第05讲 平行线的判定（1个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（人教版2024）

第05讲 平行线的判定 课程标准 学习目标 ①平行线的判定 1. 掌握平行线的判定方法并能够熟练的判定两直线平行。 知识点01 平行线的判定 1. 平行线的判定方法： 判定方法 文字语言 图示 数学语言 方法1 同位角相等，两直线平行 ∵∠1＝∠2 ∴ 方法2 内错角相等，两直线平行 ∵∠1＝∠2 ∴ 方法3 同旁内角互补，两直线平行 ∵∠1＋∠2＝180° ∴ 方法4 平行于同一直线的两直线平行 ∵， ∴ 方法5 垂直于同一直线的两直线平行 ∵， ∴ 【即学即练1】 1．如图，给出下列条件．其中，不能判定a∥b的是（　　） A．∠5+∠1＝180° B．∠2+∠4＝180° C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3 【即学即练2】 2．如图，添加下列一个条件后，不能判定BC∥AD的是（　　） A．∠1＝∠2+∠3 B．∠2＝∠4 C．∠3＝∠5 D．∠D+∠4+∠5＝180° 【即学即练3】 3．如图，李师傅将木条AB和AC固定在点A处，在木条AB上点O处安装一根能旋转的木条OD．李师傅用量角仪测得∠A＝70°，木条OD与AB的夹角∠BOD＝82°，要使OD∥AC，木条OD绕点O按逆时针方向至少旋转（　　） A．12° B．18° C．22° D．24° 【即学即练4】 4．a、b、c是直线，下列说法正确的是（　　） A．若a⊥b，b∥c，则a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．若a∥b，b⊥c，则b∥c D．若a∥b，b∥c，则a∥c 【即学即练5】 5．已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．试说明：AB∥DC．（请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由） 解：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知）， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC （ 　 　）， ∵∠ABC＝∠ADC （ 　 　）， ∴∠　 　＝∠　 　（等量代换）． ∵∠1＝∠3 （ 　 　）， ∴∠2＝∠　 　（ 　 　）． ∴　 　∥　 　（ 　 　）． 题型01 确定判定平行的条件 【典例1】如图，点E在CD延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠5＝∠B D．∠B+∠BDC＝180° 【变式1】如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（　　） A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A 【变式2】如图，下列条件中，不能判定直线l1∥l2的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180° C．∠2＝∠3 D．∠4＝∠5 【变式3】如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型02 添加判定平行的条件 【典例1】如图所示，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为（　　） A．∠C+∠ADC＝180° B．∠A+∠ABD＝180° C．∠CBD＝∠ADC D．∠C＝∠CDA 【变式1】如图，要得到AB∥CD，只需要添加一个条件，这个条件可以是　 　． 【变式2】观察图形，回答问题：若使AD∥BC，需添加什么条件（要求：至少找出4个条件） 答：①　 　；②　 　； ③　 　；④　 　． 题型03 根据平行条件求角度 【典例1】如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝55°，下列条件中能判定AB∥CD的是（　　） A．∠2＝35° B．∠2＝45° C．∠2＝55° D．∠2＝125° 【变式1】如图，是小明学习三线八角时制作的模具，经测量∠2＝105°，要使木条a与b平行，则∠1的度数必须是　 　度． 【变式2】如图，直线AB、CD与直线EF分别相交于E、F，∠1＝100°，当∠2＝　 　°时，能使AB∥CD． 【变式3】如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝50°，则当∠2＝　 　时，a∥b． 题型04 平行线的判定证明 【典例1】如图，直线a、b、c被直线l所截，量得∠1＝∠2＝∠3． （1）从∠1＝∠2可以得出直线　 　∥　 　，根据　 　； （2）从∠1＝∠3可以得出直线　 　∥　 　，根据　 　； （3）直线a、b、c互相平行吗？根据是什么？ 【变式1】如图，已知点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF． （1）求证：EA平分∠BEF； （2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD． 【变式2】完成下面的证明：已知：如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求证：AD∥BC． 证明：∵AB⊥AC（已知）， ∴∠　 　＝90° （ 　 　）， ∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知）， ∴∠1+∠BAC+∠B＝　 　（ 　 　）， 即∠　 +∠B＝180°， ∴AD∥BC （ 　 　）． 【变式3】如图，已知点O在直线AB上，射线OD平分∠BOC，过点O作OE⊥OD，G是射线OB上一点，连接DG，满足∠ODG+∠DOG＝90°． （1）求证：∠AOE＝∠ODG； （2）若∠ODG＝∠C，求证：CD∥OE． 1．下列四个图形中，∠1＝∠2，能够判定AB∥CD的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 3．如图，直线l1、l2被直线l3所截，下列选项中能得到l1∥l2的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠5 C．∠2＝∠5 D．∠2+∠4＝180° 4．老师在固板上画出如图所示的图形，要求添加一个条件使得m∥n，以下四位同学的答案不正确的是（　　） A．小龙：∠2＝∠5 B．小年：∠2+∠6＝180° C．小达：∠1＝∠6 D．小吉：∠4+∠5＝180° 5．下列说法正确的是（　　） A．a、b、c是直线，若a⊥b，b∥c，则a∥c B．a、b、c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．a、b、c是直线，若a∥b，b⊥c，则a∥c D．a、b、c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c 6．如图，下列判断正确的是（　　） A．若∠1＝∠2，则AD∥BC B．若∠1＝∠2，则AB∥CD C．若∠A＝∠1，则AB∥CD D．若∠A+∠ADC＝180°，则AD∥BC 7．如图，为判断一段纸带的两边a，b是否平行，小亮在纸带两边a，b上分别取点A，B，并连接AB．下列条件中能判断a∥b的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠2+∠4＝180° D．∠3+∠4＝180° 8．如图，点E在BC的延长线上，对于给出的四个条件： ①∠1＝∠3；②∠2+∠5＝180°； ③∠4＝∠B；④∠D+∠BCD＝180°． 其中能判断AD∥BC的是（　　） A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 9．如图所示，下列说法正确的是（　　） A．若∠3＝∠5，则CD∥EF B．若∠2＝∠6，则CD∥EF C．若∠4＝∠3，则CD∥EF D．若∠1＝∠6，则GH∥AB 10．光线在不同的介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠2＝122°，则下列角的度数正确的是（　　） A．∠1＝58° B．∠7＝122° C．∠5＝68° D．∠4＝122° 11．如图，在四边形ABCD中，点E是AB延长线上一点，请添加一个条件，使AB∥CD，那么可以添加的条件是 　 　（写出一个即可）． 12．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a 　 　c． 13．如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是　 　． 14．如图，下列条件：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠4＝∠5；④∠2+∠4＝180°中，能判断直线l1∥l2的有　 　个． 15．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝45°，∠2＝120°，则∠3+∠4＝　 　． 16．根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． （1）∵∠1＝∠3（已知）， ∴　 　∥　 　（ 　 　）． （2）∵∠2＝∠3（已知）， ∴EF∥AD（ 　 　）． （3）∵∠DGA+∠BAC＝180°（已知）， ∴DG∥BA（ 　 　）． （4）∵∠B＝∠CDG（已知）， ∴　 　∥　 （ 　 　）． 17．如图所示，已知∠E＝∠1，∠3＝∠2．试说明：AB∥EC． 18．如图，已知∠1＝75°，∠2＝35°，∠3＝40°，求证：a∥b． 19．如图，已知∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，证明AB∥EF． 20．如图，已知△ABC，∠ACB＝80°，点E，F分别在AB，AC上，ED交AC于点G，交BC的延长线于点D，∠FEG＝32°，∠CGD＝48°．求证：EF∥BC． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 平行线的判定 课程标准 学习目标 ①平行线的判定 1. 掌握平行线的判定方法并能够熟练的判定两直线平行。 知识点01 平行线的判定 1. 平行线的判定方法： 判定方法 文字语言 图示 数学语言 方法1 同位角相等，两直线平行 ∵∠1＝∠2 ∴ 方法2 内错角相等，两直线平行 ∵∠1＝∠2 ∴ 方法3 同旁内角互补，两直线平行 ∵∠1＋∠2＝180° ∴ 方法4 平行于同一直线的两直线平行 ∵， ∴ 方法5 垂直于同一直线的两直线平行 ∵， ∴ 【即学即练1】 1．如图，给出下列条件．其中，不能判定a∥b的是（　　） A．∠5+∠1＝180° B．∠2+∠4＝180° C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3 【分析】根据同位角相等、内错角相等以及同旁内角互补，逐一判断即可． 【解答】解：A、由∠5+∠1＝180°，∠1+∠2＝180°，∠4+∠5＝180°可得∠2+∠4＝180°，由同旁内角互补，两直线平行，可判定a∥b，不符合题意； B、∠2+∠4＝180°，由同旁内角互补，两直线平行，可判定a∥b，不符合题意； C、∠1＝∠4，由同位角相等，两直线平行，可判定a∥b，不符合题意； D、∠2＝∠3不能判定a∥b，符合题意； 故选：D． 【即学即练2】 2．如图，添加下列一个条件后，不能判定BC∥AD的是（　　） A．∠1＝∠2+∠3 B．∠2＝∠4 C．∠3＝∠5 D．∠D+∠4+∠5＝180° 【分析】根据平行线判定的条件，对各个选项逐一判断，即可解答． 【解答】解：A：∵∠1＝∠2+∠3，∴AD∥BC，故A不符合题意； B：∵∠2＝∠4，∴AB∥CD，故B符合题意； C：∵∠3＝∠5，∴AD∥BC，故C不符合题意； D：∵∠D+∠4+∠5＝180°，∴AD∥BC，故D不符合题意； 故选：B． 【即学即练3】 3．如图，李师傅将木条AB和AC固定在点A处，在木条AB上点O处安装一根能旋转的木条OD．李师傅用量角仪测得∠A＝70°，木条OD与AB的夹角∠BOD＝82°，要使OD∥AC，木条OD绕点O按逆时针方向至少旋转（　　） A．12° B．18° C．22° D．24° 【分析】根据OD′∥AC，运用两直线平行，同位角相等，求得∠BOD′＝∠A，即可得到∠DOD′的度数，即旋转角的度数． 【解答】解：∵OD′∥AC， ∴∠BOD′＝∠A＝70°， ∴∠DOD′＝∠BOD﹣∠BOD′＝82°﹣70°＝12°， ∴木条OD绕点O按逆时针方向至少旋转12°， 故选：A． 【即学即练4】 4．a、b、c是直线，下列说法正确的是（　　） A．若a⊥b，b∥c，则a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．若a∥b，b⊥c，则b∥c D．若a∥b，b∥c，则a∥c 【分析】根据平行公理以及平行线的性质判断即可． 【解答】解：A、在同一平面内，若a⊥b，b∥c，则a⊥c，原说法错误，不符合题意； B、在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，原说法错误，不符合题意； C、在同一平面内，若a∥b，b⊥c，则a⊥c，原说法错误，不符合题意； D、若a∥b，b∥c，则a∥c，正确，符合题意． 故选：D． 【即学即练5】 5．已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．试说明：AB∥DC．（请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由） 解：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知）， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC （ 　角平分线的定义　）， ∵∠ABC＝∠ADC （ 　已知　）， ∴∠　1　＝∠　2　（等量代换）． ∵∠1＝∠3 （ 　已知　）， ∴∠2＝∠　3　（ 　等量代换　）． ∴　AB　∥　DC　（ 　内错角相等，两直线平行　）． 【分析】首先根据角平分线定义可得∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC，根据等式的性质可得∠1＝∠2，再由条件∠1＝∠3可得∠2＝∠3，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD． 【解答】证明：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，（已知） ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC （角平分线定义） 又∵∠ABC＝∠ADC（已知） ∴∠1＝∠2（等量代换）， 又∵∠1＝∠3（已知）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴AB∥DC （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；AB，DC，内错角相等，两直线平行． 题型01 确定判定平行的条件 【典例1】如图，点E在CD延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠5＝∠B D．∠B+∠BDC＝180° 【分析】根据平行线的判定方法直接判定． 【解答】解：选项B中，∵∠3＝∠4，∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行），所以正确； 选项C中，∵∠5＝∠B，∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行），所以正确； 选项D中，∵∠B+∠BDC＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），所以正确； 而选项A中，∠1与∠2是直线AC、BD被AD所截形成的内错角，因为∠1＝∠2，所以应是AC∥BD，故A错误． 故选：A． 【变式1】如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（　　） A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A 【分析】利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论． 【解答】解：A、因为∠A＝∠3，所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意． B、因为∠A+∠2＝180，所以AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意． C、因为∠1＝∠4，所以AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意． D、因为∠1＝∠A，所以AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式2】如图，下列条件中，不能判定直线l1∥l2的是（　　） A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180° C．∠2＝∠3 D．∠4＝∠5 【分析】直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案． 【解答】解：A、∵∠1＝∠3， ∴直线l1∥l2，故此选项不合题意； B、∵∠2+∠4＝180°， ∴直线l1∥l2，故此选项不合题意； C、∠2＝∠3，不能得出直线l1∥l2，故此选项符合题意； D、∵∠4＝∠5， ∴直线l1∥l2，故此选项不合题意； 故选：C． 【变式3】如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法即可得出结论． 【解答】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b； ②由∠3+∠4＝180°，可得a∥b； ③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b； ④由∠2＝∠3，不能得到a∥b； ⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3可得∠1＝∠2，即可得到a∥b； ⑥由∠7+∠4﹣∠1＝180°，∠7﹣∠1＝∠3，可得∠3+∠4＝180°，即可得到a∥b； 故选：C． 题型02 添加判定平行的条件 【典例1】如图所示，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为（　　） A．∠C+∠ADC＝180° B．∠A+∠ABD＝180° C．∠CBD＝∠ADC D．∠C＝∠CDA 【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断． 【解答】解：若∠C+∠ADC＝180°，则BC∥AD，故A选项正确； 若∠A+∠ABC＝180°，则BC∥AD，∠A+∠ABD＝180°，无法得到BC∥AD，故B选项错误； 若∠CBD＝∠ADB，则BC∥AD，∠CBD＝∠ADC，无法得到BC∥AD，故C选项错误； 若∠C＝∠CDE，则BC∥AD，∠C＝∠CDA，无法得到BC∥AD，故D选项错误； 故选：A． 【变式1】如图，要得到AB∥CD，只需要添加一个条件，这个条件可以是　∠2＝∠4（答案不唯一）　． 【分析】根据平行线的判定定理添加条件即可． 【解答】解：添加∠2＝∠4，根据“内错角相等，两直线平行”推知AB∥CD． 故答案为：∠2＝∠4 （答案不唯一）． 【变式2】观察图形，回答问题：若使AD∥BC，需添加什么条件（要求：至少找出4个条件） 答：①　∠DAC＝∠ACB　；②　∠ADB＝∠DBC　； ③　∠EAD＝∠EBC　；④　∠FDA＝∠FCB　． 【分析】如果∠DAC＝∠ACB，利用内错角相等判定两直线平行， 如果∠ADB＝∠DBC，利用内错角相等判定两直线平行， 如果∠EAD＝∠EBC，利用同位角相等判定两直线平行， 如果∠FDA＝∠FCB，利用同位角相等判定两直线平行． 【解答】解：∠DAC＝∠ACB，∠ADB＝∠DBC，∠EAD＝∠EBC，∠FDA＝∠FCB． 题型03 根据平行条件求角度 【典例1】如图，直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝55°，下列条件中能判定AB∥CD的是（　　） A．∠2＝35° B．∠2＝45° C．∠2＝55° D．∠2＝125° 【分析】同位角相等，两直线平行判断即可． 【解答】解：如图： ∵∠1＝∠3，且∠2与∠3是同位角， ∴当∠1＝∠3＝∠2时，AB∥CD． ∵∠1＝55°， ∴∠2＝55°． 故答案为：C． 【变式1】如图，是小明学习三线八角时制作的模具，经测量∠2＝105°，要使木条a与b平行，则∠1的度数必须是　75　度． 【分析】先求出∠2的对顶角的度数，再根据同旁内角互补，两直线平行解答． 【解答】解：如图，∵∠2＝105°， ∴∠3＝∠2＝105°， ∴要使b与a平行，则∠1+∠3＝180°， ∴∠1＝180°﹣105°＝75°． 故答案为：75． 【变式2】如图，直线AB、CD与直线EF分别相交于E、F，∠1＝100°，当∠2＝　80　°时，能使AB∥CD． 【分析】先根据邻补角的定义求出∠BEF的度数，再根据平行线的判定定理即可得出结论． 【解答】解：∵∠1＝100°， ∴∠BEF＝180°﹣∠1＝180°﹣100°＝80°， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠BEF＝80°． 故答案为：80． 【变式3】如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝50°，则当∠2＝　40°　时，a∥b． 【分析】由直角三角板的性质可知∠3＝180°﹣∠1﹣90°＝40°，当∠2＝40°时，∠2＝∠3，得出a∥b即可． 【解答】解：当∠2＝40°时，a∥b；理由如下： 如图所示： ∵∠1＝50°， ∴∠3＝180°﹣90°﹣50°＝40°， 当∠2＝40°时，∠2＝∠3， ∴a∥b． 故答案为：40°． 题型04 平行线的判定证明 【典例1】如图，直线a、b、c被直线l所截，量得∠1＝∠2＝∠3． （1）从∠1＝∠2可以得出直线　a　∥　b　，根据　同位角相等，两直线平行　； （2）从∠1＝∠3可以得出直线　a　∥　c　，根据　内错角相等，两直线平行　； （3）直线a、b、c互相平行吗？根据是什么？ 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可判断a∥b； （2）根据内错角相等，两直线平行可判断a∥c； （3）根据平行线同一条直线的两直线平行可判断直线a、b、c互相平行． 【解答】解：（1）∵∠1＝∠2， ∴a∥b（同位角相等，两直线平行）； （2）∵∠1＝∠3， ∴a∥c（内错角相等，两直线平行）； （3）∵a∥b，a∥c， ∴b∥c，即直线a、b、c互相平行（平行线同一条直线的两直线平行）． 故答案为a∥b，同位角相等，两直线平行；a∥c，内错角相等，两直线平行． 【变式1】如图，已知点E在BD上，AE⊥CE且EC平分∠DEF． （1）求证：EA平分∠BEF； （2）若∠1＝∠A，∠4＝∠C，求证：AB∥CD． 【分析】（1）根据垂直的定义，角平分线的定义解答即可； （2）根据平行线的判定解答即可． 【解答】证明：（1）∵AE⊥CE， ∴∠AEC＝90°， ∴∠2+∠3＝90°且∠1+∠4＝90°， 又∵EC平分∠DEF， ∴∠3＝∠4， ∴∠1＝∠2， ∴EA平分∠BEF； （2）∵∠1＝∠A，∠4＝∠C， ∴∠1+∠A+∠4+∠C＝2（∠1+∠4）＝180°， ∴∠B+∠D＝（180°﹣2∠1）+（180°﹣2∠4）＝360°﹣2（∠1+∠4）＝180°， ∴AB∥CD． 【变式2】完成下面的证明：已知：如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求证：AD∥BC． 证明：∵AB⊥AC（已知）， ∴∠　BAC　＝90° （ 　垂直的定义　）， ∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知）， ∴∠1+∠BAC+∠B＝　180°　（ 　等量关系　）， 即∠　BAD　+∠B＝180°， ∴AD∥BC （ 　同旁内角互补，两直线平行　）． 【分析】由AB⊥AC，根据垂直的定义得到∠BAC为90°，再由图形可得：同旁内角∠B与∠BAD的和为∠B，∠BAC与∠1三角的度数之和，求出度数为180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得出AD与BC平行，得证． 【解答】解：证明：∵AB⊥AC（已知）， ∴∠BAC＝90° （垂直的定义）， ∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知）， ∴∠1+∠BAC+∠B＝180°（等量关系）， 即∠BAD+∠B＝180°， ∴AD∥BC （同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：BAC；垂直的定义；180°；等量关系；BAD；同旁内角互补，两直线平行． 【变式3】如图，已知点O在直线AB上，射线OD平分∠BOC，过点O作OE⊥OD，G是射线OB上一点，连接DG，满足∠ODG+∠DOG＝90°． （1）求证：∠AOE＝∠ODG； （2）若∠ODG＝∠C，求证：CD∥OE． 【分析】（1）由垂线的定义得出∠DOE＝90°，结合平角的定义得出∠AOE+∠DOG＝90°，结合∠ODG+∠DOG＝90°即可得证； （2）由角平分线的定义得出∠DOG＝∠COD，由垂线的定义得出∠DOE＝90°即∠COE+∠COD＝90°，结合∠ODG+∠DOG＝90°得出∠ODG＝∠COE，从而得出∠C＝∠COE，即可得证． 【解答】证明：（1）∵OE⊥OD， ∴∠DOE＝90°， ∵∠DOE+∠AOE+∠DOG＝180°， ∴∠AOE+∠DOG＝90°， ∵DG⊥AB， ∴∠ODG+∠DOG＝90°， ∴∠AOE＝∠ODG； （2）∵OD平分∠BOC， ∴∠DOG＝∠COD＝∠BOC， ∵OE⊥OD， ∴∠DOE＝90°， ∴∠COE+∠COD＝90°， 由（1）知，∠ODG+∠DOG＝90°， ∴∠ODG＝∠COE， ∵∠ODG＝∠C， ∴∠C＝∠COE， ∴CD∥OE． 1．下列四个图形中，∠1＝∠2，能够判定AB∥CD的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【解答】解：A．由∠1＝∠2，不能判定AB∥CD， 故A不符合题意； B．如图， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴AB∥CD， 故B符合题意； C．由∠1＝∠2，不能判定AB∥CD， 故C不符合题意； D．∵∠1＝∠2， ∴AC∥BD， 故D不符合题意； 故选：B． 2．如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【分析】根据同位角相等，两直线平行即可得出结论． 【解答】解：如图，∠DCE＝90°，∠MNB＝90°， ∴∠DCE＝∠MNB， ∴CD∥MN， 即木工师傅用图中的角尺画平行线，他依据的数学道理是同位角相等，两直线平行， 故选：B． 3．如图，直线l1、l2被直线l3所截，下列选项中能得到l1∥l2的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠5 C．∠2＝∠5 D．∠2+∠4＝180° 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴l1∥l2， 故A符合题意； 由∠3＝∠5，不能判定l1∥l2， 故B不符合题意； 由∠2＝∠5，不能判定l1∥l2， 故C不符合题意； 由∠2+∠4＝180°，不能判定l1∥l2， 故D不符合题意； 故选：A． 4．老师在固板上画出如图所示的图形，要求添加一个条件使得m∥n，以下四位同学的答案不正确的是（　　） A．小龙：∠2＝∠5 B．小年：∠2+∠6＝180° C．小达：∠1＝∠6 D．小吉：∠4+∠5＝180° 【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可． 【解答】解：∵∠2＝∠5， ∴m∥n， 故A不符合题意； ∵∠2+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°， ∴∠2＝∠3， ∴m∥n， 故B不符合题意； ∵∠1＝∠6，∠4＝∠6， ∴∠1＝∠4， ∴m∥n， 故C不符合题意； 由∠4+∠5＝180°，不能判断m∥n， 故D符合题意； 故选：D． 5．下列说法正确的是（　　） A．a、b、c是直线，若a⊥b，b∥c，则a∥c B．a、b、c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．a、b、c是直线，若a∥b，b⊥c，则a∥c D．a、b、c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c 【分析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可． 【解答】解：A、∵a⊥b，b∥c， ∴a⊥c，故本选项错误； B、在同一平面内，当a⊥b，b⊥c时，a∥c，故本选项错误； C、当a∥b，b⊥c时，a⊥c，故本选项错误； D、当a∥b，b∥c时，a∥c，故选项正确； 故选：D． 6．如图，下列判断正确的是（　　） A．若∠1＝∠2，则AD∥BC B．若∠1＝∠2，则AB∥CD C．若∠A＝∠1，则AB∥CD D．若∠A+∠ADC＝180°，则AD∥BC 【分析】由平行线的判定方法，即可判断． 【解答】解：A、由∠1＝∠2，判定AB∥CD，不能判定AD∥BC，故A不符合题意； B、判断正确，故B符合题意； C、∠A和∠1不是同位角也不是内错角，∠1＝∠A不能判定AB∥CD，故C不符合题意； D、由∠A+∠ADC＝180°，判定AB∥CD，不能判定AD∥BC，故D不符合题意． 故选：B． 7．如图，为判断一段纸带的两边a，b是否平行，小亮在纸带两边a，b上分别取点A，B，并连接AB．下列条件中能判断a∥b的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠2+∠4＝180° D．∠3+∠4＝180° 【分析】由平行线的判定方法，即可判断． 【解答】解：A、∠1和∠2是邻补角，∠1＝∠2不能判定a∥b，故A不符合题意； B、∠1和∠3是同旁内角，∠1和∠3互补判定a∥b，∠1＝∠3不能判定a∥b，故B不符合题意； C、由同旁内角互补，两直线平行判定a∥b，故C符合题意； D、∠3和∠4是邻补角，∠3+∠4＝180°，不能判定a∥b，故D不符合题意． 故选：C． 8．如图，点E在BC的延长线上，对于给出的四个条件： ①∠1＝∠3；②∠2+∠5＝180°； ③∠4＝∠B；④∠D+∠BCD＝180°． 其中能判断AD∥BC的是（　　） A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可． 【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴AD∥BC； ②∵∠2+∠5＝180°，∵∠5＝∠AGC，∴∠2+∠AGC＝180°，∴AB∥DC； ③∵∠4＝∠B，∴AB∥DC； ④∵∠D+∠BCD＝180°，∴AD∥BC． 故选：B． 9．如图所示，下列说法正确的是（　　） A．若∠3＝∠5，则CD∥EF B．若∠2＝∠6，则CD∥EF C．若∠4＝∠3，则CD∥EF D．若∠1＝∠6，则GH∥AB 【分析】根据平行线的判定定理判断即可． 【解答】解：A、若∠3＝∠5，不能判定CD∥EF，故不符合题意； B、若∠2＝∠6，不能判定CD∥EF，故不符合题意； C、∵∠4＝∠3， ∴180°﹣∠4＝180°﹣∠5， ∴∠5＝∠2， ∴CD∥EF，故符合题意； D、若∠1＝∠6，不能判定GH∥AB，故不符合题意； 故选：C． 10．光线在不同的介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠2＝122°，则下列角的度数正确的是（　　） A．∠1＝58° B．∠7＝122° C．∠5＝68° D．∠4＝122° 【分析】根据题意可得AB∥CD∥EF，AC∥BD，CE∥DF，然后只需运用平行线的性质即可解决问题． 【解答】解：由题可得： AB∥CD∥EF，AC∥BD，CE∥DF， 根据平行线的性质可得： ∠2+∠5＝180°，∠4+∠6＝180°，∠1+∠7＝180°， ∵∠2＝122°， ∴∠4＝122°，∠5＝58°， 根据题意得，∠1+∠2＜180°， ∴∠1＜58°， ∴∠7＞122°， ∴A、B、C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 11．如图，在四边形ABCD中，点E是AB延长线上一点，请添加一个条件，使AB∥CD，那么可以添加的条件是 　∠A+∠D＝180°　（写出一个即可）． 【分析】直接利用平行线的判定方法得出答案． 【解答】解：当∠A+∠D＝180°时，则AB∥CD． 故答案为：∠A+∠D＝180°（答案不唯一）． 12．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a 　∥　c． 【分析】由垂直的定义得到∠1＝∠2＝90°，由同位角相等，两直线平行推出a∥c． 【解答】解：如图，a⊥b，b⊥c， ∴∠1＝∠2＝90°， ∴a∥c． 故答案为：∥． 13．如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是　同位角相等，两直线平行　． 【分析】根据平行线的判定和性质，平行公理进行判断即可． 【解答】解：过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是：同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 14．如图，下列条件：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠4＝∠5；④∠2+∠4＝180°中，能判断直线l1∥l2的有　3　个． 【分析】根据平行线的判断方法，可以判断出各个小题中的条件是否可以得到直线l1∥l2，从而可以解答本题． 【解答】解：∵∠1＝∠3， ∴l1∥l2，故①符合题意； 当∠2＝∠3时，无法判断l1∥l2，故②不符合题意； ∵∠4＝∠5， ∴l1∥l2，故③符合题意； ∵∠2+∠4＝180°， ∴l1∥l2，故④符合题意； 故答案为：3． 15．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝45°，∠2＝120°，则∠3+∠4＝　105°　． 【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等和两直线平行，同旁内角互补，即可求出答案． 【解答】解：如图所示，AB∥CD，光线在空气中也平行， ∴∠3＝∠1，∠2+∠4＝180°， ∵∠1＝45°，∠2＝120°， ∴∠3＝45°，∠4＝180°﹣120°＝60°， ∴∠3+∠4＝45°+60°＝105°． 故答案为：105°． 16．根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． （1）∵∠1＝∠3（已知）， ∴　DG　∥　AB　（ 　内错角相等，两直线平行　）． （2）∵∠2＝∠3（已知）， ∴EF∥AD（ 　同位角相等，两直线平行　）． （3）∵∠DGA+∠BAC＝180°（已知）， ∴DG∥BA（ 　同旁内角互补，两直线平行　）． （4）∵∠B＝∠CDG（已知）， ∴　DG　∥　AB　（ 　同位角相等，两直线平行　）． 【分析】根据平行线的判定方法逐一进行作答即可． 【解答】解：（1）∵∠1＝∠3（已知）， ∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行）； （2）∵∠2＝∠3（已知）， ∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行）； （3）∵∠DGA+∠BAC＝180°（已知）， ∴DG∥BA（同旁内角互补，两直线平行）； （4）∵∠B＝∠CDG（已知）， ∴AB∥DG（同位角相等，两直线平行）； 故答案为：（1）AB，DG，内错角相等，两直线平行； （2）同位角相等，两直线平行； （3）同旁内角互补，两直线平行； （4）AB，DG，同位角相等，两直线平行． 17．如图所示，已知∠E＝∠1，∠3＝∠2．试说明：AB∥EC． 【分析】根据对顶角相等结合题意推出∠3＝∠E，即可判定AB∥EC． 【解答】解：∵∠E＝∠1，∠3＝∠2，∠1＝∠2， ∴∠3＝∠E， ∴AB∥EC． 18．如图，已知∠1＝75°，∠2＝35°，∠3＝40°，求证：a∥b． 【分析】先根据三角形外角性质，求得∠4＝75°，再根据∠1＝75°，即可得到∠1＝∠4，进而根据平行线的判定可得a∥b． 【解答】证明：∵∠4是∠2，∠3所在三角形的外角， ∴∠4＝∠3+∠2＝75°， 又∵∠1＝75°， ∴∠1＝∠4， ∴a∥b． 19．如图，已知∠1＝∠2，∠3+∠4＝180°，证明AB∥EF． 【分析】根据∠1＝∠2利用“同位角相等，两直线平行”可得出AB∥CD，再根据∠3+∠4＝180°利用“同旁内角互补，两直线平行”可得出CD∥EF，从而即可证出结论． 【解答】证明：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD． ∵∠3+∠4＝180°， ∴CD∥EF． ∴AB∥EF． 20．如图，已知△ABC，∠ACB＝80°，点E，F分别在AB，AC上，ED交AC于点G，交BC的延长线于点D，∠FEG＝32°，∠CGD＝48°．求证：EF∥BC． 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠AFE＝100°，再根据同旁内角互补，直线平行，即可证明结论． 【解答】证明：∵∠CGD＝48°， ∴∠EGF＝∠CGD＝48°， ∵∠FEG＝32°， ∴∠GFE＝180°﹣∠EGF﹣∠FEG＝180°﹣48°﹣32°＝100°， ∵∠ACB＝80°， ∴∠GFE+∠ACB＝180°， ∴EF∥BC． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$