江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025学年高三上学期数学期末模拟试卷1

江苏省扬中市第二高级中学2024-2025第一学期高三数学期末模拟试卷1 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. 2．复数z满足（i为虚数单位），则的值为 （ ） A. B. 5 C. D. 3．在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是 （ ） A. B. C. D. 4．某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取份试卷进行分析，则应从分以下的试卷中应抽取 （        ） A．份 B．份 C．份 D．份 5．我国古代数学论著中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四，请问底层几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯 A． B． C． D． （ ） 6．已知是椭圆的左、右焦点，是上一点.过点作直线的垂线，过点作直线的垂线.若的交点在上(均在轴上方)，且，则的离心率为 (     ) A． B． C． D． 7．在三棱锥中，平面，，是线段上的动点，记直线与平面所成角为，若的最大值为，则三棱锥外接球的表面积为 （ ） A. B. C. D. 8．已知，若，，，则a，b，c的大小关系为 （ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9．某机构抽样调查一批零件的尺寸和质量，得到样本数据，并计算得该批零件尺寸和质量的平均值分别为3和60，方差分别为4和400，且.则（    ）（参考公式：相关系数.回归直战的方程是：，其中） A．样本数据的相关系数为 B．样本数据关于的经验回归方程为 C．样本数据所得回归直线的残差平方和为0 D．若数据均满足正态分布，则估计 10．函数，，的最小正周期为，且方程在上有两个不相等的实数根，则下列说法正确的是 （ ） A. B. 把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 C. D. 11．已知圆，圆，为坐标原点，动点在轴上，动点在圆上，线段的中点为.则下列选项正确的是 （ ） A. 的轨迹方程为 B. 过点作圆的一条切线，则切线长最短为2 C. 圆和圆有两条公切线 D. 的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为 ． 13．已知数列， 满足， ， ，则 ． 14．在中，内角所对的边分别为（）.已知，则的最大值是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．如图，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与直线的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 16．在锐角中，内角的对边分别为，且. （1）求角A的大小； （2）若，点是线段的中点，求线段长的取值范围． 17．4月19日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”，联合国将这天定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献，旨在庆祝多种语言以及文化多样性，促进联合国六种官方语言平等使用．某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，每位留学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记2分，答错一题记1分，已知甲留学生答对每个问题的概率为，答错的概率为． （1）甲留学生随机抽取题，记总得分为，求的分布列与数学期望； （2）（ⅰ）若甲留学生随机抽取道题，记总得分恰为分的概率为，求数列的前项和； （ⅱ）记甲留学生已答过的题累计得分恰为分的概率为，求数列的通项公式． 18．已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求的零点个数． （3）在区间上有两个零点，求m的范围？ 19．已知椭圆的离心率为，其长轴的左、右两个端点分别为，，短轴的上、下两个端点分别为、，四边形的面积为4. (1)求椭圆的方程； (2)P是椭圆上不同于，的一个动点. ①直线、与y轴分别交于两点，求证：为定值； ②直线、分别与直线交于，判断以线段为直径的圆是否经过定点并说明. 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省扬中市第二高级中学2024-2025第一学期高三数学期末模拟试卷1 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，集合，则 （ C ） A. B. C. D. 2．复数z满足（i为虚数单位），则的值为 （ D ） A. B. 5 C. D. 3．在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是 （ A ） A. B. C. D. 4．某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取份试卷进行分析，则应从分以下的试卷中应抽取 （    C   ） A．份 B．份 C．份 D．份 5．我国古代数学论著中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四，请问底层几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯 A． B． C． D． （ C ） 6．已知是椭圆的左、右焦点，是上一点.过点作直线的垂线，过点作直线的垂线.若的交点在上(均在轴上方)，且，则的离心率为 (  B   ) A． B． C． D． 【详解】  如图，设，，， 由题意可知，， 则直线的斜率，可知直线的方程为， 同理可得的方程为， 联立方程，解得，即， 因为在上，可知关于轴对称，且，则，可得， 又因为，即，所以，整理得，解得或(舍去)，则，所以椭圆的离心率为.故选：A. 7．在三棱锥中，平面，，是线段上的动点，记直线与平面所成角为，若的最大值为，则三棱锥外接球的表面积为 （ C ） A. B. C. D. 【详解】解：是线段上一动点，连接. 平面,就是直线与平面所成角.当最短时，即时直线与平面所成角的正切值最大.此时， 又，所以.在△中，. .在△中，.因为，由勾股定理得△是直角三角形且.把三棱锥扩充为长方体，则长方体的体对角线长为.所以三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为.故选：C 【点睛】本题考查推理论证和空间想象力，关键是通过构造长方体模型计算三棱锥外接球的半径，属于中档题. 8．已知，若，，，则a，b，c的大小关系为（ D ） A. B. C. D. 【详解】因为，定义域关于原点对称，，所以为上的偶函数， 当时,，设， 则，，， 所以即在上单调递减,所以, 所以在上单调递减,又因为为偶函数,所以在上单调递增， 又因为,, 又因为,因为,，所以, 所以，即,所以,所以,即.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题首先证明函数的奇偶性与单调性，对于其单调性的求解需要二次求导，其次就是利用函数的奇偶性对进行一定的变形得，,然后就是比较的大小关系，需要结合指数函数的单调性以及幂函数的单调性进行合理放缩，对于这种较为接近的数字比较大小问题，通常需要利用函数的单调性以及寻找合适的中间量放缩. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9．某机构抽样调查一批零件的尺寸和质量，得到样本数据，并计算得该批零件尺寸和质量的平均值分别为3和60，方差分别为4和400，且.则（  ABD  ）（参考公式：相关系数.回归直战的方程是：，其中） A．样本数据的相关系数为 B．样本数据关于的经验回归方程为 C．样本数据所得回归直线的残差平方和为0 D．若数据均满足正态分布，则估计 【详解】A. ， ，故A正确；B. 由A可知，， ，所以，故B正确； C.残差平方和表示随机误差的效应，一组数据的残差平方和越小，其拟合程度越好，不一定等于0，故C错误；D.由题意可知，，，， ，利用对称性可知，，故D正确.故选：ABD 10．函数，，的最小正周期为，且方程在上有两个不相等的实数根，则下列说法正确的是 （ BCD ） A. B. 把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则 C. D. 【详解】依题意，函数， 由的最小正周期为，得，解得，对于A，，A错误； 对于B，把图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得， 则，B正确； 对于C，当时，，而正弦函数在上的图象关于直线对称， 依题意，，解得，C正确； 对于D，由，得，解得， 由选项C知，，因此，D正确.故选：BCD 11．已知圆，圆，为坐标原点，动点在轴上，动点在圆上，线段的中点为.则下列选项正确的是 （ BCD ） A. 的轨迹方程为 B. 过点作圆的一条切线，则切线长最短为2 C. 圆和圆有两条公切线 D. 的最大值为 【详解】对于A，设点，又点为线段的中点，由，则， 又动点在圆上，则，即，即， 即的轨迹方程为，故A错误； 对于B，设点， 又圆，则圆心坐标为，半径， 则切线长为， 由函数的性质知，当时，切线长最短为，故B正确； 对于C，圆的圆心坐标为，半径， 圆，则圆心坐标为，半径， 又，， 则圆与圆相交，因此有两条公切线，故C正确； 对于D，由，则其几何意义可为定点与动点的构成的直线的斜率， 又动点在圆上，则也在圆上， 则问题转化为定点与圆上的任意一点的斜率的最大值， 由图知过点且与圆相切的直线的斜率存在， 设过点且与圆相切的直线为，即， 则到直线的距离，即，解得或， 结合图象知，斜率最大为，即的最大值为，故D正确；故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为 240或3840 ． 【详解】由于的展开式的二项式系数和为64，即， 解得n＝6．又由于的展开式系数和为729，令得，即， 解得或-4，的展开式的通项为，令， 解得，所以展开式的常数项为，故当时，，当时，． 故答案为：240或3840 13．已知数列， 满足， ， ，则 10. ． 14．在中，内角所对的边分别为（）.已知，则的最大值是____##______. 【详解】由，则由正弦定理可得，， 所以或，而，且，即， 所以，且，即， ， 令，则，所以， 当时，，则在上递增； 当时，，则在上递减； 所以.故答案为：.. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．如图，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与直线的夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 15．解：（1）在直三棱柱中，且， 则四边形为平行四边形， 所以，且， 因为、分别为、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 因平面，平面，因此，平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，则、、、， 所以，，， ， 所以，直线与直线的夹角的余弦值为. （3）易知，，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 且，所以，点到平面的距离为. 16．在锐角中，内角的对边分别为，且. （1）求角A的大小； （2）若，点是线段的中点，求线段长的取值范围． 16．解：（1）因为， 所以由正余弦定理得， 又， 所以，又是锐角三角形，所以， 所以，所以， 又，所以. （2）由余弦定理可得，即， 又， 所以， 又由正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 由题意得，解得，则， 所以，所以， 所以，所以线段长的取值范围为. 17．4月19日是中国传统二十四节气之一的“谷雨”，联合国将这天定为“联合国中文日”，以纪念“中华文字始祖”仓颉[jié]造字的贡献，旨在庆祝多种语言以及文化多样性，促进联合国六种官方语言平等使用．某大学面向在校留学生举办中文知识竞赛，每位留学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记2分，答错一题记1分，已知甲留学生答对每个问题的概率为，答错的概率为． （1）甲留学生随机抽取题，记总得分为，求的分布列与数学期望； （2）（ⅰ）若甲留学生随机抽取道题，记总得分恰为分的概率为，求数列的前项和； （ⅱ）记甲留学生已答过的题累计得分恰为分的概率为，求数列的通项公式． 17．解：（1）:依题意可得的可能取值为、、、， 则，， ，， 所以的分布列为 所以. （2）（ⅰ）若甲留学生随机抽取道题，总得分恰为分，即道题均答对了， 所以， 设数列的前项和为，则. （ⅱ）依题意可得，，， 当时， 所以， 所以为常数数列，又， 所以， 则，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 经检验当、上式也成立，所以. 18．已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求的零点个数． （3）在区间上有两个零点，求m的范围？ 18．解：（1）由题可得， 令，解得或， 令，解得， 令，解得或， 所以的单调减区间为；单调增区间为，. （2）因为的单调减区间为，单调增区间为，， 由于，则在上无零点； 由于，则在上无零点； 由于，则在上存在唯一零点； 综上，函数在上存在唯一零点. （3）若在区间上有两个零点， 则函数与在区间上有两个交点； 由(1)知，在上单调递增，上单调递减； ，，， 所以函数与在区间上有两个交点，则， 即在区间上有两个零点，则的范围为 19．已知椭圆的离心率为，其长轴的左、右两个端点分别为，，短轴的上、下两个端点分别为、，四边形的面积为4. (1)求椭圆的方程； (2)P是椭圆上不同于，的一个动点. ①直线、与y轴分别交于两点，求证：为定值； ②直线、分别与直线交于，判断以线段为直径的圆是否经过定点并说明. 19．解：（1）由题意可得，解得，所心椭圆的方程为； （2）①设，所以，则， 由（1）可得，， 则直线的方程为， 令，解得，则， 则直线的方程为， 令，解得，则， 所以， 所以为定值1； ②由①知直线的方程为， 令，得，则， 则直线的方程为， 令，解得，则， 又， 所以的中点， 又， 所以圆的半径为， 所以以线段为直径的圆的方程为， 令，得 ， 所以， 故以线段为直径的圆经过定点. 【点睛】关键点点睛：重点在于求得以线段为直径的圆，利用对称性可知令，可求定点坐标. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$