专题10 相似三角形的基本模型（8大题型）-【寒假分层作业】2025年九年级数学寒假培优练（北师大版）

专题10 相似三角形的重要模型 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 题型一 （双）A字型与（双）8字型 题型二 母子型（共边共角模型） 题型三 手拉手（旋转）型 题型四 一线三等角（K字型）模型 题型五 对角互补模型 题型六 半角模型 题型七 十字架模型 题型八 梅涅劳斯模型与塞瓦模型 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 （双）A字型与（双）8字型 ⭐技巧积累与运用 A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线）。 1．（2024·广东广州·模拟预测）如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且边上的高，，则正方形的面积为 ． 2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ． 3．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：； 小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长．    母子型（共边共角模型） ⭐技巧积累与运用 母子型相似证明题一般思路方法：①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 1．（2023·湖南·统考中考真题）在中，是斜边上的高． (1)证明：；(2)若，求的长．    2．（2023·山东淄博·九年级统考期末）如图，已知，点，在边上，连接，，使，且．(1)请判定的形状，并说明理由；(2)若，，求的面积．    3．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究：如图2，若，求证：； (2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 手拉手（旋转）型 ⭐技巧积累与运用 首先要学会如何去找手拉手的相似模型。当题目当中出现非等腰，共顶点，顶角相等有旋转使，我们就要考虑手拉手模型。进行解题会比较简单。其次知道这个手拉手相似模型，那如何去运用？在实际的问题当中，我们要根据旋转角旋，旋转及线段成比例去证明三角形相似。然后可以得到角度对应相等。 1．（2024·山东·校考一模）【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN． 【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由． 2．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 3．（2024·山东济南·模拟预测）(1)问题发现：如图1，矩形与矩形相似，且矩形的两边分别在矩形的边和上，，连接．线段F与的数量关系为 ； (2)拓展探究：如图2，将矩形绕点A逆时针旋转，其它条件不变．在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图2进行说理． (3)解决问题：当矩形的边时，点E为直线上异于D，C的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 一线三等角（K字型）模型 ⭐技巧积累与运用 “一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似． 1．（23-24九年级·山东东营·阶段练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究：若将角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，则的长． 2．（2023·浙江·九年级专题练习）在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）．（1）如图，若点在线段上运动，交于．①求证：；②当是等腰三角形时，求的长； （2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出线段的长度；若不存在，请简要说明理由； （3）若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由． 3．（23-24广东九年级上学期月考数学试题）如图，在矩形中，为的中点，交于，延长与直线相交于点，连接．(1)求证：；(2)，是否存在这样的k值，使得与相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．    对角互补模型 ⭐技巧积累与运用 四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似. 1．（23-24九年级下·河南周口·阶段练习）已知在中，，，，D为边上的一点．过点D作射线，分别交边于点E、F． (1)当D为的中点时：①如图1，若，，与的数量关系是________；与是否相等？________（填“是”或“否”）； ②将绕点D旋转到图2位置时，①中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由； (2)改变点D的位置，当点D是的三等分点时，直接写出的值． 2．（2023年广东中考一模数学试题）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明： ； （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长． 3．（23-24九年级上·安徽·期中）已知：，是的平分线，点在上，.将三角板的直角顶点放置在点处，绕着点旋转，三角板的一条直角边与射线交于点，另一条直角边与直线，直线分别交于点，点. (1)如图1，当点在射线上时，①求证：；②设，试求的值（用含的代数式表示）；(2)如图2，点在延长线上，连接，当与相似时，求的长. 4．（2023·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角中，，，过点作射线，为射线上一点，在边上（不与重合）且，与交于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）如果，求证：． 半角模型 ⭐技巧积累与运用 半角模型特征：①共端点的等线段； ②共顶点的倍半角； 半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 1．（2024·四川眉山·一模）如图，在正方形中，E、F分别是上的点，且，分别交于M、N，连接，有以下结论：①；②是等腰直角三角形；③；④若点F是的中点，则，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023·广东·九年级专题练习）如图，中，，，点为边上的点，点为线段上一点，且，，，则的长为 ． 3．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如图1所示，点A为公共顶点，点D在的延长线上，，．若将固定不动，把绕点A逆时针旋转a（），此时线段，射线分别与射线交于点M，N．(1)当旋转到如图2所示的位置时，①求证：； ②在图2中除外还有哪些相似三角形，直接写出；③如图2，若，求的长； (2)在旋转过程中，若，请直接写出的长_________（用含d的式子表示）．    4．（2024·陕西宝鸡·二模）问题提出（1）如图1，在正方形中，点N，M分别在边上，连接．已知，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证：__________（选填“”或“”），从而可得：__________（选填“”“”或“”）； 问题探究（2）在题（1）条件下，若，，求正方形的边长； 问题解决（3）如图2，工人谢师傅现计划在一块如图所示的矩形材料中加工出一块四边形材料，要求加工出的材料中，点M，N分别在边上，同时工厂为了能继续利用加工后的剩余材料，要求点M落在边上，且满足，已知矩形的边，，若谢师傅加工材料时选择的长度为4，请问的长度是否满足要求，并计算说明． 十字架模型 ⭐技巧积累与运用 十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。 1．（24-25九年级上·广东·期中）如图，在矩形中，，，点、、分别在线段、、上，且，则 ． 2．（23·24下·湖北·九年级期中）在矩形纸片中，，点、在矩形的边上，连接，将纸片沿折叠，点的对应点为点．（1）如图①，若点在边上，当点与点重合时，则______°，当点与点重合时，则______°．（2）如图②，若点在边上，且点、分别在、边上，则线段的取值范围是______；（3）如图③，若点与点重合，点在上，线段、交于点，且，求线段的长度．        3．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，等边三角形的边长为6，在边上各取一点，连接相交于点，且．(1)求证：，并求的度数；(2)若，试求的值． 4．（23·24下·三明·期末）如图①，在中，，，点D在边上，过点C作，垂足为M，交于点E．(1)小亮通过探究发现，请你帮他说明理由；(2)如图②，平分交于点N，小明通过度量猜想有，他的猜想正确吗？请你帮他说明理由；(3)如图③，连接，若D是的中点，小刚通过探究得到结论，请你帮他说明理由．    梅涅劳斯模型与塞瓦模型 ⭐技巧积累与运用 梅涅劳斯和塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用． 1．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则 ． 2．（23-24·江苏镇江·九年级统考期末）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程： 证明：如图（2），过点A作，交DF的延长线于点G， 则有，，∴． 请用上述定理的证明方法解决以下问题： (1)如图（3），△ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证明：． (2)如图（4），等边△ABC的边长为2，点D为BC的中点，点F在AB上，且，CF与AD交于点E，则AE的长为________． (3)如图（5），△ABC的面积为2，F为AB中点，延长BC至D，使，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为________． 3．（2023·山西阳泉·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应任务． 塞瓦定理：塞瓦定理载于年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大 发现．如图，塞瓦定理是指在内任取一点 ，延长分别交对边于，则． 任务：（1）当点分别为边的中点时，求证：点为的中点； （2）若为等边三角形，，点是边的中点，求的长．    1．（2024·陕西西安·一模）如图，在中，D，M是边的三等分点，N，E是边的三等分点．连接并延长与的延长线相交于点P．若，则线段的长为（　　） A．5 B．7 C．6 D．8 2．（2023·安徽·三模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（        ）    A． B． C． D． 4．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，，点分别在线段和线段的延长线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，；若AD＝6，BD＝2，则CD＝ ． 6．（2024·江苏苏州·二模）如图，将平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形 ，使点E落在边 上， 且点 D 巧合是的中点， 若 则 的值为 ． 7．（23·24上·深圳·期中）如图，在中，，，点D为边上的中点，连接，过点B作于点E，延长交于点F．则的长为 ． 8．（2024·北京海淀·二模）如图，在中，分别在边上，．若，，则的值为 ． 9．（2024·江苏扬州·二模）如图，在边长为2的正方形中，点M为边上一点，连接交于点E，过点E作于点F，、的延长线交于点G，若，则的长为 ． 10．（2024·浙江温州·三模）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心长为半径画弧，交边于点，连接．点是延长线上的一点，连接，若平分． (1)求证：．(2)当时，求的值． 11.（23-24八年级下·广东潮州·期中）中，D为中点，E为中点，直线交于F，求证：． 12．（23·24下·河北·九年级期中）如图，在矩形中，、、、分别为、、、边上的点，当时，证明：． 13．（2024·山东枣庄·二模）综合实践 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．(1)探究发现：旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．(2)性质应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． 14．（23-24九年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题解决：如图1，中，，过点C作于点D，小明把一个三角板的直角顶点放置在点D处，两条直角边分别交线段于点 E ，交线段于点 F，在三角板绕着点D旋转的过程中，若点E是的中点，则点F也是的中点吗？（注：可以用知识：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） “阳光”小组的解答是：若点E是的中点，则点F也是 的中点． 理由如下：∵ 于点 D，． ∵点 E 是的中点，． ，．是等边三角形．， ．． 又，． ．即若点E是的中点，则点F也是的中点． 反思交流（1）“群星”小组认为在这个题中，可以去掉条件“”，其他条件不变（如图2），若点E是的中点，则点F也是 的中点．请你根据条件证明这个结论； 拓广探索（2）去掉条件“”，其他条件不变旋转过程中，若（如图3），那么等式成立吗？请说明理由；（3）去掉条件“”，其他条件不变．若点 E 是上任意一点（如图4），（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 1．（2024九年级下·重庆·专题练习）如图，在中，是的中点，是的中点，的延长线交于，求． （1）解：过作，交于．请继续完成解答过程： （2）创新求解：利用“杠杆平衡原理” 解答本题：（如图）设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为；则端所挂物体质量为，点承受质量为；当点为杠杆的支点，则A端所挂物体质量为；再以为杠杆的支点时，； 应用：如图，在中，是上一点，是上一点，的延长线交于，且，，求 解：设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为，则端所挂物体质量为 ，点承受质量为 ；当点为杠杆的支点，则端所挂物体质量为 ；再以为杠杆的支点时， ． 2．（23-24九年级上·湖南岳阳·阶段练习）问题探究：如图1，若内一点P满足，则点P是的智慧点，是智慧角．      (1)如图2，点P为等边三角形的智慧点，则智慧角的度数是___；线段、、的数量关系是___； (2)如图3，点 P为等腰直角三角形（其中）的智慧点，且． ①请判断与是否相似，如果相似给出证明并说明与的数量关系； ②若，的面积为，求m的值和的面积． 3．（2024·广东深圳·三模）（1）问题呈现：如图1， 和都是直角三角形，且，连接，求的值；（2）类比探究：如图2，是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，延长交于点F，设，求的长； （3）拓展提升：如图3，在等边中，是边上的中线，点M从点A移动到点D，连接，以为边长，在的上方作等边，求点N经过的路径长． 4．（2024浙江校考二模）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF； （2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长； （3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长． 5．（2024·贵州·模拟预测）如图，在正方形中，，E、F分别是上的点，且，分别交于点M，N，连接． (1)如图①，试探究和的数量关系和位置关系；(2)如图②，若点G是的中点，连接，求证：；(3)在（2）的条件下，若，求的面积． 6．（23-24乐山九年级校考期末）解答 (1)如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：；(2)如图2，在满足（1）的条件下，点M，N分别在边BC，CD上，若，求的值；(3)如图3四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 相似三角形的重要模型 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练（8大题型） 题型一 （双）A字型与（双）8字型 题型二 母子型（共边共角模型） 题型三 手拉手（旋转）型 题型四 一线三等角（K字型）模型 题型五 对角互补模型 题型六 半角模型 题型七 十字架模型 题型八 梅涅劳斯模型与塞瓦模型 ☛第二层 能力培优练 ☛第三层 拓展突破练 （双）A字型与（双）8字型 ⭐技巧积累与运用 A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线）。 1．（2024·广东广州·模拟预测）如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且边上的高，，则正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，线段的和与差等知识．解题的关键是根据比例表示出相应线段列方程．根据三角形相似，找到对应线段成比例列方程求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∵四边形是正方形，，， ，，， ，，， 解得：，正方形的面积为故答案为： 2．（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据菱形的性质得到，，，然后勾股定理求出，，然后证明出，得到，求出，然后证明出，得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：菱形的边长为6，， ，，，， ，，在中，， ，，， ，，在中，， ，，，， ，，，， ．故答案为：． 3．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：； 小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程． （2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：． （3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长．    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）由，可证，则，同理可得：，则，两边同时除以，可得． （2）由，，，，可得，，证明，则，同理，，则，两边同时除以得，，进而可得；（3）由（1）可知，，，则，解得，，则，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵，∴，∴．同理可得：， ∴，两边同时除以，得． （2）证明：∵，，，，∴，， ∵，∴，∴，同理，， ∴，∴， 两边同时除以得，，∴； （3）解：由（1）可知，，， ∴，解得，，∴，解得，，∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的判定．解题的关键在于明确相似三角形的判定条件． 母子型（共边共角模型） ⭐技巧积累与运用 母子型相似证明题一般思路方法：①由线段乘积相等转化成线段比例式相等； ②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； ③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； ④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。 1．（2023·湖南·统考中考真题）在中，是斜边上的高．    (1)证明：；(2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证；（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵是斜边上的高． ∴，∴，∴ 又∵∴， （2）∵∴， 又∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 2．（2023·山东淄博·九年级统考期末）如图，已知，点，在边上，连接，，使，且．(1)请判定的形状，并说明理由；(2)若，，求的面积．    【答案】(1)是等边三角形，理由见解析(2) 【分析】（1）根据相似三角形的性质得出，然后根据邻补角得出，进而即可得出结论；（2）根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下， ∵，∴， ∴，∴是等边三角形， （2）解：∵是等边三角形，设等边三角形的边长为， ∵， ∴，又∵，，∴，解得：（负值舍去）， 如图所示，过点，作于点，    ∴，∴， ∴的面积为 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 3．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点为边上一点，连接． (1)初步探究：如图2，若，求证：； (2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点为中点，，求的长； (3)创新提升：如图4，点为中点，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）根据题意，由，，利用两个三角形相似的判定定理即可得到，再由相似性质即可得证；（2）设，由（1）中相似，代值求解得到，从而根据与的相似比为求解即可得到答案； （3）过点作的平行线交的延长线于点，如图1所示，设，过点作于点，如图2所示，利用含的直角三角形性质及勾股定理即可得到相关角度与线段长，再由三角形相似的判定与性质得到，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，∴，∴； （2）解：∵点为中点，∴设， 由（1）知，∴， ∴，∴与的相似比为，∴，∵∴； （3）解：过点作的平行线交的延长线于点，过作，如图1所示： ∵点为中点，∴设，∵，∴，， 在中，，则由勾股定理可得， 过点作于点，如图2所示： ∴，∴，∴，∴，，∴，∴， ∵，点为中点，∴，，， 又∵，∴，，∴， 又∵，∴，，∴，即，∴，∴． 【点睛】本题考查几何综合，涉及相似三角形的判定与性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 手拉手（旋转）型 ⭐技巧积累与运用 首先要学会如何去找手拉手的相似模型。当题目当中出现非等腰，共顶点，顶角相等有旋转使，我们就要考虑手拉手模型。进行解题会比较简单。其次知道这个手拉手相似模型，那如何去运用？在实际的问题当中，我们要根据旋转角旋，旋转及线段成比例去证明三角形相似。然后可以得到角度对应相等。 1．（2024·山东·校考一模）【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN． 【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）成立，理由见解析；（3）∠ABC=∠CAN，理由见解析． 【分析】（1）利用SAS可证明△BAM≌△CAN，继而得出结论． （2）也可以通过证明△BAM≌△CAN，得出结论，和（1）的思路完全一样． （3）首先得出∠BAC=∠MAN，从而判定△ABC∽△AMN，得到，根据∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，从而判定△BAM∽△CAN，得出结论． 【详解】解：（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．∴∠BAM=∠CAN． ∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN． （2）结论∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．∴∠BAM=∠CAN． ∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN． （3）∠ABC=∠ACN．理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN， ∴底角∠BAC=∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴， 又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC， ∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC=∠ACN． 2．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）的值为；（2）；（3）直角三角形的面积分别为4，16，12， 【分析】（1）根据，，．证明，，继而得到，即，再证明，得到． （2）连接，延长交于点Q，根据(1)得，得到，根据中线得到，继而得到，结合，得到即，得到，再证明，得证矩形，再利用勾股定理，三角形相似的判定和性质计算即可．（3）运用分类思想解答即可． 【详解】（1）∵，，．∴， ∴，， ∴即，∵∴，∴． （2）连接，延长交于点Q，根据(1)得，∴， ∵是中线∴，∴， ∵，∴即， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形， ∵∴四边形矩形，∴， ∴，∴，∴，设，则， ∵，∴，∴， ∵，∴，解得；∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，解得． （3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形， 故； 如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q， ∵，∴，∵，，， ∴四边形是矩形，∴，∴，故； 如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N， ∴，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，解得； 故． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 3．（2024·山东济南·模拟预测）(1)问题发现：如图1，矩形与矩形相似，且矩形的两边分别在矩形的边和上，，连接．线段F与的数量关系为 ； (2)拓展探究：如图2，将矩形绕点A逆时针旋转，其它条件不变．在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图2进行说理． (3)解决问题：当矩形的边时，点E为直线上异于D，C的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长． 【答案】(1)(2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析．(3)的长为或 【分析】本题考查了相似多边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）延长，交于H，连接，利用矩形的性质与判定可证明四边形是矩形，得出，，利用相似多边形的性质得出，进而得出，在中，由勾股定理得：，即可求解；（2）如图2，连接、，利用相似多边形的性质、旋转的性质可证明，得出，利用矩形的性质，勾股定理可求出，即可得出结论； （3）分点E在线段上，点E在线段延长线上，利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：如图1，延长，交于H，连接， ∵四边形和四边形都是矩形，∴， ∴，∴四边形是矩形，∴，， ∵矩形与矩形相似，，∴， ∴，即， 在中，由勾股定理得：，∴，故答案为：． （2）解：（1）中的结论仍然成立 理由如下：如图2，连接、， ∵矩形与矩形相似，∴，由旋转可得：， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； （3）解：①如图3，当点E在线段上时，连接、， ∵四边形，四边形为正方形，∴，， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴； ②如图4，当点E在线段延长线上时，连接、， ∵四边形，四边形为正方形，∴，， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，综上所述，的长为或． 一线三等角（K字型）模型 ⭐技巧积累与运用 “一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似． 1．（23-24九年级·山东东营·阶段练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究：若将角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由． （3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，则的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）4 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，证明相似是解题的关键．（1）由可得，即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）由可得，即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）证明，得出，根据是等腰直角三角形，得出，根据，求出即可． 【详解】解：（1）证明：，， ，，， 又，，，； （2）结论仍成立；理由如下：， 又，，，， 又，， ，； （3），，，，， 是等腰直角三角形，，，，． 2．（2023·浙江·九年级专题练习）在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）． （1）如图，若点在线段上运动，交于． ①求证：；②当是等腰三角形时，求的长； （2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出线段的长度；若不存在，请简要说明理由； （3）若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由． 【答案】（1）①见解析，②2或或1；（2）存在，2；（3）不存在，见解析 【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质得到，再证，根据相似三角形的判定定理证明即可；②根据等腰三角形的性质，分，和三种情况讨论，再根据相似三角形的性质求解；（2）先证得，再根据相似三角形的性质计算即可； （3）根据三角形内角和定理以及三角形外角的性质定理，进行判断即可． 【详解】（1）①证明：∵，，∴．∴． 又∵，∴．∴； ②解：分三种情况： （i）当，时，得到，点分别与重合，∴． （ii）当时，在△ABD和△DCE中，，∴，∴， ∵BC=，∴，∴； （iii）当时，有， ∴，AD=CD，AE=CE=DE，∴． 综上所述，当是等腰三角形时，的长为2，或1． （2）解：存在．∵，∴． ∵，∴． ∴，∴，∴，当，． （3）解：不存在．理由如下：如图， ∵和不重合，∴，又，，∴≠． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，分情况讨论是解答本题的关键． 3．（23-24广东九年级上学期月考数学试题）如图，在矩形中，为的中点，交于，延长与直线相交于点，连接．(1)求证：；(2)，是否存在这样的k值，使得与相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．    【答案】(1)见解析(2)存在， 【分析】（1）由题意可得，又由，可得，据此证得结论；（2）假设与相似，存在两种情况：①当，可得，根据题意可知此种情况不成立；②当，使得与相似，设，则，可得，，再由，即可求得值． 【详解】（1）证明：，，， ，，又，； （2）解：存在使得与相似．理由如下：假设与相似， 存在两种情况：①当，则有与互余，于是，因此此种情况不成立； ②当，使得与相似，设，则， ，，，， ，，即，解得，（负值舍去）． 存在使得与相似． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 对角互补模型 ⭐技巧积累与运用 四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似. 1．（23-24九年级下·河南周口·阶段练习）已知在中，，，，D为边上的一点．过点D作射线，分别交边于点E、F． (1)当D为的中点时：①如图1，若，，与的数量关系是________；与是否相等？________（填“是”或“否”）； ②将绕点D旋转到图2位置时，①中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由； (2)改变点D的位置，当点D是的三等分点时，直接写出的值． 【答案】(1)①，是；②，理由见详解(2)的值为1或4 【分析】（1）①证明四边形是矩形，根据矩形的性质即可证明；证明，根据相似三角形的性质可得，即可得出答案； ②过点作于点，作于点，利用同角的余角相等得，则，可知，由①知，，即可证明； （2）过点作于点于点，根据，可得，再证明，得出，分为①当时，和②当时，分别计算即可； 【详解】（1）解：①∵，∴四边形是矩形，∴； ∴，∴， ∵点是的中点，∴，则，故答案为：，是； ②仍然成立．如图，过点作于点，作于点， 则，∴，即， ∵，∴，即，∴， ∴，，由①知，，，即． （2）如图，过点作于点于点，， ∴四边形是矩形，∴，由（1）②可得，， ∵，∴，， ①当时，则，∴，； ②当时，则，∴，； 综上，的值为1或4． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（2023年广东中考一模数学试题）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点O，在正方形绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．证明： ； （2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点O，且，，在矩形，绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．若，求的长； （3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形，在绕点O旋转的过程中，边与边交于点M，边与边交于点N．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．    【答案】（1）证明见解析（2）（3） 【分析】（1）根据正方形的性质证明三角形全等即可； （2）过点O作的平行线交于点E、交于点P，过点N作垂线交于点Q，构造相似三角形，对应边成比例求，然后根计算即可；（3）过点O作的垂线交于点H，用勾股定理求出，证、，结合与重叠部分的面积是的面积的，设列出方程求出m，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，，，， 由旋转可知：，， ，，； （2）解：如图2，过点O作的平行线交于点E、交于点P，过点N作垂线交于点Q，       ∵四边形和四边形都是矩形，，，， ，， ，， ，， ，，，， ，； （3）解：如图，过点O作的垂线交于点H，设，则， 设，则， ，，， ，， ，，四边形和四边形都是平行四边形，是直角三角形， ，， ，，， ，，， ，，，， 设，则， ，，，， 与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积， ，， ，，． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形、矩形、正方形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题关键． 3．（23-24九年级上·安徽·期中）已知：，是的平分线，点在上，.将三角板的直角顶点放置在点处，绕着点旋转，三角板的一条直角边与射线交于点，另一条直角边与直线，直线分别交于点，点. (1)如图1，当点在射线上时，①求证：；②设，试求的值（用含的代数式表示）；(2)如图2，点在延长线上，连接，当与相似时，求的长. 【答案】(1)①见解析  ②(2) 【分析】①过点作，垂足分别为，由已知条件证明 即可证明；②利用①中的三角形全等和相似三角形的性质即可求出与的函数解析式，再写出其自变量的取值范围即可;当与相似时，点的位置有两种情况：①当点在射线上时，②当点在延长线上时，分别讨论求出满足题意的长即可. 【详解】（1）①证明:过点作，垂足分别为，         ∵是的平分线,∴ . 由,∴,∴, ∵,∴.∴.∴； ②，，，，            ，，，； （2）当与相似时，点的位置有两种情况： ①当点在射线上时， ∵,,∴.∴.∴.在中, ； ②当点在延长线上时，∵,∴. ∵, ,,∴.同理， ∴，，，∴∴ ，，，，综上所述. 【点睛】本题考查了相似形的综合应用，掌握角平分线的性质、全等三角形的判定和全等三角形的性质、以及分类讨论思想是解题的关键. 4．（2023·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角中，，，过点作射线，为射线上一点，在边上（不与重合）且，与交于点．（1）求证：；（2）求证：；（3）如果，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）根据题意先由等腰直角△ABC得到∠BAC=∠B=45°，从而结合∠DAE=45°得到∠DAC=∠EAB，再由平行线的性质得到∠ACP=∠BAC=∠B=45°，从而得到△ADC∽△AEB； （2）根据题意由相似三角形的性质得到AD：AE=AC：AB，转化为AD：AC=AE：AB，结合∠DAE=∠CAB=45°得证结果；（3）根据题意结合∠ACD=45°和∠ACB=90°，由CD=CE得到∠CDE=∠CED=22.5°，从而得到∠DAC=22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后即可求证． 【详解】解：（1）证明：∵是等腰直角三角形，∴， ∵，，∴，，∴； （2）证明：∵∴，即， ∵，∴； （3）∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴∴， 又∵，∴，∴，∴ 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过线段的比例关系得到三角形相似． 半角模型 ⭐技巧积累与运用 半角模型特征：①共端点的等线段； ②共顶点的倍半角； 半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。 常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。 1．（2024·四川眉山·一模）如图，在正方形中，E、F分别是上的点，且，分别交于M、N，连接，有以下结论：①；②是等腰直角三角形；③；④若点F是的中点，则，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①如图，证明和，即可判断； ②利用相似三角形的性质可得，则是等腰直角三角形可作判断； ③如图，将绕点A顺时针旋转得到，证明，则，可作判断； ④设正方形的边长为，则， ，利用平行线分线段成比例求出，利用勾股定理求出，，即可判断． 【详解】如图，∵四边形是正方形，∴． ∵，，∴， ∴，∴，∵，∴，故①正确， ∴，∴，∴是等腰直角三角形，故②正确， ③如图，∴将绕点A顺时针旋转得到，则，． ∵．∵，∴H、B、E三点共线， 在和中，，∴， ∴，故③正确，设正方形的边长为，则，， ∵，∴，∴ ， ∴ ，∴， ∴，故④正确．故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形． 2．（2023·广东·九年级专题练习）如图，中，，，点为边上的点，点为线段上一点，且，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】利用含30°角的直角三角形的性质及图形的相似可求DE的长． 【详解】解：如图，作于，作于． 中，，．∴． 在中，．，．． ．．． ．．．． ，即．．由勾股定理得：． ．．故答案为： 【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质及相似三角形的判定，作辅助线构造直角三角形是求解本题的关键． 3．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如图1所示，点A为公共顶点，点D在的延长线上，，．若将固定不动，把绕点A逆时针旋转a（），此时线段，射线分别与射线交于点M，N．    (1)当旋转到如图2所示的位置时，①求证：； ②在图2中除外还有哪些相似三角形，直接写出；③如图2，若，求的长； (2)在旋转过程中，若，请直接写出的长_________（用含d的式子表示）． 【答案】(1)①见详解；②，；③；(2)或． 【分析】（1）①本题考查三角形相似的判定，旋转的性质与等腰三角形的性质，根据两角相等的两个三角形相似证明；②本题考查三角形相似的判定，旋转的性质与等腰三角形的性质，根据等腰直角三角形的性质得到，可证明；③本题考查三角形相似的判定，旋转的性质与等腰三角形的性质，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质计算即可；（2）本题考查三角形相似的判定，旋转的性质与等腰三角形的性质，分点在线段上、点在线段的延长线上两种情况，根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【详解】（1）①证明：∵        ②，，∵，∴， ∵、都是等腰直角三角形，∴，， ∴，； ③在中，，，则，， ，，， ，，，即，解得：； （2）如图2，当点在线段上时， 由②可知：，，即，解得：， ； 如图3，当点在线段的延长线上时，， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查的是旋转的性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 4．（2024·陕西宝鸡·二模）问题提出（1）如图1，在正方形中，点N，M分别在边上，连接．已知，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证：__________（选填“”或“”），从而可得：__________（选填“”“”或“”）； 问题探究（2）在题（1）条件下，若，，求正方形的边长； 问题解决（3）如图2，工人谢师傅现计划在一块如图所示的矩形材料中加工出一块四边形材料，要求加工出的材料中，点M，N分别在边上，同时工厂为了能继续利用加工后的剩余材料，要求点M落在边上，且满足，已知矩形的边，，若谢师傅加工材料时选择的长度为4，请问的长度是否满足要求，并计算说明． 【答案】（1），；（2）正方形的边长是12；（3）满足要求，理由见解析 【分析】（1）根据证明得，进而可证； （2）由勾股定理得，则，设正方形的边长为x，则，，得，求解即可；（3）延长至P，使，过P作的平行线交的延长线于Q，延长交于点E，连接，则四边形是正方形，得，设，则，证，得，则，然后在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【详解】解：（1）四边形是正方形，，， 由旋转的性质得，，，，， ，即， ，，， 在和中，，，， ，．故答案为：，=． （2）在中，由勾股定理得，则， 设正方形的边长为x，则，， ，解得，即正方形的边长是12． （3）满足要求，理由如下：延长至P，使，过P作的平行线交的延长线于Q，延长交于点E，连接，如图所示， 则四边形是正方形，， 设，则，，， ，，， 由（1）得：，在中，由勾股定理得：， 解得，即的长是8，而，，满足要求． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握正方形的性质、证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． 十字架模型 ⭐技巧积累与运用 十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。 1．（24-25九年级上·广东·期中）如图，在矩形中，，，点、、分别在线段、、上，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形判定与性质，能通过构造辅助线构造相似三角形是解决本题的关键．过点作于点，交于点，求出，证，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形， ∴，， 又，， ，，，故答案为：． 2．（23·24下·湖北·九年级期中）在矩形纸片中，，点、在矩形的边上，连接，将纸片沿折叠，点的对应点为点．（1）如图①，若点在边上，当点与点重合时，则______°，当点与点重合时，则______°．（2）如图②，若点在边上，且点、分别在、边上，则线段的取值范围是______；（3）如图③，若点与点重合，点在上，线段、交于点，且，求线段的长度．        【答案】（1）90，45；（2）；（3） 【分析】（1）当点与点重合时，是的中垂线，得出；当点与点重合时，此时；（2）由题意可知当点E与点A重合时，AP达到最长，可知四边形EPFD为正方形，可算出AP的长度；当点F与点C重合时，AP长度达到最小，利用勾股定理可算出AP的长度； （3）连接，设．由折叠知：，，，证明，得出，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）当点P与点A重合时，如图4，是AD的中垂线，．       当点E与点A重合时，如图5， 此时，故答案为：；． （2）如图6所示，连接，则是的中垂线，∴， 在中，，即，当点与点重合时，； 当与重合时，的值最小，连接，由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得，∴， ∴线段的取值范围是．故答案为：．       （3）如图7所示，连接，设． 由折叠知：，，， ∵，∴，在和中， ，∴，∴， ∴，， 在中，，∴，解得．∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、菱形的性质和判定、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是关键，本题难度适中，注意运用数形结合的思想． 3．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，等边三角形的边长为6，在边上各取一点，连接相交于点，且． (1)求证：，并求的度数；(2)若，试求的值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）依据等边三角形的性质得到，，然后由，依据全等三角形的性质可得到，最后，再依据三角形的外角的性质求解即可； （2）先证明，依据相似三角形的性质得到，从而可得到问题的答案， 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵为等边三角形，                 ∴， 在和中，，    ∴，∴. 又∵，∴， （2）解：∵，∴， ∴，即，∴． 4．（23·24下·三明·期末）如图①，在中，，，点D在边上，过点C作，垂足为M，交于点E．    (1)小亮通过探究发现，请你帮他说明理由；(2)如图②，平分交于点N，小明通过度量猜想有，他的猜想正确吗？请你帮他说明理由；(3)如图③，连接，若D是的中点，小刚通过探究得到结论，请你帮他说明理由． 【答案】(1)理由见解析；(2)正确，理由见解析；(3)理由见解析 【分析】（1）利用互余和三角形内角和定理进行求解，即可证明猜想；（2）根据等腰直角三角形的性质和角平分线的性质，证明，即可证明猜想；（3）根据，得到，，再证明，得到，即可证明猜想． 【详解】（1）解：，， ，，，； （2）解：猜想正确，理由如下：，，， 平分，，， 在和中，，，； （3）解：如图，过点C作平分交于点N，    由（2）可知，，，， 平分，，D是的中点，， 在和中，，， ，，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 梅涅劳斯模型与塞瓦模型 ⭐技巧积累与运用 梅涅劳斯和塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用． 1．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，是的中线，点是边上一点，交于点，若，则 ． 【答案】/0.5 【分析】法1：这道题是梅氏定理的直接应用，难点在于找梅氏线：直线EFA。 法2：本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．如图，过点作交于点．利用平行线等分线段定理，证明即可． 【详解】法1：∵直线EFA是的梅氏线，∴． ∵是的中线，∴，∵，∴，∴，故答案为：． 法2：如图，过点作交于点． ∵，，∴， ∵，，∴，∴，∴，故答案为：． 2．（23-24·江苏镇江·九年级统考期末）梅涅劳斯（Menelaus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC的三边AB，BC，CA或它们的延长线交于F、D、E三点，那么一定有． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程： 证明：如图（2），过点A作，交DF的延长线于点G， 则有，，∴． 请用上述定理的证明方法解决以下问题： (1)如图（3），△ABC三边CB，AB，AC的延长线分别交直线l于X，Y，Z三点，证明：． (2)如图（4），等边△ABC的边长为2，点D为BC的中点，点F在AB上，且，CF与AD交于点E，则AE的长为________． (3)如图（5），△ABC的面积为2，F为AB中点，延长BC至D，使，连接FD交AC于E，则四边形BCEF的面积为________． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）如图，过点作，交的延长线于点，可知△YBX∽△YAE，△ZCX∽△ZAE，可得，代入进而可证成立； （2）如图，过点A作AG∥BC，交CF的延长线于点G，由题意可知，，代入求值即可； （3）如图5，分别过作 ，由题意可知，，，有，，对计算求值即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作，交的延长线于点 ∴ 故可知△YBX∽△YAE，△ZCX∽△ZAE ∴ ∵∴． （2）解：如图，过点A作AG∥BC，交CF的延长线于点G∴由题意可知 ∵D是BC的中点，为等边三角形∴， 在中∵ ∴解得故答案为：． （3）解：如图5，分别过作 ∵图5同图1，故可知∵F为AB中点，CD=BC，∴ ∵ ∴∴ ∴ ∵∴四边形BCEF的面积为 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形相似，等边三角形的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于证明三角形相似． 3．（2023·山西阳泉·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应任务． 塞瓦定理：塞瓦定理载于年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大 发现．如图，塞瓦定理是指在内任取一点 ，延长分别交对边于，则．    任务：（1）当点分别为边的中点时，求证：点为的中点； （2）若为等边三角形，，点是边的中点，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）当点分别为边的中点时，会得到，根据塞瓦定理得，所以，从而得到点为的中点；（2）由△ABC是等边三角形可得，根据题意可得BD，DC，CE，EA的长及AF=12-BF，根据塞瓦定理即可得出BF的长. 【详解】证明：分别为边的中点， 由塞瓦定理，得点为的中点 解：为等边三角形， 点是的中点 由赛瓦定理，得 故答案为（1）见解析；（2） 【点睛】本题考查了塞瓦定理的应用. 解题的关键是理解塞瓦定理，将对应的线段长度代入计算即可. 1．（2024·陕西西安·一模）如图，在中，D，M是边的三等分点，N，E是边的三等分点．连接并延长与的延长线相交于点P．若，则线段的长为（　　） A．5 B．7 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线．熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线是解题的关键． 证明，则，证明，则，是的中位线，根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，， ∵，，∴， ∴，∴，∴，， 又∵，∴，∴， ∴是的中位线，∴，故选：D． 2．（2023·安徽·三模）如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，，，，求出，求出，，得出即可得出答案． 【详解】解：、，，∴，，， ∴，，∴，，∴， ，∴，点是的中点，，，， ∴，，∴，∴，故选：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，求出． 3．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（        ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵，，∴，∴∴ ∵，∴，∴∵∴，故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 4．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，，点分别在线段和线段的延长线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形判定和性质，矩形的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．如图，在上截取，在上截取，且，可得，，，，，通过证明，可得，可求的长，再求解即可． 【详解】解：如图，在上截取，在上截取，且， ，，，，， ，，，且，，，，， ，，，，故选：B 5．（2024·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，；若AD＝6，BD＝2，则CD＝ ． 【答案】 【分析】先证明△BCD∽△CAD，然后根据相似三角形的性质直接解答即可． 【详解】解：△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D， ∴∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°， ∴∠A=∠BCD，∠ADC=∠CDB，∴△BCD∽△CAD， ∴，∴CD2＝AD•BD＝6×2＝12，∴CD＝．故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，解此题的关键是要知道直角三角形斜边上的高把这个三角形分得的两个小三角形，与原三角形相似． 6．（2024·江苏苏州·二模）如图，将平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形 ，使点E落在边 上， 且点 D 巧合是的中点， 若 则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．设，则，即可得到，根据旋转得到，即可得到，求出和长即可解题． 【详解】解：在平行四边形中，，， ∵平行四边形绕点A逆时针旋转得到平行四边形 ， ∴，，，设，则， ∵ D 是的中点，∴，∵，，， ∴，，∴，∴，即，解得， ∴，∴，故答案为：． 7．（23·24上·深圳·期中）如图，在中，，，点D为边上的中点，连接，过点B作于点E，延长交于点F．则的长为 ． 【答案】 【分析】以为邻边作正方形，延长交为，先求出，再证明出，得出即为的中点，再证明，利用相似比及勾股定理即可求解． 【详解】解：以为邻边作正方形，延长交为，如下图： ，，， 在和中，，， ，，，即为的中点， ，， ，， ，，故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质、三角形全等、正方形的性质、勾股定理，解题的关键是利用相似三角形的相似比来求解． 8．（2024·北京海淀·二模）如图，在中，分别在边上，．若，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据可证，根据相似三角形对应边的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵，∴，∴，且， ∴，∴，故答案为： ． 9．（2024·江苏扬州·二模）如图，在边长为2的正方形中，点M为边上一点，连接交于点E，过点E作于点F，、的延长线交于点G，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据四边形为正方形，，得到，，，由，，得到，证明，得到，求得，为中点，又，得，，即得解． 【详解】解： 四边形为正方形， ，，， ，， ，， ，， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ， ，， ，解得， ，为中点， 又， ， ， ．故答案为：． 10．（2024·浙江温州·三模）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心长为半径画弧，交边于点，连接．点是延长线上的一点，连接，若平分． (1)求证：．(2)当时，求的值． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由题意得：，由等边对等角得出，从而得出，再由角平分线的定义得出，即可证明； （2）由题意得出，由相似三角形的性质得出，从而即可得解． 【详解】（1）证明：由题意得：，，， 平分，，； （2）解：， ，，，． 11.（23-24八年级下·广东潮州·期中）中，D为中点，E为中点，直线交于F，求证：． 【答案】见解析 【分析】法1：这道题是梅氏定理的直接应用，难点在于找梅氏线：直线FEB。 法2：本题考查了三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理，作的中点G，连接，证明，即可得出，进而可证明，即可得出． 【详解】法1：∵直线EBF是的梅氏线，∴．∵D为中点，，∴， ∵是的中点，∴，∴，．． 法2：作的中点G，连接，则， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴． 12．（23·24下·河北·九年级期中）如图，在矩形中，、、、分别为、、、边上的点，当时，证明：． 【答案】见解析 【分析】过点作于点，过点作于点，先根据余角的性质证明，再证明即可证明结论成立． 【详解】证明：如解图，过点作于点，过点作于点， ∵，且四边形为矩形， ∴，∴，∴． 又∵，∴，∴． 又∵，∴， ∴． 【点睛】本题考查了余角的性质，矩形的性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 13．（2024·山东枣庄·二模）综合实践 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，． (1)探究发现：旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明． (2)性质应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长． 【答案】(1)，证明见解析；(2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤． （1）根据中点的定义得出，进而得出，易得，通过证明，即可得出结论；（2）根据题意推出当所在直线经过点B时，，根据勾股定理可得，根据（1）可得，即可求解； 【详解】（1）解：猜想，证明如下： 在中，，，，的中点分别为D，E， ∴，，，则， ，，，，， 将绕点A逆时针旋转，连接，，根据旋转的性质可得：， ，，，； （2）解：，分别取，的中点D，E， ，，，， ∴当所在直线经过点B时，，， 在中，根据勾股定理可得：，由（1）可得：， ，解得：； 14．（23-24九年级上·山西临汾·期中）综合与探究 问题解决：如图1，中，，过点C作于点D，小明把一个三角板的直角顶点放置在点D处，两条直角边分别交线段于点 E ，交线段于点 F，在三角板绕着点D旋转的过程中，若点E是的中点，则点F也是的中点吗？（注：可以用知识：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） “阳光”小组的解答是：若点E是的中点，则点F也是 的中点． 理由如下：∵ 于点 D，． ∵点 E 是的中点，． ，．是等边三角形．， ．． 又，． ．即若点E是的中点，则点F也是的中点． 反思交流（1）“群星”小组认为在这个题中，可以去掉条件“”，其他条件不变（如图2），若点E是的中点，则点F也是 的中点．请你根据条件证明这个结论； 拓广探索（2）去掉条件“”，其他条件不变旋转过程中，若（如图3），那么等式成立吗？请说明理由；（3）去掉条件“”，其他条件不变．若点 E 是上任意一点（如图4），（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】（1）若点E是 的中点，则点F也是 的中点，理由见解；（2）成立，理由见解；（3）若点E是上任意一点，（2）中的结论仍然成立，理由见解． 【分析】（1）由题意得，根据直角三角的性质和等腰三角形的性质即可得出结论； （2）证明四边形是矩形，根据矩形的性质即可得出结论； （3）由题意证明，，，由相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：（1）于点D，， ∵点E是的中点，，， ，，， 又，， ，，即点F是的中点； （2）旋转过程中，若，那么等式成立． 理由如下：，∴四边形是矩形， ，，，； （3）若点E是上任意一点（如图4），（2）中的结论仍然成立． 理由如下：，， ，，同理证得， 则，，同理证得，则，，即． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 1．（2024九年级下·重庆·专题练习）如图，在中，是的中点，是的中点，的延长线交于，求． （1）解：过作，交于．请继续完成解答过程： （2）创新求解：利用“杠杆平衡原理” 解答本题：（如图）设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为；则端所挂物体质量为，点承受质量为；当点为杠杆的支点，则A端所挂物体质量为；再以为杠杆的支点时，； 应用：如图，在中，是上一点，是上一点，的延长线交于，且，，求 解：设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为，则端所挂物体质量为 ，点承受质量为 ；当点为杠杆的支点，则端所挂物体质量为 ；再以为杠杆的支点时， ． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键在于理解题意． （1）如图，过作，交于，得到，根据相似三角形的性质得，求得，根据，得到，即可得到结论； （2）根据题目中提供的解题思路和方法，结合（1）的结论即可得到答案． 【详解】解：（1）如图，过作，交于，则， ，，是的中点，则，，， ，，， 是的中点，，，； （2）设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为， ，端所挂物体质量端所挂物体质量， 端所挂物体质量，点承受质量端所挂物体质量端所挂物体质量； 当点为杠杆的支点，，端所挂物体质量：点承受质量，端所挂物体质量； 以为杠杆的支点时，端所挂物体质量端所挂物体质量．故答案为：． 2．（23-24九年级上·湖南岳阳·阶段练习）问题探究：如图1，若内一点P满足，则点P是的智慧点，是智慧角．      (1)如图2，点P为等边三角形的智慧点，则智慧角的度数是________；线段、、的数量关系是________； (2)如图3，点 P为等腰直角三角形（其中）的智慧点，且． ①请判断与是否相似，如果相似给出证明并说明与的数量关系； ②若，的面积为，求m的值和的面积． 【答案】(1)，(2)①相似，见解析；；②， 【分析】（1）证明，推出，同法可证，推出，从而，即可解决问题； （2）①由是等腰直角三角形，，即可得，而，故，得到，即可得解；②过作交的延长线于，设，由，知是等腰直角三角形，即得，而，即可得，，，故，，，可得，即可求出． 【详解】（1）解：如图： 是等边三角形，，， ，， ，，同法可证，， ，故答案为：，； （2）①如图：是等腰直角三角形，，，， ，，即， ，，∴，； ②过作交的延长线于，如图：设．， 而，是等腰直角三角形，，由①知：， ，即，， ，，，， ，， ， 的面积为，，解得或（舍去），． 【点睛】本题考查相似三角形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积，添加辅助线． 3．（2024·广东深圳·三模）（1）问题呈现：如图1， 和都是直角三角形，且，连接，求的值；（2）类比探究：如图2，是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，延长交于点F，设，求的长； （3）拓展提升：如图3，在等边中，是边上的中线，点M从点A移动到点D，连接，以为边长，在的上方作等边，求点N经过的路径长． 【答案】（1）；（2），（3）． 【分析】（1）先证明，再根据勾股定理证得，进一步证明，最后根据相似比即可求得答案； （2）过D作，交的延长线于H，作于N，根据旋转的性质和等边三角形的性质证明，求出，通过勾股定理求出，即可得到答案； （3）过点N作于点H，先证明，由全等三角形的性质可得，即点N总在直线上，垂直平分，所以点N经过的路径为一条线段，起点为点M、A重合时点N的位置，终点为的中点H，然后求解即可获得答案． 【详解】解：（1）在和中，， ∴， ∵，∴，∴, ∴，设．，则， ∵，∴，设，同理可得，， ∴，，∴∴，∴,∴； （2）过D作，交的延长线于H，作于N，如图：∴ ∵是等腰直角三角形，， 由旋转的性质可知：，， ∴和是等边三角形，∴， ∵ ∴， ∴，∴， ∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴,∴； （3）过点N作于点H，如下图， 在等边中，，在等边中，， ∴，∴，即, ∵，∴，∴， ∴点N总在直线上，即垂直平分， 点N总过的路径为一条线段，起点为M、A重合时点N的位置，终点为的中点H， 如图所示，在等边中，点M、A重合时，， 此时等边三角形“三线合一”的性质可得,∴点N经过的路径长为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 4．（2024浙江校考二模）（1）特例感知：如图1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF； （2）探索发现：如图2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长； （3）类比迁移：如图3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长． 【答案】（1）见解析；（2）4；（3）或或 【分析】（1）证明△BDE≌△ADF（ASA），根据全等三角形的性质即可得到BE＝AF； （2）方法同（1），利用全等三角形的性质解决问题； （3）证明△EBD∽△DCF，推出，设AF＝m，则AE＝4m，分三种情形，分别构建方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图1中，∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是高， ∴BD＝CD＝ADBC，∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝45°， ∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°﹣∠ADE， 在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF； （2）解：如图2中，由（1）知，BD＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°， ∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°+∠ADE， 在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF， ∵AB＝3，AE＝1，∴BE＝AB+AE＝4，∴AF＝4； （3）解：如图3中，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝60°， ∴BD＝CD＝AB•sin60°＝2，∵AE＝4AF，∴可以假设AF＝m，则AE＝4m，BE＝4﹣4m，CF＝4﹣m， ∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B＝30°， ∴∠FDC＝∠BED，∵∠B＝∠C，∴△EBD∽△DCF，∴， ∴，整理得，m2﹣5m+1＝0，解得m或（舍弃）， 经检验，m是分式方程的解． 当点F在CA的延长线上时，CF＝4+m，由△EBD∽△DCF，可得， ∴，解得，m或（舍弃），经检验，m是分式方程的解． 当点E在射线BA上时，BE＝4+4m，∵△EBD∽△DCF，∴，∴ 解得，m或（舍弃），经检验，m是分式方程的解． 综上所述，满足条件的AF的值为或或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 5．（2024·贵州·模拟预测）如图，在正方形中，，E、F分别是上的点，且，分别交于点M，N，连接． (1)如图①，试探究和的数量关系和位置关系；(2)如图②，若点G是的中点，连接，求证：；(3)在（2）的条件下，若，求的面积． 【答案】(1)，且(2)见解析(3) 【分析】（1）证明得，再证明得，进而可求出和的数量关系和位置关系；（2）把绕点A逆时针旋转，得到，根据证明得，由直角三角形斜边中线的性质得，然后证明即可证明结论成立；（3）过点N作于点P，过点G作于点Q，证明四边形为平行四边形得，，再证明四边形为平行四边形得，设，根据求出x的值，然后根据求解即可． 【详解】（1），且∵， ，，∴． ∵，∴，∴ ∴∴，且 （2）如图，把绕点A逆时针旋转，得到∴，． ∵，∴，∴，即， ∵，，∴B、D两点重合．∵，∴F，D，H三点共线， ∴，∴．由（1） 得：， ∵G是的中点，，∴，∴，∴； （3）过点N作于点P，过点G作于点Q， ∴．又∵，∴四边形为平行四边形， ∴，，∴是等腰直角三角形， ∴，∴， 又∵，∴四边形为平行四边形，∴． 设，则，， ，∴解得 ， ∴．由（2）得：， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，旋转的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 6．（23-24乐山九年级校考期末）解答 (1)如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：；(2)如图2，在满足（1）的条件下，点M，N分别在边BC，CD上，若，求的值；(3)如图3四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，，求的值． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【分析】（1）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，易证AP＝EF，GH＝BQ，△PDA∽△QAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题； （2）只需运用（1）中的结论，就可得到，就可解决问题； （3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，易证四边形ABSR是矩形，由（1）中的结论可得．设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝5+x，RD＝10﹣y，在Rt△CSD中根据勾股定理可得x2+y2＝25①，在Rt△ARD中根据勾股定理可得（5+x）2+（10﹣y）2＝100②，解①②就可求出x，即可得到AR，问题得以解决． 【详解】（1）解：过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1， ∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC． ∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，∴AP＝EF，GH＝BQ． 又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，∴∠QAT+∠AQT＝90°． ∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，∴∠DAP+∠DPA＝90°， ∴∠AQT＝∠DPA．∴△PDA∽△QAB，∴，∴； （2）如图2，∵EF⊥GH，AM⊥BN， ∴由（1）中的结论可得，，∴． （3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3， 则四边形ABSR是平行四边形．∵∠ABC＝90°，∴▱ABSR是矩形， ∴∠R＝∠S＝90°，RS＝AB＝10，AR＝BS． ∵AM⊥DN，∴由（1）中的结论可得． 设SC＝x，DS＝y，则AR＝BS＝5+x，RD＝10﹣y，∴在Rt△CSD中，x2+y2＝25①， 在Rt△ARD中，（5+x）2+（10﹣y）2＝100②，由②﹣①得x＝2y﹣5③， 解方程组，得，（舍去），或， ∴AR＝5+x＝8，∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解二元二次方程组等知识，运用（1）中的结论是解决第（2）、（3）小题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$