第03讲 二次根式的加减（5个知识点+5种题型+分层练习）- 2025年八年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第03讲 二次根式的加减（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点2．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点3．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点4．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点5．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 题型强化 题型一．同类二次根式 1．（2024秋•乌当区期中）如果最简二次根式和是同类二次根式，那么，的值为　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】根据同类二次根式的定义得到，，然后解两个方程组成的方程组即可． 【解答】解：根据题意得，， 解得，． 故选：． 【点评】本题考查了同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 2．（2024春•龙口市期末）最简二次根式与是同类二次根式，则 　　． 【分析】根据最简二次根式与是同类二次根式得出，再求出即可． 【解答】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：， 故答案为：2． 【点评】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式后如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式． 3．（2024春•高安市月考）小贤和小明同学玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放入四个小球，小球上分别标有一个数．现从容器中摸取小球，若摸到白色球，就加上球上的数；若摸到灰色球，就减去球上的数． （1）如图1，若小贤摸到如下两个小球，请计算出结果； （2）如图2，若小贤摸出全部的球，计算结果为，小明说的值能与合并．你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【分析】（1）根据二次根式的性质化简后，再合并同类二次根式即可； （2）求出的值，再将化简后，判断是否是同类二次根式即可． 【解答】解：（1）由题意得： ； （2）小明的说法正确，理由：由题意得， ， ， 的值与是同类二次根式，可以合并运算． 【点评】本题考查同类二次根式，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质和化简方法以及同类二次根式的定义是正确解答的关键． 题型二．二次根式的加减法 4．（2024秋•南召县期中）若，则和的值不可能是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】根据二次根式的运算法则计算即可得到结论． 【解答】解：．当，时，，故选项不符合题意； ．当，时，，故选项不符合题意； ．当，时，，故选项不符合题意； ．当，时，，故选项符合题意． 故选：． 【点评】此题考查了二次根式的加减法，解题的关键是掌握二次根式的加减法则． 5．（2024春•自贡期末）化简：　　． 【分析】根据绝对值的性质解答即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】此题考查的是二次根式的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键． 6．（2024秋•秦安县校级月考）已知实数，在数轴上如图所示，， （1）化简； （2）当，时，求的值． 【分析】（1）由图可知：，，，进一步判断出，，再根据绝对值、二次根式的性质化简即可； （2）将，代入（1）中的结果中计算即可． 【解答】解：（1）由图可知：，，， ，， ； （2）当，时， 则 ． 【点评】本题考查了数轴，绝对值，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 题型三．二次根式的混合运算 7．（2024春•牟平区期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加法，乘法，除法，二次根式的性质与化简进行计算，逐一判断即可解答． 【解答】解：、与不能合并，故不符合题意； 、，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 8．（2024•武清区二模）计算的结果是 　　． 【分析】根据平方差公式即可求解． 【解答】解： ， ， ， 故答案为：3． 【点评】本题考查了二次根式的乘法运算及平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式的应用． 9．（2024春•新乡期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先化简，再算加减即可； （2）利用平方差公式及完全平方公式进行运算较简便． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 题型四．二次根式的化简求值 10．（2023秋•常宁市期末）已知，，则的值为　　 A．20 B．16 C． D． 【分析】原式利用完全平方公式化简，将与的值代入计算即可求出值． 【解答】解：当，时，， 故选：． 【点评】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 11．（2024秋•郫都区校级期中）若，则的值是 　　． 【分析】将所求式子变形，然后将的值代入所求式子计算即可． 【解答】解：， ， 故答案为：5． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 12．（2024秋•城关区校级期中）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，所以的整数部分是2，将减去其整数部分2，所得的差就是的小数部分．根据以上信息回答下列问题： （1）的整数部分是 　　，小数部分是 　　； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【分析】（1）根据求出的整数部分和小数部分； （2）先求出、，再根据算术平方根计算，得到答案． 【解答】解：（1）， 的整数部分是4，小数部分是， 故答案为：4，； （2）， ，即， 的整数部分是5，小数部分， ， ， ，即， 的整数部分， ． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值、估算无理数的大小，根据算术平方根的定义进行无理数的估算是解题的关键． 题型五．二次根式的应用 13．（2024•广州模拟）我国南宋著名数学家秦九韶也提出了利用三角形三边长，，求三角形面积的“秦九韶公式”，即．已知在中，，，，则边上的高为　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意把，，代入求得的面积，再利用面积公式即可求解． 【解答】解：由题意得，，，， ， 边上的高为， 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的知识，掌握二次根式计算方法是解题关键． 14．（2024•湖南模拟）古希腊的几何学家海伦（约公元50年）在研究中发现：如果一个三角形的三边长分别为，，，那么三角形的面积与，，之间的关系式是，其中．若三角形的三边长分别为4，6，8，则该三角形的面积为　　． 【分析】根据如果一个三角形的三边长分别为，，，那么三角形的面积与，，之间的关系式是，其中，可以求得题目中所求三角形的面积． 【解答】解：如果一个三角形的三边长分别为，，，那么三角形的面积与，，之间的关系式是，其中， 若三角形的三边长分别为4，6，8，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用海伦公式解答． 15．（2024秋•惠来县校级月考）一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，表示物体的质量，单位是千克，表示物体的运动速度，单位是米秒．现一名运动员在匀速跑步，她的质量是60千克．若动能是1000焦耳，求该运动员的跑步速度（结果保留根号）． 【分析】根据题目所给公式建立方程求解即可． 【解答】解：由题意可知， ， （米秒）． 答：该运员的跑步速度是米秒． 【点评】本题主要考查了二次根式的应用，正确记忆相关知识点是解题关键． 分层练习 一、单选题 1．下列二次根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同类二次根式 【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、，能与合并； B、，不能与合并； C、，不能与合并； D、，不能与合并； 故选A． 【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的化简，掌握二次根式的性质：=|a|是解题的关键． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的乘法 【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算，即可． 【详解】A、，错误，不符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，错误，不符合题意． 故选：C． 3．计算的结果是（    ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】根据二次根式的运算法则，先算乘法再算减法即可得到答案； 【详解】解： ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 4．下列计算正确的是（ ） A．2×3=6 B．+= C．5﹣2=3 D．÷= 【答案】D 【知识点】二次根式 【详解】试题分析：因为2×3=18，所以A错误；因为和不是同类二次根式，所以不能合并，所以B错误；因为5和2不是同类二次根式，所以不能合并，所以C错误；因为，所以D正确，故选D. 考点：二次根式的计算. 5．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的加减运算、同底数幂的除法运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】根据幂的运算和二次根式加减逐项判断即可． 【详解】解：A. ，原选项错误，不符合题意； B. ，正确，符合题意； C. ，原选项错误，不符合题意； D. ，原选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的运算和二次根式加减，解题关键是熟练掌握相关运算法则，准确进行计算． 6．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的加减运算、运用完全平方公式进行运算、计算单项式除以单项式、积的乘方运算 【分析】根据合并同类二次根式可判断A，根据完全平方公式可判断B，根据单项式除以单项式可判断C，根据积的乘方运算可判断D，从而可得答案． 【详解】解：∵，不是同类二次根式，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是合并同类二次根式，完全平方公式，单项式除以单项式，积的乘方运算，熟记运算法则是解本题的关键． 7．2、、15三个数的大小关系是（    ） A．2＜15＜ B．＜15＜2 C．2＜＜15 D．＜2＜15 【答案】A 【知识点】比较二次根式的大小、利用二次根式的性质化简、实数的大小比较 【分析】将分别化成，再进行比较即可． 【详解】且 即 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的比较大小，比较被开方数，是常用的比较实数大小的方法． 8．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的除法、二次根式的乘法 【分析】本题主要考查二次根式加减乘除运算，同类二次根式才可以合并，正确使用运算法则是解题的关键．根据二次根式的混合运算法则进行求解即可． 【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、，故选项正确，符合题意． 故选：D 9．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简、同底数幂的除法运算、实数的混合运算 【分析】根据同底数幂除法，二次根式的性质，实数的计算法则和二次根式的加法计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了同底数幂除法，化简二次根式，二次根式的加法，实数的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 10．下列与为同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】化为最简二次根式、同类二次根式 【分析】二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．先将各选项化为最简二次根式，再看被开方数是否相同即可． 【详解】解：A. ，与为同类二次根式，符合题意； B. ，与不是同类二次根式，不符合题意； C. 与不是同类二次根式，不符合题意； D. ，与不是同类二次根式，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义以及二次根式的化简，掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键． 二、填空题 11．计算：|2﹣|﹣（﹣）2＝ ． 【答案】 【知识点】二次根式的混合运算、化简绝对值 【分析】先化简绝对值、计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加减法即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值、二次根式的乘法与加减法，熟练掌握运算法则是解题关键． 12．计算= ，= ． 【答案】 6 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的乘法 【分析】直接合并同类二次根式进而得出答案；直接利用二次根式乘法运算法则化简求出答案． 【详解】解：； ． 故答案为：，6 【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确合并同类二次根式是解题关键． 13．化简的结果是 ． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】根据二次根式的加减运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的加减运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算法则，本题属于基础题型． 14．若最简二次根式与可以合并，则a+b＝ ． 【答案】13 【知识点】同类二次根式 【分析】根据同类二次根式的概念列出方程，求出a+b． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴a-11=2-b， ∴a+b=13． 故答案为13． 【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 15．已知x=，则x2﹣x+1= ． 【答案】4﹣． 【知识点】二次根式 【详解】试题分析：先化简x==，再进一步代入求得数值即可． 解：∵x==， ∴x2﹣x+1=（）2﹣+1=4﹣． 故答案为4﹣． 考点：二次根式的化简求值． 16．写出的一个有理化因式： . 【答案】 【分析】根据平方差公式得出因式即可． 【详解】解：的一个有理化因式为 【点睛】本题考查了二次根式化简，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键． 17．二次根式相加减，先把各个二次根式分别化成 ，然后再将 分别合并． 有括号时，要先去括号． 【答案】 最简二次根式， 被开方数相同的二次根式 【知识点】二次根式的加减运算 【解析】略 18． ，的平方根为 ，的倒数为 ． 【答案】 【知识点】分母有理化、求一个数的立方根、求一个数的平方根、倒数 【分析】根据立方根定义、平方根定义、算术平方根定义和倒数定义进行解答即可． 【详解】解：，的平方根为，的倒数为． 故答案为：；；． 【点睛】本题主要考查了立方根定义，平方根定义，算术平方根定义，倒数定义，分母有理化，解题的关键是熟练掌握立方根定义和平方根定义，“乘积为1的两个数互为倒数”． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的加减运算、求一个数的立方根、化简绝对值 【分析】（1）先去括号，再合并同类二次根式； （2）先开立方，再化简绝对值，最后合并同类二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【点睛】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则、绝对值的意义是解决本题的关键． 20．观察下列各式： ①； ②； ③； … (1)观察①②③等式，那么第⑤个等式为 ； (2)根据上述规律，猜测写出＝ ，并加以证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【知识点】二次根式的应用、运用完全平方公式进行运算、数字类规律探索 【分析】（1）根据①②③等式的结果找到规律，再根据规律解答； （2）根据多项式乘多项式的运算法则、完全平方公式解答即可． 【详解】（1）（1）因为①； ②； ③； 所以第⑤个等式为：， 故答案为：； （2）； 证明如下： ； ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是数字的变化规律，掌握完全平方公式是解题的关键． 21．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木料的边长分别为 ， ； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 块这样的木条． 【答案】(1)，； (2) (3)，理由见解析 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的应用 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，二次根式的乘法运算，加减运算，二次根式的大小比较，理解题意，熟记运算法则是解本题的关键． （1）根据算术平方根的含义可得答案； （2）利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得到答案； （3）先计算剩余木条的长为，宽为，再利用，，从而可得答案． 【详解】（1）解：，， （2）矩形的长为，宽为， ∴剩余木料的面积； （3）剩余木条的长为，宽为， ∵，， ∴能截出个木条． 22．小明家装修，电视背景墙长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的大理石图案（图中阴影部分）． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，若壁布造价为6元，大理石的造价为200元，则整个电视墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1) (2)元 【知识点】二次根式的应用 【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：长方形的周长为； （2）解：长方形的面积：， 大理石的面积：， 壁布的面积：， 整个电视墙的总费用：（元）． 【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确掌握二次根式的混合运算法则是解题关键． 23．安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及造成伤害．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式．（不考虑风速的影响，，单位：） (1)求从高空抛物到落地的时间； (2)若某玩具在高空被抛出后经过后落在地上．求玩具抛出前离地面的高度． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键． （）把代入公式计算即可； （）把代入公式计算即可； 【详解】（1）解：当时，， 答：从高空抛物到落地的时间为； （2）解：当时，， 解得， 答：玩具抛出前离地面的高度为． 24．嘉淇有一根铁丝，他用这根铁丝围成了一个长方形，其中长方形的宽为，长是宽的4倍． (1)求这根铁丝的长度； (2)若嘉淇用这根铁丝首尾相接围成正方形，计算这个正方形的面积，并与长方形的面积进行比较，通过计算说明谁的面积大； (3)若嘉淇将这根铁丝分割后，组成一个长、宽、高的比为3：1：1的长方体框架，求这个长方体框架的体积． 【答案】(1)这根铁丝的长度为； (2)，正方形的面积大； (3)． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二次根式运算等知识点， (1)由长方形的宽为，长是宽的4倍得出长，进而即可得解； (2)由这根铁丝的长度算出正方形的边长，进而可算出正方形的面积，与长方形的面积进行比较即可得解； (3)由长方体的长、宽、高的比为可设出长方体的宽为，则长为，高为，用含x的代数式表示出铁丝的长度列出方程求解，进而即可得出答案； 熟练掌握其性质，合理列出等式和方程是解决此题的关键． 【详解】（1）∵长方形的宽为，长是宽的4倍， ∴长为， ∴长方形的周长为， ∴这根铁丝的长度为； （2）正方形的边长为， ∴正方形的面积为． ∵长方形的面积为，， ∴正方形的面积大； （3）∵长方体的长、宽、高的比为， ∴设长方体的宽为，则长为，高为， ∵铁丝的长度为， ∴长，宽，高和的4倍，解得， ∴长方体的长为，宽为，高为， ∴长方体的体积为． 25．某校有一块形状为正方形的绿地，其边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道． (1)求通道的总面积； (2)若要在通道上铺设造价为8元/平方米的地砖，如果要铺完整个通道，那么购买地砖需要花费多少元（参考数据：）？ 【答案】(1) (2)元 【知识点】二次根式的应用、二次根式的混合运算 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算的实际应用， （1）由题意得正方形绿地的面积为，然后用正方形面积减去4个矩形的面积即可计算出通道的面积； （2）根据“通道上要铺上造价为8元平方米的地砖”即可求出购买地砖需要的花费 根据题意求出通道的面积是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，通道的总面积为： （2）由（1）小问可知：通道的总面积为： 购买地砖需要花费：（元） 26．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形； ①  使三角形的三边长分别为2，3，（在图①中画出一个既可）； ②使三角形为直角三角形且三边长均为无理数（在图②中画出一个既可），并标出你所画三角形的三边的长.                                       ①                                 ② 【答案】见解析 【知识点】二次根式的应用 【详解】试题分析：①直接利用网格结合勾股定理得出答案. ②直接利用网格结合勾股定理得出答案． 试题解析：①如图①所示,即为所求. ②如图②所示,即为所求. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次根式的加减（5个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点2．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点3．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点4．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点5．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 题型强化 题型一．同类二次根式 1．（2024秋•乌当区期中）如果最简二次根式和是同类二次根式，那么，的值为　　 A．， B．， C．， D．， 2．（2024春•龙口市期末）最简二次根式与是同类二次根式，则 　　． 3．（2024春•高安市月考）小贤和小明同学玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放入四个小球，小球上分别标有一个数．现从容器中摸取小球，若摸到白色球，就加上球上的数；若摸到灰色球，就减去球上的数． （1）如图1，若小贤摸到如下两个小球，请计算出结果； （2）如图2，若小贤摸出全部的球，计算结果为，小明说的值能与合并．你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 题型二．二次根式的加减法 4．（2024秋•南召县期中）若，则和的值不可能是　　 A．， B．， C．， D．， 5．（2024春•自贡期末）化简：　　． 6．（2024秋•秦安县校级月考）已知实数，在数轴上如图所示，， （1）化简； （2）当，时，求的值． 题型三．二次根式的混合运算 7．（2024春•牟平区期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 8．（2024•武清区二模）计算的结果是 　　． 9．（2024春•新乡期末）计算： （1）； （2）． 题型四．二次根式的化简求值 10．（2023秋•常宁市期末）已知，，则的值为　　 A．20 B．16 C． D． 11．（2024秋•郫都区校级期中）若，则的值是 　　． 12．（2024秋•城关区校级期中）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，所以的整数部分是2，将减去其整数部分2，所得的差就是的小数部分．根据以上信息回答下列问题： （1）的整数部分是 　　，小数部分是 　　； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 题型五．二次根式的应用 13．（2024•广州模拟）我国南宋著名数学家秦九韶也提出了利用三角形三边长，，求三角形面积的“秦九韶公式”，即．已知在中，，，，则边上的高为　　 A． B． C． D． 14．（2024•湖南模拟）古希腊的几何学家海伦（约公元50年）在研究中发现：如果一个三角形的三边长分别为，，，那么三角形的面积与，，之间的关系式是，其中．若三角形的三边长分别为4，6，8，则该三角形的面积为　　． 15．（2024秋•惠来县校级月考）一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，表示物体的质量，单位是千克，表示物体的运动速度，单位是米秒．现一名运动员在匀速跑步，她的质量是60千克．若动能是1000焦耳，求该运动员的跑步速度（结果保留根号）． 分层练习 一、单选题 1．下列二次根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．计算的结果是（    ） A．7 B． C． D． 4．下列计算正确的是（ ） A．2×3=6 B．+= C．5﹣2=3 D．÷= 5．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．2、、15三个数的大小关系是（    ） A．2＜15＜ B．＜15＜2 C．2＜＜15 D．＜2＜15 8．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 9．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．下列与为同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．计算：|2﹣|﹣（﹣）2＝ ． 12．计算= ，= ． 13．化简的结果是 ． 14．若最简二次根式与可以合并，则a+b＝ ． 15．已知x=，则x2﹣x+1= ． 16．写出的一个有理化因式： . 17．二次根式相加减，先把各个二次根式分别化成 ，然后再将 分别合并． 有括号时，要先去括号． 18． ，的平方根为 ，的倒数为 ． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)． 20．观察下列各式： ①； ②； ③； … (1)观察①②③等式，那么第⑤个等式为 ； (2)根据上述规律，猜测写出＝ ，并加以证明． 21．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)截出的两块正方形木料的边长分别为 ， ； (2)求剩余木料的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中截出长为，宽为的长方形木条，最多能截出 块这样的木条． 22．小明家装修，电视背景墙长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的大理石图案（图中阴影部分）． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁布，若壁布造价为6元，大理石的造价为200元，则整个电视墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 23．安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及造成伤害．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式．（不考虑风速的影响，，单位：） (1)求从高空抛物到落地的时间； (2)若某玩具在高空被抛出后经过后落在地上．求玩具抛出前离地面的高度． 24．嘉淇有一根铁丝，他用这根铁丝围成了一个长方形，其中长方形的宽为，长是宽的4倍． (1)求这根铁丝的长度； (2)若嘉淇用这根铁丝首尾相接围成正方形，计算这个正方形的面积，并与长方形的面积进行比较，通过计算说明谁的面积大； (3)若嘉淇将这根铁丝分割后，组成一个长、宽、高的比为3：1：1的长方体框架，求这个长方体框架的体积． 25．某校有一块形状为正方形的绿地，其边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为米、宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道． (1)求通道的总面积； (2)若要在通道上铺设造价为8元/平方米的地砖，如果要铺完整个通道，那么购买地砖需要花费多少元（参考数据：）？ 26．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形； ①  使三角形的三边长分别为2，3，（在图①中画出一个既可）； ②使三角形为直角三角形且三边长均为无理数（在图②中画出一个既可），并标出你所画三角形的三边的长.                                       ①                                 ② 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