第03讲 一次函数的应用（2个知识点+5种题型+分层练习）- 2025年八年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第03讲 一次函数的应用（2个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点2．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 题型强化 题型一．根据实际问题列一次函数关系式 1．（闵行区期中）李庄与张庄两地之间的距离是100千米，若汽车以平均每小时80千米的速度从李庄开往张庄，则汽车距张庄的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系式是　　 A． B． C． D． 2．（松江区月考）某市居民私人电话的收费标准如下：每个月的线路费30元，市内电话不超过30次不另加收费，超次电话每次收费0.12．假定小王每月打市内电话次（超过30次），应付电话费元，则与的函数关系式是　　． 3．（宝山区校级月考）已知等腰三角形的周长为，若底边长为 ，一腰长为 ． （1）写出与的函数关系式； （2）求自变量的取值范围． 题型二．一次函数的应用 4．（2021春•松江区月考）一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，燃烧时蜡烛剩余的长度和燃烧时间（小时）之间的函数关系用图象可以表示为图中的　　 A． B． C． D． 5．（2024春•崇明区期末）已知甲乙两地相距500千米，一辆汽车加满60升油后由甲地开往乙地，油箱中的剩余油量（升与行驶路程（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．当油箱中的剩余油量为20升时，汽车距离乙地 　　千米． 6．（2024春•闵行区期末）某物流公司送货员每月的工资由底薪和送货工资两部分组成，送货工资与送货件数成正比例．现有甲、乙两名送货员，当送货件数量为时，甲的工资是（元，乙的工资是（元．如图所示，已知甲的每月底薪是1000元，乙每送一件货物22元． （1）根据图中信息，分别求出和关于的函数解析式；（不必写定义域） （2）如果甲、乙两人平均每天送货量分别是10件和12件，求两人的月工资分别是多少元？ （一个月按30天算） 题型三、最大利润问题(一次函数的实际应用) 7．某公司新产品上市30天全部售完．图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，下列四个结论中错误的是（　　） A．第30天该产品的市场日销售量最大 B．第20天至30天该产品的单件产品的销售利润最大 C．第20天该产品的日销售总利润最大 D．第20天至30天该产品的日销售总利润逐日增多 8．（2022·上海金山·一模）某苹果种植合作社通过网络销售苹果，图中线段为苹果日销售量（千克）与苹果售价（元）的函数图像的一部分．已知1千克苹果的成本价为5元，如果某天以8元/千克的价格销售苹果，那么这天销售苹果的盈利是 元． 9．（21-22八年级下·上海·期中）某年，埃博拉病毒在非洲肆虐，某制药厂研制出一种提高免疫力的药品，为赶制这批紧销药品投放市场，立即组织100名工人进行生产，已知生产这种药品有两道工序：一是由原材料生产半产品，二是由半产品生产出药品．由于半产品不易保存，剩余半成品当天必须卖给附近大厂，每名工人每天可生产半成品30千克或由半成品生产药品4千克（两项选一项），每2千克半成品只能生产1千克药品．若药品出厂价为30元/千克，半成品价格为3元/千克． (1)设厂长每天安排x名工人生产半成品，销售药品收入y1元，请用x的代数式表示销售药品收入y1；设当天剩余半成品全部卖出收入为y2元，请用x的代数式表示y2，并求出这个问题中x的取值范围． (2)为了使每天收益最大，请你帮厂长策划：每天安排多少名工人生产半产品？并求出这个最大收益． 题型四、行程问题(一次函数的实际应用) 10．（22-23八年级下·上海虹口·期末）甲乙二人登山，均从距离地面0米处出发，甲乙二人距离地面的高度y（米）关于甲出发时间x（分钟）的函数图像如图所示，已知甲在出发2分钟后将速度提升为原来的3倍并一路登顶，乙始终保持匀速前进．根据图像判断，以下说法正确的有几个？（    ）    （1）山的高度为340米 （2）甲乙二人不同时出发 （3）甲登顶的时间为自己出发后7分钟 （4）乙出发分钟后登顶 （5）甲出发5分钟后追上乙 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 11．（2024·上海浦东新·三模）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离与他所用的时间的关系如图所示．当小明离家时，他离开家所用的时间是 分． 12．（22-23八年级下·上海·期末）甲乙两车分别从地将一批货物运送到地，乙车再返回地．如图表示两车离地的路程（千米）随时间（时）变化的图像．已知甲车出发1.5小时后，乙车出发，且乙车到达地，停留半小时卸货后，马上按原路原速返回，请根据图像所提供的信息回答： (1)写出甲车离开地将一批货物送到地对应图像的函数解析式：__________； (2)甲车出发________小时后被乙车追上； (3)甲车与乙车迎面相遇时，离地距离为__________千米． 题型五、一次函数与几何综合 13．（22-23八年级下·上海黄浦·期中）如图，已知直线：交轴负半轴于点，交轴于点，点是轴上的一点，且，则的度数为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 14．（21-22八年级下·上海·阶段练习）已知等腰三角形的周长是，那么腰长与底边长的函数解析式及定义域是 ． 15．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点． (1)求b和k的值： (2)如果直线绕点B逆时针旋转交x轴于点D，求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，设点E是y轴上的一点，当四边形是梯形时，求点E的坐标． 分层练习 一、单选题 1．已知，一次函数的图象经过点，下列说法中不正确的是（    ） A．该函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为 B．若x满足，则当时，函数y有最小值 C．该函数的图象与一次函数的图象相互平行 D．若函数值y满足时，则自变量x的取值范围是 2．小明驾车从甲地到乙地，他出发的速度与时间的函数图象如图所示．下列四种说法： ①10分至20分期间，小明在休息； ②2小明驾车的最高速度是60千米/小时； ③小明出发第36分时的速度为42千米/小时； ④如果汽车每行驶100千米耗油10升，那么小明驾车在25分至35分期间耗油0.85升，其中正确的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．为避开周五放学时学校门口的交通拥堵，乐乐和爸爸商定了一个学校附近的集合地点，爸爸开车从家出发提前到集合地点等待，乐乐放学后从学校出发步行到达集合地，爸爸接到乐乐后再返回家中．假设汽车行进过程中始终保持匀速行驶，二人出发时间与距家路程的函数关系图象如图所示，下列说法中正确的有（    ） ①学校距家的距离为； ②爸爸比乐乐提前到达集合地点； ③乐乐步行的速度为； ④爸爸返程时的速度为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴320km外的农村采访，全程的前一部分为高速公 路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．汽车在高速公路上的行驶速度为100km/h B．乡村公路总长为90km C．汽车在乡村公路上的行驶速度为60km/h D．该记者在出发后5h到达采访地 5．一列动车匀速从南通开往南京，一列普通列车匀速从南京开往南通，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（h），两车之间的距离y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法正确的有（　　） ①南京、南通两地相距176km，两车出发后0.5h相遇； ②普通列车到达终点站共需2h； ③普通列车的平均速度为88km/h； ④动车的平均速度为250km/h． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，给出下列结论：①A，B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的2倍；③；④，其中正确的结论个数为（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 7．在物理实验课上，下表是小明记录了某根弹簧在弹性限度内所受拉力和弹簧长度的对应值，设所受拉力为，弹簧的长度为l，则l与F对应关系用解析式表示为 ． 弹力 0 弹簧的长度 10 13 16 8．如图，直线与坐标轴分别交于点A，B，与直线交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从O点出发向点A作匀速运动，运动时间为t秒，连结CQ． （1）求出点C的坐标 ； （2）若是等腰直角三角形，则t的值为 ．    9．如图，甲、乙两人以相同的路线前往距离单位的培训中心参加学习． 图中分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程（千米） 随时间（分）变化的函数图象，乙出发后 分钟追上甲． 10．如图，轴，垂足为，将绕点逆时针旋转到△的位置，使点的对应点落在直线上，再将△绕点逆时针旋转到△的位置，使点的对应点落在直线上，依次进行下去…若点的坐标是，则点的纵坐标为 ． 11．如图，直线x，点A坐标为，过点A作y轴的垂线交直线l于点以为边作等边三角形，再过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边三角形，……，按此做法进行下去，点的坐标为 ． 12．如图，在轴上有点，，过点作轴（使点在第二象限），且，连接当一次函数的图象与有公共点时，的取值范围为 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交轴于点，将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 ． 14．1号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以的速度竖直上升．两个气球都上升了．1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：m）与上升时间x（单位：）的函数关系如图所示．当气球上升 min时，两个气球的海拔竖直高度差为． 15．如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点A，若点P是线段上的一个动点，则线段长的最小值为 ．      16．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+3分别交x轴，y轴于点A，B两点，直线l2：y＝﹣3x过原点且与直线l1相交于C，点P为y轴上一动点．当PA+PC的值最小时，点P的坐标为 ． 17．已知：k为正数，直线与直线及x轴围成的三角形的面积为，则 ，的值为 ． 18．如图，点B的坐标是，，垂足为B，点A在直线，将绕点A顺时针旋转到的位置，使点B的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，依次进行下去．．．，点的纵坐标是 ，点的纵坐标是 ． 三、解答题 19．如图，在直角坐标系中，直线与x轴交于A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接． (1)直接根据图象写出关于x的不等式的解集； (2)求出的值； (3)求出的面积． 20．如图，某农业合作社为农户销售草莓，经过测算，草莓销售的销售额（元）和销售量（千克）的关系如射线所示，成本（元）和销售量（千克）的关系如射线所示． (1)当销售量为 千克时，销售额和成本相等； (2)每千克草莓的销售价格是 元； (3)如果销售利润为2000元，那么销售量为多少？ 21．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C为坐标轴上的三点，且OA=OB=OC=4，    过点A的直线AD交BC于点D，交y轴于点G，△ABD的面积为8．过点C作CE⊥AD，    交AB交于F，垂足为E． （1）求D点的坐标； （2）求证：OF=OG； （3）若点F的坐标为（，0），在第一象限内是否存在点P，使△CFP是以CF为腰长      的等腰直角三角形？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 22．为了响应“建设绿美中山”的号召，我市某学校计划从某苗木基地购进A、B两种树苗共200棵绿化校园．已知购买3棵A种树苗和4棵B种树苗共需620元；购买2棵A种树苗和3棵B种树苗共需440元． (1)每棵A种树苗、B种树苗各需多少元？ (2)学校除支付购买树苗的费用外，平均每棵树苗还需支付运输及种植费用20元，设学校购买B种树苗x棵，购买两种树苗及运输、种植所需的总费用为y元，求y与x的函数关系． (3)在（2）的条件下，若学校用于绿化的总费用在22400元限额内，且购买A种树苗的数量不少于B种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用． 23．国家为了鼓励新能源汽车的发展，实行新能源积分制度，积分越高获得的国家补贴越多．某品牌的“4S”店主销纯电动汽车A（续航600千米）和插电混动汽车B，两种主销车型的有关信息如下表： 车型 纯电动汽车A（续航600千米） 插电混动汽车B 进价（万元/辆） 25 12 售价（万元/辆） 28 16 新能源积分（分/辆） 8 2 购进数量（辆） x y (1)2月份该“4S”店共花费550万元购进A，B两种车型，且全部售出共获得新能源积分130分，设购进A、B型号的车分别为x，y辆，则x，y分别为多少？ (2)因汽车供不应求，该“4S”店3月份决定购进A，B两种车型共50辆，且所进车辆全部售出后获得新能源积分不高于280分，已知新能源积分每分可获得0.3万元的补贴，那么3月份如何进货才能使4S店获利最大？（获利包括售车利润和积分补贴） 24．年1月日，南浔区“古镇免费游暨长三角亲子乐园”主题新闻发布会上宣布：南浔古镇景区将正式向全球所有游客永久免票．在该惠民政策实施后，来南浔古镇的游客络绎不绝．某纪念品商店销售A，B两种商品，由于销量激增，一周进行了两次进货，且进货价相同，具体情况如下表： 购进数量（件） 购进时的总金额（元） A B 第一次 第二次 (1)求A，B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)若该商店A种商品以每件元出售，B种商品以每件元出售．某周计划购进两种商品共件，据市场销售分析，A种商品的数量不超过B种商品数量的3倍，请求出获利最大的进货方案，并确定最大利润． 25．如图，是一种学生双肩背包，其背带由固定带、活动带和调节扣构成．使用时，可以通过调节调节扣使背带的总长度（固定带与活动带使用部分的长度总和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设活动带未使用部分的长度为xcm，背带的总长度为ycm，经测量，得到如下数据：（说明：本题只讨论一条背带） 活动带未使用部分的长度 5 10 15 20 30 背带的总长度 65 60 55    (1)根据表中数据的规律，填空：__________，__________． (2)当时，求关于的函数解析式． (3)在上面的平面直角坐标系中，请直接画出（2）中的函数图象； (4)根据小敏的身高和习惯，背带的总长度为时，背起来最合适，请求出此时活动带未使用部分的长度． 26．阅读材料解答问题： 自主学习：在平面直角坐标系中，对于任意两点的“非常距离”给出如下定义： 若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|； 若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|． 例如：如图1所示，点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点） 问题解决： （1）计算：平面直角坐标系中两点A（﹣1，0），B（2，3）的“非常距离”． 应用拓展： （2）已知点C（，0），点D为y轴上的一个动点： ①若点C与点D的“非常距离”为3，则点D的坐标为　 　； ②在D点运动过程中，点C与点D的“非常距离”的最小值为　 　； 问题延伸： （3）已知：E是直线y＝x+3上的一个动点，如图2，点F的坐标是（0，1），求点E与点F的“非常距离”的最小值及相应点E的坐标． 27．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且满足，点在直线上． (1)求直线表达式； (2)点是轴上一动点，当是直角三角形时，求点的坐标； (3)如图2，若点，过点作轴平行线，点为直线上一动点，直线与交与点，当平分时，求点坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 一次函数的应用（2个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．根据实际问题列一次函数关系式 根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 知识点2．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 题型强化 题型一．根据实际问题列一次函数关系式 1．（闵行区期中）李庄与张庄两地之间的距离是100千米，若汽车以平均每小时80千米的速度从李庄开往张庄，则汽车距张庄的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系式是　　 A． B． C． D． 【分析】根据汽车距张庄的路程（千米）原来两地的距离汽车行驶的距离列函数关系式即可． 【解答】解： 汽车的速度是平均每小时80千米， 它行驶小时走过的路程是， 汽车距张庄的路程（千米）与行驶时间（小时）之间的函数关系式是， 故选：． 【点评】此题主要考查了根据实际问题确定一次函数的解析式，找到汽车距张庄的路程（千米）原来两地的距离汽车行驶的距离是解决问题的关键． 2．（松江区月考）某市居民私人电话的收费标准如下：每个月的线路费30元，市内电话不超过30次不另加收费，超次电话每次收费0.12．假定小王每月打市内电话次（超过30次），应付电话费元，则与的函数关系式是　　． 【分析】利用小王每月打市内电话次（超过30次），得出超出部分为：进而得出超出的费用，进而得出答案． 【解答】解：根据题意得出：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，得出两部分费用得出是解题关键． 3．（宝山区校级月考）已知等腰三角形的周长为，若底边长为 ，一腰长为 ． （1）写出与的函数关系式； （2）求自变量的取值范围． 【分析】（1）底边长周长腰长； （2）根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边来进行解答． 【解答】解：（1）依题意有：， 故与的函数关系式为：； （2）依题意有：， 即， 解得：． 故自变量的取值范围为． 【点评】本题的难点在于根据三角形三边关系定理得到自变量的取值范围． 题型二．一次函数的应用 4．（2021春•松江区月考）一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，燃烧时蜡烛剩余的长度和燃烧时间（小时）之间的函数关系用图象可以表示为图中的　　 A． B． C． D． 【分析】根据蜡烛剩余的长度总长度燃烧的长度就可以得出函数的解析式，由题意求出自变量的取值范围就可以得出函数图象． 【解答】解：由题意，得 ， ，， ， ， ， 是降函数且图象是一条线段． 故选：． 【点评】本题考查了蜡烛剩余的长度总长度燃烧的长度关系的运用，一次函数的解析式的运用，一次函数的图象的运用，自变量的取值范围的运用，解答时求出函数解析式及自变量的范围是关键． 5．（2024春•崇明区期末）已知甲乙两地相距500千米，一辆汽车加满60升油后由甲地开往乙地，油箱中的剩余油量（升与行驶路程（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．当油箱中的剩余油量为20升时，汽车距离乙地 　　千米． 【分析】先根据待定系数法求出函数解析式，再求出当时的值，最后求出剩余路程． 【解答】解：设， 则：， 解得：， ， 当时，， 解得：， ， （千米）， 故答案为：100． 【点评】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键． 6．（2024春•闵行区期末）某物流公司送货员每月的工资由底薪和送货工资两部分组成，送货工资与送货件数成正比例．现有甲、乙两名送货员，当送货件数量为时，甲的工资是（元，乙的工资是（元．如图所示，已知甲的每月底薪是1000元，乙每送一件货物22元． （1）根据图中信息，分别求出和关于的函数解析式；（不必写定义域） （2）如果甲、乙两人平均每天送货量分别是10件和12件，求两人的月工资分别是多少元？ （一个月按30天算） 【分析】（1）设关于的函数解析式为，将代入，利用待定系数法即可求出；根据乙每送一件货物22元，可设关于的函数解析式为，将代入，利用待定系数法即可求出； （2）根据甲、乙两人平均每天送货量分别是12件和14件，得出甲、乙两人一个月送货量分别是件和件．再把代入，代入，计算即可求解． 【解答】解：（1）设关于的函数解析式为， 将代入得： ， 解得， 即关于的函数解析式为； 乙每送一件货物22元， 设关于的函数解析式为， 将代入得： ， 解得， 即关于的函数解析式为； （2）如果甲、乙两人平均每天送货量分别是10件和12件， 那么甲、乙两人一个月送货量分别是（件和（件． 把代入，得（元； 把代入，得（元． 【点评】本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求直线的解析式，以及代数式求值，读懂题目信息，理解函数图象是解题的关键． 题型三、最大利润问题(一次函数的实际应用) 7．某公司新产品上市30天全部售完．图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，下列四个结论中错误的是（　　） A．第30天该产品的市场日销售量最大 B．第20天至30天该产品的单件产品的销售利润最大 C．第20天该产品的日销售总利润最大 D．第20天至30天该产品的日销售总利润逐日增多 【答案】C 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】从图1和图2中可知，当时，日销售量达到最大，所以根据日销售利润=日销售量每件产品的销售利润即可求解． 【详解】由图1知，当天数时，市场日销售量达到60件：从图2知，当天数时，每件产品销售利润达到最大30元．销售总利润为：（元）． A：从图1，可以看出当时，市场日销售量最大，选项正确，不符合题意； B：从图2，可以看出第20天至30天该产品单件销售利润相同，都达到最大值30元，选项正确，不符合题意； C：当时，日销售量低于时的日销售量，但单件销售利润相同，所以当天数为30时，销售利润最大，选项错误，符合题意； D：从图2中可以看出，第20天至30天该产品单件销售利润相同，从图一看出，日销售量逐日增加，成正比例函数关系，所以日销售利润逐日增加，选项正确，不符合题意； 故答案为：C 【点睛】本题考查的一次函数变量之间的实际应用，通过观察图形，结合相关数据处理实际问题，利用数形结合是解决问题的关键． 8．（2022·上海金山·一模）某苹果种植合作社通过网络销售苹果，图中线段为苹果日销售量（千克）与苹果售价（元）的函数图像的一部分．已知1千克苹果的成本价为5元，如果某天以8元/千克的价格销售苹果，那么这天销售苹果的盈利是 元． 【答案】6600 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据图象求出线段AB的解析式，求出当x=8时的y值，再根据利润公式计算即可． 【详解】解：设线段AB的解析式为y=kx+b，点A、B的坐标代入，得 ，解得， ∴y=-600x+7000， 当x=8时，y=， ∴这天销售苹果的盈利是=6600（元）， 故答案为：6600． 【点睛】此题考查了一次函数的实际应用，正确理解函数图象求出线段AB的解析式是解题的关键． 9．（21-22八年级下·上海·期中）某年，埃博拉病毒在非洲肆虐，某制药厂研制出一种提高免疫力的药品，为赶制这批紧销药品投放市场，立即组织100名工人进行生产，已知生产这种药品有两道工序：一是由原材料生产半产品，二是由半产品生产出药品．由于半产品不易保存，剩余半成品当天必须卖给附近大厂，每名工人每天可生产半成品30千克或由半成品生产药品4千克（两项选一项），每2千克半成品只能生产1千克药品．若药品出厂价为30元/千克，半成品价格为3元/千克． (1)设厂长每天安排x名工人生产半成品，销售药品收入y1元，请用x的代数式表示销售药品收入y1；设当天剩余半成品全部卖出收入为y2元，请用x的代数式表示y2，并求出这个问题中x的取值范围． (2)为了使每天收益最大，请你帮厂长策划：每天安排多少名工人生产半产品？并求出这个最大收益． 【答案】(1)y1＝﹣120x＋12000，y2＝114x﹣2400，≤x≤100且x为整数 (2)22名，9468元 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据题意构建一次函数y1、y2，构建不等式求出自变量的取值范围即可； （2）设每天的收入为w元，则有w＝y1＋y2＝﹣120x＋12000＋114x﹣2400＝﹣6x＋9600，因为k＝﹣6＜0，所以w随x的增大而减小，推出x＝22时，w有最大值，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意得： y1＝（100﹣x）×4×30＝﹣120x＋12000， y2＝[30x﹣（100﹣x）×4×2]×3＝114x﹣2400， ∵， ∴≤x≤100且x为整数； （2）设每天的收入为w元， 由题意得：w＝y1＋y2＝﹣120x＋12000＋114x﹣2400＝﹣6x＋9600， ∵k＝﹣6＜0， ∴w随x的增大而减小， ∵≤x≤100且x为整数， ∴当x＝22时，w有最大值，最大值为9468元， 答：每天安排22名工人生产半产品，最大收益为9468元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型． 题型四、行程问题(一次函数的实际应用) 10．（22-23八年级下·上海虹口·期末）甲乙二人登山，均从距离地面0米处出发，甲乙二人距离地面的高度y（米）关于甲出发时间x（分钟）的函数图像如图所示，已知甲在出发2分钟后将速度提升为原来的3倍并一路登顶，乙始终保持匀速前进．根据图像判断，以下说法正确的有几个？（    ）    （1）山的高度为340米 （2）甲乙二人不同时出发 （3）甲登顶的时间为自己出发后7分钟 （4）乙出发分钟后登顶 （5）甲出发5分钟后追上乙 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）由函数图象可直接判断； （2）由两函数图象与y轴的交点坐标作出判断； （3）由山的高度及甲的登山速度分析求解； （4）由函数图像分析乙的登山速度，从而求出其登山时间； （5）通过求函数解析式的交点坐标进行分析计算． 【详解】解：（1）由函数图象可得山的高度为340米，故此说法正确，符合题意； （2）由题意，甲乙二人登山，均从距离地面0米处出发，    由图象可得，， ∴甲出发时，乙已经距离地面米，即甲乙二人不同时出发，故此说法正确，符合题意； （3）由图象可得甲出发1分钟时，距离地面米， ∴甲在出发2分钟内的登山速度为米/分， 又∵已知甲在出发2分钟后将速度提升为原来的3倍并一路登顶， ∴甲在出发2分钟后的登山速度为米/分， （分钟）， （分钟）， ∴甲登顶的时间为自己出发后7分钟，故此说法正确，符合题意； （4）由图象可得乙的登山速度为米/分 ∴乙的登山时间为（分），即乙出发42.5分钟后登顶，故此说法正确，符合题意； （5）设直线的函数解析式为，把，代入， ，解得， ∴直线的函数解析式为， 设直线的函数解析式为，把，代入， ，解得， ∴直线的函数解析式为， 联立方程组，解得 ∴甲出发5分钟后追上乙，故此说法正确，符合题意， 正确的有5个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，关键是准确识图． 11．（2024·上海浦东新·三模）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离与他所用的时间的关系如图所示．当小明离家时，他离开家所用的时间是 分． 【答案】12或 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用．小明离家时，有两个时间，第一个时间是小明从家跑步去体育场的过程中存在离家，利用路程速度可得此时间，第二个时间利用段解析式可求得． 【详解】解：小明家离体育场的距离为，小明跑步的平均速度为， 当小明离从家出发时，所用时间为：（分钟）； 如图，，， 设的解析式为：， 则， 解得， 的解析式为：， 当时，，解得， 即小明返回离家时，他离开家所用的时间是． 综上所述，当小明离家时，他离开家所用的时间是或． 故答案为：12或． 12．（22-23八年级下·上海·期末）甲乙两车分别从地将一批货物运送到地，乙车再返回地．如图表示两车离地的路程（千米）随时间（时）变化的图像．已知甲车出发1.5小时后，乙车出发，且乙车到达地，停留半小时卸货后，马上按原路原速返回，请根据图像所提供的信息回答： (1)写出甲车离开地将一批货物送到地对应图像的函数解析式：__________； (2)甲车出发________小时后被乙车追上； (3)甲车与乙车迎面相遇时，离地距离为__________千米． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求解析式，两直线交点问题，数形结合是解题的关键． （1）根据函数图像可得，甲车出发后，到达离A地的B地，可以求出甲车的速度，然后表示函数关系式即可； （2）根据点M的意义即可求得答案； （3）先求得停留半小时后的坐标，根据返回时的速度相等，列方程即可求得答案． 【详解】（1）解：甲车离开地将一批货物送到地对应图像的函数解析式为：， 故答案为：； （2）解：令，则， 解得：， 故答案为：； （3）解：乙车的速度为千米/时， 则， 解得：， ∴距离地距离为千米， 故答案为：． 题型五、一次函数与几何综合 13．（22-23八年级下·上海黄浦·期中）如图，已知直线：交轴负半轴于点，交轴于点，点是轴上的一点，且，则的度数为（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】一次函数与几何综合、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】令，可得，令，可得，利用勾股定理求出，可得，分两种情况考虑：①点在轴正半轴；②点在轴负半轴．分别计算出、度数，两个角的和差即为所求度数． 【详解】解：直线：交轴负半轴于点，交轴于点， 令，则，解得， ， 令，则， ， ， ， ， ， ，． ，， ， ， 如图，分两种情况考虑： ①当点在轴正半轴上时，， ； ②当点在轴负半轴上时，， ．    故选：D． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、含度角的直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质以及坐标与图形性质．分类讨论思想的运用是解题的关键． 14．（21-22八年级下·上海·阶段练习）已知等腰三角形的周长是，那么腰长与底边长的函数解析式及定义域是 ． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了一次函数的应用，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，根据题意列出解析式，求出范围，即可求解；能根据等腰三角形的定义列出解析式，会由构成三角形的条件求出自变量取值范围是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， 解得：， 故答案：． 15．（23-24八年级下·上海嘉定·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，与反比例函数的图像交于点． (1)求b和k的值： (2)如果直线绕点B逆时针旋转交x轴于点D，求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，设点E是y轴上的一点，当四边形是梯形时，求点E的坐标． 【答案】(1)，6 (2) (3)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，掌握一次函数的性质、梯形的性质、三角形全等等，注意分类求解是解题的关键． （1）把点代入一次函数求出，把点代入求出得点，把代入，求出的值即可； （2）证明，得到点G的坐标为，再用待定系数法即可求解； （3）结合梯形的定义分和两种情况，运用待定系数法分别求出的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与x轴交于点， ∴把点代入一次函数，得： ∴ ∴一次函数的解析式为：， 把点代入，得：， 解得， ∴， 把代入，得， （2）解：过点作交于点G，过点A作y轴的平行线交过点B与x轴的平行线于点F，交过点G与x轴的平行线于点E，如图， ∵，故为等腰直角三角形， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点G的坐标为， 设直线的表达式为， 把代入得，， 解得， 故直线的表达式为； （3）解：∵是梯形， ∴当时，如图， ∵，点在轴上， ∴； 当时，如图， 对于，当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 综上，点的坐标为或 分层练习 一、单选题 1．已知，一次函数的图象经过点，下列说法中不正确的是（    ） A．该函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为 B．若x满足，则当时，函数y有最小值 C．该函数的图象与一次函数的图象相互平行 D．若函数值y满足时，则自变量x的取值范围是 【答案】B 【知识点】一次函数与几何综合、一次函数图象平移问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】根据待定系数法确定一次函数的解析式，再由一次函数的性质及与坐标轴的交点依次判断即可． 【详解】解：一次函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， A、当时，，当时，， ∴与坐标轴的两个交点分别为，， ∴函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为：，选项正确，不符合题意； B、x满足，则当时，函数y有最大值，选项错误，符合题意； C、与，k都为，图象相互平行，选项正确，不符合题意； D、当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴函数值y满足时，则自变量x的取值范围是，选项正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】题目主要考查确定一次函数解析式的方法、与坐标轴的交点问题，围成的三角形面积等，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键． 2．小明驾车从甲地到乙地，他出发的速度与时间的函数图象如图所示．下列四种说法： ①10分至20分期间，小明在休息； ②2小明驾车的最高速度是60千米/小时； ③小明出发第36分时的速度为42千米/小时； ④如果汽车每行驶100千米耗油10升，那么小明驾车在25分至35分期间耗油0.85升，其中正确的个数是（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据函数图象信息，逐一判定即可. 【详解】根据函数图象，得 ①10分至20分期间，速度最大，不是在休息，错误； ②小明驾车的最高速度是60千米/小时，正确； ③把（35,51）和（40,0）代入， 解得， ∴ 把代入，得 ∴小明出发第36分时的速度为40.8千米/小时，错误； ④如果汽车每行驶100千米耗油10升，那么小明驾车在25分至35分期间耗油升，正确； 故选：B. 【点睛】此题主要考查利用函数图象获取信息，熟练掌握，即可解题. 3．为避开周五放学时学校门口的交通拥堵，乐乐和爸爸商定了一个学校附近的集合地点，爸爸开车从家出发提前到集合地点等待，乐乐放学后从学校出发步行到达集合地，爸爸接到乐乐后再返回家中．假设汽车行进过程中始终保持匀速行驶，二人出发时间与距家路程的函数关系图象如图所示，下列说法中正确的有（    ） ①学校距家的距离为； ②爸爸比乐乐提前到达集合地点； ③乐乐步行的速度为； ④爸爸返程时的速度为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，从函数图象中获得信息，解题的关键是数形结合，从函数图象中获得有用的信息． ①根据函数图象可以直接判断学校距家的距离为，判断①正确； ②根据函数图象可以得出爸爸比乐乐提前到达集合地点，判断②正确； ③根据函数图象，结合速度公式，求出乐乐步行的速度为，判断③正确； ④根据函数图象，结合速度公式，可以求出爸爸返程时的速度为，判断④错误． 【详解】解：①根据函数图象可知，学校距家的距离为，故①正确； ②根据函数图象可知，爸爸比乐乐提前到达集合地点，故②正确； ③乐乐步行的速度为，故③正确； ④爸爸返程时的速度为，故④错误； 综上分析可知，正确的有3个． 故选：C． 4．某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴320km外的农村采访，全程的前一部分为高速公 路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（ ） A．汽车在高速公路上的行驶速度为100km/h B．乡村公路总长为90km C．汽车在乡村公路上的行驶速度为60km/h D．该记者在出发后5h到达采访地 【答案】D 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【详解】试题分析：根据图像可知：汽车在高速公路上的行驶了2小时，共160km，所以速度=80 km/h，故选A 错误；因为一共320km，因为前一部分为高速公路160km，所以后一部分为乡村公路为160km，所以B错误；汽车在乡村公路上的行驶了1.5小时，共80km，所以速度= km/h，故选C错误；汽车在乡村公路上的行驶的时间=小时，所以该记者在出发后2+3=5h到达采访地，所以D正确，故选D. 考点：函数的图像. 5．一列动车匀速从南通开往南京，一列普通列车匀速从南京开往南通，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（h），两车之间的距离y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系，下列说法正确的有（　　） ①南京、南通两地相距176km，两车出发后0.5h相遇； ②普通列车到达终点站共需2h； ③普通列车的平均速度为88km/h； ④动车的平均速度为250km/h． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据题意和函数图像中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， 南京、南通两地相距176km，两车出发后0.5h相遇，故①正确； 普通列车到达终点站共需2h，故②正确； 普通列车的平均速度为：176÷2＝88(km/h)，故③正确； 动车的平均速度为：176÷0.5﹣88＝352﹣88＝264(km/h)，故④错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 6．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示，给出下列结论：①A，B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的2倍；③；④，其中正确的结论个数为（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】由图象所给信息对结论判断即可． 【详解】解：由图象可知当时，甲、乙两人在A、B两地还未出发， 故A，B之间的距离为，故①正确； 前为甲、乙的速度和行走了， 故， 由图象可知乙用了走完了， 则， 则， ，故②错误； 又∵两人相遇时停留了， ∴两人相遇后从开始继续行走，由图象时的拐点可知，到乙到达目的地， 则两人相遇后行走了，两人之间的距离为（米）， 则，故③正确； 从开始为甲独自行走， 则 ， 故，故④正确； 综上所述①③④正确，共有三个结论正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，路程、时间与速度的关系，正确理解函数图象得到相关信息并运用数形结合的思想是解题的关键． 二、填空题 7．在物理实验课上，下表是小明记录了某根弹簧在弹性限度内所受拉力和弹簧长度的对应值，设所受拉力为，弹簧的长度为l，则l与F对应关系用解析式表示为 ． 弹力 0 弹簧的长度 10 13 16 【答案】 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】设l与F的关系式为，把，代入，可得关系式． 【详解】解：在弹簧的弹性限度内弹簧的长度与物体质量的关系为一次函数关系， 设l与F的关系式为， 把，代入，可得 ， 解得， ∴l与F的关系式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律． 8．如图，直线与坐标轴分别交于点A，B，与直线交于点C，线段OA上的点Q以每秒1个长度单位的速度从O点出发向点A作匀速运动，运动时间为t秒，连结CQ． （1）求出点C的坐标 ； （2）若是等腰直角三角形，则t的值为 ．    【答案】 2或4/4或2 【知识点】等腰三角形的定义、一次函数与几何综合 【分析】联立方程组可求出点C坐标，然后分为两种情况，画出图形，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】（1）∵由，得， ∴； （2）如图1，当，，    ∵， ∴， ∴； 如图2，当，，    过C作于M， ∵， ∴， ∴， ∴， 即t的值为2或4， 故答案为：，2或4． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组、等腰直角三角形等知识，综合性比较强，熟练掌握相关知识、运用分类讨论以及数形结合思想是解题的关键． 9．如图，甲、乙两人以相同的路线前往距离单位的培训中心参加学习． 图中分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程（千米） 随时间（分）变化的函数图象，乙出发后 分钟追上甲． 【答案】 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象求出甲、乙的速度，设乙出发后钟追上甲，再根据路程相等即可求解，读懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，甲的速度为， 乙的速度为， 设乙出发后钟追上甲，则， 解得， 故答案为：． 10．如图，轴，垂足为，将绕点逆时针旋转到△的位置，使点的对应点落在直线上，再将△绕点逆时针旋转到△的位置，使点的对应点落在直线上，依次进行下去…若点的坐标是，则点的纵坐标为 ． 【答案】/ 【知识点】一次函数与几何综合、根据旋转的性质求解、坐标与旋转规律问题 【分析】观察图象规律易知在直线上，且长度等于长度的6倍，故求出长度即可求出答案． 【详解】解：观察图象可知，在直线上， 且， 由直线y的解析式为，点B的坐标是(0,1) 求得，， 观察图象可知， ， 解得 的纵坐标， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形的变化、一次函数的性质等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法． 11．如图，直线x，点A坐标为，过点A作y轴的垂线交直线l于点以为边作等边三角形，再过点作轴的垂线交直线于点，以为边作等边三角形，……，按此做法进行下去，点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、一次函数的规律探究问题 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．先根据一次函数的解析式求出点的坐标，在根据点的坐标求出点的坐标，由此得到点的坐标，以此类推总结规律便可求出点的坐标，进而求得的坐标． 【详解】解：直线点A坐标为， 过点作y轴的垂线交直线l于点， 可知点的坐标为， 以为边作等边三角形，再过点作y轴的垂线交直线l于点 ∴， ∴点坐标为， ∴的坐标为， 故点的坐标为，点的坐标为，的坐标为， 此类推便可求出点的坐标为 点的坐标为 故答案为：． 12．如图，在轴上有点，，过点作轴（使点在第二象限），且，连接当一次函数的图象与有公共点时，的取值范围为 【答案】． 【知识点】求一次函数自变量或函数值、一次函数与几何综合 【分析】先求得A的坐标，然后把A、B的坐标分别代入一次函数，求得相应的b的值，即可求得符合题意的b的取值范围． 【详解】解∶由题意可知， 把代入得，，解得； 把代入得，，解得； 当一次函数的图像与有公共点时，的取值范围为， 故答案为∶． 【点睛】本题考查了一次函数图象和系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交轴于点，将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据已知条件得到，，求得，，过作交于，过作轴于，得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，设直线的函数表达式为：，解方程组即可得到结论． 【详解】解：一次函数的图象分别交、轴于点、， 令，得，令，则， ，， ，， 过作交于，过作轴于，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ，， ， 设直线的函数表达式为：， ， ， 直线的函数表达式为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，涉及一次函数图象与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、待定系数法求函数的解析式等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 14．1号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以的速度竖直上升．两个气球都上升了．1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：m）与上升时间x（单位：）的函数关系如图所示．当气球上升 min时，两个气球的海拔竖直高度差为． 【答案】10或30 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】此题主要考查了一次函数以及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出函数解析式．先求出两个函数关系式，再根据两个气球所在位置的海拔相差5米，分两种情况：①2号探测气球比1号探测气球海拔高5米；②1号探测气球比2号探测气球海拔高5米；分别列出方程求解即可． 【详解】解：号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升． ， 设2号探测气球解析式为， 过， ， 解得， ， 两个气球的海拔竖直高度差为，分两种情况： ①2号探测气球比1号探测气球海拔高5米，根据题意得： ， 解得； ②1号探测气球比2号探测气球海拔高5米，根据题意得： ， 解得． 综上所述，上升了10或后这两个气球相距， 故答案为：10或30． 15．如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点A，若点P是线段上的一个动点，则线段长的最小值为 ．      【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、一次函数与几何综合、垂线段最短 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了两条直线相交问题，三角形的 面积公式，两点间距离公式，求出交点坐标是解本题的关键．判断出时，最小，利用三角形的面积建立方程求解即可得出结论． 【详解】解：由， ∴， 由一次函数， 令，解得， ∴， ∴，， ∵当时，最小， 此时， ∴， ∴， 故答案为：． 16．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+3分别交x轴，y轴于点A，B两点，直线l2：y＝﹣3x过原点且与直线l1相交于C，点P为y轴上一动点．当PA+PC的值最小时，点P的坐标为 ． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】联立两直线解析式组成方程组，可得点C的坐标，确定出点A关于y轴的对称点A'，即可求出PA+PC的最小值，再用待定系数法求出直线A'C的解析式即可得出点P坐标． 【详解】解：直线①与直线②相交于， 联立①②解得，，， ，； 在中，当时，， ， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时最小，如图： 设直线的解析式为， 把，，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 令时， 点． 故答案为：． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了函数图象的交点坐标的求法，待定系数法，用轴对称解决最短路径问题是解本题的关键． 17．已知：k为正数，直线与直线及x轴围成的三角形的面积为，则 ，的值为 ． 【答案】 ； . 【知识点】一次函数的规律探究问题 【分析】根据k值有无数个的性质确定两直线都过定点即直线的交点（-1，-1），求出直线与x轴的交点，并计算两个交点之间的距离，后利用三角形的面积公式，确定，分别代入计算即可. 【详解】∵y=kx+k-1，∴（x+1）k=y+1， ∵k取任何值，∴关于k的一元一次方程（x+1）k=y+1有无数解， ∴x+1=0，y+1=0， 解得x=-1,y=-1, ∴直线经过定点（-1,-1） ∵y=（k+1）x+k，∴（x+1）k=y-x， ∵k取任何值，∴关于k的一元一次方程（x+1）k=y-x有无数解， ∴x+1=0，y-x=0， 解得x=-1,y=-1, ∴直线经过定点（-1,-1） ∴无论k取何值，直线和的交点为定点（﹣1，-1）． ∵直线：y=kx+k-1与x轴的交点为A（-,0），直线：y=（k+1）x+k与x轴的交点为B（-,0）， 则AB=-=， ∵交点为C（-1,-1）， ∴==， 当k=2时，==； ∵==， ∴+…+===. 故答案为：，. 【点睛】本题考查了一次函数的交点问题，x轴上两点间的距离，三角形的面积，一元一次方程无数解的条件，熟练求交点，并用裂项法计算面积和是解题的关键. 18．如图，点B的坐标是，，垂足为B，点A在直线，将绕点A顺时针旋转到的位置，使点B的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，依次进行下去．．．，点的纵坐标是 ，点的纵坐标是 ． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化−旋转以及勾股定理，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法．根据题意可知……落在直线上，因此也落直线上，只要求出的长度，即可求出纵坐标，而，而可以根据勾股定理求出． 【详解】解：点B的坐标是， 点的纵坐标为1， ， 在中，， ， 由旋转得：， ∴， 设， 即， （负值舍去）， ， 点的纵坐标是； 在直线上， ， 同理，的纵坐标， 故答案为：，． 三、解答题 19．如图，在直角坐标系中，直线与x轴交于A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接． (1)直接根据图象写出关于x的不等式的解集； (2)求出的值； (3)求出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】一次函数与几何综合、根据两条直线的交点求不等式的解集、求一次函数解析式 【分析】（1）根据点的坐标和函数的图象即可求出不等式的解集； （2）把点的坐标代入两个一次函数的解析式，即可求出、的值； （3）根据两个一次函数的解析式求出，的坐标，再由的面积的面积的面积即可求得结论． 本题考查一次函数的图象及性质，一次函数与一元一次不等式，三角形的面积等知识点，能求出点的纵坐标是解此题的关键． 【详解】（1）解：依题意， ， ； （2）解：直线经过，， ． 直线经过，， ， ； （3）解：由（2）得直线的解析式为， 令，则， ， 令，则， ， ， 的面积的面积的面积． 20．如图，某农业合作社为农户销售草莓，经过测算，草莓销售的销售额（元）和销售量（千克）的关系如射线所示，成本（元）和销售量（千克）的关系如射线所示． (1)当销售量为 千克时，销售额和成本相等； (2)每千克草莓的销售价格是 元； (3)如果销售利润为2000元，那么销售量为多少？ 【答案】(1)20 (2)20 (3)销售量为220千克，见详解 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、从函数的图象获取信息 【分析】本题考查了一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是一次函数表达式． （1）即图中两条射线交点所对应的x值； （2）从图中发现销售20千克时，销售额为400元，即可求解； （3）依据利润=售价成本，分别求出销售额，成本关于销售量x的函数表达式，代入即可． 【详解】（1）解：由图象可知当销售量为20千克时，销售额和成本相等， 故答案为：20． （2）解：每千克草莓的销售价格为（元）， 故答案为：20． （3）解：设， 由题意得：，， 解得： ， ∴的解析式为，的解析式为， ∵销售利润为2000元， ∴， 解得， ∴如果销售利润为2000元，那么销售量为220千克． 21．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C为坐标轴上的三点，且OA=OB=OC=4，    过点A的直线AD交BC于点D，交y轴于点G，△ABD的面积为8．过点C作CE⊥AD，    交AB交于F，垂足为E． （1）求D点的坐标； （2）求证：OF=OG； （3）若点F的坐标为（，0），在第一象限内是否存在点P，使△CFP是以CF为腰长      的等腰直角三角形？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）D（2，2）；（2）证明见解析；（3）P的坐标为（，），（4，），（，）． 【知识点】一次函数与几何综合、利用相似三角形的性质求解 【详解】试题分析：（1）根据已知条件得到AB=8，B（4，0），C（0，4），待定系数法求得BC的解析式为y=-x+4，根据三角形的面积得到DH=2，即可得到结论； （2）根据已知条件得到△AGO～△CGE，由相似三角形的性质得到∠GAO=∠GCE，根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）根据直线AD的解析式y=x+，求得OF=OG=，①如图2，当∠CFP=90°，FP=FC时，过P作PH⊥x轴于H，根据全等三角形的性质得到PH=OF=，FH=OC=4，于是得到P1（，）；②如图3，当∠PCF=90°，CP=FC时，根据全等三角形的性质得到PH=OC=4，CH=OF=，于是得到P2（4，）；③如图4，当∠CPF=90°，PC=PF时，根据全等三角形的性质得到PN=PM，CN=FM，根据ON=OM，列方程得到CN=CM=，于是得到P3（，）． 试题解析：（1）如图1，作DH⊥x轴于H， ∵OA=OB=OC=4， ∴AB=8，B（4，0），C（0，4）， 设BC的解析式为y=kx+b， 把B，C两点代入得，解得：， ∴BC的解析式为y=-x+4， ∵△ABD的面积为8，AB=8， ∴DH=2， 所以D点的纵坐标为2， 把y=2代入y=-x+4得：x=2， ∴D（2，2）； （2）∵CE⊥AD， ∴∠CEG=∠AOG=90°， 又∵∠AGO=∠CGE， ∴△AGO～△CGE， ∴∠GAO=∠GCE， 在△COF与△AOG中， ， ∴△COF≌△AOG， ∴OF=OG； （3）存在，∵A（-4，0），D（2，2）， ∴直线AD的解析式为y=x+， ∴OG=， ∴OF=OG=， ①如图2，当∠CFP=90°，FP=FC时， 过P作PH⊥x轴于H， ∴∠PHF=∠COF=90°， ∴∠OCF+∠OFC=∠OFC+∠PFH=90°，∴∠OCF=∠PFH， 在△COF与△PFH中， ， ∴△COF≌△PFH，∴PH=OF=，FH=OC=4， ∴OH=， ∴P1（，）； ②如图3，当∠PCF=90°，CP=FC时，同理证得△PHC≌△CFO， ∴PH=OC=4，CH=OF=， ∴OH=， ∴P2（4，）； ③如图4，当∠CPF=90°，PC=PF时， 过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N， ∴四边形PNOM是矩形， ∴∠NPM=90°， ∴∠CPN+∠NPF=∠NPF+∠FPM=90°， ∴∠CPN=∠FPM， 在△CPN与△FPM中， ， ∴△PNC≌△PMF， ∴PN=PM，CN=FM， ∴矩形PNOM是正方形， ∴ON=OM， ∴4-CN=+CN， ∴CN=CM=， ∴PN=PM=， ∴P3（，）， 综上所述：P的坐标为（，），（4，），（，）． 考点：三角形综合题． 22．为了响应“建设绿美中山”的号召，我市某学校计划从某苗木基地购进A、B两种树苗共200棵绿化校园．已知购买3棵A种树苗和4棵B种树苗共需620元；购买2棵A种树苗和3棵B种树苗共需440元． (1)每棵A种树苗、B种树苗各需多少元？ (2)学校除支付购买树苗的费用外，平均每棵树苗还需支付运输及种植费用20元，设学校购买B种树苗x棵，购买两种树苗及运输、种植所需的总费用为y元，求y与x的函数关系． (3)在（2）的条件下，若学校用于绿化的总费用在22400元限额内，且购买A种树苗的数量不少于B种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用． 【答案】(1)每棵A种树苗需要100元，每棵B种树苗需要80元 (2) (3)当购进100棵A种树苗，100棵B种树苗时，总费用最少，最少费用为22000元 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每棵种树苗需要元，每棵种树苗需要元，根据“购买了3棵种树苗和4棵种树苗共需620元；购买2棵种树苗和3棵种树苗共需440元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）由购进两种树苗的总棵数及购进种树苗的棵数，可得出学校购买种树苗棵，利用购买两种树苗及运输、种植所需的总费用单价数量每棵树苗的运输及种植费用，即可找出与的函数关系式； （3）根据“购买种树苗的数量不少于种树苗的数量，且学校用于绿化的总费用在22400元限额内”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每棵种树苗需要元，每棵种树苗需要元， 根据题意得：， 解得：． 答：每棵种树苗需要100元，每棵种树苗需要80元； （2）解：学校计划从某苗木基地购进、两种树苗共200棵绿化校园，且学校购买种树苗棵， 学校购买种树苗棵． 根据题意得：， 即； （3）解：根据题意得：， 解得：． ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值，此时． 答：当购进100棵种树苗，100棵种树苗时，总费用最少，最少费用为22000元． 23．国家为了鼓励新能源汽车的发展，实行新能源积分制度，积分越高获得的国家补贴越多．某品牌的“4S”店主销纯电动汽车A（续航600千米）和插电混动汽车B，两种主销车型的有关信息如下表： 车型 纯电动汽车A（续航600千米） 插电混动汽车B 进价（万元/辆） 25 12 售价（万元/辆） 28 16 新能源积分（分/辆） 8 2 购进数量（辆） x y (1)2月份该“4S”店共花费550万元购进A，B两种车型，且全部售出共获得新能源积分130分，设购进A、B型号的车分别为x，y辆，则x，y分别为多少？ (2)因汽车供不应求，该“4S”店3月份决定购进A，B两种车型共50辆，且所进车辆全部售出后获得新能源积分不高于280分，已知新能源积分每分可获得0.3万元的补贴，那么3月份如何进货才能使4S店获利最大？（获利包括售车利润和积分补贴） 【答案】(1) (2)购进A型车30辆，B型车20辆时获利最大 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）设购进A、B型号的车分别为x，y辆，根据A，B两种车型共花费550万元，全部售出共获得新能源积分130分，列出方程组，解方程组即可； （2）设4月购进A型车m辆，则购进B型车辆，根据车辆全部售出后获得新能源积分不高于280分列出不等式，求出，设所进车辆全部售出后获得的总利润为w万元，列出w与m的函数关系式，根据一次函数的增减性，求出结果即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：x的值为10，y的值为25． （2）解：设4月购进A型车m辆，则购进B型车辆， 依题意得： 解得：． 设所进车辆全部售出后获得的总利润为w万元， 则， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，即购进A型车30辆，B型车20辆时获利最大． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系和不等关系列出方程或不等式． 24．年1月日，南浔区“古镇免费游暨长三角亲子乐园”主题新闻发布会上宣布：南浔古镇景区将正式向全球所有游客永久免票．在该惠民政策实施后，来南浔古镇的游客络绎不绝．某纪念品商店销售A，B两种商品，由于销量激增，一周进行了两次进货，且进货价相同，具体情况如下表： 购进数量（件） 购进时的总金额（元） A B 第一次 第二次 (1)求A，B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)若该商店A种商品以每件元出售，B种商品以每件元出售．某周计划购进两种商品共件，据市场销售分析，A种商品的数量不超过B种商品数量的3倍，请求出获利最大的进货方案，并确定最大利润． 【答案】(1)A商品的进货价为元，B商品的进货价为元 (2)当A商品进货件，B商品进货件时，总利润最大，最大利润为元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、根据实际问题列二元一次方程组 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解出二元一次方程组的解即可； （2）设A商品进货m件，则B商品进货，列出获得利润的式子然后进行化简分析即可． 【详解】（1）解：设A商品的进货价为x元，B商品的进货价为y元， 则， 解得， ∴A商品的进货价为元，B商品的进货价为元； （2）解：设：A商品进货m件，则B商品进货件，               则获得利润，   ∵A种商品的数量不多于B种商品数量的3倍, ∴，解得，                                       ∵， ∴W随m的增大而增大，                           ∴当时，，W最大，且最大值为，                      ∴当A商品进货件，B商品进货件时，总利润最大，最大利润为元． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并熟练掌握一次函数的性质． 25．如图，是一种学生双肩背包，其背带由固定带、活动带和调节扣构成．使用时，可以通过调节调节扣使背带的总长度（固定带与活动带使用部分的长度总和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设活动带未使用部分的长度为xcm，背带的总长度为ycm，经测量，得到如下数据：（说明：本题只讨论一条背带） 活动带未使用部分的长度 5 10 15 20 30 背带的总长度 65 60 55    (1)根据表中数据的规律，填空：__________，__________． (2)当时，求关于的函数解析式． (3)在上面的平面直角坐标系中，请直接画出（2）中的函数图象； (4)根据小敏的身高和习惯，背带的总长度为时，背起来最合适，请求出此时活动带未使用部分的长度． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 (4) 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据表中数据的规律可求解． （2）选两组数据，用待定系数法． （3）根据数据依次描点，连线即可． （4）代入解析式即可求解． 【详解】（1）根据解活动带未使用部分的长度每增加，背带的总长度将减小， 故应填数值为：． 故答案为：． （2）设关于的函数解析式为，得 ．解得． 解析式为． （3）如图所示：    （4）当背带的总长度为时， 可得 ． 答：此时活动带末使用部分的长度为． 【点睛】本题考查一次函数在日常生活中的简单应用，求解析式，画函数图象，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 26．阅读材料解答问题： 自主学习：在平面直角坐标系中，对于任意两点的“非常距离”给出如下定义： 若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|； 若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|． 例如：如图1所示，点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点） 问题解决： （1）计算：平面直角坐标系中两点A（﹣1，0），B（2，3）的“非常距离”． 应用拓展： （2）已知点C（，0），点D为y轴上的一个动点： ①若点C与点D的“非常距离”为3，则点D的坐标为　 　； ②在D点运动过程中，点C与点D的“非常距离”的最小值为　 　； 问题延伸： （3）已知：E是直线y＝x+3上的一个动点，如图2，点F的坐标是（0，1），求点E与点F的“非常距离”的最小值及相应点E的坐标． 【答案】（1）3；（2）①（0，3）或（0，﹣3）；②（3） 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】（1）根据若|x1-x2|＜|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1-y2|解答即可； （2）①根据点D位于y轴上，可以设点D的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|0-y|=3，据此可以求得y的值； ②设点D的坐标为（0，y），根据|--0|≥|0-y|，得出点C与点D的“非常距离”最小值为|--0|，即可得出答案； （2）设点E的坐标为（x0，x0+3）．根据材料“若|x1-x2|≥|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1-x2|”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为-x0=x0+2，据此可以求得点E的坐标． 【详解】（1）∵|﹣1﹣2|＝3，|0﹣3|＝3， ∴3＝3 ∴点A与点B的“非常距离”为3． （2）①∵D为y轴上的一个动点， ∴设点D的坐标为（0，y）． ∵|﹣﹣0|＝，点C与点D的“非常距离”为3， ∴|0﹣y|＝3， 解得，y＝3或y＝﹣3， ∴点D的坐标是（0，3）或（0，﹣3）， 故答案为（0，3）或（0，﹣3）； ②当|﹣﹣0|≥|0﹣y|时，点C与点D的“非常距离”为， ∴点C与点D的“非常距离”的最小值为． 故答案为； （2）如图2，取点E与点F的“非常距离”的最小值时， 需要根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”解答， 此时|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|，即AE＝AF， ∵E是直线y＝x+3上的一个动点，点F的坐标是（0，1）， ∴设点E的坐标为（x0，x0+3）， ∴﹣x0＝x0+2， 此时，x0＝﹣， ∴点E与点F的“非常距离”的最小值为：|x0|＝， 此时E（﹣，）． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，“非常距离”的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 27．如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且满足，点在直线上． (1)求直线表达式； (2)点是轴上一动点，当是直角三角形时，求点的坐标； (3)如图2，若点，过点作轴平行线，点为直线上一动点，直线与交与点，当平分时，求点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【知识点】用勾股定理解三角形、角平分线的性质定理、一次函数与几何综合 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是明确题意，合理分类讨论求解是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出a，b，然后根据待定系数法求直线表达式即可； （2）分，两种情况讨论即可； （3）分点Q在点D的右上方；点Q和D重合；点Q在点D的左下方讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∴，， 设直线表达式为， 则， 解得， ∴直线解析式为； （2）解：∵点在直线上， ∴， ∴， 设， 当时，轴， ∴C的坐标为， 当时， 则， 解， 解， ∴C的坐标为， 综上，当C的坐标为或时，是直角三角形； （3）解： 如图，当点Q在点D的右上方时， 此时， 故不符合题意，舍去； 当Q和D重合时，N也与D重合，故不符合题意，舍去； 如图，当点Q在点D的左上方时，过点M作于E，于F，    ∵平分， ∴， 又， ∴， 设， 则， 解得， ∴或， 当时， 设表达式为， 则， 解得， ∴表达式为， 联立方程组， 解得， ∴的坐标为 同理：当时，Q的坐标为 综上，当的坐标为或时，平分． 学科网（北京）股份有限公司 $$