专题03 分式（分层训练）-2025年中考数学一轮总复习重难考点强化训练（全国通用）

专题03 分式（分层训练） 【基础训练】 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D．1 2．下列等式成立的是（　　） A．|﹣2|=2 B．（﹣1）0=0 C．（﹣）﹣1=2 D．﹣（﹣2）=﹣2 3．下列各式中，变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．在数学活动课中老师出了这样一道题目让同学们讨论：现有铁丝重m1克，铜丝重m2克，铁丝、铜丝的截面半径分别为r1cm和r2 cm,不用直接测量长度，分别计算它们的长度（铁的密度为7.8g/cm3,铜的密度为8.9g/cm3）正确的回答是(   ) A．铁丝为 cm  铜丝为cm B．铁丝为 cm     铜丝为cm C．铁丝为 cm    铜丝为 cm D．铁丝为 cm    铜丝为 cm 5．已知实数x、y满足：x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0．则的值为（　　） A．0 B． C．1 D． 6．在：中，结果为正数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．要使分式有意义，则应满足（    ） A． B． C． D．或 8．某新型感冒病毒的直径约为米，用科学记数法表示，结果为（    ） A． B． C． D． 9．若a，b为两个有理数，且b＝，则a＋b的值为（     ） A．±6 B．3 C．3或5 D．5 10．的值是（    ） A． B．2 C．-2 D． 11．在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数称为黄金分割数．设，记，，，，则的值为（   ） A． B． C．100 D．505 12．如果分式则x为（    ） A．2 B．-2 C． D．0 13．若式子有意义，则实数的m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 14．下列各数中是负数的是（　　） A． B． C．﹣（﹣3） D． 15．把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，则分式的值（　　） A．扩大到原来的5倍 B．不变 C．缩小到原来 D．扩大到原来的25倍 二、填空题 16．若代数式，则x的取值范围是 ． 17．计算： ． 18．已知，则 ． 19．当 ，代数式有意义． 20．如图，长方形按如图所示分成9个部分，在变化过程中，下列四个结论：①图中总共有8个正方形；②若长方形的长与宽的比为，则；③长方形的长与宽的比可能为2；④若，长方形的面积为，则，的值分别为3，2．其中正确的结论是 （填写序号）． 21．若x2﹣xy﹣12y2＝0，则＝ ． 22．写出一个含有字母的分式，且无论x取任何实数，分式都有意义，这个分式可以是 ． 23．计算： . 24．分式的值为0，则x= ． 25．某单位锅炉房运来了120吨煤，原计划用x天，后来节约用煤，结果比原计划多用4天，后来比原计划每天少用 吨煤. 三、解答题 26．先化简，再求值：，其中． 27．先化简，再求值：，其中x＝－2 28．先化简，再求值：，其中． 29．先化简，再求值：，其中． 30．先化简，再求值：，其中与2，3构成的三边长，且为整数． 31．观察以下等式: 第1个等式:， 第2个等式:， 第3个等式:， 第4个等式:， 第5个等式:， ……按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明. 32．（1）化简 （2）解方程 （3）分解因式 33．计算： (1) (2). 34．先化简，再求值：1﹣，其中a＝1＋，b＝1﹣． 35．，其中实数x、y满足y1． 【能力提升】 36．阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 37．（阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 38．阅读下列材料：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：．当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：．假分式可以化为整式与真分式和的形式，我们也称之为带分式，如：． 解决问题： （1）下列分式中属于真分式的是（    ） A．       B．       C．         D． （2）将假分式分别化为带分式； （3）若假分式的值为整数，请直接写出所有符合条件的整数x的值． 39．1月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品，甲商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件． (1)求该商品的单价； (2)2月份，两商店以单价元/件（低于1月份单价）再次购进该商品，购进总价均不变． ①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小． ②已知，甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分，剩余部分与2月份购进的商品一起售卖，2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，第二次在第一次基础上再降价2元全部售出，两个月的总利润为1050元，求甲商店1月份可能售出该商品的数量． 40．如果有一个三位数，百位为9，十位和个位之和也是9，我们把这个三位数称为“尔畔数”，把的百位和个位互换位置得到数．并规定，例如918，∵且百位是9，∴918是“尔畔数”，． （1）判断946是不是“尔畔数”，求出； （2）已知和都是“尔畔数”，且，并规定，求的最大值为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 分式（分层训练） 【基础训练】 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算、同分母分式加减法 【分析】根据分式加减法法则：同分母分式相减，分母不变，分子相减，再根据平方差公式分解因式，化简计算即可求解． 【详解】解：原式， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的化简、分式的加减等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 2．下列等式成立的是（　　） A．|﹣2|=2 B．（﹣1）0=0 C．（﹣）﹣1=2 D．﹣（﹣2）=﹣2 【答案】A 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【详解】根据绝对值、零指数幂及负整数指数幂的运算法则，可得: A、|﹣2|=2，计算正确，故本选项正确； B、（﹣1）0=1，原式计算错误，故本选项错误； C、（﹣）﹣1=﹣2，原式计算错误，故本选项错误； D、﹣（﹣2）=2，原式计算错误，故本选项错误； 故选A． 点睛：此题主要考查了绝对值、零指数幂及负整数指数幂的运算法则，灵活运用绝对值、零指数幂及负整数指数幂的运算法则进行计算是解决此类题目的关键. 3．下列各式中，变形不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】根据分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以-1 ，分式的值不变，即分式的符号、分母的符号、分子的符号，同时改变其中的两个，分式的值不变；只改变其中的一个或同时改变其中的三个，分式的值变成原来的相反数． 【详解】解：A． 同时改变分式的分母及分式的符号，其值不变，故该选项正确； B．同时改变分式的分子、分母的符号，其值不变，故该选项正确； C．同时改变分式的分子、分母、分式的符号，其值变化，故该选项不正确； D．同时改变分式的分母及分式的符号，其值不变，故该选项正确． 故选C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质，分式的符号变化规律需要熟记． 4．在数学活动课中老师出了这样一道题目让同学们讨论：现有铁丝重m1克，铜丝重m2克，铁丝、铜丝的截面半径分别为r1cm和r2 cm,不用直接测量长度，分别计算它们的长度（铁的密度为7.8g/cm3,铜的密度为8.9g/cm3）正确的回答是(   ) A．铁丝为 cm  铜丝为cm B．铁丝为 cm     铜丝为cm C．铁丝为 cm    铜丝为 cm D．铁丝为 cm    铜丝为 cm 【答案】A 【知识点】分式的值 【分析】首先根据m=ρV求出每cm铁丝和铜丝的质量，然后利用总质量除以单位质量得出答案． 【详解】根据题意可得：铁丝为 cm，铜丝为cm， 故选A． 【点睛】本题主要考查的是列代数式，本题还综合了科学中的部分知识点，难度中等．解决这个问题的关键要理解单位单位质量的求法． 5．已知实数x、y满足：x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0．则的值为（　　） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】分式化简求值 【分析】根据x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0，可以得到x与y的关系和y2﹣的值，从而可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵x﹣y﹣3＝0和2y3+y﹣6＝0， ∴x＝y+3，y2+﹣＝0， ∴y2﹣＝﹣ ∴﹣y2 ＝ ＝1+ ＝1﹣（﹣） ＝1+ ＝， 故选D． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 6．在：中，结果为正数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】平方根概念理解、负整数指数幂 【分析】根据算术平方根，零次幂，负整数指数幂，绝对值的意义，分别计算各个式子的值即可判断. 【详解】解：．则其中的正数是：，共两个． 故选B． 【点睛】考查算术平方根，零次幂，负整数指数幂，绝对值的意义，比较基础，难度不大. 7．要使分式有意义，则应满足（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】根据分式有意义的条件可得，再解即可． 【详解】由题意得：， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 8．某新型感冒病毒的直径约为米，用科学记数法表示，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】利用绝对值小于1的科学记数法的表示法则，把小数点向右移动七位即可． 【详解】解：． 故选：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为小数点向右移动的位数，也可以是由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 ． 9．若a，b为两个有理数，且b＝，则a＋b的值为（     ） A．±6 B．3 C．3或5 D．5 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】首先根据题意，列出不等式组，即可解得，，即可得解. 【详解】根据题意，得 解得 ∴ ∴ 故答案为D. 【点睛】此题主要考查二次根式的性质，熟练运用，即可解题. 10．的值是（    ） A． B．2 C．-2 D． 【答案】C 【知识点】负整数指数幂 【分析】根据负整指数幂的运算法则计算即可． 【详解】， 故选：C． 【点睛】本题考查了负指数幂的运算，熟练掌握负指数幂的运算法则是本题的关键． 11．在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来，后来人们将这个数称为黄金分割数．设，记，，，，则的值为（   ） A． B． C．100 D．505 【答案】C 【知识点】黄金分割、二次根式的混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查的分式的规律计算以及二次根式的乘法，正确掌握异分母分式的加减计算法则及运算规律是解题的关键．先计算，，的值，找出规律，然后求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 12．如果分式则x为（    ） A．2 B．-2 C． D．0 【答案】B 【知识点】分式值为零的条件 【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴，0，2 ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件是分子等于0且分母不等于0是解题的关键． 13．若式子有意义，则实数的m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：且，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式的分母不等于零，二次根式的被开方数为非负数． 14．下列各数中是负数的是（　　） A． B． C．﹣（﹣3） D． 【答案】B 【知识点】正负数的定义、绝对值的意义、求一个数的绝对值、整数指数幂的运算 【分析】先对各选项进行求绝对值、去括号和指数幂的运算，再根据负数的定义进行判断即可得到答案. 【详解】A. =0，不是负数，故错误； B. =-9，是负数，故正确；     C. ﹣（﹣3）=3，是正数，故错误； D. =9，是正数，故错误； 故选择B. 【点睛】本题考查负数的定义、求绝对值、去括号和指数幂的运算，解题的关键是掌握负数的定义、求绝对值、去括号和指数幂的运算. 15．把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，则分式的值（　　） A．扩大到原来的5倍 B．不变 C．缩小到原来 D．扩大到原来的25倍 【答案】B 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【详解】由题意可得：， ∴当把分式中的的值都扩大到原来的5倍时，分式的值不变． 故选B． 二、填空题 16．若代数式，则x的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式组，由二次根式有意义的条件及分式有意义的条件得，即可求解；二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：； 故答案：． 17．计算： ． 【答案】 【分析】分别根据有理数的平方、二次根式的性质和0指数幂的意义计算和化简各项，再合并即可． 【详解】解：原式=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的平方、二次根式的性质和0指数幂的意义等知识，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 18．已知，则 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、二次根式有意义的条件、负整数指数幂 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，负整数指数幂，先根据二次根式有意义的条件为被开方数大于等于零，得出关于x的不等式组，再求x的值进而得到y的值，再计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19．当 ，代数式有意义． 【答案】且 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义以及二次根式有意义，分别根据分母不为0，被开方数为非负数进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴且， 故答案为：且． 20．如图，长方形按如图所示分成9个部分，在变化过程中，下列四个结论：①图中总共有8个正方形；②若长方形的长与宽的比为，则；③长方形的长与宽的比可能为2；④若，长方形的面积为，则，的值分别为3，2．其中正确的结论是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【知识点】分式化简求值、多项式乘多项式与图形面积、利用平方根解方程 【分析】别表示出长方形ABCD的长和宽，然后根据题干条件列方程求解，从而作出判断． 【详解】如图，图中共有8个正方形，分别为正方形LKMG，正方形HNTO，正方形EGHF，正方形MPQN，正方形DKNF，正方形EMTC，正方形LAQH，正方形GPBO， 故①正确，符合题意； 由题意，AB＝m＋n＋m＝2m＋n，AD＝n＋m＋n＝m＋2n， 当长方形ABCD的长与宽的比为时， ， ∴n（2m＋n）＝m（m＋2n）， 2mn＋n2＝m2＋2mn， ∴n2＝m2， 又∵m，n均为正数， ∴m＝n，故②正确，符合题意； 当长方形ABCD的长与宽的比=2时， 2m＋n＝2（m＋2n）， 2m＋n＝2m＋4n， ∴n＝4n（不符合题意），故③错误，不符合题意； 长方形ABCD的面积为（2m＋n）（m＋2n）＝2m2＋5mn＋2n2， 当，长方形的面积为时， 2×（）2＋5××n＋2n2＝， 解得n＝±2（负值舍去）， ∴m＝3， 即m，n的值分别为3，2，故④正确，符合题意； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查正方形的概念，整式的混合运算，分式的化简求值，准确识图，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题关键． 21．若x2﹣xy﹣12y2＝0，则＝ ． 【答案】或 【分析】先利用因式分解法得到（x+3y）（x﹣4y）＝0，则x+3y＝0或x﹣4y＝0，然后把x＝﹣3y或x＝4y代入原式进行计算即可． 【详解】解：∵x2﹣xy﹣12y2＝0， ∴（x+3y）（x﹣4y）＝0， 则x+3y＝0或x﹣4y＝0， ∴x＝﹣3y或x＝4y， 当x＝﹣3y时，原式＝=， 当x＝4y时，原式＝； 故答案为或． 【点睛】本题考查的是因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键. 22．写出一个含有字母的分式，且无论x取任何实数，分式都有意义，这个分式可以是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】写一个分母不为零的分式即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零 23．计算： . 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果． 【详解】解：原式=•= -•= -2（m+3）=-2m-6， 故答案为-2m-6 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 24．分式的值为0，则x= ． 【答案】-3 【知识点】分式值为零的条件 【分析】要是分式的值为零，只需要在分母不为零的同时令分子为零即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴（x-2）（x+3）=0，x2-4≠0， 解得：x=-3． 故答案为：-3． 【点睛】本题主要考查的是分式的值为0的条件，掌握使分式的值为0的条件是解题的关键． 25．某单位锅炉房运来了120吨煤，原计划用x天，后来节约用煤，结果比原计划多用4天，后来比原计划每天少用 吨煤. 【答案】. 【分析】用x的代数式表示出原计划和后来每天用煤的数量，两者作差化简即可. 【详解】解：原计划用x天，则后来用（x+4）天，根据题意，后来比原计划每天少用吨煤. 故答案为：. 【点睛】本题考查了分式的加减运算，难度不大，正确理解题意、熟练掌握分式的加减运算法则是关键. 三、解答题 26．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、二次根式的混合运算 【分析】先将括号内的部分通分，计算加法，再将各分子和分母因式分解，将除法转化为乘法，约分计算，最后将x值代入即可． 【详解】解： = = = 将代入， 原式==． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，二次根式的混合运算，熟知运算法则是解答此题的关键． 27．先化简，再求值：，其中x＝－2 【答案】；-1 【知识点】运用平方差公式进行运算、分式化简求值 【分析】根据平方差公式通分化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式＝， 将代入原式：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值、平方差公式；关键在于能利用平方差公式进行通分化简． 28．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】利用二次根式的性质化简、分式化简求值 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式= =， ∴当时， 原式 ． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 29．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】首先将括号里面的分式进行通分，然后将各分式的分子和分母进行因式分解，然后进行乘除法计算，最后将a的值代入化简后的式子进行计算． 【详解】解：原式= 当a=时，原式=． 【点睛】本题考查分式的化简求值． 30．先化简，再求值：，其中与2，3构成的三边长，且为整数． 【答案】，6 【知识点】分式化简求值 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，确定出a的值，代入计算即可求出值． 【详解】解： ． ∵与2，3构成的三边长， ∴ ，即． ∵ 为整数， ∴ 为2或3或4． 当时，分母（舍去）； 当时，分母（舍去）． 故的值只能为3． ∴当时，． 【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键． 31．观察以下等式: 第1个等式:， 第2个等式:， 第3个等式:， 第4个等式:， 第5个等式:， ……按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第6个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式： (用含n的等式表示)，并证明. 【答案】（1）；（2），见解析 【知识点】数字类规律探索、异分母分式加减法 【分析】观察各式子的分母之间的关系发现：等式左边式子的分母的值从1开始，后一项的值比前一个分母的值大2，分子不变，等式右边分子不变，第一个式子的分母等序增加，第二个分母的值依次为：1,6，15,28,45，根据顺序关系可以记作第n组式子对应的分母为n（2n+1），然后解题即可． 【详解】解：（1）第6个等式： （2） 证明：∵右边左边. ∴等式成立． 【点睛】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来． 32．（1）化简 （2）解方程 （3）分解因式 【答案】（1）；（2）无解；（3） 【知识点】分式加减乘除混合运算、解分式方程 【分析】（1）直接根据分式知识化简即可； （2）去分母然后解方程即可； （3）先提公因式，再根据完全平方因式分解即可. 【详解】解：（1） = = = =； （2） 检验：把x=3代入得：x-3=0， 则x=3为方程的增根， 故原方程无解； （3）原式= = =. 【点睛】本题是对计算的综合考查，熟练掌握分式化简，分式方程及因式分解是解决本题的关键. 33．计算： (1) (2). 【答案】（1）；（2）. 【知识点】整式乘法混合运算、分式加减乘除混合运算 【分析】（1）先进行整式的完全平方和乘法运算，然后在合并同类项即可；（2）先通分，然后把除法变成乘法进行约分，然后整理即可. 【详解】解：（1）原式= =； （2）原式= = = = 【点睛】本题是对整式乘法和分式除法的考查，熟练掌握整式乘法公式和分式的运算是解决本题的关键，难度不大，注意计算的准确性. 34．先化简，再求值：1﹣，其中a＝1＋，b＝1﹣． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：1﹣ ＝1﹣ ＝1﹣ ＝ ＝， 当a＝1＋，b＝1﹣时，原式＝＝． 【点睛】本题属于计算类综合题，应严格按照题目要求，先化简到最简形式再代数计算. 35．，其中实数x、y满足y1． 【答案】，－1． 【知识点】二次根式有意义的条件、分式化简求值 【分析】根据二次根式有意义的条件分别求出＋、y，根据分式的混合运算法则把原式化简，把、y的值代入计算即可． 【详解】要使有意义，必须x﹣2≥0，即x≥2， 要使有意义，必须4﹣2x≥0，即x≤2， ∴x＝2， ∴y＝﹣1， 原式 ＝﹣1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，及分式的混合运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【能力提升】 36．阅读下面材料并解决有关问题： （一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数，，由于所以，即，所以，并且当时，； （二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：； (1)在①、②、③、④这些分式中，属于假分式的是________（填序号）； (2)已知：，求代数式的值； (3)当为何值时，有最小值？并求出最小值．（写出解答过程） 【答案】(1)①②④ (2) (3)时，有最小值，最小值为3 【知识点】利用二次根式的性质化简、分式化简求值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题为新定义问题，创新题，考查了分式的计算，二次根式的变形，完全平方公式的应用等知识，理解题目中的相关材料，并根据题意灵活应用是解题关键． （1）根据真分式、假分式的定义逐项判断即可求解； （2）先根据，得到，进而得到，即可得到，利用倒数的定义即可求出； （3）先求出，再将变形为根据（一）结论得到 ，即可求出当且仅当，即时，有最小值，最小值为3． 【详解】（1）解：①是假分式，符合题意； ②是假分式，符合题意； ③是真分式，不合题意； ④是假分式，符合题意． 故答案为：①②④． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意，， ∴． 原式 ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴原式的最小值为3． 37．（阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 【答案】（1）（2）（3）小莹的购货方式更合算，理由见解析 【知识点】整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积、分式加减的实际应用 【分析】此题考查了作差法比较两个数的大小，多项式乘以多项式，整式加减运算、分式加减法的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中的方法作差解答； （2）先分别表示出两个平行四边形的面积，再利用作差法计算判断； （3）先分别表示两人两次购买苹果的平均单价，再用作差法计算比较大小即可判断． 【详解】（1）∵， ∴，即 故答案为：； （2）， ， ． ， ， ，即． （3）小亮两次购买苹果共花费元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； 小莹两次购买苹果共花费20元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； ， m，n是正数，且， ， ， 小莹的购货方式更合算． 38．阅读下列材料：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：．当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：．假分式可以化为整式与真分式和的形式，我们也称之为带分式，如：． 解决问题： （1）下列分式中属于真分式的是（    ） A．       B．       C．         D． （2）将假分式分别化为带分式； （3）若假分式的值为整数，请直接写出所有符合条件的整数x的值． 【答案】（1）C； （2），； （3）x可能的整数值为0，-2，-4，-6. 【知识点】按要求构造分式、同分母分式加减法 【分析】（1）根据真分式的定义，即可选出正确答案； （2）利用题中的方法把分子分别变形为和，然后写成带分式即可； （3）先把分式化为带分式，然后利用有理数的整除性求解． 【详解】（1）A.分子的次数为2，分母的次数为1，所以错误； B. 分子的次数为1，分母的次数为1，故错误； C. 分子的次数为0，分母的次数为1，故正确； D. 分子的次数为2，分母的次数为2，故错误； 所以选C； （2）， ， （3） ∵该分式的值为整数， ∴ 的值为整数， 所以x+3可取得整数值为±3，±1， x可能的整数值为0，-2，-4，-6. 【点睛】本题主要考查分式的性质，要结合分式的基本性质依照题目中的案例，会对分式进行适当的变形.（1）根据真分式的定义判断即可；（2）可借助平方差公式，先给x2减1再加1，将它凑成平方差公式x2-1=（x+1）（x-1）；（3）需将假分式等量变形成带分式，然后对取整. 39．1月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品，甲商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件． (1)求该商品的单价； (2)2月份，两商店以单价元/件（低于1月份单价）再次购进该商品，购进总价均不变． ①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小． ②已知，甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分，剩余部分与2月份购进的商品一起售卖，2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，第二次在第一次基础上再降价2元全部售出，两个月的总利润为1050元，求甲商店1月份可能售出该商品的数量． 【答案】(1)该商品的单价为21元 (2)①甲的平均单价等于乙的平均单价；②或28 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、分式方程的实际应用、二元一次方程的解、分式加减乘除混合运算 【分析】（1）设该商品的单价为x元，根据商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件列出方程求解即可； （2）①分别求出甲、乙两次一共购买的商品数量，进而求出甲、乙的平均单价，然后比较大小即可；②先求出甲商品一月份一共购进的商品数量为件 二月份甲购进的商品数量为件，设一月份售出m件，二月份第一次售出n件，则二月份第二次售出件，再根据销售额成本利润列出方程推出，再由m、n都是正整数，得到，由2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，得到，进而得到且m是正整数，再由也是正整数，得到m必须是偶数，即m的值为或28． 由题意得，， 【详解】（1）解：设该商品的单价为x元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴该商品的单价为21元； （2）解：①由题意得，甲两次一共购买的商品数量为件， 乙两次一共购买的商品数量为， ∴甲的平均单价为， 乙的平均单价为， 即， ∴甲的平均单价等于乙的平均单价； ②甲商品一月份一共购进的商品数量为件 当时，则二月份甲购进的商品数量为件， 设一月份售出m件，二月份第一次售出n件，则二月份第二次售出件， 由题意得，， ∴， ∴； ∴， ∵m、n都是正整数， ∴， ∴， ∵2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半， ∴， ∴， ∴， ∴且m是正整数， 又∵也是正整数， ∴m必须是偶数， ∴m的值为或28． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，分式混合计算的实际应用，二元一次方程的解，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意找到等量关系和不等式关系是解题的关键． 40．如果有一个三位数，百位为9，十位和个位之和也是9，我们把这个三位数称为“尔畔数”，把的百位和个位互换位置得到数．并规定，例如918，∵且百位是9，∴918是“尔畔数”，． （1）判断946是不是“尔畔数”，求出； （2）已知和都是“尔畔数”，且，并规定，求的最大值为多少？ 【答案】（1）946不是“尔畔数”； ；（2）的最大值为． 【知识点】分式加减乘除混合运算、新定义下的实数运算 【分析】（1）仿照样例进行计算便可； （2）设s和t的个位数分别是，且，，根据样例求出，，再根据，求得，，进而求得的最大值． 【详解】（1）∵， ∴946不是“尔畔数”； ； （2）∵s和t都是“尔畔数”， 设s和t的个位数分别是，且，， ∴， ， ， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴越大，才越大， ∴当时，最大，最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了新定义，分式的运算，关键是根据新定义，把新知识转化为常规知识进行解答． 学科网（北京）股份有限公司 $$