山东省青岛市城阳第一高级中学2024-2025学年高二上学期期末数学综合练习题

高二期末综合练习题 一、单选题： 1.甲、乙两人投篮相互独立，且各投篮一次命中的概率分别是0．4和0．3，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率为(　　) A．0．7　　　　　　　　　 B．0．58 C．0．12 D．0．46 2. 已知数列{an}的前n项和Sn＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．4 3.已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4.某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，则该校中级职称和高级职称教师年龄的方差约是（ ）． A 20.67 B 24 C 30 D 27 5. 　已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）． A y＝±x B y＝±2x C y＝±x Dy＝±x 7.已知方程＋＝1表示的曲线为C，任取a，b∈{1,2,3,4,5}，则曲线C表示焦距等于2的椭圆的概率等于( )． A B C D 7. 已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E为棱CC1的中点，点M在正方形BCC1B1内运动，且直线AM∥平面A1DE，则动点M的轨迹长度为(　　) A．　　　　　　　　 B． C．2 D．π 8. 已知是双曲线的右焦点，过点的直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，且直线与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题： 9. (多选)为了提升小学生的运算能力，某市举办了“小学生计算大赛”，并从中选出“计算小达人”．现从全市参加比赛的学生中随机抽取1 000人的成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．规定得分在90分及以上的被评为“计算小达人”．下列说法正确的是(　　) A．m的值为0．015 B．该市每个小学生被评为“计算小达人”的概率约为0．01 C．被抽取的1 000名小学生的平均分大约是85分 D．现准备在这1 000名学生中，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为20的样本，则须抽取成绩为[80,100]的学生5人 10. 1202年，斐波那契在《算盘全书》中从“兔子繁殖问题”得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，…，该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和．记为该数列的前n项和，则下列结论正确的有（    ） A． B．为偶数 C． D． 11. 如图，长方体中，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是（    ） A．四面体的体积为定值 B．点到平面的距离 C．异面直线与所成的角为 D．存在点，使得直线与平面所成的角为 三、填空题： 12. 已知抛物线的焦点在圆2+=1内 ，则抛物线的方程可以是________． A =3x B =4x C =5x D=6x 13．如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则 . 14.已知等差数列的首项为4，公差为6，在中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列.数列的通项公式_________________ 四、解答题： 15.定义n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”为，若各项均为正数的数列{an}的前n项的“均倒数”为， (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求． 16.设点T为(x－1)2＋y2＝1上的动点，CT是圆的切线且|CT|＝1， （1）求C点的轨迹方程 （2）过点M(1，-2)作C点轨迹的切线，切点分别为A，B，求切点弦AB所在直线的方程 （3）已知点N为C轨迹上任意一点，P，Q为直线3x＋4y＋5＝0上的两动点，且|PQ|＝2，则求△NPQ的面积的取值范 围 17．有一种击球比赛，把从裁判发球哨响开始到之后裁判第一哨响止，叫做一回合，每一回合中，发球队赢球后得分1分并在下一回合发球，另一队得零分，发球队输球后，比赛双方均得零分，下一回合由另一队发球，甲乙两球队正在进行这种击球比赛，从以往统计结果看，每一回合，甲乙两队输赢球的概率都相等． (1)在连续三个回合中，第一回合由甲队发球，求甲队得1分的概率； (2)比赛进入决胜局，两队得分均为25分．在接下来的比赛中，甲队第一回合发球，若甲乙两队某一队得分比对方得分多2分，则比赛结束，得分多的队获比赛胜利，求甲队在第四回合获得比赛胜利的概率． 18如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面 (2)求二面角的正弦值． 19. 如图，圆的圆心O(-,0)，半径为定长4，A(,0)是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时， (1)求椭圆Q的标准方程； 如图，圆的圆心O(-1,0)，半径为定长2，A(1,0)是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时， (1)求点Q的轨迹方程； （2）设F（1,0），过F的直线l与Q的轨迹交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)． 设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二期末综合练习题 一、单选题： 1.甲、乙两人投篮相互独立，且各投篮一次命中的概率分别是0．4和0．3，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率为(　　) A．0．7　　　　　　　　　 B．0．58 C．0．12 D．0．46 【详解】两个人各投篮一次命中的概率分别是0．4和0．3，所以都没有命中的概率为(1－0．4)×(1－0．3)＝0．42，所以至少有一人命中的概率为1－0．42＝0．58．故选B． 2. 已知数列{an}的前n项和Sn＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．4 【详解】　显然数列{an}的公比不等于1，所以Sn＝＝·qn－＝4n＋b，所以b＝－1． 3.已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为是空间的一个单位正交基底，则 则， 则空间向量在方向上的投影向量为， 故选：D. 4.某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，则该校中级职称和高级职称教师年龄的方差约是（ ）． A 20.67 B 24 C 30 D 27 【详解】由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为高＝＝45(岁)， 年龄的方差为s＝×[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73， 所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为＝×38＋×45≈39(岁)， 该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差为s2＝×[2＋(38－39)2]＋×[73＋(45－39)2]≈20．67． 5. 　已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）． A y＝±x B y＝±2x C y＝±x Dy＝±x 【详解】　＝＝＝，故双曲线C的渐近线方程为：y＝±x． [答案]　y＝±x 7.已知方程＋＝1表示的曲线为C，任取a，b∈{1,2,3,4,5}，则曲线C表示焦距等于2的椭圆的概率等于( )． A B C D 【详解】所有可能的(a，b)的组数为5×5＝25，又因为焦距2c＝2，所以c＝1，所以a－b＝±1，则满足条件的有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)，共8组，所以概率为P＝． 7. 已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E为棱CC1的中点，点M在正方形BCC1B1内运动，且直线AM∥平面A1DE，则动点M的轨迹长度为(　　) A．　　　　　　　　 B． C．2 D．π 【详解】　以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则＝(2,0,2)，＝(0,2,1)，则平面A1DE的一个法向量为n＝(2,1，－2)．设M(x,2，z)，则＝(x－2,2，z)．由·n＝0，得2(x－2)＋2－2z＝0⇒x－z＝1，故点M的轨迹为以BC，BB1的中点为端点的线段，长为＝．故选B． 8. 已知是双曲线的右焦点，过点的直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，且直线与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【详解】设的左焦点为，连接，过作于， 易知，所以为的中位线， 又图中双曲线的渐近线方程为， 则，， 则为线段的中点，所以为等腰三角形，即， 又， 即， ，即，， 解得. 二、多选题： 9. (多选)为了提升小学生的运算能力，某市举办了“小学生计算大赛”，并从中选出“计算小达人”．现从全市参加比赛的学生中随机抽取1 000人的成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．规定得分在90分及以上的被评为“计算小达人”．下列说法正确的是(　　) A．m的值为0．015 B．该市每个小学生被评为“计算小达人”的概率约为0．01 C．被抽取的1 000名小学生的平均分大约是85分 D．现准备在这1 000名学生中，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为20的样本，则须抽取成绩为[80,100]的学生5人 【详解】　对于A选项，由频率分布直方图可知(0．01＋m＋0．025＋0．05)×10＝1，解得m＝0．015，A对；对于B选项，该市每个小学生被评为“计算小达人”的概率约为10×0．01＝0．1，B错；对于C选项，被抽取的1 000名小学生的平均分大约是65×0．25＋75×0．5＋85×0．15＋95×0．1＝76分，C错；对于D选项，现准备在这1 000名学生中，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为20的样本，则须抽取成绩为[80,100]的学生人数为20×(0．015＋0．01)×10＝5，D对．故选A、D． 10. 1202年，斐波那契在《算盘全书》中从“兔子繁殖问题”得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，…，该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和．记为该数列的前n项和，则下列结论正确的有（    ） A． B．为偶数 C． D． 【详解】对于A，记该数列为，由题意知，，，，， ，，，， ，，故A正确； 对于B，因为该数列的特点是前两项为1，从第三项起，每一项都等于它前面两项的和， 此数列中数字以奇数、奇数、偶数的规律循环出现，每3个数一组， 而，故为奇数，故B错误； 对于C，由题意知，所以， ，故C正确； 对于D，， 故D正确． 故选：ACD. 11. 如图，长方体中，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是（    ） A．四面体的体积为定值 B．点到平面的距离 C．异面直线与所成的角为 D．存在点，使得直线与平面所成的角为 【详解】A选项，证明出线面平行，得到点到平面的距离为定值，结合为定值，故四面体的体积为定值，A正确；B选项，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到点到平面的距离；C选项，利用异面直线夹角向量公式求出答案；D选项，设出点的坐标，利用线面角的向量求解公式得到，D正确. 【详解】A选项，因为，平面，平面， 所以平面， 又点在线段上运动，所以点到平面的距离为定值， 又为定值，故四面体的体积为定值，A正确； B选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故， 故点到平面的距离 ，B正确； C选项，，， 则， 故异面直线与所成的角不为，C错误； D选项，设，， 由B选项知，平面的法向量为 设直线与平面所成角为， 则， 令，解得，负值舍去， 故存在点，使得直线与平面所成的角为，D正确. 故选：ABD 三、填空题： 12. 已知抛物线的焦点在圆2+=1内 ，则抛物线的方程可以是________． A =3x B =4x C =5x D=6x 【详解】由题得圆是以(2,0)为圆心，1为半径的圆，抛物线的焦点， 由焦点在圆内得-2)2<1即2<p<6， 13．如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则 . 【详解】在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点， 所以 又 所以 即. 故答案为：. 14.已知等差数列的首项为4，公差为6，在中每相邻两项之间都插入两个数，使它们和原数列的项一起构成一个新的等差数列.数列的通项公式_________________ 【详解】由题意知b1=4 b4=10 b4=b1+(n-1)d d=2 bn=2(n+1) 四、解答题： 15.定义n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”为，若各项均为正数的数列{an}的前n项的“均倒数”为， (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求． 【详解】设数列{an}的前n项和为Sn，由已知可得数列{an}的前n项的“均倒数”为＝＝，可得Sn＝(2n)n＝2n2 =-=4n-2 （2）由（1）可知：=(4n-2)=(2n-1) ； 16.设点T为(x－1)2＋y2＝1上的动点，CT是圆的切线且|CT|＝1， （1）求C点的轨迹方程 （2）过点M(1，-2)作C点轨迹的切线，切点分别为A，B，求切点弦AB所在直线的方程 （3）已知点N为C轨迹上任意一点，P，Q为直线3x＋4y＋5＝0上的两动点，且|PQ|＝2，则求△NPQ的面积的取值范围 【详解】（1）　由题意可得(x－1)2＋y2＝1的圆心(1,0)到P点的距离为，所以点P在以(1,0)为圆心，为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2 (2) 由圆C：(x－1)2＋y2＝2知：其圆心为C(1,0)，半径为.连接CD，以线段CD为直径的圆的方程为(x－1)(x－1)＋(y＋2)(y－0)＝0，整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝1. 将两圆的方程相减，可得公共弦AB所在直线的方程为y＋1＝0. (3)圆C的标准方程为(x－1)2＋y2＝2，圆心C(1，0)，半径r＝，圆心C到直线3x＋4y＋7＝0的距离d＝＝2，设N到直线PQ的距离为h，则S△ABP＝·|PQ|·h＝h，∵d－r≤h≤d＋r，∴2-≤h≤2+，∴S△ABP∈[2-,2+]，即△ABP的面积的取值范围为[2-,2+]． 17．有一种击球比赛，把从裁判发球哨响开始到之后裁判第一哨响止，叫做一回合，每一回合中，发球队赢球后得分1分并在下一回合发球，另一队得零分，发球队输球后，比赛双方均得零分，下一回合由另一队发球，甲乙两球队正在进行这种击球比赛，从以往统计结果看，每一回合，甲乙两队输赢球的概率都相等． (1)在连续三个回合中，第一回合由甲队发球，求甲队得1分的概率； (2)比赛进入决胜局，两队得分均为25分．在接下来的比赛中，甲队第一回合发球，若甲乙两队某一队得分比对方得分多2分，则比赛结束，得分多的队获比赛胜利，求甲队在第四回合获得比赛胜利的概率． 【详解】(1)用A表示事件“一回合中，甲队赢球”，则三个回合中，所有可能结果是：AAA，AA，AA，AA，A， A，A，，共8个，其中只有AA，A，AA三个结果，甲队得1分． 设“在连续三个回合中，第一回合由甲队发球．甲队得1分”为事件B，则P(B)＝， 所以，甲队得1分的概率为． (2)打完四回合的所有可能结果是：AAA，AAA，AA，AA，AA，AA，AA，A，A，A，共10个，其中只有AAA，AAA两个结果，甲队在第四回合比乙队多2分，甲获胜．设“甲队在第四回合获比赛胜利”为事件C，则P(C)＝＝． 所以，甲队在第四回合获得比赛胜利的概率为． 18如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】（1）结合已知易证四边形为平行四边形，可证，进而得证； （2）作交于，连接，易证三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解. 【详解】（1）因为为的中点，所以， 四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面，所以平面； （2）如图所示，作交于，连接， 因为四边形为等腰梯形，，所以， 结合（1）为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，为中点，所以， 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以， 四边形为平行四边形，， 所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，， 因为，所以，所以互相垂直， 以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， ，，， ，设平面的法向量为， 平面的法向量为， 则，即，令，得，即， 则，即，令，得， 即，，则， 故二面角的正弦值为. 19. 如图，圆的圆心O(-,0)，半径为定长4，A(,0)是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时， (1)求椭圆Q的标准方程； 如图，圆的圆心O(-1,0)，半径为定长2，A(1,0)是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时， (1)求点Q的轨迹方程； （2）设F（1,0），过F的直线l与Q的轨迹交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)． 设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB． 【详解】(1)连接QA(图略)．由已知得|QA|＝|QP|．所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝2．又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|，根据椭圆的定义知，点Q的轨迹是以O(-1,0)，(1,0)为焦点，2为长轴长的椭圆．椭圆方程为＋y2＝1 (2)证明：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°．当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线， 所以∠OMA＝∠OMB．当l与x轴既不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1<，x2<，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝＋．由y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)得，kMA＋kMB＝．将y＝k(x－1)代入＋y2＝1得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0． 所以x1＋x2＝，x1x2＝．则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝＝0． 从而kMA＋kMB＝0，故MA，MB的倾斜角互补． 所以∠OMA＝∠OMB．综上，∠OMA＝∠OMB． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$