专题十四：特殊的平行四边形之正方形-2025-2026学年数学寒假中考备战专题练习

专题十四:特殊的平行四边形之正方形 一、单选题 1．下列命题是真命题的是（    ） A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，点，在轴上，将正方形平移后，点成为新正方形的对称中心，则正方形的平移过程可能是（    ）    A．向右平移8个单位长度，再向下平移4个单位长度 B．向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A的坐标为，将该正方形绕着点A顺时针旋转得到正方形，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．正方形具备而菱形不具备的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 5．如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在等腰中，，D为边上一点，以为边，在如图所示位置作正方形，点O为正方形的对称中心，且，则的长为（    ） A．8 B． C． D． 7．如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转到的位置，点D的对应点是点B．若，则的长为（   ） A． B． C． D．2 8．如图，在正方形中，点E为边的中点，将正方形折叠，使点D与点E重合，为折痕，则的值是（　　） A． B． C． D． 9．如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 10．如图，以的斜边为边，在的同侧作正方形，正方形的对角线、交于点，连结，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，且．若反比例函数的图象经过点B，则k的值为 ． 12．如图，直线，等边三角形和正方形在它们之间，点A，C在上，点D，E在上，点B为公共顶点，则的度数为 ． 13．如图，正方形中，E，F分别在边上，相交于点G，若， ，则 ． 14．如图，点G是正方边AB上一点，以为边作正方形，延长交于点H，当矩形与正方形面积相等时，则 ．    15．如图，在边长为4的正方形中，点E是上一点，，连接． （1）的长为 ； （2）过点B作，垂足为F，连接，过点F作，交于点G，则的值为 ． 16．如图，A，B分别是y轴和x轴上的一点，以为斜边构造等腰直角，点D的坐标是，连结，线段的最小值是 ． 17．如图，在正方形中，动点、分别从、两点同时出发，以相同的速度在边、上移动，连接和交于点，由于点、的移动，使得点也随之运动．若，则线段的最小值是 ． 18．如图，已知正方形的边长为3，动点P满足，将点P绕点D按逆时针方向旋转 90°，得到点Q，连接，则的最大值是 ．    三、解答题 19．如图，在正方形中，是边上的点，的垂直平分线交，与点F，G，．    (1)若正方形边长为4，求的长； (2)求的值． 20．如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求． 21．某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究： (1)感悟问题：如图1，在等腰中，，点是边上任意一点，连接，以为腰作等腰，使，连接．易证：；（不需要证明） (2)类比探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，连接． ①求证：； ②在点运动过程中，若，，请直接写出的最小值 ； (3)拓展应用：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为6，，则 ． 22．如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 23．如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：与相切． (2)若正方形的边长为，点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长 24．在四边形中，是边上一点，在的右侧作 ，且 ，连接． (1)如图，当四边形是正方形时， ． (2)如图，当四边形是菱形时，求 （用含的式子表示）． (3)在（2）的条件下，且 如图，连接交于点；若为边的三等分点，请直接写出的长． 试卷第8页，共8页 试卷第5页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题十四:特殊的平行四边形之正方形 一、单选题 1．下列命题是真命题的是（    ） A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 B．对角线相等的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的知识，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法是解题的关键． 利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题，符合题意； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意； D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意； 故选：A． 2．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，点，在轴上，将正方形平移后，点成为新正方形的对称中心，则正方形的平移过程可能是（    ）    A．向右平移8个单位长度，再向下平移4个单位长度 B．向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度 C．向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】D 【分析】先根据点坐标推出正方形中的点坐标，再根据正方形的性质，求出对角线交点坐标，也就是对称中心的坐标，最后由正方形的平移转化到正方形的对称中心的平移即可就出平移过程． 【详解】∵四边形为正方形，已知在轴上，且点的坐标为， ∴根据正方形的性质可得正方形的边长， ∴点坐标为，点坐标为， ∵正方形的对称中心为对角线的交点，正方形对角线相互平分， ∴正方形的对称中心的坐标为的中点坐标， ∴对称中心的坐标为， ∵将正方形平移后，点成为新正方形的对称中心， ∴正方形的平移过程即为对称中心的平移过程， ∵正方形的对称中心的坐标为，平移后的正方形的对称中心为坐标原点， ∴可得出正方形的平移方式为向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度． 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称，正方形的性质,点的平移等知识点，解题的关键是求出原来正方形的对称中心，结合对称中心点的平移方式得到正方形的平移方式． 3．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A的坐标为，将该正方形绕着点A顺时针旋转得到正方形，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，坐标与图形，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是：过作轴，垂足为D，根据旋转的性质得到，，判断出是等腰直角三角形，可求出，即可得到坐标． 【详解】解：如图，过作轴，垂足为D， ∵将该正方形绕着点A顺时针旋转， ∴，， 又， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴边长，则， ∴， ∴，即， 故选D． 4．正方形具备而菱形不具备的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，菱形的性质，根据正方形和菱形的性质逐项判断，即可得出结论． 【详解】解：A、对角线互相平分是正方形和菱形都具备的性质，故此选项不符合题意； B、对角线互相垂直是正方形和菱形都具备的性质，故此选项不符合题意； C、对角线相等是正方形具备而菱形不具备的性质，故此选项符合题意； D、每条对角线平分一组对角是正方形和菱形都具备的性质，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．如图，正方形的两边，分别在平面直角坐标系的、轴的正半轴上，正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形，已知，若点的坐标为，则正方形与正方形的相似比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长． 延长交于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比． 【详解】解：延长交于点E，如图． ∵在正方形中，， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形与正方形是以的中点为中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴正方形与正方形的相似比是． 故选：B． 6．如图，在等腰中，，D为边上一点，以为边，在如图所示位置作正方形，点O为正方形的对称中心，且，则的长为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接．证明，推出，求出，再利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是正方形， ， ，， 是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 7．如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接，将绕点A顺时针旋转到的位置，点D的对应点是点B．若，则的长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用证明，得，设，则，，在中，利用勾股定理列方程即可解决问题． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转到的位置，点D的对应点是点B． ∴，，， ∴， ∴点G、B、E共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则，， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明是解题的关键． 8．如图，在正方形中，点E为边的中点，将正方形折叠，使点D与点E重合，为折痕，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，连接交与O，设正方形的边长为，由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求，由锐角三角函数可求解． 【详解】解：如图，连接交与O， 设正方形的边长为， ∵点E为边的中点， ∴， ∴, ∵将正方形折叠，使点D与点E重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 9．如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵， ∴ ∴，， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 10．如图，以的斜边为边，在的同侧作正方形，正方形的对角线、交于点，连结，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出，再构造三角形全等，得，，然后再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：在上截取，使，设与交于点F， 由勾股定理得， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 二、填空题 11．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，且．若反比例函数的图象经过点B，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】根据正方形的性质求出点B的坐标，再根据反比例函数的图象经过点B，把点B的坐标代入反比例函数，即可求出k的值． 【详解】解：正方形中， ， ∴， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了正方形的性质与待定系数法求反比例函数的解析式，正确求出点B的坐标是本题的关键． 12．如图，直线，等边三角形和正方形在它们之间，点A，C在上，点D，E在上，点B为公共顶点，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了正方形和等边三角形性质，两直线平行同旁内角互补，先根据正方形的性质说明，再根据等边三角形的性质可得，最后根据平行线的性质得出答案. 【详解】解：∵正方形， ∴. ∵， ∴. ∵是等边三角形， ∴. ∵， ∴. 故答案为：. 13．如图，正方形中，E，F分别在边上，相交于点G，若， ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．作，交与，设，则，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：如图所示，作，交与， 四边形是正方形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 设，则， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．如图，点G是正方边AB上一点，以为边作正方形，延长交于点H，当矩形与正方形面积相等时，则 ．    【答案】 【分析】，，根据矩形与正方形面积相等列出方程，然后解一元二次方程即可． 【详解】设，， ∵矩形与正方形面积相等， ∴， ∴ ∴， ∴解得（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，正方形和矩形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 15．如图，在边长为4的正方形中，点E是上一点，，连接． （1）的长为 ； （2）过点B作，垂足为F，连接，过点F作，交于点G，则的值为 ． 【答案】 5 / 【分析】此题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由正方形得到，，然后求出，然后根据勾股定理求解即可； （2）证明出，得到，得到，然后证明出，即可得到． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，． ， ． 在中，由勾股定理得， 故答案为：5； （2）四边形是正方形， ，， ． ， ， ， ， ． ，， ． ， ． ，， ． ，， ， ， ， ． 故答案为：． 16．如图，A，B分别是y轴和x轴上的一点，以为斜边构造等腰直角，点D的坐标是，连结，线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、一次函数的图象和性质等知识，熟练掌握正方形的判定和性质、全等三角形是判定和性质是关键．过点作轴于点，过点作轴于点，证明四边形是正方形，则，得到点在直线上，当时，取得最小值，进一步求解即可． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵以为斜边构造等腰直角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴点在直线上， 当时，取得最小值， ∵点D的坐标是， ∴， ∴， 故答案为： 17．如图，在正方形中，动点、分别从、两点同时出发，以相同的速度在边、上移动，连接和交于点，由于点、的移动，使得点也随之运动．若，则线段的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】先根据已知得，然后证明，得出，然后证明，取中点，则为定值，根据两点之间线段最短得当、、三点共线时，最小，然后根据勾股定理求解．此题考查了正方形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，确定点到中点的距离是解此题的关键． 【详解】解：动点，分别从，两点同时出发，以相同的速度在边，上移动， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 取中点，连接，如图， 则， 根据两点之间线段最短，得、、三点共线时线段的值最小， 在中，根据勾股定理得， ， ． 故答案为：． 18．如图，已知正方形的边长为3，动点P满足，将点P绕点D按逆时针方向旋转 90°，得到点Q，连接，则的最大值是 ．    【答案】5 【分析】连接，根据正方形的性质可得根据旋转的性质可得从而可得然后可证从而利用全等三角形的性质可得进而可知点Q的运动轨迹是以点A为圆心，半径为2 的圆，最后可得当点Q在的延长线时，的值最大，进行解答即可. 【详解】    连接， ∵四边形是正方形， 由旋转得：     即 ∴点Q的运动轨迹是以点A为圆心，半径为2 的圆， ∴当点Q在的延长线时，的值最大，如图所示：    ∴的最大值= 故答案为：5 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，点与圆的位置关系，旋转的性质，熟练掌握手拉手模型旋转型全等是解题的关键. 三、解答题 19．如图，在正方形中，是边上的点，的垂直平分线交，与点F，G，．    (1)若正方形边长为4，求的长； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】（1）连接，设，则，，由线段垂直平分线的性质得到，再列方程求解即可； （2）作于．证明，求得，，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵正方形边长为4， ∴， 解得，， ∴； （2）解：作于．则四边形、是矩形， ∵， ∴设，则，，， 垂直平分，四边形是正方形， ， ，， ， ， ∴， ∴，， ∴，即的值为． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键． 20．如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求． 【答案】(1)正方形，见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，又由可得，由此得四边形是矩形，又由得四边形是正方形． （2）过点D作于H，则可得，进而可得，，在中，根据勾股定理即可求出的长． 本题主要考查了旋转的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形是正方形，理由如下：      ∵将点B按顺时针方向旋转， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形； （2）解：如图，过点D作于H，    ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， 在中，． 21．某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究： (1)感悟问题：如图1，在等腰中，，点是边上任意一点，连接，以为腰作等腰，使，连接．易证：；（不需要证明） (2)类比探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，连接． ①求证：； ②在点运动过程中，若，，请直接写出的最小值 ； (3)拓展应用：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为6，，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② (3) 【分析】（1）利用证明即可； （2）①连接，得出，证明，即可得证；②由得出，推出点在的边上运动，得到时，最小，再由含角的直角三角形的性质即可得解； （3）连接，证明，得出，设，则，利用勾股定理求出，即可得解． 【详解】（1）证明：和都是等腰三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ； （2）解：①如图，连接， 在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使， ， ， ， ， ， ； ②由①可得：， ， 点在的边上运动， 当时，最小， 的最小值； （3）解：如图，连接， ，四边形是正方形， ，， 是正方形的中心， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则， 在，， ， 解得：， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及最小值问题等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 22．如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质与折叠可得，与都是直角三角形，根据 “”即可证明； （2）由中点的定义得到，由折叠得到，设，则，，在中，根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形 ∴，， 由折叠可得，， ∴，， ∴在和中 ∴； （2）解：∵，点E是的中点， ∴， 由折叠得到， ∵ ， ∴ 设，则， ∵在中，， ∴ 解得 ∴． 23．如图，是正方形对角线上一点，以为圆心，长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)求证：与相切． (2)若正方形的边长为，点是半径上的一个动点，过点作交于点．当时，求的长 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）如图，连接，过点作于，证明，得到，即可求证； （）连接，并反向延长交于，连接，可得，得到，，进而得为等腰直角三角形，得到，设的半径为，则，，可得，即得，得到，即可得，得到，，再由可得，得到，最后利用勾股定理得到，进而利用勾股定理即可求解； 【详解】（1）证明：如图，连接，过点作于， ∵为的切线，点为切点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴与相切； （2）解：连接，并反向延长交于，连接， ∵为的切线，点为切点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设的半径为，则，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 24．在四边形中，是边上一点，在的右侧作 ，且 ，连接． (1)如图，当四边形是正方形时， ． (2)如图，当四边形是菱形时，求 （用含的式子表示）． (3)在（2）的条件下，且 如图，连接交于点；若为边的三等分点，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定； （1）作交的延长线于，证出，得到，再根据正四边形的性质得到，从而计算出，即，故，再根据，求出，从而可得出结论． （2）方法1：如图，在的延长线上取点，使得，证明，得出，则即可求解； 方法2：如图，连接，，证明，，根据相似三角形的性质得出，进而即可求解； （3）作于点，则， 证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：当四边形是正方形时，作交的延长线于． ， ， 又， ， 又，且， ， ，， ， ， ． （2）方法1：如图，在的延长线上取点，使得， 则， 又， ∴ ∴，， 由，得 ∴ ∴ 方法2：如图，连接，， ∵，，， ∴， ∴ ∴， ∴ （3）由（2）知， ， ∵， ∴， 如图所示，连接交于点， ∵，则 ∴ ∴ 如图，作于点，则， ， 得 则 当，时， 当，时， 综上所述，或 试卷第32页，共33页 试卷第31页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 $