第1课时角平分线的性质定理及其判定定理(PDF部分书稿)-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版 贵州专版）

4 角平分线 第1课时 角平分线的性质定理及其判定定理 名师导学预习先知 基础过关逐点击破 知梳理 知识点1 角平分线的性质定理 定理:角平分线上的点到这个角的 1.(贵阳期中)如图,OC为AOB的平分线,CM)OB,CM 两边的距离___. ( 6.则点C到射线OA的距离为 ) 2定理:在一个角的内部,到角的两边距 A.3 C.9 B.6 D.12 离相等的点在这个角的 例题引路 ##### 【例1】如图,在 △ABC中,C- 90,AD是BAC( (第1题图) (变式题图) (第2题图) 的平分线,DE1AB于点E,点F在 AC上,且BE-CF.求证:BD-FD. 【变式】如图,OD平分 AOB,DE AO于点E,DE=4.2 【名师点拨】只需证明△DEB△DCF F是射线OB上的任一点,则DF的长度不可能是( ) 即可。 A.4.2 B.5.15 【学生解答】 C.3.69 D.8 2.(2024·毕节期末)如图,在ABC中,AD是角平分线 DEIAB于点E,DF |AC于点F,DE=2,AC=4,则 △ADC的面积为 知识点2 角平分线的判定定理 3.如图,DA AC,DE |BC. 若AD=DE. ACD-30{*,则/DCE等于 【例2】如图,已知 A.30* B.40* BE AC.CF AB C.50” D. 60* 垂足分别为E,F, BE.CF相交于点D. 4.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现,只用两 BD-CD.求证:AD平分 BAC. 把完全相同的长方形首尺就可以作出一个角的平分线,如 【名师点拨】要证AD平分BAC,只 图,一把直尺压住射线OB,另一把直尺压住射线OA并 需证明DE一DF,此时只需证明 ABDFCDE即可 且与第一把直尺交于点P.小明说:“射线OP就是 。 BOA的平分线.”他这样说的依据是 【学生解答】 ) A.角的内部到角的两边的距离相等的点在 这个角的平分线上 B.角平分线上的点到这个角两边的距离 相等 C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D.以上均不正确 19 数学II八年级下册(BS 能力提升整合运用 思维拓展 学科素养 5.如图,AB//CD.BP和CP分别平分ABC 9.【感知】 和 DCB,AD过点P,且与AB垂直,若点 如图①,AD平分 BAC.B十C=180* ) P到BC的距离是4,则AD的长为( B-90{*},易知:DB=DC. C.4 A.8 B.6 D.2 【探究】 (1)如图②,AD平分BAC,ABD十 ### ACD=180{*,ABD90{。 求证:DB-DC; (2)如图③,AD平分 BAC,BD=DC,AC (第5题图) (第6题图) AB.求证:ABD+ACD-180*。 6.(毕节期末)如图,在△ABC中,AB=AC ##7### A=36{*},D是AC上一点,且BD=BC,过 点 D分别作DE |AB,DF BC,垂足分别 图② 是E,F,下列结论;①DE=DF;②D是AC 图① 图③ 的中点;③E是AB的中点;④AB=BC+ CD.其中,正确的有 _~ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图,AOE-BOE-15^*, EF/OB,FC OB.若CE= 1,则EF的长为 8.如图,在ABC中,C=90{},ABC的平 分线交AC于点D,DE垂直平分AB,垂足 为E.若BC一3,求AD的长。 第一章 三角形的证明 20上.PB=PA. .PC PA,PD PB.. BPD= (2)9 9.解:(1).DE为线段AC的垂 APC=90{} 在 Rt △BPD 和 Rt △APC 中, BD-AC.:Rt△BPDRt△APC(HL),.PD=PC, {PB-PA. .点P在线段CD的垂直平分线上. 基础过关 直平分线,.'OC=OA..AC=BC,点F为AB的中点 1.D 2. B 3.6.2 【变式】50 cm 4. B 5.证明:.C '.CF为线段AB的垂直平分线..'.OB=OA..'.OB=OC. =9 0{}, A-30{}' ABC=90{$-30{}-60{}·BD平分$$ '.△OBC为等腰三角形;(2).AC=BC,点F为AB的中 2 ABC=30”, .乙A-乙ABD, 点, CF为 ACB的平分线,'ACF=BCF ABC..ABD三 ACB=25{.·ACB=50”·DEC=180*- '.DA-DB..'点D在线段AB的垂直平分线上. 能力提升 EDC- ACB-180*-90*-50{-40*$:OB=C$ 6.B 7.A 8.4 9. 证明:(1)'AD//BC..ADE 'CBO= BCF=25{,..BOE=DEC-CB$O= 40*-25*-15{. FCE..E是CD的中点,..DE=CE.在△ADE和 思维拓展 (乙ADE-FCE, △FCE中,DE-CE, .△ADE△FCE(ASA). 10.解:(1)连接PB,PC..PE垂直平分AB,PM垂直平 AED-FEC. 分AC..'.PA=PB,PA=PC.*.PB=PC..'点P在线段 ·FC-AD:(2)'ADE△FCE...AE=EF.又:BE BC的垂直平分线上:(2)PE垂直平分AB,..PA $$B,FA=$FB$ .PAB= PBA.FAB= FBA$$ |AF..'BE是线段AF的垂直平分线,..AB=BF=BC +CF..AD-CF..AB-BC+AD '. PAB-FAB=PBA-FBA,即 PAF= 思维拓展 PBF.同理,得 PAN= PCN.由(1),得PB=PC. .PBF=PCN,.PAF-PAN,即AP平分 10.解:(1):DE垂直平分AB,..AE-BE,..BAE FAN:(3)180{-。 B.同理可得 CAN=C,.EAN=BAC 2 (BAE十CAN)=BAC-( B十C)..在△ABC 4 角平分线 中, B+C=180{*}- BAC-180*-100{*=80*$$ .'. EAN-100*-80-20{;(2):DE垂直平分AB.$ 第1课时 角平分线的性质定理 ..AE=BE,. BAE= B.同理可得 CAN=C. 及其判定定理 '.EAN= BAE十CAN- BAC=(B十 C)- 新知梳理 .相等 BAC.:在△ABC中,B十C=180*一BAC ②平分线 $8 0-70*-110”, EAN-110*-70*-40{;(3)当 例题引路 90时, EAN-180{*}-2;当a90{}时,EAN-2 【例1】证明:'C-90{},DE1AB,AD是BAC的平分 -180{。 线...DE=DC,C= DEB-90*.在△DEB和△DCF 第2课时 三角形三边的垂直平分线 rDE-DC. 例题引路 中,DEB=C.:.△DEB△DCF(SAS),.BD= BE-FC, 【例1】证明:连接OA.OB.OC..点O在AB.BC的垂直平 分线上...OA=OB=OC...点O在AC的垂直平分线上. FD. 【例2】证明:·BE AC.CF1AB.'.BFD= /CED 90{。在 △BDF 和 △CDE ①作BC-2cm,并作其垂 【例2】解:如图所示: 中, BFD-/CED. FDB=EDC...△BDF△CDE(AAS),..DF BD-CD. DE.又'.DF AB,DE AC..'.AD平分/BAC 基础过关 直平分线MN交BC于点D;②在DM上截取DA= 1.B 【变式】C 2.4 3.A 4.A 3cm;③连接AB,AC,则△ABC即为所求. 能力提升 基础过关 5.A 6.C 7.2 8.解:.BD平分 ABC...ABD 1.D 2.8 3.解:·点P为△ABC三边垂直平分线的交 CBD.DE垂直平分AB,..DA=DB,.ABD 点. PA=PC=PB,.PAB=PBA.PAC A.A=ABD=CBD.又:A十ABD十 CBD=90{$.A= ABD= CBD=30{$CD $CA-18*,PBC= PCB=32°'PAB-(180* 1BD.在Rt△BCD中,由勾股定理,得BD=CD+ BC,即BD一(BD){}+3{,.BD-2、(值已舍 40{}4.C5.解:(1)如图; (2)16 去)..AD-2/3. _ 思维拓展 9.证明:(1)如图②,过点D作DE |AB于点E,DF1AC 交AC的延长线于点F..AD平分BAC,DE1AB,DF 能力提升 1AC,.'DE-DF, DEB= F-90.EBD+ 6.D 7. 10 8.解:(1)如图,点E即为所求; ACD=180{,ACD+ FCD-180{,.EBD 第4页(共36页) (EBD-FCD, - ACB=90*=45,:. MEF= BAC+ FCD. 在△DEB和△DFC中,DEB=二F. DE-DF, ECA=30{*+45$=75$,ADC=90{$- DAC-90$- ..△DEB△DFC(AAS)..'.DB-DC;(2)如图③,过点 (MEF- NDF, D作DE AB于点E,DF AC交AC的延长线于点F $15 *}=75{*}在△FEM和△FDN中.EMF=DNF. .:AD平分 BAC,DE AB,DF AC...DE=DF. IFM-FN. DEB= DFC=90”.在 Rt△DEB和Rt△DFC中. .'.△FEM△FDN(AAS)..'.FE=FD;(2)成立.证明如 下:过点F作FG1AB于点G,FZ1BC于点Z.·'AD. DE-DF, CE分别是 BAC.BCA的平分线...FG=FZ,FGE DCF.:DCF十ACD=180*..DBE十ACD= = FZD=9 0.'$$FDZ =B+$BAD$=6 0$+$ 180{*},即 ABD十ACD-180{。 1 BAC,FEG=BAC+ACE=BAC+ ##△#_# ACB= BAC+(180*- B- BAC)= BAC$$ +(180-60--BAC)=60*+/BAC. .( FEG= 图② 图③ [FEG-/FDZ, 第2课时 三角形的三条内角平分线 FDZ.在△FEG 和△FDZ 中,FGE=FZD, 新知梳理 FG-FZ, .相等 ..△FEG△FDZ(AAS)..'.FE-FD. 例题引路 方法技巧专题 构造等腰三角形的四种方法 【例1】证明:设AG,BM交于点P,过点P分别作PD 1.证明:过点D作DM//AC,交BC于点M.../DMB AB于点D,PE BC于点E,PF |AC于点F..AG平分 ACB, FDM= E-.AB-AC..B= ACB$$ BAC,BM平分 ABC...PD=PF,PD=PE..'PE= '. B- DMB...BD-MD..BD=CE..'MD=CE PF.'点P在ACB的平分线CN上..'.AG,BM,CN交 [MDF-E. 于一点,【例2】解:作三角形三条角平分线的交点即可。 在△DMF和△ECF中,MFDCFE,..DMF 如图,点O即是小亭的中心位置, MD-CE. △ECF(AAS)..'.DF=EF.(也可过点E作EG//AB交 BC的延长线于点G,证△BDF△GEF)2.证明:过点 基础过关 A作AM/BC交BD的延长线于点M,则 M= DBC. 1.C 2.2:3:4 3.解:连接OA,过点O作OE1AB于 ·BD平分 ABC...ABD- DBC.. M= ABD 点E,OF1AC于点F.·BO.CO分别平分 ABC和 ..AM-AB.'.AM//BC,EF//BC..'AM//EF.'.M ACB.'OE-OD-2.OF=OD-2..'.S-S+ (M- DFE, S-OE·AB+OF·AC-OD·(AB+AC) DFE.在△ADM和△EDF 中,ADM-EDF, AD-ED, '△ADM△△EDF(AAS),.'AM=EF..'AB=EF. 能力提升 3.证明:延长AD交BC于点F.·BE平分 ABC 6.D 7.8cm 8.解:补充证明过程如下:AMC- '. ABD=FBD.':AD BE..ADB=FDB 90..BAD=/BFD/BFD=/CAD+C '. BAD= CAD+ C. 4.证明:延长BA,CD相交 AMC)-x(180*-120*)-30”·△ABC为等边三 于点Q.. BAE=90..CAQ=90,.BAE= CAQ, ACQ+Q=90{:CD BE..BDC=90. 角形,B- BAC- BCA-60{.BAM= BA$C$ 'ABE+Q-90{,ACQ-ABE.在△ABE和 +MAC-60*+30{-90BCM= BCA+MCA (乙ABE-乙ACQ. 60{+30{=90 .'MA BA,MC BC.·PM平分 △ACQ中,AB-AC. .ABE△ACQ(ASA) CPN,MQ NP,..MQ-CM=AM.在Rt△MAN和 BAE-CAQ. MA-MQ. Rt△MQV中. '.Rt△MANRt△MQN(HL). ..BE=CQ:AB=AC,BD平分 ABC..QBD 1MN-MN. $CBD.:BDC=BDQ=90..Q=B$CQ.$ '.AN=QN.同理可得,CP=QP...NP=QN+QP ..BQ=BC.:BDCQ...QD=CD...CQ=QD+CD -AN+CP. -2CD..'.BE=2CD. 5.解:在DC上截取DE=BD,连 思维拓展 接AE.·.BD-DE,AD BE...AD垂直平分BE...AB 9.解:(1)FE-FD.理由如下:过点F作FM|AB于点 =AE.AD]BC..$BD=DE=4..AB=AE.B M,FNIBC于点N,FH IAC于点H,则 FME= $ C.B=AED-2C.又·AED=C十 FND=90{}。·.AD.CE分别是 BAC.BCA的平分 EAC...2C-C+EAC..C=EAC...AE 线$FM=FH=FN, MAF= FAC= BAC= FC..CD-16,DE=4,.'$CE=CD-DE=16-4=12. '.AB-AE-EC-12. 6.证明:在边AC上截取AP AB,连接PD..AD平分BAC...BAD=PAD.在 第5页(共36页)