第1课时 线段垂直平分线的性质定理及其判定定理(PDF部分书稿)-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版 贵州专版）

3线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线的性质定理及其判定定理 冒名师导学。预习先知 基础过关。逐点击破 新知梳理 知识点1线段垂直平分线的性质定理 ①线段垂直平分线上的点到这条线段1.(2024·贵阳期中)如图，P为线段AB的 两个端点的距离 垂直平分线上一点.若PB=3cm,则PA ②到一条线段两个端点距离相等的点， 的长为 ( A D 在这条线段的 A.6 cm B.5 cm C.4 cm D.3 cm 例题团路 2.如图，直线AD垂直平分线段BC,∠B=50°，则∠C的度 【例1】如图，在四边形 数为 ABCD中，E为AB的 A.60 B.50° C.40 D.30 中点，DE⊥AB于点E, ∠A=66°，∠ABC= 90°，BC=AD,则∠C /D 【名师点拨】由线段垂直平分线的性质 (第2题图) (第3题图) (变式题图) 得AD=BD,可证DB=BC,即可求 3.(教材P4习题T3变式)如图，在△ABC中，AB边的垂直 出∠C 平分线分别交AB,BC于点D,E,连接AE.若BC=3.8, 【学生解答】 AC=2.4,则△ACE的周长为 【变式】(2024·四川凉山州改编)如图，在Rt△ABC中， 【例2】如图，点 ∠ACB=90°，DE垂直平分AB交BC于点D.若△ACD的 P在线段AB的 周长为50cm,则AC+BC的值为 垂直平分线上， PC⊥PA,PD⊥PB,AC=BD, 知识点2线段垂直平分线的判定定理 求证：点P在线段CD的垂直平分线上. 4.如图，在△ABC中，AB=AC,D 【名师点拨】要证点P在CD的垂直平 是BC上的一点，O是AD上一 分线上，只要证明PC=PD即可，因此 点，且OB=OC.若BC=4,则BD 由Rt△BPD≌Rt△APC即可得到. 的长为 【学生解答】 A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC 交AC于点D.求证：点D在线段AB的垂直平分线上， 15数学Ⅲ八年级下册(B) 习能力提升。整合运用 。思维拓展。学科素养 6.如图，在△ABC中，边AB,AC的垂直平分 10.新考法类比法)如图，在△ABC中，DE垂直 线交于点P,连接BP,CP.若∠A=50°，则 平分AB,分别交AB,BC于D,E两点， ∠BPC的度数为 ( MN垂直平分AC,分别交AC,BC于M,N A.50° B.100 C.130° D.150 两点 (1)若∠BAC=100°（如图①），求∠EAN 的度数： (2)若∠BAC=70°（如图②），求∠EAN的 度数； (第6题图) (第7题图) (3)若∠BAC=a(a≠90°)，直接写出用a表 7.数学思想转化思想如图，在△ABC中，AB 示∠EAN大小的代数式， 3,AC=4,EF垂直平分BC,点P为直线 EF上的任意一点，则AP+BP的最小值 是 ( A.4 B.5 C.6 D.7 图① 图② 8.情魔题购票小华和两个朋友 投影幕布 相约去看电影，因为他们有不 同购票APP上的优惠券，于 是他们分开购票.如图，已知 两位朋友的位置分别在A,B点（正方形网格 上的每一个格点都代表影厅内的一个座 位).小华若要选一个座位C,使得C到A,B 两个座位的距离相等，则在图中满足条件的 位置有 色 9.(2024·毕节期末)如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC,E为CD的中点，连接AE, BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于 点F 求证：(1)FC=AD: (2)AB=BC++AD. 第一章三角形的证明16∴∠D=90,∴.∠DAB+∠B=90°，∴.∠DAB=∠ACE. 第2课时 直角三角形全等的判定 5.证明：连接AC,AD.在△ABC和△AED中， 新知梳理 AB=AE. ①HL ∠B=∠E,.△ABC≌△AED(SAS),∴.AC=AD.又 例题引路 BC=ED. 【例1】证明：连接AD.,DF⊥AB,DE⊥AC,∴∠DFA= ,点F是CD的中点，∴.AF⊥CD.6.证明：过点A作 ∠DEA=90°.在Rt△ADF和Rt△ADE中， AM⊥BC于点M.:AB=AC,.∠BAC=2∠BAM. AD-AD. :AD=AE,∴.∠ADE=∠E,∴.∠BAC=∠ADE+∠E AF=AE.R△ADF≌R△ADE(Hl)∴DF=DE =2∠E,∠BAM=∠E,∴.DE∥AM.AM⊥BC,∴.DE :D是BC的中点，∴.DB=DC.在Rt△DBF和Rt△DCE ⊥BC 2直角三角形 中， DB=DC:R△DBF≌R△DCE(H,∠B= DF=DE. 第1课时直角三角形的性质与判定 ∠C,∴.AB=AC.【例2C 新知梳理 基础过关 ①互余直角三角形②平方和 ③直角 ④互逆命题 1.B2.73.证明：∠1=∠2，∴.DE=CE.:∠A= 逆命题逆定理 ∠B=90°，∴.△ADE和△EBC是直角三角形.在 例题引路 【例1】32°【例2】70 R△ADE和R△BE中，，：△MDE2 基础过关 R△BEC(HL).4.C5.证明：EF⊥AC,.∠F+ 1.C2.2.6m3C4.解：(1)在Rt△ACD中，由勾股 ∠C=90°.∠ABC=90°，.∠A+∠C=90.∴.∠A= ∠F=∠A, 定理，得AD=VAC-CD-√-（号）-吕：2)在 ∠F.在△FBD和△ABC中， ∠FBD=∠ABC=90°， BD=BC, R1△BCD中，由勾股定理，得BD=√BC-CD .△FBD≌△ABC(AAS),.BF=AB. √S-(号)=号.∴AB=AD+BD=+号 =5.4 能力提升 +32=5,即AC+BC=AB,∴.△ABC是直角三角形. 6.0.3m7.5或108.解：(1)∠ABC=90°，.∠CBE =∠ABE=90,在Rt△ABE和Rt△CBF中， 5.B6.真 能力提升 AECR△ABE≌R△CBF(HL:(2yAB= 7.C8.109.解：他们搭建的帐篷符合要求.理由如下： CB,∠ABC=90°，∴.∠CAB=∠ACB=45°，∴.∠BAE= 在Rt△ABD中，BD=1.6m,AD=1.2m,.AB= ∠CAB-∠CAE=45°-30°=15.由(1)，得Rt△ABE≌ √/BD+AD=1.6+1.2=2(m)..BC=BD+CD R△CBF,∴.∠BCF=∠BAE=15,∴.∠ACF=∠BCF+ =1.6+0.9=2.5(m),..AB+AC=2+1.52=6.25, ∠ACB=15+45°=60. BC=2.52=6.25,∴.AB+AC=BC,∴.△ABC是直角 思维拓展 三角形，且∠BAC=90°，∴.他们搭建的帐篷符合要求. 9.解：(1)，OELAB,OF⊥AC,∴∠BEO=∠CFO=90 10.解：(1)∠C=90°，AC=3,BC=4,.AB= :O为BC边的中点，∴.OB=OC.在R△OBE和 /AC+C=√/3+4=5：(2)△ABD是直角三角形. 理由如下：由(1)，得AB=5,AB十AD=5+122= R△OCF中， OB=OC, OE=OF,R△OBE≌R△CCF(HL), 169,BD=132=169,.AB+AD=BD,.△ABD是 .∠B=∠C,.AB=AC:(2)同(1)可证R△OBE≌ 直角三角形，且∠BAD=90°，.Ss边D=S△Ac十S△D R△OCF(HL),∴.∠OBE=∠OCF.OB=OC, =7AC·BC+号AB·AD=号×3X4+7X5X12 ∴.∠OBC=∠OCB,.∠OBE+∠OBC=∠OCF+ ∠OCB,即∠ABC=∠ACB,.AB=AC:(3)解法一：同 =36. (1)可证R△OBE≌R1△OCF(HL),∴.∠OBE=∠OCF. 思维拓展 .OB=OC,∴.∠OBC=∠OCB,.180°-∠OBE-∠OBC 11.解：(1)如图①的正方形的边长是10，面积是10（所 =180°-∠OCF-∠OCB,即∠ABC=∠ACB,∴.AB= 画正方形的形状、大小相同，位置可能不同)：(2)如图②的 AC.解法二：连接AO.在R1△OAE和R1△OAF中， 三角形的边长分别为2,5，/13（所画三角形的形状、大 小相同，位置可能不同)：(3)连接AC.:每个小正方形的 OE=OFR△OAB≌R△OAF(HL),∴AE=AE.同 AO-AO. (1)可i证Rt△OBE≌Rt△OCF(Hl),,',BE=CF,.AE 边长都是1，∴.由勾股定理，得AC=BC=√/3+1下= BE=AF-CF,即AB=AC /10,AB=/4+2=25,.AC+BC=AB, 3线段的垂直平分线 ∴.△ACB是直角三角形且∠ACB=90.又：AC=BC, '.∠ABC=45 第1课时线段垂直平分线的性质 定理及其判定定理 新知梳理 ①相等②垂直平分线 例题引路 图① 图② 图③ 【例1】78°【例2】证明：，点P在线段AB的垂直平分线 第3页（共36页） 上，∴.PB=PA.PC⊥PA,PD⊥PB,∠BPD= (2)99.解：(1)DE为线段AC的垂 ∠APC=90°.在Rt△BPD和Rt△APC中， BD=AC:R△BPD≌R△APC(H,PD=PC, PB=PA. ∴.点P在线段CD的垂直平分线上， 基础过关 直平分线，.OC=OA.,AC=BC,点F为AB的中点， 1.D2.B3.6.2【变式】50cm4.B5.证明：，∠C .CF为线段AB的垂直平分线，.OB=OA∴.OB=OC, =90°，∠A=30°，∴.∠ABC=90°-30°=60°.BD平分 ∴△OBC为等腰三角形：(2)：AC=BC,点F为AB的中 点，∴.CF为∠ACB的平分线，∴.∠ACF=∠BCF= ∠ABC,∴∠ABD=7∠ABC=30,∴∠A=∠ABD. z∠ACB=25.·.∠ACB=50°.∠DEC=180° .DA=DB,.点D在线段AB的垂直平分线上 能力提升 ∠EDC-∠ACB=180°-90°-50°=40°.，OB=OC, 6.B7.A8.49.证明：(1)AD∥BC,∴∠ADE= .∠CBO=∠BCF=25,.∠BOE=∠DEC-∠CBO= ∠FCE.,E是CD的中点，∴.DE=CE.在△ADE和 40°-25=15°. ∠ADE=∠FCE, 思维拓展 △FCE中，DE=CE, ∴.△ADE≌△FCE(ASA), 10.解：(1)连接PB,PC,PE垂直平分AB,PM垂直平 ∠AED=∠FEC, 分AC,∴PA=PB,PA=PC,∴PB=PC,点P在线段 ∴.FC=AD:(2)△ADE≌△FCE,∴.AE=EF.又BE BC的垂直平分线上：(2)：PE垂直平分AB,.PA= ⊥AF,∴.BE是线段AF的垂直平分线，∴.AB=BF=BC PB,FA=FB,∴.∠PAB=∠PBA,∠FAB=∠FBA, +CF..AD=CF,..AB=BC+AD. ∴.∠PAB-∠FAB=∠PBA-∠FBA,即∠PAF= 思维拓展 ∠PBF.同理，得∠PAN=∠PCN.由(1)，得PB=PC, 10.解：(1)DE垂直平分AB,∴.AE=BE,∴.∠BAE= ∴∠PBF=∠PCN,∴.∠PAF=∠PAN,即AP平分 ∠B.同理可得∠CAN=∠C,∴.∠EAN=∠BAC ∠FAN:(3)180°-g 2 (∠BAE+∠CAN)=∠BAC-(∠B+∠C).:在△ABC 4 角平分线 中，∠B+∠C=180°-∠BAC=180°-100°=80°， .∠EAN=100°-80°=20°：(2)：DE垂直平分AB, 第1课时角平分线的性质定理 AE=BE,∴.∠BAE=∠B.同理可得∠CAN=∠C, 及其判定定理 .∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=(∠B+∠C) 新知梳理 ∠BAC:在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC= ①相等②平分线 180°-70°=110°，∴.∠EAN=110°-70°=40°：(3)当a< 例题引路 90时，∠EAN=180°-2a:当a>90°时，∠EAN=2a 【例1】证明：，∠C=90°，DE⊥AB,AD是∠BAC的平分 -180°. 线，，.DE=DC,∠C=∠DEB=90.在△DEB和△DCF 第2课时三角形三边的垂直平分线 DE=DC. 例题引路 中， ∠DEB=∠C,.△DEB≌△DCF(SAS),.BD= 【例1】证明：连接OA,OB,OC,点O在AB,BC的垂直平 BE=FC. 分线上，.OA=OB=OC,∴点O在AC的垂直平分线上. FD.【例2】证明：，BE⊥AC,CF⊥AB,·∠BFD= 【例2】解：如图所示： ①作BC=2cm,并作其垂 ∠CED=9O°.在△BDF和△CDE中， ∠BFD=∠CED, ∠FDB=∠EDC,·△BDF≌△CDE(AAS),∴.DF= BD-CD. DE.又，DF⊥AB,DE⊥AC,∴.AD平分∠BAC 基础过关 直平分线MN交BC于点D:②在DM上截取DA= 1.B【变式】C2.43.A4.A 3cm:③连接AB,AC,则△ABC即为所求 能力提升 基础过关 5.A6.C7.28.解：BD平分∠ABC.∠ABD= 1,D2.83.解：·点P为△ABC三边垂直平分线的交 ∠CBD.DE垂直平分AB,∴.DA=DB,∴.∠ABD= 点，.PA=PC=PB,∴.∠PAB=∠PBA,∠PAC= ∠A,∴.∠A=∠ABD=∠CBD.又：∠A+∠ABD+ ∠PCA=18,∠PC=∠PCB=32.∠PAB=号180 ∠CBD=90°，∴.∠A=∠ABD=∠CBD=30°，∴.CD= 2BD.在R△BCD中，由勾股定理，得BD=CD十 -2∠PAC-2∠PCB)=2×(180°-2X18-2X32)= 40°.4.C5.解：(1)如图： (2)16 BC,即BD=(2BD)+3,BD=2B(负值已舍 去)，AD=2 思维拓展 9.证明：(1)如图②，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC 交AC的延长线于点F.:AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF 能力提升 ⊥AC,∴.DE=DF,∠DEB=∠F=90°.'∠EBD+ 6.D7.10 8.解：(1)如图，点E即为所求： ∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，.∠EBD= 第4页（共36页）