专题04 二次根式（分层训练）-2025年中考数学一轮总复习重难考点强化训练（全国通用）

专题04 二次根式（分层训练） 【基础训练】 一、单选题 1．下列计算中，正确的是(　　) A．＝±3 B．(﹣1)0＝1 C．|a|﹣a＝0 D．4a﹣a＝3 2．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若可以合并为一项，则可以是(    ) A．9 B．18 C．27 D．54 4．下列各式中，一定是二次根式的有（     ） ①      ②       ③     ④          ⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．要使式子有意义，则x的取值范围是（    ） A．x≥4 B．x≠4 C．x＜4 D．x＞4 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则的值等于（    ） A．0 B．4 C． D．16 8．在函数中，自变量的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 9．观察式子：，；，；，．由此猜想．上述探究过程蕴含的思想方法是（    ） A．特殊与一般 B．整体 C．转化 D．分类讨论 10．下列各式中计算正确的有（    ） ① +5= ；②5-=4；③3-=；④=+ A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②④ 11．要使二次根式有意义，则x可取的值是（   ） A．2 B．4 C．0 D． 12．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 13．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 14．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（　　） A．-15 B． a+12 C．2a-15 D．无法确定 15．代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 二、填空题 16．若式子在实数范围内有意义，则x应满足的条件是 ． 17．若矩形的长为，宽为，则长方形的面积为 ． 18．如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点，连接AE，过点B作于点F，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 19．计算下列各小题． （1）﹣8的立方根是 ； （2）＝ ． 20．函数的自变量的取值范围是 ． 21．计算：（）2＝ ． 22．当时，代数式的值为 ． 23． ． 24．如果与同时有意义，那么 ． 25． . 三、解答题 26．（1）问题再现 学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是　　　； （2）应用 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是　　　； （3）类比迁移 已知a，b均为正数，且，求的最大值． 27．计算： 28．计算或化简： (1)； (2)如图，实数a、b在数轴上的位置，化简 ： 29．计算： (1) (2) (3) (4) 30．定义：若（m+2）2＝n，则称m是n的“伴生数”．设m＝，n＝，判断m是不是n的“伴生数”，并说明理由． 31．计算：（1） ；（2） 32．计算： (1) (2) 33．观察下列等式： ①； ②； ③．…… 回答下列问题： (1)利用你观察到的规律，化简：__________； (2)计算：． 34．化简： (1)； (2)． 35．计算与解方程： （1）；     （2）（，） （3）；     （4）． 【能力提升】 36．阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 37．已知，为两个正实数，，，即：，当且仅当“”时，等号成立．我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．示例：当时，求的最小值； 解：，当，即时，的最小值为3． (1)探究：当时，求的最小值； (2)知识迁移：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养，维修费用总和为万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用所有费用：年数）？最少年平均费用为多少万元？ (3)创新应用：如图，在直角坐标系中，直线经点，与坐标轴正半轴相交于，两点，当的面积最小时，求直线的表达式．    38．【阅读下列材料】： 若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．） 【例】：若，，，求的最小值． 解：∵，，    ∴， ∴． ∴时，的最小值为8． 【解决问题】 (1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (2)用一段长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少； (3)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值． 39．(1)已知|2016－x|＋＝x，求x－20172的值； (2)已知a>0，b>0且 (＋)＝3 (＋5)，求的值. 40．发现问题 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽． 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示． 小明设计了如下三种铲籽方案． 方案1：图1是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案2：图2是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案3：图3是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长． 解决问题 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次根式（分层训练） 【基础训练】 一、单选题 1．下列计算中，正确的是(　　) A．＝±3 B．(﹣1)0＝1 C．|a|﹣a＝0 D．4a﹣a＝3 【答案】B 【分析】直接利用算术平方根的定义以及绝对值的性质、合并同类项法则分别化简得出答案． 【详解】A、＝3，故此选项错误； B、(﹣1)0＝1，正确； C、|a|﹣a＝0(a≥0)，故此选项错误； D、4a﹣a＝3a，故此选项错误； 故选B． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义以及绝对值的性质、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． 2．下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】根据二次根式的性质和二次根式的混合运算计算即可得出答案． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误，不符合题意； B、，此选项错误，不符合题意； C、，此选项正确，符合题意； D、，此选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． 3．若可以合并为一项，则可以是(    ) A．9 B．18 C．27 D．54 【答案】B 【知识点】同类二次根式 【分析】根据同类二次根式进行逐项分析即可． 【详解】解：∵可以合并为一项， ∴与是同类二次根式， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故选：B． 【点睛】本题考查同类二次根式的定义，解题关键是理解能够合并成一项，即化简后它们的被开方数相同． 4．下列各式中，一定是二次根式的有（     ） ①      ②       ③     ④          ⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式的定义作判断：式子 （a≥0）叫做二次根式． 【详解】解：①是二次根式；②不是二次根式；③，∵a2≥0，∴a2+1＞0，故是二次根式；④是二次根式；⑤ 不是二次根式. 故选B. 【点睛】本题主要考查的是二次根式的定义，掌握二次根式的定义是解题的关键． 5．要使式子有意义，则x的取值范围是（    ） A．x≥4 B．x≠4 C．x＜4 D．x＞4 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】根据二次根式有意义的条件求解． 【详解】解：∵式子有意义， ∴x﹣4≥0， ∴x≥4． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是利用被开方数是非负数得出不等式． 6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的乘法、负整数指数幂、幂的乘方运算、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查算术平方根，幂的乘方，负整数指数幂，二次根数的乘法运算，根据相应法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误； B、，原选项计算正确； C、，原选项计算错误； D、，原选项计算错误； 故选：B． 7．已知，，则的值等于（    ） A．0 B．4 C． D．16 【答案】D 【知识点】已知字母的值，化简求值、完全平方公式分解因式 【分析】先根据完全平方公式分解因式，然后再代入数据进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分解因式的应用和实数混合运算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． 8．在函数中，自变量的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件列式求解即可． 【详解】解：根据题意得：且 解得，，且 故选：A 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围：自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义． 9．观察式子：，；，；，．由此猜想．上述探究过程蕴含的思想方法是（    ） A．特殊与一般 B．整体 C．转化 D．分类讨论 【答案】A 【知识点】二次根式的乘法、数字类规律探索 【分析】观察题意，确定出蕴含的数学思想方法即可． 【详解】解：观察式子：，；，；， ．上述探究过程蕴含的思想方法是特殊与一般． 故选A． 【点睛】此题考查了二次根式的乘除法，以及数学思想方法，弄清各种数学思想方法适用的范围是解本题的关键． 10．下列各式中计算正确的有（    ） ① +5= ；②5-=4；③3-=；④=+ A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【知识点】二次根式的加减运算 【分析】根据二次根式的加减运算法则分别计算，再判断． 【详解】解：①，计算正确； ②，计算正确； ③，计算正确； ④ ，计算错误； 正确的是①②③， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变． 11．要使二次根式有意义，则x可取的值是（   ） A．2 B．4 C．0 D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是根据二次根式的被开方数为非负数，求出． 根据二次根式有意义的条件进行解答即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ， 解得：， ∴可取的数为4，故B正确． 故选：B． 12．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断、利用二次根式的性质化简 【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含有分母，不是最简二次根式； B、是最简二次根式； C、，被开方数中含有分母，不是最简二次根式； D、，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，理解最简二次根式的定义是解题的关键．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 13．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】A 【知识点】二次根式的混合运算、无理数的大小估算 【分析】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的估值． 先根据二次根式的混合运算求出式子的值，再进行估值即可解答． 【详解】解： ∵ ∴的值在2和3之间 故答案为：A 14．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（　　） A．-15 B． a+12 C．2a-15 D．无法确定 【答案】B 【分析】原式利用二次根式的性质化简，再利用绝对值的代数意义计算即可得到结果． 【详解】∵5＜a＜10， ∴2a-3＞0，a-15＜0， 则原式=|2a-3|+|a-15|=2a-3+15-a=a+12． 故选B. 【点睛】此题考查二次根式的性质与化简，以及绝对值的代数意义，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 15．代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于0，分母不等于0，可得：，，解不等式就可以求解． 【详解】代数式有意义， ，， 解得：且． 故选 C． 【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，关键是掌握：①分式有意义，分母不为0；②二次根式的被开方数是非负数． 二、填空题 16．若式子在实数范围内有意义，则x应满足的条件是 ． 【答案】x≥5． 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：若式子在实数范围内有意义，则x﹣5≥0， 解得：x≥5． 故答案为：x≥5． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件以及绝对值的性质，解题关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 17．若矩形的长为，宽为，则长方形的面积为 ． 【答案】2 【知识点】二次根式的乘法 【分析】根据长方形的面积公式和平方差公式计算即可． 【详解】解：矩形的长为，宽为，长方形的面积为 （） 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，解题关键是熟练运用平方差公式进行计算． 18．如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点，连接AE，过点B作于点F，若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求面积、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、二次根式的应用 【分析】先根据正方形的性质可得，再在中，根据含角的直角三角形的性质、勾股定理可得，然后在中，根据含角的直角三角形的性质、勾股定理可得，最后根据图中阴影部分的面积等于即可得． 【详解】解：四边形是正方形，， ， ， ， 设，则， ， 解得， 即， 又， ， ， ， ， 则图中阴影部分的面积为 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、二次根式的乘法的应用，熟练掌握正方形的性质和含角的直角三角形的性质是解题关键． 19．计算下列各小题． （1）﹣8的立方根是 ； （2）＝ ． 【答案】 -2 【知识点】二次根式的加减运算、求一个数的立方根 【分析】(1)根据立方根的定义及求法，即可求得； (2)首先化简二次根式，再合并即可求得． 【详解】解：(1) ∵(-2)3=-8, ∴-8的立方根是-2； 故答案为：-2； (2) 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一个数的立方根，二次根式的减法运算，熟练掌握和运用二次根式的运算是解决本题的关键． 20．函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求自变量的取值范围、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数． 21．计算：（）2＝ ． 【答案】7 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】直接根据二次根式的性质求解即可得到答案． 【详解】解：（）2＝7， 故答案为：7． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，熟记是解答此题的关键． 22．当时，代数式的值为 ． 【答案】/ 【知识点】已知字母的值，化简求值、二次根式的混合运算 【分析】将代入计算即可． 【详解】解：当时， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 23． ． 【答案】 【分析】先将每个二次根式化简，再合并同类二次根式即可. 【详解】 ， 故答案为：. 【点睛】此题考查二次根式的减法法则，正确化简二次根式是解题的关键. 24．如果与同时有意义，那么 ． 【答案】0 【知识点】求不等式组的解集、二次根式有意义的条件 【分析】题目主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件列出不等式是解题关键． 【详解】解：∵与同时有意义， ∴，， ∴， 故答案为：0． 25． . 【答案】0 【知识点】负整数指数幂、二次根式的混合运算 【分析】先计算和的值再计算，计算顺序，先算乘方和开方，再算加减. 【详解】 【点睛】本题算术平方根和负指数幂的求法，掌握，是解答本题的关键. 三、解答题 26．（1）问题再现 学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是　　　； （2）应用 如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是　　　； （3）类比迁移 已知a，b均为正数，且，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】二次根式的应用、用勾股定理解三角形、矩形性质理解 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段和最值问题、矩形的性质，三角形三边关系的应用，解题的关键在于能够准确读懂题意，利用勾股定理求解． （1）利用题目中的构图，推出的最小值是的长，再利用勾股定理求出即可； （2）设，则，由勾股定理，得，，则，再仿照（1）的构图和求解方法解答即可； （3）构造矩形中，C是的中点，于C，，，，，求得，，则，应为，所以的最大值为，过点D作于点G，在中，利用勾股定理求出AD即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，，， 由勾股定理，得， ∴的最小值是 13， 故答案为：13； （2）如图， 设这4个全等直角三角形的短边为x，则，， 由勾股定理，得， 由勾股定理，得， 则， 构造图形如下： ∵，，， 设，则， 可得，， ∴， ∴的最小值为的长， 过点M作交延长线于Q，则，， ∴，， ∴， 由勾股定理， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）模仿（1）可知，构造图形如下： 矩形中，于C，，，，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， 即的值最大，就是的值最大， ∵， ∴的最大值为， 过点D作于点G， 则，， 在中，由勾股定理，得， 故的最大值为． 27．计算： 【答案】（1）；（2） 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的性质化简，然后根据二次根式的加减法即可； （2）根据二次根式的乘除法分别计算，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法． 28．计算或化简： (1)； (2)如图，实数a、b在数轴上的位置，化简 ： 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘除混合运算、利用二次根式的性质化简、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，再进行乘除运算； （2）先根据实数a、b在数轴上的位置判断a、b的符号，再利用二次根式的性质化简． 【详解】（1）解： （2）解：由数轴可知，，， ∴，，， ∴． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 29．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)2 【知识点】二次根式的混合运算、零指数幂 【分析】对于（1），根据，，，，，再计算即可； 对于（2），先根据二次根式加减法法则计算括号内的，再根据二次根式的除法法则计算； 对于（3），先计算二次根式的乘除，再计算二次根式的加减； 对于（4），根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）原式= =； （2）原式= = =； （3）原式= = =； （4）原式= = =． 【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，掌握二次根式运算法则是解题的关键． 30．定义：若（m+2）2＝n，则称m是n的“伴生数”．设m＝，n＝，判断m是不是n的“伴生数”，并说明理由． 【答案】m不是n的“伴生数”，理由见解析 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】利用二次根式的性质分别计算 和 ，再比较大小，即可求解． 【详解】解：m不是n的“伴生数”，理由如下： ∵m＝， ∴ ， 又n＝ ∵ ， ∴ ， ∴m不是n的“伴生数”． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，理解新定义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 31．计算：（1） ；（2） 【答案】(1)2-;(2)2. 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】（1）先化简二次根式，再计算加减可得； （2）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号计算加减可得． 【详解】（1）原式 =2 =2； （2）原式=32﹣（）2﹣（3﹣21） =9﹣5﹣4+2 =2． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． 32．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算、实数的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、绝对值、整式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键； （1）先计算立方根及绝对值，再进行加减即可求解； （2）先去括号，再合并同类项，再算除法即可求解； 【详解】（1）原式 （2）原式 33．观察下列等式： ①； ②； ③．…… 回答下列问题： (1)利用你观察到的规律，化简：__________； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算，熟练的进行分母有理化是解本题的关键； （1）分子，分母都乘以即可； （2）先把每一项分母有理化，再结合分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）， ， ， ， ． 34．化简： (1)； (2)． 【答案】(1)12； (2)36． 【知识点】二次根式的乘法、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． （1）将化简为再计算即可； （2）将化简为再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 35．计算与解方程： （1）；     （2）（，） （3）；     （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【知识点】解分式方程、二次根式的乘法、利用二次根式的性质化简、分式加减乘除混合运算 【分析】（1）（2）根据二次根式的性质以及二次根式的乘法运算进行化简即可； （3）根据分式的性质化简，先计算括号内的，同时将除法转化为乘法计算，进而根据分式的性质计算即可； （4）根据解分式方程的步骤计算即可，先将分式方程两边同时乘以最简公分母，转化为整式方程，进而求解，最后检验． 【详解】（1） ； （2） ， ； （3） ； （4） 两边同时乘以，得 ， 解得． 经检验，是原方程的解． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算、分式的化简及分式方程的解法，熟练掌握运算法则准确计算是解题的关键． 【能力提升】 36．阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 【答案】(1)①②④ (2) (3)时，有最小值，最小值为3 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式化简求值、利用二次根式的性质化简 【分析】本题为新定义问题，创新题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键． （1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解； （2）先根据，得到，进而得到，即可得到，利用倒数的定义即可求出； （3）先求出，再将变形为根据（一）结论得到 ，即可求出当且仅当，即时，有最小值，最小值为3． 【详解】（1）解：①是假分式，符合题意； ②是假分式，符合题意； ③是真分式，不合题意； ④是假分式，符合题意． 故答案为：①②④． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意，， ∴． 原式 ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴原式的最小值为3． 37．已知，为两个正实数，，，即：，当且仅当“”时，等号成立．我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．示例：当时，求的最小值； 解：，当，即时，的最小值为3． (1)探究：当时，求的最小值； (2)知识迁移：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养，维修费用总和为万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用所有费用：年数）？最少年平均费用为多少万元？ (3)创新应用：如图，在直角坐标系中，直线经点，与坐标轴正半轴相交于，两点，当的面积最小时，求直线的表达式．    【答案】(1)5 (2)10年；2.5万元 (3) 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、配方法的应用、利用二次根式的性质化简 【分析】（1）直接利用可得结论； （2）先求解年平均保养费用，利用可得结论； （3）设直线为：，用含的代数式表示的坐标，求解的面积，利用求解面积最小值时的值，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ， 当，即时，的最小值为5； （2）解：由题意得：， 年平均费用． 当时， ， 即时，这种汽车使用10年报废最合算，最少年平均费用为2.5万元； （3）解：设直线为：， 把代入解析式得：， ， 直线为：， 令，， ， 令， ， ， ， 由题意知：， ， 由题意得：， ． 当时，即时，最小， 直线为：． 【点睛】本题考查的是自定义题，同时考查了求解代数式的最小值及其应用，考查了利用待定系数法求解一次函数的解析式，仔细弄懂题意是解题的关键． 38．【阅读下列材料】： 若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．） 【例】：若，，，求的最小值． 解：∵，，    ∴， ∴． ∴时，的最小值为8． 【解决问题】 (1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； (2)用一段长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙足够长）的长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少； (3)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值． 【答案】(1)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； (2)菜园的长为50m，宽为m时，面积最大为； (3)四边形面积的最小值为． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、二次根式的应用 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用． （1）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可； （2）设垂直于墙的一边为xm，利用矩形的面积公式得到菜园的面积关于x的关系式，再利用非负数的性质求解即可； （3）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是2和3，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可． 【详解】（1）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为， ∴或（舍去）． ∴这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； （2）解：设一边为xm，则另一边长为m， ∴菜园的面积， 又∵， ∴当时，菜园的面积有最大值为1250， 答：菜园的长为50m，宽为m时，面积最大为； （3）解：设点B到的距离为，点D到的距离为， 又∵、的面积分别是2和3， ∴，， ∴， ∴ ∵． ∴当且仅当时，取等号，即的最小值为， ∴四边形面积的最小值为． 39．(1)已知|2016－x|＋＝x，求x－20172的值； (2)已知a>0，b>0且 (＋)＝3 (＋5)，求的值. 【答案】（1）-2016；（2）2 【知识点】二次根式的混合运算 【详解】试题分析： （1）由有意义可得：，由此即可将原式化为：，变形可得：，两边同时平方可得：，则，代入中即可求得其值； （2）由变形可得，由此可得：，结合可得：，由此可得：，再代入化简即可得到所求结果. 试题解析： （1）∵|2016－x|＋＝x， ∴，即， ∴|2016－x|＋＝x可化为：， ∴， 两边同时平方得：，即， ∴ （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. 点睛：（1）解第1小题的关键是注意题中的隐含条件：，由此即可将原式中的绝对值符号去掉，从而将原式化简，求出x的值，即可使问题得到解决；（2）解第2小题的关键是：在将原式化简变形为后能在实数范围内将其分解因式化为：的形式，这样结合即可得到：，从而可得，使问题得到解决. 40．发现问题 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽． 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示． 小明设计了如下三种铲籽方案． 方案1：图1是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案2：图2是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案3：图3是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长． 解决问题 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价． 【答案】分析问题：方案1：；；；方案2：；方案3：；解决问题：方案3路径最短，理由见解析 【知识点】列代数式、图形类规律探索、二次根式的应用、用勾股定理解三角形 【分析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列出代数式即可求解；方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为，根据题意得一共有列，行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，即可得出总路径长； 解决问题：利用作差法比较三种方案即可． 题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键． 【详解】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d， ∴每行铲的路径长为， ∵每列有k个籽，呈交错规律排列， ∴相当于有行， ∴铲除全部籽的路径总长为， 故答案为：；；； 方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d， ∴每列铲的路径长为， ∵每行有n个籽，呈交错规律排列，， ∴相当于有列， ∴铲除全部籽的路径总长为， 故答案为：； 方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为， 根据题意得一共有列，行， 斜着铲相当于有n条线段长，同时有个， ∴铲除全部籽的路径总长为：； 解决问题 由上得：， ∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长； ， ∵， 当时， ， ， ∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗． 学科网（北京）股份有限公司 $$