专题03 分式【九大考点+知识串讲】-2025年中考数学一轮总复习重难考点强化训练（全国通用）

专题03 分式 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）分式的基本概念 （1）分式：形如（A，B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式． （2）与分式有关的结论 ①分式无意义的条件是B＝0． ②分式有意义的条件是B≠0． ③分式值为0的条件是A＝0且B≠0． （二）分式的基本性质 （1）分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. ＝，＝（其中M是不等于零的整式）． （2）由基本性质可推理出变号法则为：； . （三）约分与通分 （1）约分：根据分式的基本性质将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分．约分的依据是分式的基本性质． （2）通分：根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母． （四）分式的运算 分式的乘除 ①乘法法则： ②除法法则： ③分式的乘方： 分式的加减 ①同分母分式的加减： ； ②异分母分式的加法： 整数负指数幂： 0指数幂： （五）分式化简求值 （1）仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分. （2）含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的． 失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入. 模块三 考点一遍过 考点1：分式的定义 典例1：下列各式中，，，，，，分式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】分式的判断、负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂，分式的定义，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母，根据定义逐个分析，即可求解． 【详解】解：在，，，，，中，，，是分式，共3个 故选：B． 【变式1】在代数式，，，，，中，分式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查分式的定义．注意是数字，不是字母．直接根据分式的定义判断．分母中含有字母的是分式． 【详解】解：在代数式，，，，，中，分式有，，这3个， 故选：B． 【变式2】下列各式中：，，，，0，，，其中分式共有 个． 【答案】3 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查分式的判断，根据分式的定义，形如，中含有字母，这样的式子叫做分式，进行判断即可． 【详解】解：，，，，0，，中，分式有，，共3个； 故答案为：3． 【变式3】观察下列分式：按此规律第10个分式是 ． 【答案】 【知识点】分式的规律性问题 【分析】本题考查了分式的变化规律．根据题目所给的前几个分式，总结出一般规律，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 第1个分式：， 第2个分式：， 第3个分式：， 第4个分式：， 第5个分式：， …… 第n个分式：， ∴第10个分式为， 故答案为：． 考点2：分式有意义条件 典例2：x满足什么条件（    ），有意义 A． B． C．且 D．或 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件， 根据分式有意义的条件，即分母不等于0，可得，求出解即可． 【详解】因为有意义， 所以， 解得． 故选：B． 【变式1】函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【知识点】求自变量的取值范围、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查函数自变量有意义的条件，根据分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负数解题即可． 【详解】解：由题可得：，， 解得：且， 故选：D． 【变式2】（1）当 时，等式成立； （2）当 时，等式成立． 【答案】 或 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、分式有意义的条件、解分式方程 【分析】该题主要考查了零次幂、负整数指数幂，分式方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据非零实数的零次幂为1解答即可． （2）根据负整数指数幂得出求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴， 即等式成立， 故答案为：． （2）∵， ∴，， 解得：或， 经检验，或是方程的解． 故答案为：或． 【变式3】已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则的值为 ． 的取值 分式的值 无意义 【答案】 【知识点】分式值为零的条件、解分式方程、分式无意义的条件 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式的求值，解分式方程，代数式求值等等，分式无意义的条件是分母为，据此可求出的值；根据当时，分式的值为，可求出的值，进而得到关于的方程，解方程求出的值，再求出的值即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵当时分式无意义， ∴， ∴； ∵当时，分式的值为， ∴， ∴； ∴分式为， ∴根据表格可知：，， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴， 故答案为：． 考点3：分式的值 典例3：下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0； B．当时，有意义； C．无论为何值，的值不可能是正整数 D．无论为何值，总有意义 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、分式值为零的条件、求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式有意义的条件及分式值为零的条件，理解这两个条件是关键；根据分式有意义的条件及分式值为零的条件去判断即可． 【详解】解：A、当时，分式无意义，故判断错误； B、当时，有意义，故判断错误； C、当时，的值是正整数3，故判断错误； D、由于，则无论为何值，总有意义，故判断正确； 故选：D． 【变式1】a，b，c均为正数且，已知，求（   ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】A 【知识点】分式的求值 【分析】本题主要考查了分式的求值，先求出，即可得得到，再由即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴ ∴， ∵， ， 故选：A． 【变式2】已知，，，则 ． 【答案】/ 【知识点】分式的求值、通分 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则，分别把已知的三个等式的分子分母倒过来，然后利用分式的性质化简，最后把所求分式也倒过来即可求解． 【详解】解：因为，，， 所以①，②，③， 得， 通分可得， 所以， 所以． 故答案为：． 【变式3】已知，则的值为 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式、分式的求值 【分析】本题考查了完全平方公式，求分式的值；先利用完全平方公式进行化简，得到，然后利用非负性求出x、y的值，即可求出答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，； ∴； 故答案为：. 考点4：分式的基本性质 典例4：下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题主要考查了分式的性质，分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数，分式的值不变．根据分式的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、当时，，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】若分式中的、的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（   ） A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C．是原来的0.1倍 D．不变 【答案】B 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题主要考查了分式基本性质．依题意分别用和去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：分式中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，得， 即分式的值是原来的10倍，故B正确． 故选：B． 【变式2】不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为 ． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．把分子、分母都乘以1000即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3】在括号里填上适当的整式： （1）； ． （2）； ． （3）． ． 【答案】 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的性质．根据分式的性质计算即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3）． 故答案为：． 考点5：约分与最简分式 典例5：下列约分正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】约分 【分析】本题考查了约分，根据分式的性质逐项分析即可得解，熟练掌握分式的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、，故约分错误，不符合题意； B、，故约分错误，不符合题意； C、，故约分正确，符合题意； D、，故约分错误，不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列分式中是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简分式 【分析】本题主要考查最简分式，一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．根据最简分式的概念求解即可． 【详解】A．，不符合题意； B．，不符合题意； C． 是最简分式，符合题意； D．，不符合题意； 故选：C． 【变式2】下列个分式中：①；②；③；④，最简分式有 个． 【答案】 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式，若一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式就叫做最简分式，据此逐一判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键． 【详解】解：①是最简分式，符合题意； ②，不是最简分式，不合题意； ③，不是最简分式，不合题意； ④是最简分式，符合题意； ∴最简分式有个， 故答案为：． 【变式3】化简： ， 【答案】 / 【知识点】约分 【分析】本题主要考查了分式的约分，掌握分式的基本性质是解答本题的关键．根据分式的基本性质解答即可． 【详解】解：， ， 故答案为：，． 考点6：通分与最简公分母 典例6：把与通分后，的分母为，则的分子变为（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】通分 【分析】直接利用已知进行通分运算，进而得出答案． 【详解】解∶， 故的分子为． 故选∶B． 【点睛】此题主要考查了通分，正确进行通分运算是解题关键． 【变式1】下列说法中，正确的是（   ） A．与的最简公分母是 B．与的最简公分母是 C．与的最简公分母是 D．与的最简公分母是 【答案】C 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查了分式的最简公分母，属于简单题，熟悉概念是解题关键． 根据最简公分母定义：数字部分要取最小公倍数，相同字母取最高次幂，并且包含所有字母都要出现，熟悉概念即可解题． 【详解】A．与的最简公分母是，选项错误； B．与的最简公分母是，选项错误； C．与的最简公分母是，选项正确； D．与的最简公分母是，选项错误． 故选：C． 【变式2】分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【知识点】最简公分母 【分析】本题考查了求最简公分母．根据最简公分母就是各分母所有因式的最高次幂的积，进行作答即可． 【详解】解：因为，，， 所以它们的最简公分母是， 故答案为：． 【变式3】对于任意的值都有，则值为 ． 【答案】 【知识点】通分、异分母分式加减法、加减消元法 【分析】本题考查分式的加法运算，涉及异分母分式加法运算、通分、多形式相等的条件等知识，由题中给的等式，将右边异分母分式通分后相加，再由等式左右两边分子相等列方程组求解即可得到答案，熟记分式的加法运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ， ，解得， 故答案为：． 考点7：分式的运算——加减乘除 典例7：计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算、分式除法 【分析】本题主要考查分式的除法，分式的减法以及分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式中分子与分母各自因式分解，再将除法转换为乘法后进行约分计算即可； （2）将原式中的分母通分后，根据同分母分式加减法法则进行计算即可； （3）原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法，进行约分计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【变式1】计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】分式乘法、异分母分式加减法 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先将分子分母分解因式，再进行分式的约分即可求解； （2）先通分再进行分式的加减运算即可求解； （3）先将分子分母分解因式化简后再进行通分计算即可求解； （4）先将分式通分再进行加减计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式加减混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键． （ 1）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （ 2）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （ 3）原式第一项利用除法法则变形，约分得到结果，第二项约分得到结果，再利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式3】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】异分母分式加减法、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算； （1）根据同分母分式的减法进行计算即可求解； （2）先计算括号里面的异分母分式减法，再计算分式的除法即可； （3）利用分式的除法法则先将除法转化为乘法，再利用分式的乘法法则约分计算即可得解； （4）先化简，然后根据同分母分式的加法进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式4】计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】分式乘除混合运算、分式加减乘除混合运算、分式乘法、异分母分式加减法 【分析】（1）根据分式的乘法运算法则解答即可； （2）根据分式的乘法运算法则解答即可； （3）根据分式的乘法，除法混合运算法则解答即可； （4）根据同分母分式的减法计算即可； （5）根据异分母分式的减法计算即可； （6）根据得加减乘除混合预算解答即可 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，分式的乘除法运算，分式的加减，乘除混合运算，约分，因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式5】化简： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的混合计算： （1）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ∙ （2）解：原式 ． 【变式6】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． （1）先化简、将除法变形为乘法，再计算分式的乘法即可得； （2）先计算括号内的减法，再计算乘方，然后计算除法，最后计算加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式7】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查分式的混合运算： （1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果； （3）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果； （4）原式先计算乘方及除法运算，再计算加减运算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式8】计算 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】分式除法、分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）把除法转化为乘法，把分子、分母约分化简即可； （2）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可； （3）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可； （4）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式9】计算 (1) (2) (3) (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】分式乘法 【分析】本题考查分式的乘法运算，将分子乘分子作为积的分子，分母乘分母作为积的分母，能约分的进行约分即可． （1）直接根据分式的乘法法则进行计算即可； （2）直接根据分式的乘法法则进行计算即可； （3）直接根据分式的乘法法则进行计算即可； （4）直接根据分式的乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ＝； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式10】计算： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2)3 (3)x (4) 【知识点】分式乘法、分式除法 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）把分子、分母约分化简即可； （2）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可； （3）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可； （4）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式＝． 考点8：分式的运算——0/负指数幂 典例8：下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、合并同类项、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂，同底数幂的除法，同类项合并；掌握这些知识是关键；分别按照同底数幂的除法，零指数幂，负整数指数幂，同类项合并的知识进行分析判断即可； 【详解】解：A、，故计算正确； B、，故计算错误，不符合题意； C、，故计算错误，不符合题意； D、，故计算错误，不符合题意； 故选：A． 【变式1】若，，，，则，，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、有理数大小比较、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂，先根据有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂的运算法则求出各数，再比较即可得解． 【详解】解：，，，， ∵， ∴， 故选：C． 【变式2】计算： ． 【答案】4 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题主要考查幂的运算，运用负整数指数幂和零指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：4． 【变式3】如果，， ， ，那么a，b，c，d四数的大小为 【答案】/ 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、有理数大小比较 【分析】本题考查了负整数指数幂、零指数幂、有理数大小比较的知识；解题的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂的性质，从而完成求解．首先根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则，分别计算出a、b、c、d的值，然后再比较大小，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式4】计算： ． 【答案】2 【知识点】分式乘法、负整数指数幂、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方、负整数指数幂、单项式的乘除，先根据积的乘方和负整数指数幂进行计算，再根据单项式的乘除运算法则计算即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 考点9：分式的运算——化简求值 典例9：先化简：，然后从的解集中选一个x的整数值代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式． 【知识点】分式化简求值、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了分式的化简求值，解不等式组．先根据完全平方公式、平方差公式以及分式的乘法运算化简分式，然后解不等式，将x的值代入原式即可求出答案． 【详解】解：原式 ． 由， 解得． 时，原式无意义， 可以取的整数值为，2， 当时，原式； 当时，原式． 【变式1】先化简，再求值：，其中满足． 【答案】，6 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、代数式求值等知识点，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，再根据可得，最后整体代入计算即可． 【详解】解： ． ， ， ∴原式 ． 【变式2】先化简，再从，2，3，4中选一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，见解析 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握因式分解技巧及运算顺序正确计算是本题的解题关键，注意分式的分母不能为0． 分式的化简求值，先做小括号里面的，将原式中能因式分解的先进行因式分解，然后根据分式成立的条件选择或代入求值． 【详解】解：原式 ． ∵，． ∴且， ∴当时，原式； 当时，原式． 【变式3】解决下面问题 (1)先化简，再从，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值； (2)先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】(1)，当时，原式； (2)，． 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键 （1）首先通分算括号里面的，之后再利用分式的除法运算即可，最后再选取分式有意义的值代入计算即可； （2）首先根据完全平方公式以及平方差公式因式分解，之后算分式的除法运算，最后通分计算分式的减法，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：原式 ，即 当时，原式 ； （2）解：原式= ， 原式 ． 【变式4】已知． (1)分别化简P和Q； (2)若，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】分式化简求值、解分式方程 【分析】本题考查了分式的加减运算，解分式方程，熟练掌握分式的通分，约分，解分式方程的方法是解题的关键； （1）根据分式的加减运算法则求解即可； （2）根据得到分式方程，再解分式方程即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：由（1）知，，， ， ， 方程两边同乘以，得， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 的值为． 【变式5】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】先将分子与分母因式分解后再约分，化简后再代入求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题考查分式化简，熟练掌握约运算法则是解题关键. 【变式6】先化简，再求值：，其中． 【答案】 【知识点】分式化简求值 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可． 【详解】原式 ， ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 分式 模块一 考点类型 模块二 知识点一遍过 （一）分式的基本概念 （1）分式：形如（A，B是整式，且B中含有字母，B≠0）的式子叫做分式． （2）与分式有关的结论 ①分式无意义的条件是B＝0． ②分式有意义的条件是B≠0． ③分式值为0的条件是A＝0且B≠0． （二）分式的基本性质 （1）分式的基本性质 分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. ＝，＝（其中M是不等于零的整式）． （2）由基本性质可推理出变号法则为：； . （三）约分与通分 （1）约分：根据分式的基本性质将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分．约分的依据是分式的基本性质． （2）通分：根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分．通分的关键是确定几个分式的最简公分母． （四）分式的运算 分式的乘除 ①乘法法则： ②除法法则： ③分式的乘方： 分式的加减 ①同分母分式的加减： ； ②异分母分式的加法： 整数负指数幂： 0指数幂： （五）分式化简求值 （1）仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分. （2）含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的． 失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入. 模块三 考点一遍过 考点1：分式的定义 典例1：下列各式中，，，，，，分式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】在代数式，，，，，中，分式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】下列各式中：，，，，0，，，其中分式共有 个． 【变式3】观察下列分式：按此规律第10个分式是 ． 考点2：分式有意义条件 典例2：x满足什么条件（    ），有意义 A． B． C．且 D．或 【变式1】函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【变式2】（1）当 时，等式成立； （2）当 时，等式成立． 【变式3】已知分式（，为常数）满足表格中的信息，则的值为 ． 的取值 分式的值 无意义 考点3：分式的值 典例3：下列关于分式的判断，正确的是（   ） A．当时，的值为0； B．当时，有意义； C．无论为何值，的值不可能是正整数 D．无论为何值，总有意义 【变式1】a，b，c均为正数且，已知，求（   ） A．1 B． C．3 D．2 【变式2】已知，，，则 ． 【变式3】已知，则的值为 ． 考点4：分式的基本性质 典例4：下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若分式中的、的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（   ） A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C．是原来的0.1倍 D．不变 【变式2】不改变分式的值，将分式中的分子、分母的系数化为整数，其结果为 ． 【变式3】在括号里填上适当的整式： （1）； ． （2）； ． （3）． ． 考点5：约分与最简分式 典例5：下列约分正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列分式中是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列个分式中：①；②；③；④，最简分式有 个． 【变式3】化简： ， 考点6：通分与最简公分母 典例6：把与通分后，的分母为，则的分子变为（） A． B． C． D． 【变式1】下列说法中，正确的是（   ） A．与的最简公分母是 B．与的最简公分母是 C．与的最简公分母是 D．与的最简公分母是 【变式2】分式，，的最简公分母是 ． 【变式3】对于任意的值都有，则值为 ． 考点7：分式的运算——加减乘除 典例7：计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式3】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式4】计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【变式5】化简： (1)； (2)． 【变式6】计算： (1)； (2)． 【变式7】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式8】计算 (1) (2) (3) (4)． 【变式9】计算 (1) (2) (3) (4) ． 【变式10】计算： (1) (2) (3) (4)． 考点8：分式的运算——0/负指数幂 典例8：下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若，，，，则，，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2】计算： ． 【变式3】如果，， ， ，那么a，b，c，d四数的大小为 【变式4】计算： ． 考点9：分式的运算——化简求值 典例9：先化简：，然后从的解集中选一个x的整数值代入求值． 【变式1】先化简，再求值：，其中满足． 【变式2】先化简，再从，2，3，4中选一个合适的数作为x的值代入求值． 【变式3】解决下面问题 (1)先化简，再从，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值； (2)先化简，再求值：，其中，满足． 【变式4】已知． (1)分别化简P和Q； (2)若，求x的值． 【变式5】先化简，再求值：，其中． 【变式6】先化简，再求值：，其中． 学科网（北京）股份有限公司 $$