距离的取值范围，可判断A、B选项的正误；分析可知，当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，利用勾股定理可判断C、D选项的正误． 圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5,5)，半径为4，直线AB的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1，即x＋2y－4＝0，圆心M到直线AB的距离为eq \f(|5＋2×5－4|,\r(12＋22))＝eq \f(11,\r(5))＝eq \f(11\r(5),5)>4，所以，点P到直线AB的距离的最小值为eq \f(11\r(5),5)－4<2，最大值为eq \f(11\r(5),5)＋4<10，A选项正确，B选项错误；如下图所示： 当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP，BM，可知PM⊥PB，|BM|＝eq \r(0－52＋2－52)＝eq \r(34)，|MP|＝4，由勾股定理可得|BP|＝eq \r(|BM|2－|MP|2)＝3eq \r(2)，C、D选项正确．故选ACD. 答案　ACD 4．(2022·新高考全国Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________． 解析　由图可得，两圆外切，且均与直线l1：x＝－1相切．过两圆圆心的直线l的方程为y＝eq \f(4,3)x，可得l与l1交点为Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(4,3))).由切线定理得，两圆另一公切线l2过点P，设l2：y＋eq \f(4,3)＝k(x＋1)，由点到直线距离公式可得eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k－\f(4,3))),\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq \f(7,24)，即l2：y＝eq \f(7,24)x－eq \f(25,24).另由于两圆外切，因此在公切点处存在公切线l3与l垂直，解得l3：y＝－eq \f(3,4)x＋eq \f(5,4). 答案　x＝－1，或y＝eq \f(7,24)x－eq \f(25,24)，或y＝－eq \f(3,4)x＋eq \f(5,4)(答对其中之一即可) 5．(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为eq \f(8,5)”的m的一个值________． 解析　设C到AB的距离为d，AB＝2eq \r(4－d2)， ∴S△ABC＝eq \f(1,2)·2eq \r(4－d2)·d＝eq \f(8,5)， ∴d＝eq \f(2\r(5),5)或eq \f(4\r(5),5)，若d＝eq \f(2,\r(m2＋1))＝eq \f(2\r(5),5)， 则m＝±2；若d＝eq \f(2,\r(m2＋1))＝eq \f(4\r(5),5)，则m＝±eq \f(1,2)， ∴m＝2或－2或－eq \f(1,2)或eq \f(1,2)(填其中一个即可)． 答案　m＝2或－2或－eq \f(1,2)或eq \f(1,2)(填其中一个即可) 6．(2022·新高考全国Ⅱ卷)设点A(－2,3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________． 解析　因为kAB＝eq \f(a－3,2)，所以AB关于直线y＝a的对称直线为(3－a)x－2y＋2a＝0，所以eq \f(|3a－3＋4＋2a|,\r(4＋3－a2))≤1，整理可得12a2－22a＋6≤0，解得eq \f(1,3)≤a≤eq \f(3,2). 答案　eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,2))) $$