重难点12 《一元一次方程》十二大重难点题型-2024-2025学年七年级数学上册期末复习【重点·难点】专练（人教版2024）

重难点12《一元一次方程》十大重难点题型 ▲知识点1. 方程及一元一次方程的概念 ★方程的有关概念 ◆1、定义：含有未知数的等式叫做方程． ◆2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. ◆3、解方程：求方程的解的过程叫做解方程． ◆4、方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母 (或未知数). ★一元一次方程的有关概念 ◆一元一次方程：只含有一 个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程. 【注意】“元”是指未知数的个数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是 1；④分母中不含有未知数. ★列方程的步骤： ①设出字母所表示的未知数； ②找出问题中的相等关系； ③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程． ▲知识点2. 根据实际问题列方程 1、列方程的依据： 2、审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程． ▲知识点3. 等式的性质 1、等式的性质 性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 2、利用等式的性质解方程 利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化． ▲知识点4 解一元一次方程---合并同类项 1、利用合并同类项解一元一次方程的一般步骤和方法： （1）合并同类项，即把含有未知数的同类项和常数项分别合并; （2）系数化为 1，即在方程的两边同时除以未知数的系数. ▲知识点5. 解一元一次方程---移项 1、移项：一般地，把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项. 2、移项的依据及注意事项： （1）移项是将项从等号的一边移到另一边的变形，移项实际上是利用等式的性质 1. （2）移项一定要变号. （3）在解方程时，习惯上把含有未知数的项放在等号的左边，常数项放在等号的右边. （4）方程中的项包括数和它前面的符号. （5）不要把移项和加法交换律混淆. ▲知识点6. 解一元一次方程---去括号 ◆1、去括号的概念：解一元一次方程时，按照去括号法则把方程中的括号去掉，这个过程叫做去括号. 2、去括号的法则： 去掉“+( )”，括号内各项的符号不变. 去掉“–( )”，括号内各项的符号改变. 3、去括号的顺序： 先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号；也可以由外向内去括 号，先去大括号，再去中括号，最后去小括号.运用乘法分配律去括号时，不要漏掉括号内 的任何一项. 4、解含有括号的方程一般步骤： （1）去括号. （2）移项. （3）合并同类项 . （4）系数化为1. ▲知识点7. 解一元一次方程---去分母 1、 去分母的概念：解含有分母系数的一元一次方程时，方程两边各项都乘所有分母的最小公倍数，从而约去分母，使方程的系数化成整数，这个过程叫做去分母. 2.“去分母”的依据是等式的性质二. . 3“去分母的方法：“去分母”的方法是方程两边同时乘以分母的最小公倍数. . 4、“去分母”的注意事项： （1）去分母时，方程两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项. （2）去分母时，若分子是多项式，去掉分母后这个多项式要加上括号. （3）当分母含有小数时，先利用分数的基本性质把小数化为整数，再去分母. 5、去分母解方程的步骤是： ①去分母； ② 去括号 ；③ 移项 ；④ 合并同类项； ⑤系数化为1 . ▲知识点8. 用一元一次方程解决问题 ★★列方程解应用题的步骤： 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． ★★用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 【题型1 方程的有关概念】 1．（2024春•市中区期末）下列各式中，是方程的是（　　） A．3﹣2＝1 B．y﹣5 C．3m＞2 D．x＝5 【分析】根据方程的定义解答即可． 【解答】解：A、3﹣2＝1中不含有未知数，不是方程，不符合题意； B、y﹣5不是等式所以不是方程，不符合题意； C、3m＞2不是等式所以不是方程，不符合题意； D、x＝5是含有未知数的等式，是方程，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查的是方程的定义，熟知含有未知数的等式叫方程是解题的关键． 2．（2024•南岗区校级开学）下列式子中，方程的个数是（　　） ①3×3+1＝5×2；②（y﹣2）2≥0；③3x+1＝5y；④；⑤x+y+z； A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据方程的定义：含有未知数的等式叫方程可得答案． 【解答】解：①3×3+1＝5×2中不含有未知数，不是方程； ②（y﹣2）2≥0不是等式，不是方程； ③3x+1＝5y、④符合方程的定义； ⑤x+y+z是代数式，不是等式，不是方程． 故选：A． 【点评】此题主要考查了方程的定义．方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． 3．（2023秋•台山市期末）已知下列方程：①x﹣2；②0.2x＝1；③x﹣3；④x﹣y＝6；⑤x＝0，其中一元一次方程有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．即可判断． 【解答】解：根据一元一次方程定义可知： 下列方程： ①x﹣2； ②0.2x＝1； ③x﹣3； ④x﹣y＝6； ⑤x＝0， 其中一元一次方程有②⑤． 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次方程的定义，解决本题的关键是掌握一元一次方程的定义． 4．（2023秋•莲池区期末）已知关于x的方程ax|a﹣1|﹣3＝0是一元一次方程，则a的值是（　　） A．2 B．0 C．1 D．0或2 【分析】根据一元一次方程的定义求解即可． 【解答】解：由题意，得： |a﹣1|＝1，且a≠0， 解得a＝2， 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为1． 5．（2023秋•平桥区期末）若（m﹣3）x|m﹣2|+6＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为 　 　． 【分析】根据一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： |m﹣2|＝1且m﹣3≠0， ∴m＝3或1且m≠3， ∴m＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了绝对值，一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 6．（2023秋•宝应县期末）已知关于x的方程（m+5）x|m|﹣4+18＝0是一元一次方程． （1）求m的值； （2）求代数式5x﹣3m的值． 【分析】（1）根据一元一次的定义列出关于m的不等式和方程，求出m的值即可； （2）把m＝5代入方程求出5x的值，再把m，5x的值代入代数式即可得出结论． 【解答】解（1）|m|﹣4＝1且m+5≠0， 解得m＝5； （2）当m＝5时，原方程可化为：10x+18＝0， 解得5x＝﹣9， 将m＝5，5x＝﹣9代入得﹣9﹣3×5＝﹣9﹣15＝﹣24． 【点评】本题考查的是一元一次方程，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程是解题的关键． 【题型2 等式的基本性质】 1．（2023秋•红旗区校级期末）下列运用等式的性质的变形中，正确的是（　　） A．如果a＝b，那么a+1＝b﹣1 B．如果，那么2a＝4b C．如果ac＝bc，那么a＝b D．如果a2＝3a，那么a＝3 【分析】等式的性质1：等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式；②等式的性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式．根据等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：A．如果a＝b，那么a+1＝b+1，故选项错误，不符合题意； B．如果，那么2a＝4b，选项正确，符合题意； C．如果ac＝bc，c≠0时，那么a＝b，故选项错误，不符合题意； D．如果a2＝3a，a≠0时，那么a＝3，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查等式的性质，关键是熟练掌掘等式的性质． 2．（2024秋•青羊区校级月考）根据等式的性质，下列变形错误的是（　　） A．如果x＝y，那么x+1＝y+1 B．如果x＝3，那么xy＝3y C．如果ax＝ay，那么x＝y D．如果2﹣x＝3x，那么3x+x＝2 【分析】根据等式的性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．进行验算、判断． 【解答】解：A、如果x＝y，等式两边都加1，即x+1＝y+1，选项正确，不符合题意； B、如果x＝3，等式两边都乘y，即xy＝3y，选项正确，不符合题意； C、如果ax＝ay，当a＝0时，等式两边不能除以a，即x＝y不成立，选项错误，符合题意； D、如果2﹣x＝3x，等式两边都加x，即3x+x＝2，选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了等式的性质，掌握等式两边除以一个不为零的数，等式仍然成立是关键． 3．（2023秋•和平区校级期末）下列各式进行的变形中，不正确的是（　　） A．若3a＝2b，则3a+2＝2b+2 B．若3a＝2b，则9a＝4b C．若3a＝2b，则3a﹣5＝2b﹣5 D．若3a＝2b，则 【分析】根据等式的性质逐个判断即可． 【解答】解：A．∵3a＝2b， ∴3a+2＝2b+2，故本选项不符合题意； B．∵3a＝2b， ∴9a＝6b≠4b，故本选项符合题意； C．∵3a＝2b， ∴3a﹣5＝2b﹣5，故本选项不符合题意； C．∵3a＝2b， ∴（等式两边都除以6），故本选项不符合题意； D．当a＝0时，由a2＝6a不能推出a＝6，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：①等式的性质1、等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立；②等式的性质2、等式的两边都乘同一个数，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立． 4．（2023秋•渌口区期末）能运用等式的性质说明如图事实的是（　　） A．若a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不为0） B．若a＝b，那么a+c＝b+c（a，b，c均不为0） C．若a﹣c＝b﹣c，那么a＝b（a，b，c均不为0） D．若ac＝bc，那么a＝b（a，b，c均不为0） 【分析】利用图形直观得出答案． 【解答】解：由图可知，等式的左右两边都减去同一个数或整式，左右两边仍然相等， 故答案为：A． 【点评】本题考查的是等式的性质，读图是解题的关键． 5．（2023秋•麻阳县期末）下列等式变形：①若a＝b，则a+x＝b+x；②若ax＝﹣ay，则x＝﹣y；③若4a＝3b，则4a﹣3b＝1；④若，则4a＝3b；⑤若，则2x＝3y．其中一定正确的是 　 　（填正确的序号） 【分析】根据等式的性质，结合各选项进行判断即可． 【解答】解：①若a＝b，则a+x＝b+x，变形正确； ②若ax＝﹣ay，且a≠0时，则x＝﹣y，变形不正确； ③若4a＝3b，则4a﹣3b＝0，变形不正确； ④若，则4a＝3b，变形正确； ⑤若，则2x＝3y，变形正确． 故答案为：①④⑤． 【点评】本题考查了等式的性质，注意掌握：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 6．（2023春•滨江区期末）已知t（a，b是常数，x≠﹣a）．① （1）若a＝﹣2，b，求t； （2）试将等式①变形成“Ax＝B”形式，其中A，B表示关于a，b，t的整式； （3）若t的取值与x无关，请说明ab＝﹣1． 【分析】（1）将a＝﹣2，b，代入t进行计算即可； （2）根据等式的性质，依次进行去分母、去括号、移项、合并同类项即可； （3）由t的取值与x无关可得b＝t，进而得到ta+1＝0，即ab+1＝0，得出结论． 【解答】解：（1）当a＝﹣2，b时， t； （2）将t两边都乘以（x+a）得， t（x+a）＝bx﹣1， 去括号得，tx+ta＝bx﹣1， 移项得，tx﹣bx＝﹣1﹣ta， 两边都乘以﹣1得，bx﹣tx＝ta+1， 即（b﹣t）x＝ta+1， ∴A＝b﹣t，B＝ta+1； （3）∵t的取值与x无关， ∴b﹣t＝0，即b＝t， ∴ta+1＝0，即ab+1＝0， ∴ab＝﹣1． 【点评】本题考查等式的性质，掌握等式的性质是正确解答的前提． 【题型3一元一次方程的解法】 1．（2024秋•长沙期中）下列方程的变形正确的是（　　） A．由4x+3＝8x+7，得4x﹣8x＝3﹣7 B．由﹣8x+3＝﹣13x﹣7，得﹣8x+13x＝﹣7﹣3 C．由3x﹣2＝2x﹣1，得3x﹣2x＝1+2 D．由﹣5x﹣7＝2x﹣11，得11﹣7＝2x﹣5x 【分析】根据等式的性质逐项判断即可． 【解答】解：A、由4x+3＝8x+7，得4x﹣8x＝7﹣3，原变形错误，故此选项不符合题意； B、由﹣8x+3＝﹣13x﹣7，得﹣8x+13x＝﹣7﹣3，正确，故此选项符合题意； C、由3x﹣2＝2x﹣1，得3x﹣2x＝﹣1+2，原变形错误，故此选项不符合题意； D、由﹣5x﹣7＝2x﹣11，得11﹣7＝2x+5x，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了解一元一次方程，等式的性质，注意移项时要改变符号． 2．（2023秋•斗门区期末）解方程去分母正确的是（　　） A．3（x+1）﹣2x﹣3＝6 B．3（x+1）﹣2x﹣3＝1 C．3（x+1）﹣（2x﹣3）＝12 D．3（x+1）﹣（2x﹣3）＝6 【分析】这是一个带分母的方程，所以要先找出分母的最小公倍数，去分母即可． 【解答】解：由此方程的分母2，6可知，其最小公倍数为6， 故去分母得：3（x+1）﹣（2x﹣3）＝6． 故选：D． 【点评】去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号． 3．（2023秋•临武县校级月考）解方程1时，去分母正确的是（　　） A．4（2x﹣1）﹣9x﹣12＝1 B．8x﹣4﹣3（3x﹣4）＝12 C．4（2x﹣1）﹣9x+12＝1 D．8x﹣4+3（3x﹣4）＝12 【分析】先将方程中的小数化为整数，再根据等式的性质方程两边同时乘以12，进而即可求解． 【解答】解：， 分子分母同时乘以10得：， 方程两边同时乘以12得，4（2x﹣1）﹣3（3x﹣4）＝12， 即8x﹣4﹣3（3x﹣4）＝12， 故选：B． 【点评】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤去分母是解题的关键． 4．（2024秋•武汉期中）解方程： （1）x﹣3x+1； （2）3x3． 【分析】（1）移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【解答】解：（1）x﹣3x+1， 4， x＝﹣8； （2）3x3， 去分母得：18x+3（x﹣1）＝18﹣2（2x﹣1）， 去括号得：18x+3x﹣3＝18﹣4x+2， 移项、合并得：25x＝23， 系数化为1得：x． 【点评】此题考查了解一元一次方程，去括号时注意括号前面是负号的情况，去分母时注意分母为1的项也要乘以最小公倍数． 5．（2024秋•南岗区校级月考）解方程： （1）8x﹣3（3x+2）＝6； （2）3（x﹣2）＝2﹣5（x+2）； （3）； （4）． 【分析】（1）先去括号，再移项，并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （2）先去括号，再移项，并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （3）先去分母，再括号，移项，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． （4）先去分母，再括号，移项，合并同类项，最后系数化1，据此即可作答． 【解答】解：（1）去括号，8x﹣9x﹣6＝6， 移项，8x﹣9x＝6+6， 合并同类项，﹣x＝12， 系数化1，x＝﹣12； （2）3（x﹣2）＝2﹣5（x+2）， 去括号，3x﹣6＝2﹣5x﹣10， 移项，3x+5x＝2﹣10+6， 合并同类项，8x＝﹣2， 系数化1，； （3）去分母，3（3y﹣1）﹣12＝2（5y﹣7）， 去括号，9y﹣3﹣12＝10y﹣14， 移项，9y﹣10y＝12+3﹣14， 合并同类项，﹣y＝1， 系数化1，y＝﹣1； （4）去分母，3（x﹣1）﹣12＝2（2x+3）+4（x+1）， 去括号，3x﹣3﹣12＝4x+6+4x+4， 移项，3x﹣4x﹣4x＝3+6+12+4， 合并同类项，﹣5x＝25， 系数化1，x＝﹣5． 【点评】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 6．（2023秋•平顶山期末）解方程：1，小华的过程如下： 解：去分母，得：4（2x﹣1）＝3（x+2）﹣1……第一步 去括号，得：8x﹣4＝3x+6﹣1 ……第二步 移项、合并同类项，得：5x＝9……第三步 系数化为1，得：x ……第四步 （1）请你指出上述过程从第 　 　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　 ； （2）写出该方程的正确求解过程． 【分析】（1）观察已知条件中的解方程的过程可知：去分母时，方程两边要同时乘各分母的最小公倍数12，由此可以得到答案； （2）按照解一元一次方程的一般步骤进行解答即可． 【解答】解：（1）解方程过程从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是：﹣1没有乘12， 故答案为：一，﹣1没有乘12； （2）正确的求解过程如下： 去分母得：4（2x﹣1）＝3（x+2）﹣12， 去括号得：8x﹣4＝3x+6﹣12， 移项得：8x﹣3x＝4+6﹣12， 合并同类项得：5x＝﹣2， 系数化为1得：． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次方程时需要注意的事项． 【题型4 方程解中的遮挡问题】 1．方程﹣3（•﹣9）＝5x﹣1，•处被墨水盖住了，已知方程的解x＝2，那么•处的数字是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】设•处的数字是a，把x＝2代入已知方程，可以列出关于a的方程，通过解该方程可以求得•处的数字． 【解答】解：设•处的数字是a， 则﹣3（a﹣9）＝5x﹣1， 将x＝2代入，得：﹣3（a﹣9）＝9， 解得a＝6， 故选：D． 【点评】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 2．（2023秋•荣成市期末）有一道解一元一次方程的题：3x﹣（5口x）＝﹣9，“口”处为运算符号，在印刷时被油墨盖住了，查阅后面的答案得知这个方程的解是x＝﹣2，那么“口”处应该是（　　） A．× B．÷ C．+ D．﹣ 【分析】根据方程的解的定义把x＝﹣2代入方程，就可以求出被油墨盖住的地方了． 【解答】解：把x＝﹣2代入方程3x﹣（5口x）＝﹣9得， 3×（﹣2）﹣[5口（﹣2）]＝﹣9， 5口（﹣2）＝3， ∵5+（﹣2）＝3， ∴口处应该是+， 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，熟知方程解的定义是解题的关键． 3．（2023秋•峨山县期末）小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据方程的解是x＝9，把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，解出方程即可． 【解答】解：把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，得 2×（9﹣3）﹣■＝9+1， 解得■＝2； 故选：C． 【点评】本题考查了方程的解，掌握代入计算法是解题关键． 4．（2023秋•长安区期末）小明同学在解方程（1）＝x时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，请帮他推算被染了的数字“■”应该是 　 　． 【分析】设“■”表示的数为a，将一元一次方程的解代入求解即可得出结果． 【解答】解：设“■”表示的数为a， 将代入方程得：， 解得a＝5， 即“■”表示的数为a＝5， 故答案为：a＝5． 【点评】本题主要考查一元一次方程的解及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题关键． 5．（2023秋•邢台期末）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现常数■被污染了． （1）嘉淇猜■是2，请解一元一次方程； （2）若老师告诉嘉淇这个方程的解x＝﹣1，求被污染的常数． 【分析】（1）按照去分母，移项合并，系数化1的步骤求解即可； （2）设被污染的正整数为m，则有，再把x＝﹣1代入方程，即可求解． 【解答】解：（1）， 去分母得，3x﹣1+4＝6， 移项，合并同类项得3x＝3， 系数化为1，得x＝1； （2）设被污染的正整数为m，则有， ∵x＝﹣1是方程的解， ∴， 解得m＝5． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤． 6．（2023秋•海安市期中）小亮在解关于x的一元一次方程■＝3时，发现正整数■被污染了． （1）小亮猜■是5，则方程的解x＝　 ； （2）若老师告诉小亮这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？ 【分析】（1）利用去分母，移项，合并同类项，系数化1，可得答案； （2）设被污染的正整数为m，则有m＝3，求解可得答案． 【解答】解：（1）， 去分母，得3x﹣1+10＝6， 移项，合并同类项得3x＝﹣3， 系数化1，得x＝﹣1； 故答案为：﹣1； （2）设被污染的正整数为m，则有m＝3， 3x﹣1+2m＝6， 解得x， ∵是正整数，m为正整数， ∴m＝2． 即被污染的正整数是2． 【点评】此题考查的是一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 【题型5 直接代入解，解决字母参数的问题】 1．（2024秋•海淀区校级期中）已知关于x的方程1+kx＝x的解是x＝2，则k的值为（　　） A．2 B． C． D． 【分析】把把x＝2代入原方程1+kx＝x中进行计算即可． 【解答】解：把x＝2代入方程中得： 1+2k＝2， ∴2k＝2﹣1， ∴k， 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，把x＝2代入原方程准确地进行计算是解题的关键． 2．若关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x|＝1，则m的值是（　　） A．或 B． C． D．或 【分析】解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． 【解答】解：因为方程|x|＝1， 所以x±1， 解得x或x， 因为关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x|＝1， 所以解方程x+2＝2（m﹣x）得， m， 当x时，m， 当x时，m． 所以m的值为：或． 故选：A． 【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，解决本题的关键是解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论． 3．（2024秋•鼓楼区校级月考）若x＝2是关于x的方程ax+b＝3的解，则代数式的值是 　 　． 【分析】将x＝2代入原方程，可得出2a+b＝3，再将其代入a（2a+b）中，即可求出结论． 【解答】解：将x＝2代入原方程得：2a+b＝3， ∴a（2a+b）3． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 4．（2023秋•烟台期末）已知x＝﹣1是关于x的方程2a+2＝﹣1﹣bx的解．求代数式5（2a﹣b）﹣2a+b+2的值． 【分析】根据方程解的定义，把x＝﹣1代入关于x的方程2a+2＝﹣1﹣bx，即可得出代数式5（2a﹣b）﹣2a+b+2的值． 【解答】解：当x＝﹣1时，2a+2＝﹣1+b， 即2a﹣b＝﹣3， ∴5（2a﹣b）﹣2a+b+2 ＝5（2a﹣b）﹣（2a﹣b）+2 ＝﹣15+3+2 ＝﹣10． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，以及整式的加减，把2a﹣b作为整体，是数学中常用的整体思想． 5．（2023秋•江源区月考）若y＝4是关于y的方程m＝5（y﹣m）的解，则关于x的方程m﹣5＝0的解是多少？ 【分析】把y＝4代入方程m＝5（y﹣m），即可求得m的值，然后把m的值代入第二个方程，解方程即可求解． 【解答】解：因为y＝4是方程m＝5（y﹣m）的解， 所以4﹣m＝5（4﹣m），解得m＝4． 将m＝4代入m﹣5＝0得5x﹣1＝0， 解得x， 所以关于x的方程m﹣5＝0的解是x． 【点评】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程成立的未知数的值，理解定义是关键． 【题型6 一元一次方程同解问题】 1．（2023秋•宁波期末）如果2x+6＝a的解与﹣2x+5＝4﹣3x的解相同，则a的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】首先计算出方程﹣2x+5＝4﹣3x的解，再把x的值代入方程2x+6＝a，解出a即可． 【解答】解：﹣2x+5＝4﹣3x， 解得：x＝﹣1， 把x＝﹣1代入2x+6＝a中得：2×（﹣1）+6＝a， 解得：a＝4． 故选：A． 【点评】此题主要考查了同解方程，如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程． 2．（2023秋•洪山区期末）如果关于x的方程与的解相同，那么m的值是（　　） A．1 B．±1 C．2 D．±2 【分析】解出第一个方程的解，代入第二个方程，求出m的值即可． 【解答】解：， 去分母得5x﹣1＝14， 移项、合并同类项得5x＝15， 系数化为1得x＝3， 把x＝3代入得1＝2|m|﹣3， ∴2|m|＝4， ∴|m|＝2， ∴m＝±2， 故选：D． 【点评】本题考查了同解方程，绝对值，把第一个方程的解代入第二个方程是解题的关键． 3．（2024春•德化县期中）若方程的解与关于x的方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，则a的值为 　 　． 【分析】先根据等式的性质求出第一个方程的解是x＝10，再把x＝10代入第二个方程得出40﹣（3a+1）＝60+2a﹣1，再根据等式的性质求出方程的解即可． 【解答】解：， 2（x﹣4）﹣48＝﹣3（x+2）， 2x﹣8﹣48＝﹣3x﹣6， 2x+3x＝﹣6+8+48， 5x＝50， x＝10， ∵方程的解与关于x的方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同， ∴把x＝10代入方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1，得40﹣（3a+1）＝60+2a﹣1， 40﹣3a﹣1＝60+2a﹣1， ﹣3a﹣2a＝60﹣1﹣40+1， ﹣5a＝20， a＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了同解方程，能得出关于a的方程40﹣（3a+1）＝60+2a﹣1是解此题的关键． 4．（2023秋•东湖区校级期末）方程4x+2m＝3x+1和方程3x+2m＝6x+1的解相同．求代数式的值． 【分析】分别解出两个方程的解，根据解相同列出方程，解方程即可求出m的值，再代入求值即可． 【解答】解：∵方程4x+2m＝3x+1和方程3x+2m＝6x+1的解分别为x＝1﹣2m和， ∴， ∴， 当时， ＝（﹣1）2012﹣（﹣1）2021 ＝1﹣（﹣1） ＝2． 【点评】本题考查了同解方程，解一元一次方程，列出关于m的方程是解题的关键． 5．（2023春•安岳县校级期中）已知关于x的一元一次方程． （1）求这个方程的解； （2）若这个方程的解与关于x的方程3（x+m）＝﹣（x﹣1）的解相同，求m的值． 【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）根据题意可知x＝﹣3是方程3（x+m）＝﹣（x﹣1）的解，把x＝﹣3代入方程3（x+m）＝﹣（x﹣1）中得到关于m的方程，解方程即可． 【解答】解：（1） 去分母得：2（2x+1）﹣（5x﹣1）＝6， 去括号得：4x+2﹣5x+1＝6， 移项得：4x﹣5x＝6﹣1﹣2， 合并同类项得：﹣x＝3， 系数化为1得：x＝﹣3； （2）由题意得x＝﹣3是方程3（x+m）＝﹣（x﹣1）的解， ∴3（﹣3+m）＝﹣（﹣3﹣1）， ∴3m﹣9＝4， 解得． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【题型7 利用两个方程的解的关系求值】 1．（2023秋•梁山县期末）关于x的方程4x﹣2m＝3x﹣1的解是x＝2x﹣3m的解的2倍，则m的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】分别表示出两个方程的解，根据解的关系列出方程，求出方程的解即可得到m的值． 【解答】解：方程4x﹣2m＝3x﹣1， 解得：x＝2m﹣1， 方程x＝2x﹣3m， 解得：x＝3m， 根据题意得：2m﹣1＝6m， 解得：m． 故选：C． 【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 2．（2023秋•船营区校级期中）若关于x的方程x+m﹣3＝0和2x﹣3的解的和为5，求m的值． 【分析】先求出第二次方程的解是x＝4，再求出第一个方程的解是x＝1，把x＝1代入第一个方程，再求出m即可． 【解答】解：解方程2x﹣3得：x＝4， ∵关于x的方程x+m﹣3＝0和2x﹣3的解的和为5， ∴方程x+m﹣3＝0的解是x＝5﹣4＝1， 把x＝1代入方程x+m﹣3＝0得：1+m﹣3＝0， 解得：m＝2． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，能求出第二个方程的解是x＝1是解此题的关键． 3．（2024春•淮阳区月考）已知关于x的方程与方程3+4x＝2（6﹣x）的解互为相反数，求m的值． 【分析】首先解得第二个方程的解，然后根据相反数的定义将x代入第一个方程来求m的值即可． 【解答】解：3+4x＝2（6﹣x）， 3+4x＝12﹣2x， 4x+2x＝12﹣3， 6x＝9， 解得：， ∴x是方程的解， 代入得：， ∴﹣3+2m＝﹣9﹣3m， 解得：m． 【点评】本题考查了方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 4．（2023秋•高港区校级月考）已知关于x的方程①：x+1﹣2m＝﹣m的解比方程②：的解大2．求m的值以及方程②的解． 【分析】用含m的式子分别表示出方程①和方程②的解，根据方程①的解比方程②的解大2列出关于m的方程，求解可得m的值，将m的值代入方程②中即可解得x的值． 【解答】解：解x+1﹣2m＝﹣m得：x＝m﹣1， 解得：， ∵方程①的解比方程②的解大2， ∴， 解得：m＝5， 将m＝5代入方程②中得：， 解得：x＝2． 【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 5．（2023春•洛宁县期中）已知关于x的方程①的解比方程2（x﹣3）﹣1＝3﹣（x+1）②的解大1． （1）求方程②的解； （2）求m的值． 【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可； （2）把x＝5代入方程②，即可得出关于m的一元一次方程，再求出方程的解即可． 【解答】解：（1）2（x﹣3）﹣1＝3﹣（x+1）， 2x﹣6﹣1＝3﹣x﹣1， 2x+x＝3﹣1+6+1， 3x＝9， x＝3， 即方程②的解是x＝3； （2）∵方程①比方程②的解大1， ∴把x＝4代入方程①得，， 解得：m＝5． 【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程②的解是解此题的关键． 【题型8 利用一元一次方程解决错解问题】 1．（2023秋•保亭县期末）某同学在解关于x的方程5a﹣x＝13时，误将﹣x看作+x，得到方程的解为x＝﹣2．则原方程的解为（　　） A．x＝2 B．x＝1 C．x＝0 D．x＝﹣3 【分析】把x＝﹣2代入方程5a+x＝13得出5a﹣2＝13，求出a的值，再求出原方程的解即可． 【解答】解：把x＝﹣2代入方程5a+x＝13得：5a﹣2＝13， 解得：a＝3， 即方程为15﹣x＝13， 解得：x＝2， 即原方程的解是x＝2， 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键． 2．（2023秋•安新县期末）解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“﹣1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x＝4，则方程正确的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣4 D．x＝﹣1 【分析】根据题意按照小刚的解方程步骤解方程，再根据解为x＝4求出a的值，再按照正确的步骤解方程即可． 【解答】解：由题意得，小刚的解题过程如下： 去分母得：2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1， 去括号得：4x﹣2＝3x+3a﹣1， 移项得：4x﹣3x＝3a﹣1+2， 合并同类项得：x＝3a+1， ∵小刚的求解结果为x＝4， ∴3a+1＝4， ∴a＝1， 正确过程如下：， 去分母得：2（2x﹣1）＝3（x+1）﹣6， 去括号得：4x﹣2＝3x+3﹣6， 移项得：4x﹣3x＝3﹣6+2， 合并同类项得：x＝﹣1， 故选：D． 【点评】本题主要考查了解一元一次方程，正确理解题意还原小刚的解题过程从而求出a的值是解题的关键． 3．（2023秋•灵宝市期末）小红在解关于x的方程：﹣3x+1＝3a﹣2时，误将方程中的“﹣3”看成了“3”，求得方程的解为x＝1，则原方程的解为　 ． 【分析】把x＝1代入3x+1＝3a﹣2，求出a的值，再把a的值代入原方程求解即可． 【解答】解：把x＝1代入3x+1＝3a﹣2， 得3+1＝3a﹣2， 解得a＝2， 故原方程为﹣3x+1＝6﹣2， ﹣3x＝3， 解得x＝﹣1． 故答案为：x＝﹣1． 【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4．（2023•秦皇岛一模）米老鼠在解方程1的过程中，去分母时方程右边的﹣1忘记乘6，因而求得的解为x＝2． （1）请你帮助米老鼠求出a的值； （2）正确地解这个方程． 【分析】（1）把x＝2代入方程2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1得出2×（2×2﹣1）＝3（2+a）﹣1，再求出方程的解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【解答】解：（1）把x＝2代入方程2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1得：2×（2×2﹣1）＝3（2+a）﹣1， 解得：a； （2）方程为1， 2（2x﹣1）＝3（x）﹣6， 4x﹣2＝3x+1﹣6， 4x﹣3x＝1﹣6+2， x＝﹣3． 【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，注意：使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解． 5．小王在解关于x的方程3a﹣2x＝15时，误将﹣2x看作2x，得方程的解x＝3， （1）求a的值； （2）求此方程正确的解； （3）若当y＝a时，代数式my3+ny+1的值为5，求当y＝﹣a时，代数式my3+ny+1的值． 【分析】（1）把x＝3代入方程即可得到关于a的方程，求得a的值； （2）把a的值代入方程，然后解方程求解； （3）把y＝a代入my3+ny+1得到m和n的式子，然后把y＝﹣a代入my3+ny+1，利用前边的式子即可代入求解． 【解答】解：（1）把x＝3代入3a+2x＝15得3a+6＝15， 解得：a＝3； （2）把a＝3代入方程得：9﹣2x＝15， 解得：x＝﹣3； （3）把y＝a代入my3+ny+1得27m+3n+1＝5， 则27m+3n＝4， 当y＝﹣a时，my3+ny+1＝﹣27m﹣3n+1＝﹣（27m+3n）+1＝﹣4+1＝﹣3． 【点评】本题考查了方程的解的定义，以及代数式的求值，正确理解方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，是关键． 【题型9 一元一次方程的整数解问题】 1．（2023秋•西城区校级期中）若关于x的一元一次方程kx＝x+3的解为正整数，则整数k的值为（　　） A．2 B．4 C．0或2 D．2或4 【分析】先求出方程的解，再根据关于x的一元一次方程kx＝x+3的解为正整数和k为整数得出k﹣1＝1或k﹣1＝3，再求出k即可． 【解答】解：解方程kx＝x+3得：x， ∵关于x的一元一次方程kx＝x+3的解为正整数，k为整数， ∴k﹣1＝1或k﹣1＝3， ∴k＝2或4． 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，能根据题意得出关于k的方程是解此题的关键． 2．（2023秋•越秀区校级期中）若关于x的方程（k﹣2013）x＝2015﹣2014x的解是整数，则整数k的值有（　　） A．4个 B．8个 C．12个 D．16个 【分析】先求方程的解x，再根据x是整数，求整数k． 【解答】解：∵（k﹣2013）x＝2015﹣2014x， ∴x， ∵x、k都是整数，2015＝1×5×13×31， ∴k+1可取：±1，±5，±13，±31，±5×13，±5×31，±13×31，±2015， ∴整数k的值有16个， 故选：D． 【点评】本题考查了求不定方程的整数解，关键是先化简，再结合x和k都是整数解答即可． 3．（2023•沙坪坝区校级开学）已知关于x的方程的解为整数，则符合条件的所有整数k的和（　　） A．﹣9 B．﹣7 C．﹣6 D．0 【分析】先根据一元一次方程的解法将方程的解表示出来，再根据解方程的解为整数即可求解． 【解答】解：， 3（x+1）+2（kx﹣1）＝6k， 3x+3+2kx﹣2＝6k， 解得x， x ＝3， ∵关于x的一元一次方程的解是整数，k为整数， ∴①2k+3＝﹣5时，k＝﹣4； ②2k+3＝﹣1时，k＝﹣2； ③2k+3＝1时，k＝﹣1； ④2k+3＝5时，k＝1； 则符合条件的所有整数k的和为：﹣4+（﹣2）+（﹣1）+1＝﹣6， 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，理解题意掌握含参数的方程的解法是解题的关键． 4．（2023灌云县校级模拟）已知关于x的方程ax的解是正整数，求正整数a的值，并求出此时方程的解． 【分析】首先解关于x的方程求得x的值，根据x是正整数即可求得a的值． 【解答】解：由ax，得 ax+9＝5x﹣2， 移项、合并同类项，得：（a﹣5）x＝﹣11， 系数化成1得：x， ∵x是正整数， ∴a﹣5＝﹣1或﹣11， ∴a＝4或﹣6． 又∵a是正整数． ∴a＝4． 则x11． 综上所述，正整数a的值是4，此时方程的解是x＝11． 【点评】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号． 5．（2023秋•临武县校级月考）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程． （1）若关于x的两个方程2x＝4与mx＝m+1是同解方程，求m的值． （2）已知关于x的方程9x﹣3＝kx+14有整数解，那么满足条件的所有整数k＝　 　． （3）若关于x的两个方程5x与2x﹣mn是同解方程，求此时符合要求的正整数m，n的值． 【分析】（1）根据题意解方程再把x＝2代入mx＝m+1到求出m即可； （2）把k当作已知数解方程，用含k的表达式表示x，再根据方程有整数解求k即可； （3）把m，n当成已知数，用含m，n的表达式表示x，再根据两方程同解列方程求m，n即可． 【解答】解：（1）2x＝4x＝2， ，得2m＝m+1， 解得m＝1， （2）9x﹣3＝kx+14（9﹣k）x＝14+3， 解得：， ∵关于x的方程9x﹣3＝kx+14有整数解， ∴9﹣k＝±1，±17， 当9﹣k＝1时，k＝8； 当9﹣k＝﹣1时，k＝10； 当9﹣k＝17时，k＝﹣8； 当9﹣k＝﹣17时，k＝26； ∴k＝8，10，﹣8，26； （3）解关于x的两个方程与 得x，x， ∵关于x的两个方程与是同解方程， ∴， ∴mn﹣3m﹣3＝0， mn＝3（m+1）， ∵m，n是正整数， ∴m＝3，n＝4或m＝1，n＝6． 【点评】此题考查一元一次方程的解及利用同解的方程求解另一方程的参数，掌握方程的解的定义以及解一元一次方程是解题的关键． 【题型10 一元一次方程中的新定义问题】 1．（2023秋•拱墅区期末）规定新运算“@”：对于任意实数m，n都有 m@n＝mn﹣m+n，例如：2@3＝2×3﹣2+3．若2@（x﹣1）的运算结果与（x﹣1）@2的运算结果相同，则x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据运算定义进行列式、求解． 【解答】解：由题意得， 2（x﹣1）﹣2+（x﹣1）＝2（x﹣1）﹣（x﹣1）+2， 解得x＝3， 故选：C． 【点评】此题考查了解一元一次方程的新定义问题的解决能力，关键是能准确根据定义列出方程式并求解． 2．（2023•淄博开学）用“※”定义一种新运算：对于任意的自然数x和y，满足x※y＝xy+a（x+y）+1（a为常数）．例如：2※1＝2×1+a（2+1）+1＝3a+3．若3※4的值为20，则a的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据x※y＝xy+a（x+y）+1（a为常数），可以将3※4的值为20转化为一元一次方程，然后求解即可． 【解答】解：∵x※y＝xy+a（x+y）+1（a为常数），3※4的值为20， ∴3×4+a（3+4）+1＝20， 解得a＝1， 故选：D． 【点评】本题考查新定义、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 3．（2023秋•雁塔区校级期末）定义一种新的运算“⊗”，它的运算法则为：当a、b为有理数时，a⊗，比如：6⊗41，则方程x⊗2＝1⊗x的解为x＝　 　． 【分析】根据定义直接求解即可． 【解答】解：∵x⊗2＝1⊗x， ∴x， 解得x， 故答案为：． 【点评】本题考查一元一次方程的解，理解定义，结合新定义，能将所求问题转化为一元一次方程的解是解题的关键． 4．（2023秋•福田区期末）定义运算“*”对于任意有理数a与b，满足，例如：．若有理数x满足x*4＝3，则x的值为 　 ． 【分析】根据题意分为两种情况，①当x≥4时，x﹣2×4＝3，②当x＜4时，2x﹣4＝3，再解一元一次方程，符合题意x的值即为所求． 【解答】解：若x*4＝3， ①当x≥4时，x﹣2×4＝3， 解得：x＝11， ②当x＜4时，2x﹣4＝3， 解得：x＝3.5． 故答案为：11或3.5． 【点评】本题主要考查了新定义运算，正确记忆运算法则是解题关键． 5．（2023秋•梁园区校级月考）定义：关于x的方程ax﹣b＝0与方程bx﹣a＝0（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程2x﹣1＝0与方程x﹣2＝0互为“反对方程”． （1）若方程5x﹣6＝0与方程6x﹣c＝0互为“反对方程”，则c＝　 　； （2）写出3x+5＝0的“反对方程”：　 　； （3）若关于x的方程﹣4x+m+1＝0与方程5x﹣3n﹣2＝0互为“反对方程”，求m，n的值． 【分析】（1）根据“反对方程”的定义，求解即可； （2）把3x+5＝0化为3x﹣（﹣5）＝0，结合“反对方程”的定义，求解即可； （3）根据“反对方程”的定义，得到，再求解即可； 【解答】解：（1）∵方程5x﹣6＝0与方程6x﹣c＝0互为“反对方程”， ∴c＝5． 故答案为：5； （2）∵3x+5＝0， ∴3x﹣（﹣5）＝0， ∴3x+5＝0的“反对方程”为﹣5x﹣3＝0． 故答案为：﹣5x﹣3＝0； （3）将﹣4x+m+1＝0写成﹣4x﹣（﹣m﹣1）＝0的形式， 将5x﹣3n﹣2＝0写成5x﹣（3n+2）＝0的形式， ∵﹣4x﹣（﹣m﹣1）＝0与方程5x﹣（3n+2）＝0互为“反对方程”， ∴， 解得：， ∴m，n的值分别是﹣6，﹣2； 【点评】本题考查了解一元一次方程，新定义运算，掌握“反对方程”的定义，解一元一次方程的方法是解题的关键． 6．（2023秋•淮滨县期末）如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0为“美好方程”． （1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”吗？请说明理由； （2）若关于x的方程2x﹣n+3＝0与x+5n﹣1＝0是“美好方程”，求n的值． 【分析】（1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于n的方程解答即可． 【解答】解：（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”，理由如下： 由4x﹣（x+5）＝1，解得x＝2； 由﹣2y﹣y＝3，解得y＝﹣1． ∵﹣1+2＝1， ∴方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”． （2）由2x﹣n+3＝0，解得x； 由x+5n﹣1＝0，解得x＝1﹣5n； ∵关于x方程2x﹣n+3＝0与x+5n﹣1＝0是“美好方程”， ∴1﹣5n＝1， 解得n． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． 【题型11 解含绝对值的一元一次方程】 1．（2023春•宜阳县期中）方程|2x﹣1|＝5的解为（　　） A．x＝3 B．x＝﹣2 C．x＝3或x＝﹣2 D．无解 【分析】根据绝对值的定义进行分类讨论，再解一元一次方程． 【解答】解：当2x﹣1≥0，则x，得2x﹣1＝5． ∴x＝3． 当2x﹣1＜0，则x，得﹣2x+1＝5． ∴x＝﹣2． 综上：x＝3或﹣2． 故选：C． 【点评】本题主要考查绝对值、一元一次方程的解法，熟练掌握绝对值的定义、一元一次方程的解法是解决本题的关键． 2．（2023春•南召县月考）若关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x|＝1，则m的值是（　　） A．或 B． C． D．或 【分析】解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解． 【解答】解：因为方程|x|＝1， 所以x±1， 解得x或x， 因为关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x|＝1， 所以解方程x+2＝2（m﹣x）得， m， 当x时，m， 当x时，m． 所以m的值为：或． 故选：A． 【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，解决本题的关键是解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论． 3．（2023秋•郫都区期中）|x﹣3|＝5，则x＝　 　． 【分析】根据|x﹣3|＝5，去掉绝对值符号，即可求得答案． 【解答】解；根据|x﹣3|＝5，∴x﹣3＝5或x﹣3＝﹣5， 当x﹣3＝5时，x＝8； 当x﹣3＝﹣5时，x＝﹣2． 故答案为：8或﹣2． 【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，比较容易，关键是正确去掉绝对值符号，不要漏解． 4．已知方程mx+3＝2（m﹣x）的解满足|x﹣1|＝0，则m＝　 　． 【分析】根据方程mx+3＝2（m﹣x）的解满足|x﹣1|＝0，先解出x的值，再代入方程求出m的值． 【解答】解：∵|x﹣1|＝0，根据绝对值的几何意义， ∴x﹣1＝0， ∴x＝1， 把x＝1代入mx+3＝2（m﹣x）得 m+3＝2（m﹣1）， 即：m+3＝2m﹣2， 解得：m＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，属于基础题，关键是根据绝对值的几何意义先求出x的值再代入求m的值． 5．（2023秋•双流区校级月考）已知方程2（x﹣1）＝3（x+2）的解是x＝m﹣5． （1）求m的值． （2）求关于x的方程的解． 【分析】（1）解方程2（x﹣1）＝3（x+2），进而解决此题． （2）先将（1）中求得的m代入，得6|x+3|﹣8（x+1）＝﹣15．再用分类讨论思想解这个一次方程． 【解答】解：（1）∵2（x﹣1）＝3（x+2）， ∴2x﹣2＝3x+6． ∴﹣x＝8． ∴x＝﹣8， 由题可得：﹣8＝m﹣5． ∴﹣m＝8﹣5． ∴﹣m＝3． ∴m＝﹣3． （2）将m＝﹣3代入可得，， ∴6|x+3|﹣8（x+1）＝﹣15， ①当x+3≥0时，即x≥﹣3， ∴6x+18﹣8x﹣8＝﹣15． ∴﹣2x＝﹣25． ∴． 故方程的解为． ②当x+3＜0时，即x＜﹣3． ∴﹣6x﹣18﹣8x﹣8＝﹣15． ∴﹣14x＝11． ∴． 此时x＞﹣3，故不符合题意， 综上，方程的解为． 【点评】本题主要考查绝对值以及解一元一次方程，熟练掌握运用分类讨论的思想解一元一次方程是解决本题的关键. 6．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3）．例：解绝对值方程：|2x|＝1．解：讨论：①当x≥0时，原方程可化为2x＝1，它的解是．②当x＜0时，原方程可化为﹣2x＝1，它的解是．∴原方程的解为和． 问题（1）：依例题的解法，方程的解是 　 ； 问题（2）：解绝对值方程3|x﹣4|＝9； 问题（3）：在理解绝对值方程解法的基础上，方程|x﹣8|+|x﹣11|＝5的解是 　 ． 【分析】问题（1）原方程化为x＝±4，再求解即可； 问题（2）分两种情况讨论：当x≥4时，解得x＝7；当x＜4时，解得x＝1； 问题（3）分三种情况讨论：当x＞11时，解得x＝12；当x＜8时，解得x＝7；当8≤x≤11时，方程无解． 【解答】解：问题（1）原方程可化为x＝±4， 解得x＝±8， 故答案为：x＝±8； 问题（2）：①当x≥4时，原方程化为3（x﹣4）＝9， 解得x＝7； ②当x＜4时，原方程化为3（x﹣4）＝﹣9， x＝1； ∴原方程的解为x＝7和x＝1； 问题（3）：①当x＞11时，原方程化为x﹣8+x﹣11＝5， 解得x＝12； ②当x＜8时，原方程化为8﹣x+11﹣x＝5， 解得x＝7； ③当8≤x≤11时，原方程化为x﹣8+11﹣x＝5， 方程无解； ∴方程的解是x＝7或x＝12， 故答案为：x＝7或x＝12． 【点评】本题考查含绝对值的一元一次方程，熟练掌握绝对值的性质，能够分情况讨论是解题的关键． 【题型12 实际问题与一元一次方程】 1．（2023秋•花山区期末）随着网络的普及，“直播带货”成为火热的销售模式之一．一运动品牌上衣在实体店按成本价提高30%销售，在直播间以实体店售价的9折进行销售，结果在直播间每卖出1件该运动上衣可获利34元，设该运动上衣的成本价为x元，根据题意，可列方程为（　　） A．（1+30%⋅x）•0.9＝x+34 B．（1+30%⋅x）•0.9＝x﹣34 C．（1+30%）x•0.9＝x+34 D．（1+30%）x•0.9＝x﹣34 【分析】利用销售价格＝成本价+利润，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得（1+30%）x•0.9＝x+34． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2．（2024秋•南岗区校级月考）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分5本，则还缺40本．则这个班有 　 　名学生． 【分析】设这个班有x名学生，根据如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分5本，则还缺40本．列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：设这个班有x名学生， 根据题意得：3x+20＝5x﹣40， 解得：x＝30， 即这个班有30名学生， 故答案为：30． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．（2024•南岗区校级开学）某商场计划购进甲、乙两种节能灯共1200只，甲型节能灯进价每只25元，乙型节能灯进价每只45元，则购进甲型节能灯 　 　只，进货款恰好为46000元． 【分析】设购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200﹣x）只，根据进货款恰好为46000元，列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：设购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1200﹣x）只， 由题意得：25x+45（1200﹣x）＝46000 解得：x＝400， 即购进甲型节能灯400只，进货款恰好为46000元， 故答案为：400． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 4．（2024•南岗区校级开学）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．如表记录了2个参赛者的得分情况，参赛者C得76分，他答对了 　 　道题． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 【分析】设参赛者答对了x道题，答错了（20﹣x）道题，根据答对的得分+加上答错的得分＝76分建立方程求出其解即可． 【解答】解：根据表格得出答对一题得5分，再算出错一题扣1分， 设参赛者C答对了x道题，答错了（20﹣x）道题，由题意，得， 5x﹣（20﹣x）＝76， 解得：x＝16． 答：参赛者C得76分，他答对了16道题． 故答案为：16． 【点评】本题考查了一元一次方程的运用，结论猜想试题的运用，解答时关键答对的得分+加上答错的得分＝总得分是关键． 5．（2024秋•雁塔区校级期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图①；小红看见了，说：“我也来试一试”．结果小红七拼八凑，拼成了如图②那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为25mm2的小正方形，则每个小长方形的面积为 　 　mm2． 【分析】设每个小长方形的宽为x mm，则长为x mm，根据图②中各边之间的关系，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入x•x中，即可求出每个小长方形的面积． 【解答】解：设每个小长方形的宽为x mm，则长为x mm， 根据题意得：2xx， 解得：x＝15， ∴x•x15×15＝375， ∴每个小长方形的面积为375mm2． 故答案为：375． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 6．（2023秋•临猗县期末）2022年11月10日，中共政治局常委会召开会议研究部署进一步优化防控工作的二十条措施，使得疫情有了更好的控制．为降低疫情对销售额的影响，某商场准备搞优惠促销活动回馈新老客户，由顾客抽奖决定折扣．某顾客购买了A，B两种商品共花费416元，分别抽到了六折和八折，而A，B两种商品的原价之和为600元． （1）求A，B两种商品的原价各是多少元？ （2）若本次买卖中A种商品最终亏损20%，B种商品最终盈利40%，那么该超市在本次买卖中是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？ 【分析】（1）设A商品的原价为x元，则B商品的原价为（600﹣x）元，根据等量关系即可求出答案； （2）分别求出A、B商品的成本价，从而可求出商场是否亏损． 【解答】解：（1）设A商品的原价为x元，则B商品的原价为（600﹣x）元， 根据题意可知：0.6x+0.8（600﹣x）＝416， 解得x＝320， 600﹣320＝280（元）， 答：A、B两种商品原价各是320元、280元； （2）由题意得，A商品的成本价为320×0.6÷（1﹣20%）＝240（元）， B商品的成本价为280×0.8÷（1+40%）＝160（元）， ∴240+160﹣416＝﹣16（元）， 答：商场在本次买卖中赚了16元． 【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系． 7．（2023秋•宁阳县期末）第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有800名工人． （1）若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少100人，请求出生产盲盒A的工人人数； （2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由4个盲盒A和9个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或15个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【分析】（1）设生产B的人数为x人，则生产A的人数为（2x﹣100）人，根据生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少100人，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设安排m人生产A，则安排（800﹣m）人生产B，根据大礼包由4个盲盒A和9个盲盒B组成且每天生产的盲盒正好配套，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设生产B的人数为x人，则生产A的人数为（2x﹣100）人， 于是（2x﹣100）+x＝800， 解得：x＝300． ∴2x﹣100＝2×300﹣100＝500（人）， 答：生产盲盒A的工人人数为500人． （2）设安排m人生产A，则安排（800﹣m）人生产B， ∴9×20m＝4×15（800﹣m）， 解得：m＝200， ∴800﹣200＝600（人）， 答：该工厂应该安排200名工人生产A，600名工人生产B才能使每天生产的盲盒正好配套． 8．（2024春•沙坪坝区期末）甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，若甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道时，共用时间4天． （1）求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米？ （2）已知该段隧道挖掘工程为600米，甲工程队每天的挖掘费用为6万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元．若安排甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好102万元，求甲工程队应先单独挖掘多少天？ 【分析】（1）设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5x米，根据甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道时，共用时间4天．列出一元一次方程，解方程即可； （2）设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队挖掘天，根据总费用刚好102万元，列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：（1）设乙工程队每天可挖掘隧道x米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5x米， 由题意得：4（x+1.5x）＝200，解得：x＝20， ∴1.5x＝1.5×20＝30， 答：甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米； （2）设甲工程队应先单独挖掘y天，则乙工程队挖掘天，即（30y）天， 由题意得：6y+3（30y）＝102， 解得：y＝8， 答：甲工程队应先单独挖掘8天． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 9．（2023秋•满城区期末）在“节能减排，做环保小卫士”活动中，小明对两种照明灯的使用情况进行了调查，得出如下表所示的数据．已知这两种灯的照明效果一样，小明家所在地的电价是每度0.5元．（注：用电度数＝功率（千瓦）×时间（小时），费用＝灯的售价+电费） 功率 使用寿命 价格 白炽灯 0.1千瓦 2000小时 3元/盏 节能灯 0.02千瓦 4000小时 35元/盏 （1）在白炽灯的使用寿命内，设照明时间为x小时，则一盏白炽灯的费用为 　 　元，一盏节能灯的费用为 　 　元；（用含x的式子表示） （2）在白炽灯的使用寿命内，照明多少小时时，使用这两种灯的费用相等？ （3）如果计划照明4000小时，购买哪一种灯更省钱？请你通过计算说明理由． 【分析】（1）由功率乘以时间，再乘以单价，加上灯的价格分别列式可得答案； （2）由费用相等建立方程，再解方程可得答案； （3）分别计算当x＝4000时，白炽灯的费用与节能灯的费用，再比较即可． 【解答】解：（1）照明时间为x小时，则一盏白炽灯的费用为0.1×0.5x+3＝（0.05x+3）元， 一盏节能灯的费用为0.02×0.5x+35＝（0.01x+35）元； 故答案为：（0.05x+3），（0.01x+35） （2）依题意，得0.05x+3＝0.01x+35， 解得x＝800． 答：照明800小时时，使用这两种灯的费用相等； （3）购买节能灯省钱； 理由：当x＝4000时， 白炽灯的费用为4000×0.1×0.5+3×2＝206（元）， 节能灯的费用为4000×0.01+35＝75（元）， 所以购买节能灯省钱． 【点评】本题考查的是列代数式，求解代数式的值，一元一次方程的应用，理解题意，正确列式与列方程是解本题的关键． 10．（2023秋•公主岭市期末）如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣4和2，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动，到达点A后停止运动．设点P运动时间为t（单位：秒）． （1）当t＝1时，点P表示的数是 　 ；当t＝3.5时，点P表示的数是 　 ； （2）当点P表示的数为0时，请直接写出t的值； （3）在点P由点A向点B的运动过程中，请直接写出点P所表示的数；（用含t的式子表示） （4）在点P在运动过程中，请直接写出点P与点B的距离．（用含t的式子表示） 【分析】（1）当t＝1时，利用点P表示的数＝﹣4+2×运动时间，即可求出此时点P表示的数；当t＝3.5时，利用点P表示的数＝2﹣2×（运动时间﹣3），即可求出此时点P表示的数； （2）分0≤t≤3及3＜t≤6两种情况考虑，根据点P表示的数为0，可列出关于t的一元一次方程，解之即可求出t的值； （3）当0≤t≤3时，利用点P表示的数＝﹣4+2×运动时间，即可用含t的代数式表示出点P所表示的数； （4）当0≤t≤3，利用点P与点B的距离＝点B表示的数﹣点P表示的数，即可用含t的代数式表示出点P与点B的距离；当3＜t≤6，利用点P与点B的距离＝点B表示的数﹣点P表示的数，即可用含t的代数式表示出点P与点B的距离． 【解答】解：（1）当t＝1时，点P表示的数是﹣4+2×1＝﹣2； ∵[2﹣（﹣4）]÷2＝3（秒）， ∴当t＝3.5时，点P表示的数是2﹣2×（3.5﹣3）＝1． 故答案为：﹣2，1； （2）当0≤t≤3时，﹣4+2t＝0， 解得：t＝2； 当3＜t≤6时，2﹣2（t﹣3）＝0， 解得：t＝4． 答：当点P表示的数为0时，t的值为2或4； （3）当0≤t≤3时，点P表示的数为﹣4+2t， ∴在点P由点A向点B的运动过程中，点P所表示的数为﹣4+2t（0≤t≤3）； （4）点P由点A向点B运动（即0≤t≤3）时，点P与点B的距离为2﹣（﹣4+2t）＝6﹣2t； 点P由点B向点A运动（即3＜t≤6）时，点P与点B的距离为2﹣[2﹣2（t﹣3）]＝2t﹣6． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及列代数式，解题的关键是：（1）根据点P的出发点、运动速度、运动方向及运动时间，求出当t＝1及t＝3.5时点P表示的数；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，用含t的代数式表示出点P所表示的数；（4）根据各数量之间的关系，用含t的代数式表示出点P与点B的距离． 1．（2024秋•五华区校级期中）在方程①3x2+13＝25，②x+1＝0，③2x+3y＝5，④中，一元一次方程共有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【分析】根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式”即可求解． 【解答】解：①3x2+13＝25，含有一个未知数，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，不符合题意； ②x+1＝0，含有一个未知数，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，符合题意； ③2x+3y＝5，含有两个未知数，未知数的最高次数是1次，不是一元一次方程，不符合题意； ④，不是整式，不是一元一次方程，不符合题意； 综上所述，一元一次方程共有1个， 故选：A． 【点评】本题考查了一元一次方程的定义，关键是一元一次方程定义的熟练掌握． 2．（2023秋•定陶区期末）下列利用等式的性质，错误的是（　　） A．由a＝b，得到1﹣2a＝1﹣2b B．由ac＝bc，得到a＝b C．由，得到a＝b D．由a＝b，得到 【分析】根据等式的性质即可判断． 【解答】解：A、在等式a＝b的两边同时乘以﹣2再加上1，等式仍成立，即1﹣2a＝1﹣2b，故本选项不符合题意； B、当c＝0时，ac＝bc＝0，但a不一定等于b，故本选项符合题意； C、在等式的两边同时乘以c，等式仍成立，即a＝b，故本选项不符合题意； D、在等式a＝b的两边同时除以不为0的式子（c2+1），等式仍成立，即，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，①等式的性质1、等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立，②等式的性质2、等式的两边都乘同一个数或式子，等式仍成立；等式的两边都除以同一个不等于0的数或式子，等式仍成立． 3．（2023秋•祥符区期中）小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】设被污染的常数■是a，把x＝9代入计算即可求出a的值． 【解答】解：设被污染的常数■是a， 把x＝9代入得：2×（9﹣3）﹣a＝9+1， 整理得：12﹣a＝10， 移项合并得：a＝2， 解得：a＝2． 故选：C． 【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 4．（2023秋•惠阳区月考）已知是关于x的方程的解，则关于x的方程m+2x＝2m﹣3x的解是（　　） A． B． C．x＝﹣5 D．x＝5 【分析】先把方程的解代入方程求出m，再代入求出方程的解． 【解答】解：∵是关于x的方程的解， ∴3m+8． ∴m＝﹣1． 解方程m+2x＝2m﹣3x，得xm． 当m＝﹣1时，x． 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元一次方程，掌握方程解的意义和一元一次方程的解法是解决本题的关键． 5．（2023秋•天长市期中）为了鼓励居民节约用水，天长市自来水公司调整了新的自来水收费标准：用水每月不超过6m3，按0.8元/m3收费，如果超过6m3，超过部分按1.2元/m3收费．已知某用户某月交水费7.2元，那么这个用户这个月用水（　　） A．6.5m3 B．7m3 C．7.5m3 D．8m3 【分析】根据6×0.8＝4.8＜7.2可知，该用户这个月用水超过6m3，设这个月用水x m3，列方程求解即可． 【解答】解：6×0.8＝4.8＜7.2， ∴该用户这个月用水超过6m3， 设这个月用水x m3， 则1.2（x﹣6）+4.8＝7.2， 解得：x＝8， 即该用户这个月用水8m3． 故选：D． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，能够根据题意列出方程是解题的关键． 6．（2024秋•五华县期末）若x＝2是方程a﹣bx＝4的解，则﹣6b+3a+2022值为 　 ． 【分析】把x＝2代入方程，得a﹣2b＝4，对﹣6b+3a+2022，提取公因式3，式子为：3（a﹣2b）+2022，即可求解． 【解答】解：∵x＝2是方程a﹣bx＝4的解， ∴a﹣2b＝4， ∵﹣6b+3a+2022＝3（a﹣2b）+2022， ∴3（a﹣2b）+2022 ＝3×4+2022 ＝2034． 故答案为：2034． 【点评】本题考查一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的过程是关键． 7．（2024秋•南岗区校级月考）若代数式与的值互为倒数，则x＝ 　 　． 【分析】根据互为倒数的两个数的乘积为1进行列式，结合等式的性质进行计算，即可作答． 【解答】解：由题意得，， ∴， ∴去分母得6x﹣6＝10， ∴移项得6x＝16， ∴系数化1，得， 故答案为：． 【点评】本题考查了代数式求值，解一元一次方程，熟知解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 8．（2023•雁塔区校级开学）某商场参加意外保险，保险金额为4000万元，保险费率为0.75%，由于事故，损失物品价值达650万元，保险公司赔偿500万元，这样商场实际损失 了 　 　万元． 【分析】设商场实际损失了x万元，根据保险金额为4000万元，保险费率为0.75%，损失物品价值达650万元，保险公司赔偿500万元，列出一元一次方程，解方程即可． 【解答】解：设商场实际损失了x万元， 根据题意得：x+500＝650+4000×0.75%， 解得：x＝180， 即商场实际损失了180万元， 故答案为：180． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 9．定义：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程为“差解方程”．例如：2x＝4的解为x＝2，且2＝4﹣2，则该方程2x＝4是“差解方程”．若关于x的一元一次方程5x＝m﹣1是“差解方程”，则m＝　 　． 【分析】解方程5x＝m﹣1，得，再根据“差解方程”的定义得，由此解出m即可． 【解答】解：解关于x的一元一次方程5x＝m﹣1，得：， ∵关于x的一元一次方程5x＝m﹣1是“差解方程”， ∴x＝（m﹣1）﹣5＝m﹣6， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法，理解“差解方程”的定义是解决问题的关键． 10．（2023秋•和平区期末）若a、b为定值，关于x的一次方程无论k为何值时，它的解总是x＝1，则（2a+3b）2022的值为 　 ． 【分析】将x＝1代入原方程，可得出（4+b）k+2a﹣13＝0，结合原方程的解与k值无关，可求出a，b的值，再将其代入（2a+3b）2022中，即可求出结论． 【解答】解：将x＝1代入原方程得2， ∴（4+b）k+2a﹣13＝0． ∵关于x的一次方程无论k为何值时，它的解总是x＝1， ∴4+b＝0，2a﹣13＝0， ∴b＝﹣4，a， ∴（2a+3b）2022＝[23×（﹣4）]2022＝12022＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了一元一次方程的解，由方程的解与k值无关，求出a，b的值是解题的关键． 11．（2023秋•召陵区校级期中）解方程： （1）5（y+6）＝9﹣3（1﹣3y）； （2）． 【分析】（1）运用去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出y的值即可； （2）运用去分母、去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出x的值即可； 【解答】解：（1）5（y+6）＝9﹣3（1﹣3y）， 5y+30＝9﹣3+9y， 5y﹣9y＝9﹣3﹣30， ﹣4y＝﹣24， 解得，y＝6； （2）， 4（x+1）﹣6x＝12﹣3（2x+1）， 4x+4﹣6x＝12﹣6x﹣3， 4x+6x﹣6x＝12﹣4﹣3， 4x＝5， 解得， 【点评】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键． 12．（2023秋•郧西县期末）若（a﹣1）x|a|﹣3＝0是关于x的一元一次方程，求﹣4a2﹣2[a﹣（2a2﹣a+2）]的值． 【分析】先化简代数式，再由（a﹣1）x|a|﹣3＝0是关于x的一元一次方程，所以a﹣1≠0且|a|＝1，求得a的值，代入所化简后的代数式即可求得． 【解答】解：﹣4a2﹣2[a﹣（2a2﹣a+2）] ＝﹣4a2﹣2[a﹣2a2+a﹣2] ＝﹣4a2﹣2a+4a2﹣2a+4 ＝4﹣4a． 根据题意得，a﹣1≠0且|a|＝1， 解得a＝﹣1， 把a＝﹣1，代入化简后的代数式得， 4﹣4a ＝4﹣4×（﹣1） ＝4+4 ＝8． 【点评】本题主要考查一元一次方程的定义，即只含有一个未知数且未知数的次数为1的方程． 13．（2023秋•翁源县期中）定义一种新运算：a⊕b＝2a+b．试根据条件解答下列问题： （1）计算：（﹣1）⊕4； （2）若2⊕x＝10，则x的值为 　 　； （3）若a⊕（﹣b）＝6，求（a+b）⊕（2a﹣4b）的值． 【分析】（1）直接根据新定义计算即可； （2）根据新定义转化为一元一次方程求解； （3）由a⊕（﹣b）＝6得2a﹣b＝6，把（a+b）⊕（2a﹣4b）变形后整体代入即可． 【解答】解：（1）﹣1⊕4＝2×（﹣1）+4＝2 （2）∵2⊕x＝10， ∴2×2+x＝10， ∴x＝6． 故答案为：6； （3）由a⊕（﹣b）＝6，得2a﹣b＝6， 所以a+b⊕（2a﹣4b） ＝2a+2b+（2a﹣4b） ＝2a+2b+2a﹣4b ＝4a﹣2b ＝2（2a﹣b）＝2×6＝12． 【点评】本题考查了新定义，有理数的混合运算，解一元一次方程，整体的化简求值， 14．（2023春•鹤壁期末）在数学实践课上，小丽解方程时，因为粗心，去分母时方程左边的1没有乘以10，从而求得的方程的解为x＝4，试求a的值，并解出原方程正确的解． 【分析】先根据错误的做法：“方程左边的1没有乘以10”而得到x＝4，代入错误方程，求出a的值，再把a的值代入原方程，求出正确的解． 【解答】解：∵去分母时，只有方程左边的1没有乘以10， ∴2（2x﹣1）+1＝5（x+a）， 把x＝4代入上式，解得a＝﹣1． 原方程可化为：， 去分母，得2（2x﹣1）+10＝5（x﹣1）， 去括号，得4x﹣2+10＝5x﹣5， 移项、合并同类项，得﹣x＝﹣13， 系数化为1，得x＝13， 故a＝﹣1，x＝13． 【点评】此题考查的是一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 15．（2023秋•安顺期末）某购物平台准备在春节期间举行年货节活动，此次年货节活动特别准备了A，B两种商品进行特价促销，已知购进了A，B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多40元，购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同． （1）求A，B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）该购物平台从厂家购进了A，B两种商品共60件，所用资金为5800元，出售时，A种商品在进价的基础上加价20%进行标价；B种商品按标价出售每件可获利20元．若按标价出售A，B两种商品，则全部售完共可获利多少元？ 【分析】（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是（x﹣40）元，根据购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同．列出一元一次方程，解方程即可； （2）设购买A种商品a件，则购买B商品（60﹣a）件，根据所用资金为5800元，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题． 【解答】解：（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是（x﹣40）元， 由题意得：2x＝3（x﹣40）， 解得：x＝120， ∴x﹣40＝120﹣40＝80， 答：A种商品每件的进价是120元，B种商品每件的进价是80元； （2）设购买A种商品a件，则购买B商品（60﹣a）件， 由题意得：120a+80（60﹣a）＝5800， 解得：a＝25， ∴60﹣a＝35， ∴120×20%×25+20×35＝1300（元）， 答：全部售完共可获利1300元． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 16．（2023秋•镇原县期末）如图，在数轴上有A，B两点，所表示的数分别为﹣8，4，点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度向左运动．如果设运动时间为t秒，解答下列问题： （1）运动前线段AB的长为 　 ；运动1秒后线段AB的长为 　 　； （2）求t为何值时，点A与点B恰好重合； （3）在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段AB的长为5，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离等于右边的数减去左边的数求出AB的长，根据A和B的速度求出1秒后AB的长即可； （2）根据A，B表示的数相同列出方程，求出方程的解即可得到t的值； （3）存在，分两种情况分别求出t的值即可． 【解答】解：（1）运动前线段AB的长为4﹣（﹣8）＝12；运动1秒后线段AB的长为2﹣（﹣5）＝7； （2）根据题意得：运动t秒后，点A表示的数为﹣8+3t，点B表示的数为4﹣2t， 当点A与点B恰好重合时：﹣8+3t＝4﹣2t， 解得：t＝2.4； （3）存在， 由题意可知，t秒时点A表示的数为﹣8+3t，点B表示的数为4﹣2t， 当点A在点B左侧时：4﹣2t﹣（﹣8+3t）＝5， 解得：t＝1.4， 当点A在点B右侧时：﹣8+3t﹣（4﹣2t）＝5， 解得：t＝3.4， 综上所述，当t＝1.4秒或3.4秒时，线段AB的长为5． 【点评】此题考查了一元一次方程的应用，数轴，以及两点间的距离，弄清题意是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点12《一元一次方程》十大重难点题型 ▲知识点1. 方程及一元一次方程的概念 ★方程的有关概念 ◆1、定义：含有未知数的等式叫做方程． ◆2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. ◆3、解方程：求方程的解的过程叫做解方程． ◆4、方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母 (或未知数). ★一元一次方程的有关概念 ◆一元一次方程：只含有一 个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程. 【注意】“元”是指未知数的个数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是 1；④分母中不含有未知数. ★列方程的步骤： ①设出字母所表示的未知数； ②找出问题中的相等关系； ③列出含有未知数的等式﹣﹣﹣﹣方程． ▲知识点2. 根据实际问题列方程 1、列方程的依据： 2、审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程． ▲知识点3. 等式的性质 1、等式的性质 性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 2、利用等式的性质解方程 利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化． ▲知识点4 解一元一次方程---合并同类项 1、利用合并同类项解一元一次方程的一般步骤和方法： （1）合并同类项，即把含有未知数的同类项和常数项分别合并; （2）系数化为 1，即在方程的两边同时除以未知数的系数. ▲知识点5. 解一元一次方程---移项 1、移项：一般地，把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项. 2、移项的依据及注意事项： （1）移项是将项从等号的一边移到另一边的变形，移项实际上是利用等式的性质 1. （2）移项一定要变号. （3）在解方程时，习惯上把含有未知数的项放在等号的左边，常数项放在等号的右边. （4）方程中的项包括数和它前面的符号. （5）不要把移项和加法交换律混淆. ▲知识点6. 解一元一次方程---去括号 ◆1、去括号的概念：解一元一次方程时，按照去括号法则把方程中的括号去掉，这个过程叫做去括号. 2、去括号的法则： 去掉“+( )”，括号内各项的符号不变. 去掉“–( )”，括号内各项的符号改变. 3、去括号的顺序： 先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号；也可以由外向内去括 号，先去大括号，再去中括号，最后去小括号.运用乘法分配律去括号时，不要漏掉括号内 的任何一项. 4、解含有括号的方程一般步骤： （1）去括号. （2）移项. （3）合并同类项 . （4）系数化为1. ▲知识点7. 解一元一次方程---去分母 1、 去分母的概念：解含有分母系数的一元一次方程时，方程两边各项都乘所有分母的最小公倍数，从而约去分母，使方程的系数化成整数，这个过程叫做去分母. 2.“去分母”的依据是等式的性质二. . 3“去分母的方法：“去分母”的方法是方程两边同时乘以分母的最小公倍数. . 4、“去分母”的注意事项： （1）去分母时，方程两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项. （2）去分母时，若分子是多项式，去掉分母后这个多项式要加上括号. （3）当分母含有小数时，先利用分数的基本性质把小数化为整数，再去分母. 5、去分母解方程的步骤是： ①去分母； ② 去括号 ；③ 移项 ；④ 合并同类项； ⑤系数化为1 . ▲知识点8. 用一元一次方程解决问题 ★★列方程解应用题的步骤： 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． ★★用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下： 【题型1 方程的有关概念】 1．（2024春•市中区期末）下列各式中，是方程的是（　　） A．3﹣2＝1 B．y﹣5 C．3m＞2 D．x＝5 2．（2024•南岗区校级开学）下列式子中，方程的个数是（　　） ①3×3+1＝5×2；②（y﹣2）2≥0；③3x+1＝5y；④；⑤x+y+z； A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2023秋•台山市期末）已知下列方程：①x﹣2；②0.2x＝1；③x﹣3；④x﹣y＝6；⑤x＝0，其中一元一次方程有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（2023秋•莲池区期末）已知关于x的方程ax|a﹣1|﹣3＝0是一元一次方程，则a的值是（　　） A．2 B．0 C．1 D．0或2 5．（2023秋•平桥区期末）若（m﹣3）x|m﹣2|+6＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为 　 　． 6．（2023秋•宝应县期末）已知关于x的方程（m+5）x|m|﹣4+18＝0是一元一次方程． （1）求m的值； （2）求代数式5x﹣3m的值． 【题型2 等式的基本性质】 1．（2023秋•红旗区校级期末）下列运用等式的性质的变形中，正确的是（　　） A．如果a＝b，那么a+1＝b﹣1 B．如果，那么2a＝4b C．如果ac＝bc，那么a＝b D．如果a2＝3a，那么a＝3 2．（2024秋•青羊区校级月考）根据等式的性质，下列变形错误的是（　　） A．如果x＝y，那么x+1＝y+1 B．如果x＝3，那么xy＝3y C．如果ax＝ay，那么x＝y D．如果2﹣x＝3x，那么3x+x＝2 3．（2023秋•和平区校级期末）下列各式进行的变形中，不正确的是（　　） A．若3a＝2b，则3a+2＝2b+2 B．若3a＝2b，则9a＝4b C．若3a＝2b，则3a﹣5＝2b﹣5 D．若3a＝2b，则 4．（2023秋•渌口区期末）能运用等式的性质说明如图事实的是（　　） A．若a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不为0） B．若a＝b，那么a+c＝b+c（a，b，c均不为0） C．若a﹣c＝b﹣c，那么a＝b（a，b，c均不为0） D．若ac＝bc，那么a＝b（a，b，c均不为0） 5．（2023秋•麻阳县期末）下列等式变形：①若a＝b，则a+x＝b+x；②若ax＝﹣ay，则x＝﹣y；③若4a＝3b，则4a﹣3b＝1；④若，则4a＝3b；⑤若，则2x＝3y．其中一定正确的是 　 　（填正确的序号） 6．（2023春•滨江区期末）已知t（a，b是常数，x≠﹣a）．① （1）若a＝﹣2，b，求t； （2）试将等式①变形成“Ax＝B”形式，其中A，B表示关于a，b，t的整式； （3）若t的取值与x无关，请说明ab＝﹣1． 【题型3一元一次方程的解法】 1．（2024秋•长沙期中）下列方程的变形正确的是（　　） A．由4x+3＝8x+7，得4x﹣8x＝3﹣7 B．由﹣8x+3＝﹣13x﹣7，得﹣8x+13x＝﹣7﹣3 C．由3x﹣2＝2x﹣1，得3x﹣2x＝1+2 D．由﹣5x﹣7＝2x﹣11，得11﹣7＝2x﹣5x 2．（2023秋•斗门区期末）解方程去分母正确的是（　　） A．3（x+1）﹣2x﹣3＝6 B．3（x+1）﹣2x﹣3＝1 C．3（x+1）﹣（2x﹣3）＝12 D．3（x+1）﹣（2x﹣3）＝6 3．（2023秋•临武县校级月考）解方程1时，去分母正确的是（　　） A．4（2x﹣1）﹣9x﹣12＝1 B．8x﹣4﹣3（3x﹣4）＝12 C．4（2x﹣1）﹣9x+12＝1 D．8x﹣4+3（3x﹣4）＝12 4．（2024秋•武汉期中）解方程： （1）x﹣3x+1； （2）3x3． 5．（2024秋•南岗区校级月考）解方程： （1）8x﹣3（3x+2）＝6； （2）3（x﹣2）＝2﹣5（x+2）； （3）； （4）． 6．（2023秋•平顶山期末）解方程：1，小华的过程如下： 解：去分母，得：4（2x﹣1）＝3（x+2）﹣1……第一步 去括号，得：8x﹣4＝3x+6﹣1 ……第二步 移项、合并同类项，得：5x＝9……第三步 系数化为1，得：x ……第四步 （1）请你指出上述过程从第 　 　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　 ； （2）写出该方程的正确求解过程． 【题型4 方程解中的遮挡问题】 1．方程﹣3（•﹣9）＝5x﹣1，•处被墨水盖住了，已知方程的解x＝2，那么•处的数字是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（2023秋•荣成市期末）有一道解一元一次方程的题：3x﹣（5口x）＝﹣9，“口”处为运算符号，在印刷时被油墨盖住了，查阅后面的答案得知这个方程的解是x＝﹣2，那么“口”处应该是（　　） A．× B．÷ C．+ D．﹣ 3．（2023秋•峨山县期末）小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2023秋•长安区期末）小明同学在解方程（1）＝x时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，请帮他推算被染了的数字“■”应该是 　 　． 5．（2023秋•邢台期末）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现常数■被污染了． （1）嘉淇猜■是2，请解一元一次方程； （2）若老师告诉嘉淇这个方程的解x＝﹣1，求被污染的常数． 6．（2023秋•海安市期中）小亮在解关于x的一元一次方程■＝3时，发现正整数■被污染了． （1）小亮猜■是5，则方程的解x＝　 ； （2）若老师告诉小亮这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？ 【题型5 直接代入解，解决字母参数的问题】 1．（2024秋•海淀区校级期中）已知关于x的方程1+kx＝x的解是x＝2，则k的值为（　　） A．2 B． C． D． 2．若关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x|＝1，则m的值是（　　） A．或 B． C． D．或 3．（2024秋•鼓楼区校级月考）若x＝2是关于x的方程ax+b＝3的解，则代数式的值是 　 　． 4．（2023秋•烟台期末）已知x＝﹣1是关于x的方程2a+2＝﹣1﹣bx的解．求代数式5（2a﹣b）﹣2a+b+2的值． 5．（2023秋•江源区月考）若y＝4是关于y的方程m＝5（y﹣m）的解，则关于x的方程m﹣5＝0的解是多少？ 【题型6 一元一次方程同解问题】 1．（2023秋•宁波期末）如果2x+6＝a的解与﹣2x+5＝4﹣3x的解相同，则a的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2023秋•洪山区期末）如果关于x的方程与的解相同，那么m的值是（　　） A．1 B．±1 C．2 D．±2 3．（2024春•德化县期中）若方程的解与关于x的方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相同，则a的值为 　 　． 4．（2023秋•东湖区校级期末）方程4x+2m＝3x+1和方程3x+2m＝6x+1的解相同．求代数式的值． 5．（2023春•安岳县校级期中）已知关于x的一元一次方程． （1）求这个方程的解； （2）若这个方程的解与关于x的方程3（x+m）＝﹣（x﹣1）的解相同，求m的值． 【题型7 利用两个方程的解的关系求值】 1．（2023秋•梁山县期末）关于x的方程4x﹣2m＝3x﹣1的解是x＝2x﹣3m的解的2倍，则m的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•船营区校级期中）若关于x的方程x+m﹣3＝0和2x﹣3的解的和为5，求m的值． 3．（2024春•淮阳区月考）已知关于x的方程与方程3+4x＝2（6﹣x）的解互为相反数，求m的值． 4．（2023秋•高港区校级月考）已知关于x的方程①：x+1﹣2m＝﹣m的解比方程②：的解大2．求m的值以及方程②的解． 5．（2023春•洛宁县期中）已知关于x的方程①的解比方程2（x﹣3）﹣1＝3﹣（x+1）②的解大1． （1）求方程②的解； （2）求m的值． 【题型8 利用一元一次方程解决错解问题】 1．（2023秋•保亭县期末）某同学在解关于x的方程5a﹣x＝13时，误将﹣x看作+x，得到方程的解为x＝﹣2．则原方程的解为（　　） A．x＝2 B．x＝1 C．x＝0 D．x＝﹣3 2．（2023秋•安新县期末）解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“﹣1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x＝4，则方程正确的解是（　　） A．x＝0 B．x＝1 C．x＝﹣4 D．x＝﹣1 3．（2023秋•灵宝市期末）小红在解关于x的方程：﹣3x+1＝3a﹣2时，误将方程中的“﹣3”看成了“3”，求得方程的解为x＝1，则原方程的解为　 ． 4．（2023•秦皇岛一模）米老鼠在解方程1的过程中，去分母时方程右边的﹣1忘记乘6，因而求得的解为x＝2． （1）请你帮助米老鼠求出a的值； （2）正确地解这个方程． 5．小王在解关于x的方程3a﹣2x＝15时，误将﹣2x看作2x，得方程的解x＝3， （1）求a的值； （2）求此方程正确的解； （3）若当y＝a时，代数式my3+ny+1的值为5，求当y＝﹣a时，代数式my3+ny+1的值． 【题型9 一元一次方程的整数解问题】 1．（2023秋•西城区校级期中）若关于x的一元一次方程kx＝x+3的解为正整数，则整数k的值为（　　） A．2 B．4 C．0或2 D．2或4 2．（2023秋•越秀区校级期中）若关于x的方程（k﹣2013）x＝2015﹣2014x的解是整数，则整数k的值有（　　） A．4个 B．8个 C．12个 D．16个 3．（2023•沙坪坝区校级开学）已知关于x的方程的解为整数，则符合条件的所有整数k的和（　　） A．﹣9 B．﹣7 C．﹣6 D．0 4．（2023灌云县校级模拟）已知关于x的方程ax的解是正整数，求正整数a的值，并求出此时方程的解． 5．（2023秋•临武县校级月考）在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程． （1）若关于x的两个方程2x＝4与mx＝m+1是同解方程，求m的值． （2）已知关于x的方程9x﹣3＝kx+14有整数解，那么满足条件的所有整数k＝　 　． （3）若关于x的两个方程5x与2x﹣mn是同解方程，求此时符合要求的正整数m，n的值． 【题型10 一元一次方程中的新定义问题】 1．（2023秋•拱墅区期末）规定新运算“@”：对于任意实数m，n都有 m@n＝mn﹣m+n，例如：2@3＝2×3﹣2+3．若2@（x﹣1）的运算结果与（x﹣1）@2的运算结果相同，则x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023•淄博开学）用“※”定义一种新运算：对于任意的自然数x和y，满足x※y＝xy+a（x+y）+1（a为常数）．例如：2※1＝2×1+a（2+1）+1＝3a+3．若3※4的值为20，则a的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2023秋•雁塔区校级期末）定义一种新的运算“⊗”，它的运算法则为：当a、b为有理数时，a⊗，比如：6⊗41，则方程x⊗2＝1⊗x的解为x＝　 　． 4．（2023秋•福田区期末）定义运算“*”对于任意有理数a与b，满足，例如：．若有理数x满足x*4＝3，则x的值为 　 ． 5．（2023秋•梁园区校级月考）定义：关于x的方程ax﹣b＝0与方程bx﹣a＝0（a，b均为不等于0的常数）互为“反对方程”．例如：方程2x﹣1＝0与方程x﹣2＝0互为“反对方程”． （1）若方程5x﹣6＝0与方程6x﹣c＝0互为“反对方程”，则c＝　 　； （2）写出3x+5＝0的“反对方程”：　 　； （3）若关于x的方程﹣4x+m+1＝0与方程5x﹣3n﹣2＝0互为“反对方程”，求m，n的值． 6．（2023秋•淮滨县期末）如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0为“美好方程”． （1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”吗？请说明理由； （2）若关于x的方程2x﹣n+3＝0与x+5n﹣1＝0是“美好方程”，求n的值． 【题型11 解含绝对值的一元一次方程】 1．（2023春•宜阳县期中）方程|2x﹣1|＝5的解为（　　） A．x＝3 B．x＝﹣2 C．x＝3或x＝﹣2 D．无解 2．（2023春•南召县月考）若关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x|＝1，则m的值是（　　） A．或 B． C． D．或 3．（2023秋•郫都区期中）|x﹣3|＝5，则x＝　 　． 4．已知方程mx+3＝2（m﹣x）的解满足|x﹣1|＝0，则m＝　 　． 5．（2023秋•双流区校级月考）已知方程2（x﹣1）＝3（x+2）的解是x＝m﹣5． （1）求m的值． （2）求关于x的方程的解． 6．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3）．例：解绝对值方程：|2x|＝1．解：讨论：①当x≥0时，原方程可化为2x＝1，它的解是．②当x＜0时，原方程可化为﹣2x＝1，它的解是．∴原方程的解为和． 问题（1）：依例题的解法，方程的解是 　 ； 问题（2）：解绝对值方程3|x﹣4|＝9； 问题（3）：在理解绝对值方程解法的基础上，方程|x﹣8|+|x﹣11|＝5的解是 　 ． 【题型12 实际问题与一元一次方程】 1．（2023秋•花山区期末）随着网络的普及，“直播带货”成为火热的销售模式之一．一运动品牌上衣在实体店按成本价提高30%销售，在直播间以实体店售价的9折进行销售，结果在直播间每卖出1件该运动上衣可获利34元，设该运动上衣的成本价为x元，根据题意，可列方程为（　　） A．（1+30%⋅x）•0.9＝x+34 B．（1+30%⋅x）•0.9＝x﹣34 C．（1+30%）x•0.9＝x+34 D．（1+30%）x•0.9＝x﹣34 2．（2024秋•南岗区校级月考）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分5本，则还缺40本．则这个班有 　 　名学生． 3．（2024•南岗区校级开学）某商场计划购进甲、乙两种节能灯共1200只，甲型节能灯进价每只25元，乙型节能灯进价每只45元，则购进甲型节能灯 　 　只，进货款恰好为46000元． 4．（2024•南岗区校级开学）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．如表记录了2个参赛者的得分情况，参赛者C得76分，他答对了 　 　道题． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 5．（2024秋•雁塔区校级期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图①；小红看见了，说：“我也来试一试”．结果小红七拼八凑，拼成了如图②那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为25mm2的小正方形，则每个小长方形的面积为 　 　mm2． 6．（2023秋•临猗县期末）2022年11月10日，中共政治局常委会召开会议研究部署进一步优化防控工作的二十条措施，使得疫情有了更好的控制．为降低疫情对销售额的影响，某商场准备搞优惠促销活动回馈新老客户，由顾客抽奖决定折扣．某顾客购买了A，B两种商品共花费416元，分别抽到了六折和八折，而A，B两种商品的原价之和为600元． （1）求A，B两种商品的原价各是多少元？ （2）若本次买卖中A种商品最终亏损20%，B种商品最终盈利40%，那么该超市在本次买卖中是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？ 7．（2023秋•宁阳县期末）第19届亚洲夏季运动会于2023年9月23日在杭州举行，象征杭州三大世界文化遗产的吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”通过不同色彩、不同纹饰向世界讲述“江南忆”的美丽故事．现有工厂生产吉祥物的盲盒，分为A、B两种包装，该工厂共有800名工人． （1）若该工厂生产盲盒A的人数比生产盲盒B的人数的2倍少100人，请求出生产盲盒A的工人人数； （2）为了促销，工厂按商家要求生产盲盒大礼包，该大礼包由4个盲盒A和9个盲盒B组成．已知每个工人平均每天可以生产20个盲盒A或15个盲盒B，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产盲盒A，多少名工人生产盲盒B才能使每天生产的盲盒正好配套？ 8．（2024春•沙坪坝区期末）甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，若甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道时，共用时间4天． （1）求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米？ （2）已知该段隧道挖掘工程为600米，甲工程队每天的挖掘费用为6万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元．若安排甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好102万元，求甲工程队应先单独挖掘多少天？ 9．（2023秋•满城区期末）在“节能减排，做环保小卫士”活动中，小明对两种照明灯的使用情况进行了调查，得出如下表所示的数据．已知这两种灯的照明效果一样，小明家所在地的电价是每度0.5元．（注：用电度数＝功率（千瓦）×时间（小时），费用＝灯的售价+电费） 功率 使用寿命 价格 白炽灯 0.1千瓦 2000小时 3元/盏 节能灯 0.02千瓦 4000小时 35元/盏 （1）在白炽灯的使用寿命内，设照明时间为x小时，则一盏白炽灯的费用为 　 　元，一盏节能灯的费用为 　 　元；（用含x的式子表示） （2）在白炽灯的使用寿命内，照明多少小时时，使用这两种灯的费用相等？ （3）如果计划照明4000小时，购买哪一种灯更省钱？请你通过计算说明理由． 10．（2023秋•公主岭市期末）如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣4和2，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动，到达点A后停止运动．设点P运动时间为t（单位：秒）． （1）当t＝1时，点P表示的数是 　 ；当t＝3.5时，点P表示的数是 　 ； （2）当点P表示的数为0时，请直接写出t的值； （3）在点P由点A向点B的运动过程中，请直接写出点P所表示的数；（用含t的式子表示） （4）在点P在运动过程中，请直接写出点P与点B的距离．（用含t的式子表示） 1．（2024秋•五华区校级期中）在方程①3x2+13＝25，②x+1＝0，③2x+3y＝5，④中，一元一次方程共有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．（2023秋•定陶区期末）下列利用等式的性质，错误的是（　　） A．由a＝b，得到1﹣2a＝1﹣2b B．由ac＝bc，得到a＝b C．由，得到a＝b D．由a＝b，得到 3．（2023秋•祥符区期中）小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2023秋•惠阳区月考）已知是关于x的方程的解，则关于x的方程m+2x＝2m﹣3x的解是（　　） A． B． C．x＝﹣5 D．x＝5 5．（2023秋•天长市期中）为了鼓励居民节约用水，天长市自来水公司调整了新的自来水收费标准：用水每月不超过6m3，按0.8元/m3收费，如果超过6m3，超过部分按1.2元/m3收费．已知某用户某月交水费7.2元，那么这个用户这个月用水（　　） A．6.5m3 B．7m3 C．7.5m3 D．8m3 6．（2024秋•五华县期末）若x＝2是方程a﹣bx＝4的解，则﹣6b+3a+2022值为 　 ． 7．（2024秋•南岗区校级月考）若代数式与的值互为倒数，则x＝ 　 　． 8．（2023•雁塔区校级开学）某商场参加意外保险，保险金额为4000万元，保险费率为0.75%，由于事故，损失物品价值达650万元，保险公司赔偿500万元，这样商场实际损失 了 　 　万元． 9．定义：若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程为“差解方程”．例如：2x＝4的解为x＝2，且2＝4﹣2，则该方程2x＝4是“差解方程”．若关于x的一元一次方程5x＝m﹣1是“差解方程”，则m＝　 　． 10．（2023秋•和平区期末）若a、b为定值，关于x的一次方程无论k为何值时，它的解总是x＝1，则（2a+3b）2022的值为 　 ． 11．（2023秋•召陵区校级期中）解方程： （1）5（y+6）＝9﹣3（1﹣3y）； （2）． 12．（2023秋•郧西县期末）若（a﹣1）x|a|﹣3＝0是关于x的一元一次方程，求﹣4a2﹣2[a﹣（2a2﹣a+2）]的值． 13．（2023秋•翁源县期中）定义一种新运算：a⊕b＝2a+b．试根据条件解答下列问题： （1）计算：（﹣1）⊕4； （2）若2⊕x＝10，则x的值为 　 　； （3）若a⊕（﹣b）＝6，求（a+b）⊕（2a﹣4b）的值． 14．（2023春•鹤壁期末）在数学实践课上，小丽解方程时，因为粗心，去分母时方程左边的1没有乘以10，从而求得的方程的解为x＝4，试求a的值，并解出原方程正确的解． 15．（2023秋•安顺期末）某购物平台准备在春节期间举行年货节活动，此次年货节活动特别准备了A，B两种商品进行特价促销，已知购进了A，B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多40元，购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同． （1）求A，B两种商品每件的进价分别是多少元？ （2）该购物平台从厂家购进了A，B两种商品共60件，所用资金为5800元，出售时，A种商品在进价的基础上加价20%进行标价；B种商品按标价出售每件可获利20元．若按标价出售A，B两种商品，则全部售完共可获利多少元？ 16．（2023秋•镇原县期末）如图，在数轴上有A，B两点，所表示的数分别为﹣8，4，点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度向左运动．如果设运动时间为t秒，解答下列问题： （1）运动前线段AB的长为 　 ；运动1秒后线段AB的长为 　 　； （2）求t为何值时，点A与点B恰好重合； （3）在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使得线段AB的长为5，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$