1.3 线段的垂直平分线 同步个性化分层作业2024-2025学年北师大版数学八年级下册

(中等生篇)1.3 线段的垂直平分线 一.选择题(共5小题) 1.如图,在 ABC中,作边AB的垂直平分线,交边BC于点D,连接AD.若BC=12,AB=10, ADC的周长为23,则 ABC的周长为( ) A.22 B.32 C.33 D.35 2.如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,AB的垂直平分线DE交BC于点D,交AB于点E,当∠B=30 时,图中不相等的线段有( ) A.AE和BE B.AD和BD C.CD和DE D.AE和BD 3.如图所示,在 ABC中,AC的垂直平分线交AC于E,交BC于D, ABC的周长是17,AC=5,则 ABD的周长为( ) A.12 B.17 C.22 D.27 4.如图,在 ABC中,AB=7,AC=9,BC=15,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D、E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F、G,则 AEG的周长为( ) A.15 B.9 C.16 D.31 5.游戏时,3名同学分别站在 ABC三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子,谁先坐到凳子上谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放置的最适当的位置是在 ABC的( ) A.三边垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三边中线的交点 D.三边上高的交点 二.填空题(共5小题) 6.如图,等腰 ABC的周长为13,底边BC=3,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,则 BEC的周长为 . 7.如图,在 ABC中,AC=10,BC=6,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,则 BCE的周长是 . 8.如图,AC垂直平分线段BD,若AB=2cm,CD=3cm,则四边形ABCD的周长为 . 9.已知: ABC中,AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E,连接AD、AE,若AD=6,AE=8,DE=3,则BC= . 10.如图,线段AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O,若∠BOC=86 ,则∠1= . 三.解答题(共5小题) 11.如图,在 ABC中,∠BAC>90 ,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点E,F,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点M,N,直线EF,MN交于点P. (1)求证:点P在线段BC的垂直平分线上; (2)已知∠FAN=56 ,求∠FPN的度数. 12.如图,在 ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于点M、N,直线MN与AC、BC分别相交于E和D,连接AD. (1)若∠B=110 ,∠BAD=20 ,求∠C的度数. (2)若AE=3cm, ABC的周长为13cm,求 ABD的周长. 13.如图,在 ABC中,D、E是BC上两点,且AB=BD,CA=CE,BF、CG分别平分∠ABC、∠ACB,BF、CG交于O点,求证:点O到 ADE的三个顶点的距离相等. 14.如图, ABC中,AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F,且AB=CE,作AD⊥BC交BC于点D. (1)若∠BAE=44 ,求∠C的度数. (2)若AC=7cm, ABC的周长为17cm,求DC的长. 15.求证:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. 请把下面的说理过程补充完整. 已知:如图,在 ABC中,分别作AB边、BC边的垂直平分线,两线相交于点P,分别交AB边、BC边于点E、F. 求证:AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P, 证明:连结PA、PC、PB. ∵点P是AB边垂直平线上的一点,∴PB= . 同理可得, .∴PA=PC=PB(等量代换). ∴点P是 边垂直平线上的一点 . ∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P. 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 答案 C D A A A 一.选择题(共5小题) 1.如图,在 ABC中,作边AB的垂直平分线,交边BC于点D,连接AD.若BC=12,AB=10, ADC的周长为23,则 ABC的周长为( ) A.22 B.32 C.33 D.35 【考点】线段垂直平分线的性质.版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线;推理能力. 【答案】C 【分析】根据中垂线的性质,得到AD=BD,由 ADC的周长可得AC+BC=23,再计算 ABC的周长即可. 【解答】解:∵AB的垂直平分线交边BC于点D, ∴AD=BD, ∵ ADC的周长为23,BC=12,AB=10, ∴ ADC的周长为AD+DC+AC=BD+DC+AC=AC+BC=23, ∴ ABC周长为AB+AC+BC=23+10=33, 故选:C. 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质,熟知线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等是解题的关键. 2.如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,AB的垂直平分线DE交BC于点D,交AB于点E,当∠B=30 时,图中不相等的线段有( ) A.AE和BE B.AD和BD C.CD和DE D.AE和BD 【考点】线段垂直平分线的性质;直角三角形的性质;垂线段最短;角平分线的性质.版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线;等腰三角形与直角三角形;推理能力. 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质推出AE=BE,AD=BD,由角平分线的性质得到DC=DE,由垂线段最短得到AE<AD,因此AE<BD, 【解答】解:∵DE垂直平分线AB, ∴AE=BE,AD=BD, 故A、B不符合题意; ∵DA=DB, ∴∠DAB=∠B=30 , ∵∠C=90 , ∴∠CAB=90 ﹣30 =60 , ∴∠CAD=∠CAB﹣∠DAB=30 , ∴∠CAD=∠DAB, ∴AD平分∠CAB, ∵DC⊥AC,DE⊥AB, ∴DC=DE, 故C不符合题意; ∵DE⊥AB, ∴AE<AD, ∵AD=BD, ∴AE<BD, 故D符合题意. 故选:D. 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质,角平分线的性质,直角三角形的性质,垂线段最短,关键是由线段垂直平分线的性质推出AE=BE,AD=BD,由角平分线的性质推出DC=DE. 3.如图所示,在 ABC中,AC的垂直平分线交AC于E,交BC于D, ABC的周长是17,AC=5,则 ABD的周长为( ) A.12 B.17 C.22 D.27 【考点】线段垂直平分线的性质.版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线;推理能力. 【答案】A 【分析】由题意易得AD=DC,然后问题可求解 【解答】解:∵DE是线段AC的垂直平分线, ABC的周长是17,AC=5, ∴AD=DC, ∴AB+BC=12, ∴ ABD的周长=AD+BD+AB=DC+BD+AB=AB+BC=12. 故选:A. 【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质,熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键. 4.如图,在 ABC中,AB=7,AC=9,BC=15,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D、E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F、G,则 AEG的周长为( ) A.15 B.9 C.16 D.31 【考点】线段垂直平分线的性质.版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线;推理能力. 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB,GA=GC,根据三角形的周长公式计算即可. 【解答】解:∵AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D、E, ∴EA=EB, ∵AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F、G,AB=7,AC=9,BC=15, ∴GA=GC, ∴ AEG的周长=AE+EG+GA=EB+EG+GC=BC=15, 故选:A. 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键. 5.游戏时,3名同学分别站在 ABC三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子,谁先坐到凳子上谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放置的最适当的位置是在 ABC的( ) A.三边垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三边中线的交点 D.三边上高的交点 【考点】线段垂直平分线的性质.版权所有 【专题】三角形;推理能力. 【答案】A 【分析】为使游戏公平,要使凳子到三个人的距离相等,于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知,要放在三边中垂线的交点上. 【解答】解:游戏时,3名同学分别站在 ABC三个顶点的位置上、要求在他们中间放一个凳子,谁先坐到凳子上谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放置的最适当的位置是在 ABC的三条垂直平分线的交点,此时这个点到三角形各顶点的距离相等, 故选:A. 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用,利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力,要注意培养.想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键. 二.填空题(共5小题) 6.如图,等腰 ABC的周长为13,底边BC=3,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,则 BEC的周长为 8 . 【考点】线段垂直平分线的性质.版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线;推理能力. 【答案】8. 【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得AE=BE,根据题目条件求出AC,再根据 BEC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC,求出结果即可. 【解答】解:∵ ABC是等腰三角形,且的周长为13,底边BC=3, ∴AB=AC, ∴2AC+BC=13,即2AC+3=13, ∴AC=5, ∵DE是AB的垂直平分线, ∴AE=BE, ∴ BEC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=5+3=8. 故答案为:8. 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质,利用性质将线段进行等量代换是解题的关键. 7.如图,在 ABC中,AC=10,BC=6,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,则 BCE的周长是 16 . 【考点】线段垂直平分线的性质.版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线;推理能力. 【答案】见试题解答内容 【分析】由线段垂直平分线的性质得出AE=BE,求得AE+CE=AC,求出 BCE的周长是BC+AC即可. 【解答】解:∵DE是线段AB的垂直平分线, ∴AE=BE, ∴AE+CE=AC, ∵AC=10,BC=6, ∴ BCE的周长为BC+BE+CE=BC+AC=10+6=16. 故答案为:16. 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质,能根据线段垂直平分线的性质求出AE+CE=AC是解答此题的关键. 8.如图,AC垂直平分线段BD,若AB=2cm,CD=3cm,则四边形ABCD的周长为 10cm . 【考点】线段垂直平分线的性质.版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线;推理能力. 【答案】10cm. 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD=AB=2cm,CB=CD=3cm,然后根据周长的定义计算即可. 【解答】解:∵AC垂直平分线段BD,AB=2cm,CD=3cm, ∴AD=AB=2cm,CB=CD=3cm, ∴四边形ABCD的周长=AB+AD+BC+CD=2+2+3+3=10cm. 故答案为:10cm. 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质,解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 9.已知: ABC中,AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E,连接AD、AE,若AD=6,AE=8,DE=3,则BC= 11或17 . 【考点】线段垂直平分线的性质.版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线;推理能力. 【答案】11或17. 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD,AE=CE,再根据BC=BD+DE+CE或者BC=BD﹣DE+CE,计算即可. 【解答】解:如图, ∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线, ∴BD=AD=6,CE=AE=8, ∴BC=BD+DE+CE=6+3+8=17; 如图, ∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线, ∴BD=AD=6,CE=AE=8, ∴BC=BD﹣DE+CE=6﹣3+8=11, ∴BC=11或17. 故答案为:11或17. 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质,关键是要分两种情况讨论,掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 10.如图,线段AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O,若∠BOC=86 ,则∠1= 43 . 【考点】线段垂直平分线的性质.版权所有 【专题】三角形;推理能力. 【答案】43 . 【分析】连接OA,根据线段垂直平分线的性质得到OA=OC,进而得到∠AOE∠AOC,同理得到∠AOD∠AOB,根据平角的定义计算,得到答案. 【解答】解:连接OA, ∵l2垂直平分AC, ∴OA=OC, ∴l2平分∠AOC,即∠AOE∠AOC, 同理可得:∠AOD∠AOB, ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360 ,∠BOC=86 , ∴∠AOB+∠AOC=360 ﹣86 =274 , ∴∠AOD+∠AOE(∠AOB+∠AOC)274 =137 , ∴∠1=180 ﹣(∠AOD+∠AOE)=180 ﹣137 =43 , 故答案为:43 . 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质,掌握垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等是解题的关键. 三.解答题(共5小题) 11.如图,在 ABC中,∠BAC>90 ,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点E,F,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点M,N,直线EF,MN交于点P. (1)求证:点P在线段BC的垂直平分线上; (2)已知∠FAN=56 ,求∠FPN的度数. 【考点】线段垂直平分线的性质.版权所有 【专题】三角形;推理能力. 【答案】(1)证明见解析; (2)62 . 【分析】(1)连接BP,AP,PC,根据线段垂直平分线的性质证明PB=PA=PC,从而证明结论即可; (2)先根据相等垂直平分线的性质证明FA=FB,NA=NC,∠AEP=∠AMP=∠BEF=∠CMN=90 ,再设∠B=x,∠C=y,然后根据三角形ABC的内角和是180 ,求出x+y,再根据直角三角形的性质求出∠BFE和∠CNM,再根据对顶角的性质求出∠PFN,∠PNF,最后利用三角形内角和定理求出答案即可. 【解答】(1)证明:如图所示:连接BP,AP,PC, ∵PE⊥AB,PM⊥AC, ∴PA=PB,PA=PC, ∴PB=PC, ∴点P在线段BC的垂直平分线上; (2)解:∵PE⊥AB,PM⊥AC, ∴FA=FB,NA=NC,∠AEP=∠AMP=∠BEF=∠CMN=90 , ∴∠B+∠BFE=∠C+∠MNC=90 , 设∠B=x,∠C=y, ∴∠B=∠BAF=x,∠C=∠CAN=y,∠BFE=90 ﹣x,∠MNC=90 ﹣y, ∴∠PFN=∠BFE=90 ﹣x,∠PNF=∠MNC=90 ﹣y, ∵∠B+∠C+∠CAB=180 ,∠FAN=56 ∴2x+2y+56 =180 , 2(x+y)=124 , x+y=62 , ∵∠PFN+∠PNF+∠FPN=180 , ∴90 ﹣x+90 ﹣y+∠FPN=180 , ∴∠FPN=180 ﹣180 +(x+y)=62 . 【点评】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质,解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和直角三角形的性质等. 12.如图,在 ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于点M、N,直线MN与AC、BC分别相交于E和D,连接AD. (1)若∠B=110 ,∠BAD=20 ,求∠C的度数. (2)若AE=3cm, ABC的周长为13cm,求 ABD的周长. 【考点】线段垂直平分线的性质;作图—基本作图.版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线;推理能力. 【答案】(1)25 ; (2)7cm. 【分析】(1)由作法得MN垂直平分AC,根据线段垂直平分线的性质可得AE=CE,DA=DC,从而得到∠C=∠CAD,再根据三角形的内角和定理以及外角的性质,即可求解; (2)根据 ABC的周长为13cm,可得AB+BD+DA=7,即可求解. 【解答】解:(1)由作法得MN垂直平分AC, ∴AE=CE,DA=DC, ∴∠C=∠CAD, ∵∠B=110 ,∠BAD=20 , ∴∠ADB=180 ﹣∠B﹣∠BAD=50 , 又∠ADB=∠C+∠CAD=2∠C, ∴∠C=25 ; (2)∵ ABC的周长为13cm,AE=3cm 即AB+BC+AC=13cm,AC=6cm, ∴AB+BD+DA+AC=13, 即AB+BD+DA=7, ∴ ABD的周长为7cm. 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质,尺规作图,熟知线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等是解题的关键. 13.如图,在 ABC中,D、E是BC上两点,且AB=BD,CA=CE,BF、CG分别平分∠ABC、∠ACB,BF、CG交于O点,求证:点O到 ADE的三个顶点的距离相等. 【考点】线段垂直平分线的性质.版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线;推理能力. 【答案】证明见解析. 【分析】连接OA、OD、OE,设AD与BF相交于点M,AE与CG相交于点N,由等腰三角形的性质可得BF是AD的垂直平分线,CG是AE的垂直平分线,进而可得OA=OD=OE,据此即可求证. 【解答】证明:如图,连接OA、OD、OE,设AD与BF相交于点M,AE与CG相交于点N, ∵AB=BD, ∴ ABD为等腰三角形, ∵BF平分∠ABC, ∴AM=DM,BF⊥AD, ∴BF是AD的垂直平分线, ∴OA=OD, 同理,∵CA=CE,CG平分∠ACB, ∴AN=EN,CN⊥AE, ∴OA=OE, ∴OA=OD=OE,即点O到 ADE的三个顶点的距离相等. 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质,根据题意作出辅助线是解题的关键. 14.如图, ABC中,AC的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F,且AB=CE,作AD⊥BC交BC于点D. (1)若∠BAE=44 ,求∠C的度数. (2)若AC=7cm, ABC的周长为17cm,求DC的长. 【考点】线段垂直平分线的性质.版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线;推理能力. 【答案】(1)34 ; (2)5cm. 【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质求出∠C=∠EAC,∠AEB=68 ,再根据三角形外角性质求解即可; (2)根据三角形周长定义求出AB+BC=10cm,根据等腰三角形的性质求出BD=DE,再根据线段的和差求解即可. 【解答】解:(1)∵EF是AC的垂直平分线, ∴AE=CE, ∴∠C=∠EAC, ∵AB=CE, ∴AB=AE, 又∵∠BAE=44 , ∴∠ABE=∠AEB(180 ﹣44 )=68 , ∵∠AEB=∠C+∠EAC, ∴∠C=34 ; (2)∵AC=7cm, ABC的周长为17cm, ∴AB+BC=17﹣7=10cm, ∵AB=AE,AD⊥BC, ∴BD=DE, ∵AB=CE, ∴AB+BD=DE+CE(AB+BC)=5cm, ∵DC=DE+CE, ∴DC=5cm. 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质,正确理解题意是解题的关键. 15.求证:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等. 请把下面的说理过程补充完整. 已知:如图,在 ABC中,分别作AB边、BC边的垂直平分线,两线相交于点P,分别交AB边、BC边于点E、F. 求证:AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P, PA=PC=PB 证明:连结PA、PC、PB. ∵点P是AB边垂直平线上的一点,∴PB= PA . 同理可得, PB=PC .∴PA=PC=PB(等量代换). ∴点P是 AC 边垂直平线上的一点 (到线段两个端点距离相等的点,在这条垂直平分线上) . ∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P. 【考点】线段垂直平分线的性质.版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线;推理能力. 【答案】PA=PC=PB;PA;PB=PC;AC;(到线段两个端点距离相等的点,在这条垂直平分线上). 【分析】先根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等求得PB=PA,PB=PC进而求得结论;然后再利用线段垂直平分线的判定方法即可确定边AC的垂直平分线经过点P. 【解答】解:求证:AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P,PA=PC=PB; 证明:∵点P是AB边垂直平线上的一点, ∴PB=PA, 同理可得,PB=PC. ∴PA=PC=PB(等量代换). ∴点P是AC边垂直平线上的一点(到线段两个端点距离相等的点,在这条垂直平分线上), ∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P. 故答案为:PA=PC=PB;PA;PB=PC;AC;(到线段两个端点距离相等的点,在这条垂直平分线上). 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质,熟知线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等是解题的关键. 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $$ （尖子生篇）1.3 线段的垂直平分线 一．选择题（共5小题） 1．如图在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A＝50°，则∠BPC＝（　　） A．100° B．95° C．90° D．50° 2．如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E、F为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于G、H两点，作直线GH，交EF于点O，连结AO，则线段AO为三角形的（　　） A．高线 B．中线 C．角平分线 D．都有可能 3．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝5cm，△ADC的周长为15cm，则△ABC的周长是（　　） A．20cm B．24cm C．25cm D．30cm 4．如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三边的垂直平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点 5．如图，△ABC中，∠A＝58°，点O是边AB、AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数为（　　） A．28° B．32° C．36° D．40° 二．填空题（共5小题） 6．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝　 　． 7．如图，在△ABC中，BC＝7cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，AC的长为13cm，则△BCE的周长等于 　 　cm． 8．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠B＝50°，则∠AOC＝　 　． 9．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与AB、BC交于点D，E，AC的垂直平分线FG分别与BC、AC交于点F、G，BC＝10，EF＝4，则△AEF的周长是 　 　． 10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，连接AF．若BC＝7，CF＝5，则DF的长为 　 　． 三．解答题（共5小题） 11．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E，MD，NE的延长线交于点O． （1）若BC＝12，求△ADE的周长； （2）试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由． 12．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E． （1）若AB＝29，求△CDE的周长； （2）若∠ACB＝129°，求∠DCE的度数． 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是AB上的一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于点F，求证：点E在AF的垂直平分线上． 14．如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D．连接DE． （1）若△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，求AB的长； （2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°． ①求∠EAC的度数； ②若DF＝3，求AD的长． 15．如图：在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）求证：AD⊥BC； （2）若∠B＝35°，求∠C的度数． 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 答案 A B C C B 一．选择题（共5小题） 1．如图在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A＝50°，则∠BPC＝（　　） A．100° B．95° C．90° D．50° 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】三角形；推理能力． 【答案】A 【分析】连接AP，延长BP交AC于D，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质证得∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP，根据三角形外角的性质即可求出∠BPC． 【解答】解：连接AP，延长BP交AC于D， ∴∠BPC＝∠PDC+∠ACP＝∠BAC+∠ABP+∠ACP， ∵点P是AB，AC的垂直平分线的交点， ∴PA＝PB＝PC， ∴∠ABP＝∠BAP，∠ACP＝∠CAP， ∴∠BPC＝∠BAC+∠BAP+∠CAP＝∠BAC+∠BAC＝2∠BAC＝2×50°＝100°， 故选：A． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 2．如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E、F为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于G、H两点，作直线GH，交EF于点O，连结AO，则线段AO为三角形的（　　） A．高线 B．中线 C．角平分线 D．都有可能 【考点】线段垂直平分线的性质；三角形的角平分线、中线和高．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】B 【分析】可知直线GH为线段EF的垂直平分线，即点O为线段EF的中点，据此即可求得答案． 【解答】解：根据线段垂直平分线的性质可知：直线GH为线段EF的垂直平分线，即点O为线段EF的中点，所以线段AO为三角形的中线． 故选：B． 【点评】本题主要考查线段的垂直平分线和三角形的中线，掌握其性质定理是解决此题的关键． 3．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝5cm，△ADC的周长为15cm，则△ABC的周长是（　　） A．20cm B．24cm C．25cm D．30cm 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DA，AB＝2AE，根据三角形的周长公式计算即可． 【解答】解：由线段的垂直平分线性质可知：DB＝DA，AB＝2AE＝10cm， ∵△ADC的周长为15cm， ∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝25cm， 故选：C． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 4．如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（　　） A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三边的垂直平分线的交点 D．△ABC三条高所在直线的交点 【考点】线段垂直平分线的性质；三角形的重心．版权所有 【专题】三角形；推理能力． 【答案】C 【分析】由中垂线的性质，即可求解． 【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等， ∴要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是△ABC三边的垂直平分线的交点， 故选：C． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等解答即可． 5．如图，△ABC中，∠A＝58°，点O是边AB、AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数为（　　） A．28° B．32° C．36° D．40° 【考点】线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】B 【分析】连接OA、OB，利用线段垂直平分线的性质结合等边对等角求得∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠5＝∠6，再利用三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：连接OA、OB， ∵点O是边AB、AC垂直平分线的交点， ∴OA＝OB，OA＝OC， ∴OA＝OB＝OC， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠5＝∠6， ∵∠A＝58°， ∴∠3+∠5+∠4+∠6＝180°﹣58°＝122°，∠1+∠2＝∠3+∠4＝∠BAC＝58°， ∴∠5+∠6＝122°﹣58°＝64°， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，关键是三角形内角和定理的应用． 二．填空题（共5小题） 6．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝　10°　． 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】三角形． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据线段的垂直平分线得出AD＝BD，AE＝CE，推出∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，求出∠BAD+∠CAE的度数即可得到答案． 【解答】解：∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE， ∵∠B＝40°，∠C＝45°， ∴∠B+∠C＝85°，∠BAC＝95°， ∴∠BAD+∠CAE＝85°， ∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝95°﹣85°＝10°， 故答案为：10° 【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段的垂直平分线等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键． 7．如图，在△ABC中，BC＝7cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，AC的长为13cm，则△BCE的周长等于 　20　cm． 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】由AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝BE，继而可得△BCE的周长＝BC+AC． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∵BC＝7cm，AC的长为13cm， ∴△BCE的周长＝BC+CE+BE＝BC+CE+AE＝BC+AC＝20cm． 故答案为：20． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．解题的关键是注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 8．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠B＝50°，则∠AOC＝　100°　． 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观；推理能力． 【答案】100°． 【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：如图，连接OB， ∵OD垂直平分AB， ∴OA＝OB， ∴∠ABO＝∠A， ∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO， ∵OE垂直平分BC， ∴OC＝OB， ∴∠CBO＝∠C， ∴∠COB＝180°﹣2∠CBO， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC＝360°， ∴∠AOC＝360°﹣（180°﹣2∠CBO+180°﹣2∠ABO）＝2（∠CBO+∠ABO）＝2∠ABC＝2×50°＝100°， 故答案为：100°． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 9．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与AB、BC交于点D，E，AC的垂直平分线FG分别与BC、AC交于点F、G，BC＝10，EF＝4，则△AEF的周长是 　18　． 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】18． 【分析】由线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，FA＝FC，根据三角形的周长公式计算即可得到答案． 【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∵FG是线段AC的垂直平分线， ∴FA＝FC， ∵BC＝10，EF＝4， ∴△AEF的周长＝FA+EF+EA＝EB+EF+FC＝BC+EF+EF＝18， 故答案为：18． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延长线于点F，连接AF．若BC＝7，CF＝5，则DF的长为 　　． 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】． 【分析】先由线段垂直平分线的性质得到AF＝DF，则∠ADF＝∠DAF，再由角平分线的定义和三角形外角的性质证明∠CAF＝∠B，则可证明△CAF∽△ABF，利用相似三角形的性质列出比例式求出AF的长即可得到答案． 【解答】解：∵EF垂直平分AD， ∴DF＝AF， ∴∠DAF＝∠ADF， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵∠DAF＝∠CAF+∠CAD，∠ADF＝∠B+∠BAD， ∴∠CAF＝∠B， ∵∠BFA＝∠AFB， ∴△CAF∽△ABF， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的性质与判定，等边对等角，掌握其性质定理是解决此题的关键． 三．解答题（共5小题） 11．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E，MD，NE的延长线交于点O． （1）若BC＝12，求△ADE的周长； （2）试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由． 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）12； （2）点O在BC的垂直平分线上，理由见解析． 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出AD＝BD，AE＝CE，再根据BC＝12，求出△ADE的周长即可； （2）连接AO，BO，CO，证明OB＝OC即可． 【解答】解：（1）∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝12 ∴△ADE的周长为12； （2）点O在BC的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接AO，BO，CO， ∵OM，ON分别是AB，AC的垂直平分线， ∴OA＝OB，OA＝OC， ∴OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上． 【点评】本题考查了垂直平分线的性质与判定，解题关键是熟练运用垂直平分线的性质与判定进行推理证明与计算． 12．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E． （1）若AB＝29，求△CDE的周长； （2）若∠ACB＝129°，求∠DCE的度数． 【考点】线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】（1）29； （2）78°． 【分析】（1）根据中垂线的性质，推出△CDE的周长等于AB即可； （2）三角形的内角和定理求出∠A+∠B的度数，等边对等角，求出∠ACD+∠BCE的度数，再利用角的和差关系，求出∠DCE的度数即可． 【解答】解：（1）∵直线l与m分别是边AC和BC的垂直平分线， ∴AD＝CD，CE＝BE， ∴CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝29， ∴△CDE的周长为29； （2）∵∠ACB＝129°， ∴∠A+∠B＝180°﹣129°＝51°， ∵AD＝CD，CE＝BE， ∴∠ACD＝∠A，∠BCE＝∠B， ∴∠ACD+∠BCE＝∠A+∠B＝51°， ∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝129°﹣51°＝78°． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是AB上的一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于点F，求证：点E在AF的垂直平分线上． 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BE＝DE，根据等腰三角形的性质得到∠BEG＝∠DEG，根据平行线的性质得到∠BEG＝∠BAC，∠DEG＝∠AFE，等量代换得到∠EAF＝∠AFE，根据得到结论． 【解答】解：∵EG垂直平分BD， ∴BE＝DE， ∴∠BEG＝∠DEG， ∵∠ACB＝90°， ∴EG∥AC， ∴∠BEG＝∠BAC，∠DEG＝∠AFE， ∴∠EAF＝∠AFE， ∴AE＝EF， ∴点E在AF的垂直平分线上． 【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质平行线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 14．如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D．连接DE． （1）若△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，求AB的长； （2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°． ①求∠EAC的度数； ②若DF＝3，求AD的长． 【考点】线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）AB＝6； （2）30°； （3）6． 【分析】（1）先证明AB＝BE，AD＝DE，结合△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，可得AB+BE＝19﹣7＝12，从而可得答案； （2）先求解∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，然后利用等边对等角和三角形内角和定理得到∠BAE＝∠BEA（180°﹣∠ABC）＝75°，进而求解即可； （3）利用由30度角的直角三角形的特征进行计算即可． 【解答】解：（1）由题意可得：AB＝BE，AD＝DE， ∴AB+BE+CE+CD+AD＝19，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝7， ∴AB+BE＝19﹣7＝12， ∴AB＝BE＝6； （2）∵∠ABC＝30°，∠C＝45°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°， ∵AB＝BE， ∴， ∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝30°； （3）∵∠EAC＝30°，∠AFD是直角， ∴AD＝2DF＝6． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，掌握以上基础知识是解本题的关键． 15．如图：在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）求证：AD⊥BC； （2）若∠B＝35°，求∠C的度数． 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】（1）见解析； （2）∠C＝70°． 【分析】（1）连接AE，利用线段垂直平分线的性质证得AE＝BE，再根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论； （2）由三角形的外角的性质可得∠AEC＝2∠B，进而得到∠C． 【解答】（1）证明：连接AE， ∵AB的垂直平分线EF交BC于点E， ∴BE＝AE， ∵AC＝BE， ∴AC＝AE， ∵D为线段CE的中点， ∴AD⊥BC． （2）解：∵BE＝AE， ∴∠B＝∠BAE＝35°， ∴∠AEC＝2∠B＝70°， ∵AE＝AC， ∴∠C＝∠AEC＝2∠B＝70°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ （学困生篇）1.3 线段的垂直平分线 一．选择题（共5小题） 1．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝74°，则∠NAE的度数为（　　） A．30° B．32° C．36° D．37° 2．如图，在△ABC中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接MN，分别与边AB，BC相交于点D，E．若AC＝5，△AEC的周长为17，则BC的长为（　　） A．7 B．10 C．12 D．17 3．如图，在△ABC中，AB＝2.5，AC＝6，CB＝6.5，EF垂直平分AC，点P为直线EF上的任一点则△ABP周长的最小值是（　　） A．8.5 B．9 C．12 D．12.5 4．两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（　　） A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上 5．如图，Rt△ABC的斜边AB的垂直平分线MN与AC交于点M，∠A＝15°，BM＝2，则△AMB的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．5 二．填空题（共5小题） 6．如图，∠BAC＝120°．若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是　 　． 7．如图，△ABC中，DE垂直平分BC，若AB＝8，AC＝10，则△ABD的周长是 　 　． 8．如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC的长为 　 　． 9．如图，点G在∠AOB内，点M，N分别是点G关于OA，OB的对称点，且MN分别交OA，OB于点E，F，若MN＝20，则△GEF的周长＝ 　 　． 10．如图，在△ABC中，∠A＝80°，点D是BC上一点，BD，CD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F，则∠EDF＝　 　度． 三．解答题（共5小题） 11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝20°，求∠C的度数． 12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AC的垂直平分线交DC于点E，且BD＝DE．求证：AB+BD＝DC． 13．如图，在△ABC中，∠A＝50°，DE垂直平分BC，∠ABC的角平分线BF交DE于△ABC内一点P，连接PC．若∠ACP＝28°，求∠ABP的度数． 14．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，BE是AD的垂直平分线，交AD于点F． （1）若AB＝9，△CDE的周长为11，求△ABC的周长； （2）若∠ABC＝34°，∠C＝50°，求∠CAD的度数． 15．已知△ABC，∠C＝90°，D是AB中点，过点D作DE⊥AB交BC于点E．若AC＝4，CE＝2，求BC的长． 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 答案 B C B A A 一．选择题（共5小题） 1．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝74°，则∠NAE的度数为（　　） A．30° B．32° C．36° D．37° 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理可求∠B+∠C，根据垂直平分线性质，EA＝EB，NA＝NC，则∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，从而可得∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠EAN＝∠B+∠C﹣∠EAN，即可得到∠EAN＝∠B+∠C﹣∠BAC，即可得解． 【解答】解：∵∠BAC＝74°， ∴∠B+∠C＝180°﹣74°＝106°， ∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N， ∴EA＝EB，NA＝NC， ∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C， ∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠NAE＝∠B+∠C﹣∠NAE， ∴∠NAE＝∠B+∠C﹣∠BAC＝106°﹣74°＝32°． 故选：B． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角的和差关系，能得到求∠EAN的关系式是关键． 2．如图，在△ABC中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接MN，分别与边AB，BC相交于点D，E．若AC＝5，△AEC的周长为17，则BC的长为（　　） A．7 B．10 C．12 D．17 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力． 【答案】C 【分析】由题意可得MN是线段AB的垂直平分线，根据其性质可得AE＝BE，再结合已知条件求得AE+CE＝17﹣5＝12，继而求得BC的长度． 【解答】解：由题意可得MN是线段AB的垂直平分线， 则AE＝BE， ∵△AEC的周长为17， ∴AC+AE+CE＝17， ∵AC＝5， ∴AE+CE＝17﹣5＝12， ∵AE＝BE， ∴BE+CE＝17﹣5＝12， 即BC＝12， 故选：C． 【点评】本题考查线段的垂直平分线，熟练掌握其性质是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，AB＝2.5，AC＝6，CB＝6.5，EF垂直平分AC，点P为直线EF上的任一点则△ABP周长的最小值是（　　） A．8.5 B．9 C．12 D．12.5 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】B 【分析】设EF交BC于点D，连接AD，CP，根据垂直平分线的性质得出DA＝DC，PA＝PC，当P点与D点重合时，△APB的周长最小，据此即可求解． 【解答】解：如图所示，设EF交BC于点D，连接AD，CP， ∵EF垂直平分AC， ∴DA＝DC，PA＝PC， ∵△APB的周长为AB+AP+BP＝AB+BP+PC≥AB+BC， 当P点与D点重合时，△APB的周长最小，最小值为AB+BC＝9， 故选：B． 【点评】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 4．两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（　　） A．∠A的平分线上 B．AC边的高上 C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】A 【分析】作射线AM，根据角平分线的判定定理得到AM平分∠BAC，得到答案． 【解答】解：作射线AM， 由题意得，MG＝MH，MG⊥AB，MH⊥AC， ∴AM平分∠BAC， 故选：A． 【点评】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等在角平分线上是解题的关键． 5．如图，Rt△ABC的斜边AB的垂直平分线MN与AC交于点M，∠A＝15°，BM＝2，则△AMB的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．5 【考点】线段垂直平分线的性质；三角形的面积．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】A 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AM＝BM，∠ABM＝∠A＝15°，再根据三角形外角的性质求出∠BMC的度数，根据含30°角的直角三角形的性质求出BC的长，根据三角形的面积公式进而可得出结论． 【解答】解：∵Rt△ABC的斜边AB的垂直平分线MN与AC交于点M，∠A＝15°，BM＝2， ∴AM＝BM＝2，∠ABM＝∠A＝15°， ∴∠BMC＝∠A+∠ABM＝30°， ∴BCBM2＝1， ∴S△AMBAM•BC2×1＝1． 故选：A． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 二．填空题（共5小题） 6．如图，∠BAC＝120°．若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是　60°　． 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力． 【答案】60°． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠B+∠C的度数，根据线段垂直平分线的性质得到BP＝AP，AQ＝AC，得到∠B＝∠PAB，∠C＝∠QAC，计算即可得到答案． 【解答】解：∵∠BAC＝120°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝60°， ∵BP＝AP，AQ＝AC， ∴∠B＝∠PAB，∠C＝∠QAC， ∴∠PAB+∠QAC＝∠B+∠C＝60°， ∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠QAC）＝120°﹣60°＝60°． 故答案为：60°． 【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 7．如图，△ABC中，DE垂直平分BC，若AB＝8，AC＝10，则△ABD的周长是 　18　． 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】18． 【分析】由线段垂直平分线的性质推出CD＝BD，得到△ABD的周长＝AB+AC＝8+10＝18． 【解答】解：∵DE垂直平分BC， ∴CD＝BD， ∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+CD＝AB+AC＝8+10＝18． 故答案为：18． 【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出CD＝BD． 8．如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC的长为 　5　． 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】5． 【分析】根据三角形的周长公式求出AB+BC，根据线段垂直平分线的性质可得EA＝EC，由等腰三角形的性质可得BD＝DE，结合图形，进行计算即可得到答案． 【解答】解：∵△ABC的周长为16， ∴AC+AB+BC＝16， ∵AC＝6， ∴AB+BC＝10， ∵EF垂直平分AC， ∴EA＝EC， ∵AD⊥BC，AB＝AE， ∴BD＝DE，AB＝AE＝CE， ∴AB+BC＝AB+BE+CE＝CE+2DE+CE＝2CD+2DE＝2（CE+DE）＝2CD＝10， ∴CD＝5， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质是解题的关键． 9．如图，点G在∠AOB内，点M，N分别是点G关于OA，OB的对称点，且MN分别交OA，OB于点E，F，若MN＝20，则△GEF的周长＝ 　20　． 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】20． 【分析】根据垂直平分线得到EG＝EM，FG＝FN，结合三角形周长公式求解即可得到答案． 【解答】解：∵点M，N分别是点G关于OA，OB的对称点， ∴EG＝EM，FG＝FN， ∴C△GEF＝EG+FG+EF＝ME+FN+EF＝MN＝20， 故答案为：20． 【点评】本题考查垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 10．如图，在△ABC中，∠A＝80°，点D是BC上一点，BD，CD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F，则∠EDF＝　80　度． 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】80． 【分析】先根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝ED，FD＝FC，则根据等腰三角形的性质得到∠EDB＝∠B，∠FDC＝∠C，然后利用平角的定义得∠EDF＝180°﹣（∠EDB+∠FDC），利用三角形内角和定理得到∠A＝180°﹣（∠B+∠C），所以∠EDF＝∠A． 【解答】解：∵BD、CD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F， ∴EB＝ED，FD＝FC， ∴∠EDB＝∠B，∠FDC＝∠C， ∴∠EDB+∠FDC＝∠B+∠C， ∵∠EDF＝180°﹣（∠EDB+∠FDC），∠A＝180°﹣（∠B+∠C）， ∴∠EDF＝∠A＝80°． 故答案为：80． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质． 三．解答题（共5小题） 11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE＝20°，求∠C的度数． 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】几何图形． 【答案】见试题解答内容 【分析】由线段垂直平分线的性质可求得∠EAC＝∠C，再结合三角形内角和定理可求得∠C； 【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∴∠C＝∠EAC， ∴∠CAB＝∠EAC+20°＝∠C+20°， ∵∠C+∠CAB＝90°， ∴2∠C+20°＝90°， ∴∠C＝35°； 【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AC的垂直平分线交DC于点E，且BD＝DE．求证：AB+BD＝DC． 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据线段垂直平分线性质得出AE＝CE，根据线段垂直平分线的判定与性质推出AB＝AE，根据线段的和差求解即可． 【解答】证明：如图，连接AE， ∵AC的垂直平分线交DC于点E， ∴AE＝CE， ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AD垂直平分BE， ∴AB＝AE， ∴AB＝CE， ∵CD＝DE+CE， ∴AB+BD＝DC． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的判定与性质，熟记线段垂直平分线的判定与性质是解题的关键． 13．如图，在△ABC中，∠A＝50°，DE垂直平分BC，∠ABC的角平分线BF交DE于△ABC内一点P，连接PC．若∠ACP＝28°，求∠ABP的度数． 【考点】线段垂直平分线的性质；角平分线的定义．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】34°． 【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得∠PBC＝∠PCB，根据角平分线的定义，可得∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，最后根据三角形内角和定理，即可得到∠ABP的度数． 【解答】解：∵DE垂直平分BC， ∴PB＝PC， ∴∠PBC＝∠PCB， ∵BP平分∠ABC， ∴∠PBC＝∠ABP， ∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP， ∵∠A＝50°，∠ACP＝28°， ∴∠PBC+∠PCB+∠ABP＝180°﹣50°﹣28°＝102°， ∴3∠ABP＝102°， ∴∠ABP＝34°． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的运用，解题时注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 14．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，BE是AD的垂直平分线，交AD于点F． （1）若AB＝9，△CDE的周长为11，求△ABC的周长； （2）若∠ABC＝34°，∠C＝50°，求∠CAD的度数． 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】（1）29； （2）23°． 【分析】（1）结合线段垂直平分线的性质及三角形周长定义求解即可； （2）结合三角形内角和定理、等腰三角形的性质，根据角的和差求解即可． 【解答】解：（1）∵BE是AD的垂直平分线，AB＝9， ∴AB＝DB＝9，AE＝DE， ∵△CDE的周长为11， ∴CD+DE+CE＝CD+AE+CE＝CD+AC＝11， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+DB+CD+AC＝9+9+11＝29； （2）∵∠ABC＝34°，∠C＝50°， ∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝96°， ∵AB＝DB， ∴∠BAD（180°﹣∠ABC）（180°﹣34°）＝73°， ∴∠CAD＝∠CAB﹣∠BAD＝23°． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 15．已知△ABC，∠C＝90°，D是AB中点，过点D作DE⊥AB交BC于点E．若AC＝4，CE＝2，求BC的长． 【考点】线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【答案】2+2． 【分析】根据勾股定理求出AE＝2，根据线段的判定与性质求出AE＝BE＝2，再根据线段的和差求解即可． 【解答】解：如图，连接AE， ∵∠C＝90°，AC＝4，CE＝2， ∴AE2， ∵D是AB中点，DE⊥AB， ∴DE垂直平分AB， ∴AE＝BE＝2， ∴BC＝CE+BE＝2+2． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$