第2课时 三角形的三条内角平分线.(PDF部分书稿)-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版 贵州专版）

∠EBD=∠FCD, ∠FCD.在△DEB和△DFC中， ∠DEB=∠F, =号∠ACB=是X90=45,·∠MEF=∠BAC+ DE-DF, ∠ECA=30°+45°=75°，∠ADC=90°-∠DAC=90° ∴，△DEB≌△DFC(AAS),∴.DB=DC:(2)如图③，过点 ∠MEF=∠NDF, D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC的延长线于点F. 15=75°.在△FEM和△FDN中，J∠EMF=∠DNF, ,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF, FM-FN. ∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△DEB和Rt△DFC中， ∴.△FEM≌△FDN(AAS),∴.FE=FD:(2)成立.证明如 DB=DC:R△DEB≌R△DFC(HL),∠DBE= 下：过点F作FG⊥AB于点G,FZ⊥BC于点Z.:AD, DE=DF. CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线，∴.FG=FZ,∠FGE ∠DCF.:∠DCF+∠ACD=180°.∴∠DBE+∠ACD= =∠FZD=90°.：∠FDZ=∠B+∠BAD=60°+ 180°，即∠ABD+∠ACD=180 ∠BAC,∠FEG=∠BAC+∠ACE=∠BAC+ 1 2∠ACB=∠BAC+2(I80°-∠B-∠BAC)=∠BAC +2(180°-60°-∠BAC0=60+2 ∠BAC,∴.∠FEG= 图② ∠FEG=∠FDZ, 第2课时三角形的三条内角平分线 ∠FDZ.在△FEG和△FDZ中， ∠FGE=∠FZD, 新知梳理 FG=FZ. ①相等 ∴.△FEG≌△FDZ(AAS),∴.FE=FD. 例题引路 方法技巧专题构造等腰三角形的四种方法 【例】证明：设AG,BM交于点P,过点P分别作PD⊥ L.证明：过点D作DM∥AC,交BC于点M,∠DMB AB于点D,PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F.,AG平分 ∠BAC,BM平分∠ABC,∴.PD=PF,PD=PE,∴.PE ∠ACB,∠FDM=∠E.:AB=AC,.∠B=∠ACB. '.∠B=∠DMB.'.BD=MD.BD=CE,.MD=CE. PF,∴.点P在∠ACB的平分线CN上，∴.AG,BM,CN交 (∠MDF=∠E, 于一点.【例2】解：作三角形三条角平分线的交点即可. 在△DMF和△ECF中，∠MFD=∠CFE,∴.△DMF≌ 如图，点O即是小亭的中心位置 MD-CE. △ECF(AAS),∴.DF-EF.(也可过点E作EG∥AB交 BC的延长线于点G,证△BDF≌△GEF)2.证明：过点 基础过关 A作AM∥BC交BD的延长线于点M,则∠M=∠DBC. 1.C2.2:3:43.解：连接OA,过点O作OE⊥AB于 ,BD平分∠ABC.∴.∠ABD=∠DBC,∴∠M=∠ABD, 点E,OF⊥AC于点F.:BO.CO分别平分∠ABC和 ∴.AM=AB.,AM∥BC,EF∥BC,∴AM∥EF,.∠M= ∠ACB,∴.OE=OD=2,OF=OD=2,∴.Smw=SAw十 ∠M=∠DFE, S8w=0E·AB+20F·AC=0D·(AB+AC ∠DFE.在△ADM和△EDF中，∠ADM=∠EDF, AD-ED. =2×2X30=30.4B5B ∴.△ADM≌△EDF(AAS),∴.AM=EF,∴.AB=EF 能力提升 3.证明：延长AD交BC于点F.,BE平分∠ABC, 6.D7.8cm8.解：补充证明过程如下：，∠AMC ∴.∠ABD=∠FBD.,AD⊥BE,∴.∠ADB=∠FDB= 120,AM=CM.i∠Mc=∠MCA=合(180- 90°，∴.∠BAD=∠BFD.:∠BFD=∠CAD+∠C ∠BAD=∠CAD+∠C,4.证明：延长BA,CD相交 ∠AMC)=号×(180-120)=30.：△ABC为等边三 于点Q.:∠BAE=90°，∴.∠CAQ=90°，.∠BAE= ∠CAQ,∠ACQ+∠Q=90°..CD⊥BE,∴.∠BDC=90°. 角形，∴.∠B=∠BAC=∠BCA=60°，∴∠BAM=∠BAC ∴∠ABE+∠Q=90°，∴.∠ACQ=∠ABE.在△ABE和 +∠MAC=60°+30°=90°，∠BCM=∠BCA+∠MCA= ∠ABE=∠ACQ, 60°+30°=90°，.MA⊥BA,MC⊥BC.:PM平分 △ACQ中， AB=AC. ∴.△ABE≌△ACQ(ASA), ∠CPN,MQ⊥NP,∴.MQ=CM=AM.在Rt△MAN和 ∠BAE=∠CAQ, /MA=Q,:.R△MAN≌R△MQN(H, R△MQN中.{NN=MN, ∴.BE=CQ.:AB=AC,BD平分∠ABC,.∠QBD= ∠CBD.又，∠BDC=∠BDQ=90°，∴.∠Q=∠BCQ, .AN=QN.同理可得，CP=QP,∴.NP=QN+QP ∴.BQ=BC.又BD⊥CQ,∴.QD=CD,∴.CQ=QD+CD =AN+CP. =2CD,.BE=2CD.5.解：在DC上截取DE=BD,连 思维拓展 接AE.BD=DE,AD⊥BE,∴AD垂直平分BE.∴.AB 9.解：(1)FE=FD.理由如下：过点F作FM⊥AB于点 =AE.,AD⊥BC,.BD=DE=4.AB=AE,∠B= M,FN⊥BC于点N,FH⊥AC于点H,则∠FME= ∠FND=90°.：AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分 2∠C,∴.∠B=∠AED=2∠C.又：∠AED=∠C+ ∠EAC,.2∠C=∠C+∠EAC,·∠C=∠EAC,,AE= 线.∴.FM=FH=FN,∠MAF=∠FAC=2∠BAC EC.,CD=16.DE=4,∴.CE=CD-DE=16-4=12, 2(90°-∠B)=号×(90°-60)=15，∠BCE=∠ACE ∴.AB=AE=EC=12.6.证明：在边AC上截取AP= AB,连接PD.,AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠PAD.在 第5页（共36页）第2课时 三角形的三条内角平分线 名师导学 基础过关 预习先知 点击破 知梳理 知识点1 三角形角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点,并 1.在三角形中,到三边距离相等的点是 A.三条高线的交点 且这一点到三条边的距离 B.三条中线的交点 2到三角形三边距离相等的点是三条 C.三条角平分线的交点 D.三边垂直平分线的交点 角平分线的交点. 2.(安顺期末)如图,\ABC的三边AB,BC 例题引路 CA的长分别是20,30,40,其三条角平分 【例1】如图:在△ABC中,AG,BM. 线将△ABC分成三个三角形,则So: CN分别是 BAC,ABC.ACB的 S.am.Scao- 平分线.求证:AG,BM,CN交于一点. 3.整体思想如图,在△ABC中,AB十AC=30,BO. 【学生解答】 CO分别平分 ABC和 ACB,OD BC于点D,且OD 2.求图中阴影部分的面积 【例2】如图,某市有一块由三条马路围 知识点2 三角形角平分线的应用 成的三角形绿地,现准备在其中建一 4.根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到到三角形三边的 座小亭供人们体息,要求小亭中心到 ( 距离相等的点的图形是 ~ 三条马路的距离相等,试确定小亭的 ###### 中心位置,(不写作法,保留作图痕迹) 【名师点拨】若要求到三边的距离相 等,根据角平分线的性质,则该点应是 5. 建度假村(教材P,习题T:变式)为促进旅游发展 三角形的三条角平分线的交点,根据 基本作图的方法即可完成。 某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村,如 【学生解答】 图所示,若要使度假村到三条公路的距离相等,则这个度 假村应修建在 A.八ABC三条高线的交点处 #7## B.△ABC三条角平分线的交点处 C.△ABC三条中线的交点处 D.△ABC三边垂直平分线的交点处 21 数学II八年级下册(BS) 能力提升整合运用 思维拓展 学科素养 6.(毕节期末)如图,在锐角三角形ABC中,O 9. 类比探究法(教材P.随堂练习变式)如 为三条边的垂直平分线的交点,I为三角形 图①,在 Rt △ABC中,ACB=90{} 的角平分线的交点,若BOC的度数为x B=60{*,AD,CE分别是 BAC, ACE BIC的度数为y,则x,v之间的数量关系 的平分线,AD,CE相交于点F. 是 ( ) (1)请判断FE与FD之间的数量关系,并说 B.x-2y-90{* A.x十y-90* 明理由; D.4y-x-360” C.x+180*-2y (2)如图②,如果ACB不是直角,其他条件 不变,(1)中所得结论是否仍然成立?若成 _## 立,请证明;若不成立,请说明理由 #_## (第6题图) (第7题图) 图① 图② 7.如图,在ABC中,ABC与 ACB的平 分线交于点O,连接AO并延长交BC于点 D,过点O作OH BC于点H.若 BAC 60{,OH-4cm,则OA的长为 8. 续写已知:如图,M为等边三角形 ABC外一点, AMC=120*,AM=CM.点 N.P分别在AB,BC上.连接MP,NP. MN,PM平分CPN. 求证,NP-AN+CP 证明:如图,过点M作MQ|NP于点Q ._. 请将此证明过程补充完整 第一章 三角形的证明 22