第1课时 直角三角形的性质与判定(PDF部分书稿)-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版 贵州专版）

2直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定 冒名师导学。预习先知 基础过关。逐点击破 新知梳理 知识点1直角三角形的性质 ①定理：(1)直角三角形的两个锐角 L.如图，把一块三角尺ABC的直角顶点B放在直线EF上， :(2)有两个角互余的三角 ∠C=30°，AC∥EF,则∠1等于 () 形是 A.30 B.45 C.60° D.75 ②勾股定理：直角三角形两条直角边 A口 0 的 等于斜边的平方， ③勾股定理的逆定理：如果三角形两边 g女d B (第1题图) (第2题图) 的平方和等于第三边的平方，那么这 个三角形是 三角形。 2.魔题货车如图，货车车厢底部离地面的高度AB为1m, ④在两个命题中，如果一个命题的条 为了方便装卸货物，调用移动式登车桥AC,已知登车桥末 件和结论分别是另一个命题的结论 端与车厢的水平距离BC为2.4m,则移动式登车桥AC的 和条件，那么这两个命题称为 长为 ,其中一个命题称为另一 知识点2直角三角形的判定 个命题的 _·如果一个定3.下列各组线段中，不能组成直角三角形的是 理的逆命题经过证明是真命题，那 A.6,8,10 B.3,4,5 C.4,5,6 D.5,12,13 么它也是一个定理，其中一个定理 称为另一个定理的」 4.如图，在△ABC中，CDLAB于点D,AC=4,BC=3,CD=1 51 例题团路 (1)求AD的长； 【例1】如图，直线a∥b,直线c与直 (2)求证：△ABC是直角三角形 线a,b分别相交于点A,B,AM⊥b, 垂足为点M.若∠1=58°，则∠2 【学生解答】 【例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90. 点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠， 知识点3逆命题和逆定理 使点B恰好落在AC边上的点E处若 5.已知命题：如果a=b,那么|a=|b.该命题的逆命题 ∠A=25°，则∠CDE的度数为 是 A.如果a=b,那么a|=|bB.如果a=b,那么a=b C.如果a≠b,那么|a≠|bD.如果a|≠|b,那么a≠b 6.命题“如果a2=b,那么a=b”的逆命题是 (选填 【学生解答】 “真”或“假”)命题。 11数学Ⅲ八年级下册(BS) 回能力提升0整合运用 10.如图，在四边形ACBD中，∠C=90°，AC 3,BC=4,AD=12,BD=13. 7.(2024·陕西)如图，在 △ABC中，∠BAC=90°， (1)求AB的长； AD是BC边上的高，点EBD (2)试判断△ABD的形状，并求四边形 ACBD的面积. 是DC的中点，连接AE,则图中的直角三角 形共有 ( A2个 B.3个C.4个 D.5个 8.精通题攀岩如图是小聪参加室内攀岩活动 的攀岩墙，其近似一个长方体的两个侧面， 则根据所学的数学知识可以推算出，从点A 攀爬到点B的最短路径为 m. 2m 思维拓展。学科素养 9.简题搭帐篷小明和爸爸妈妈一起去露营. 如图是他们搭建帐篷的部分支架示意图.在 11.新视角条件开成题如图，正方形网格中每个 △ABC中，两根支架AB与AC从帐篷顶点 小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫 A支撑在水平的支架BC上，一根支架AD 做格点 (1)在图①中，以格点为顶点画一个面积为 BC于点D.经测量，BD=1.6m.CD=0.9m, 10的正方形： AD=1.2m,AC=1.5m按照要求，当帐篷支 (2)在图②中，以格点为顶点画一个三角 架AB与AC的夹角∠BAC为直角时，帐篷 形，使三角形三边的长分别为2， 符合要求.请通过计算说明他们搭建的帐篷 5,3: 是否符合要求， (3)如图③，点A,B,C是小正方形的顶点， 求∠ABC的度数： 图① 图② 图③ 第一章三角形的证明12∴∠D=90°，∴.∠DAB+∠B=90°.∴.∠DAB=∠ACE. 第2课时 直角三角形全等的判定 5.证明：连接AC,AD.在△ABC和△AED中， 新知梳理 AB=AE, OHL ∠B=∠E,.△ABC≌△AED(SAS),∴.AC=AD.又 例题引路 BC=ED. 【例I】证明：连接AD.,DF⊥AB,DE⊥AC,∴.∠DFA= 点F是CD的中点，∴AF⊥CD.6.证明：过点A作 ∠DEA=90°.在Rt△ADF和Rt△ADE中， AM⊥BC于点M.,AB=AC.∴.∠BAC=2∠BAM AD=AE,∴.∠ADE=∠E,.∠BAC=∠ADE+∠E ADAD.R△ADF≌R△ADE(H,.∴DF=DE. =2∠E,∴.∠BAM=∠E,∴，DE∥AM.AM⊥BC,,DE ,D是BC的中点，'.DB=DC.在Rt△DBF和Rt△DCE ⊥BC 2直角三角形 中， DB=DC:R△DBF≌R△DCE(H,).∠B= DF=DE. 第1课时直角三角形的性质与判定 ∠C,∴.AB=AC.【例2C 新知梳理 基础过关 ①互余直角三角形②平方和 目直角④互逆命题 1.B2.73.证明：∠1=∠2，∴.DE=CE.:∠A= 逆命题逆定理 ∠B=90°，∴.△ADE和△EBC是直角三角形.在 例题引路 【例1】32°【例2】70 RAADE和RI△BC中，E,之R△ADE≌/ 基础过关 R△BEC(Hl).4.C5.证明：，EF⊥AC,.∠F+ 1.C2.2.6m3.C4.解：(1)在Rt△ACD中，由勾股 ∠C=90°.：∠ABC=90°，∴.∠A+∠C=90°..∠A= ∠F=∠A, 定理，得AD=VAC-CD-√-（号）=9：(2)在 ∠F.在△FBD和△ABC中， ∠FBD=∠ABC=90°， BD=BC, Rt△BCD中，由勾股定理，得BD=√BC一CD ∴.△FBD≌△ABC(AAS),∴.BF-AB. √-（传皆）=号AB=AD+BD=+号=6 能力提升 +32=5,即AC+BC=AB,∴.△ABC是直角三角形. 6.0.3m7.5或108.解：(1)∠ABC=90°..∠CBF =∠ABE=90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中， 5.B6.真 能力提升 AFCB,R△ABE2R△CBF(H):(2)AB= 7.C8.109.解：他们搭建的帐篷符合要求.理由如下： CB,∠ABC=90°，∴.∠CAB=∠ACB=45°，∴.∠BAE= 在Rt△ABD中，，BD=1.6m,AD=1.2m,,.AB= ∠CAB-∠CAE-45°-30°=15°.由(1)，得Rt△ABE≌ VBD+AD=1.61.2=2(m).BC=BD+CD R△CBF,∴.∠BCF=∠BAE=15,∴.∠ACF=∠BCF+ =1.6十0.9=2.5(m),..AB+AC°=22+1.52=6.25. ∠ACB=15°+45°=60°」 BC°=2.5=6.25，∴.AB+AC=BC,.△ABC是直角 思维拓展 三角形，且∠BAC=90°，∴.他们搭建的帐篷符合要求. 9.解：(1)：OE⊥AB,OF⊥AC,∴.∠BEO=∠CFO=90° 10.解：(1)∠C=90°，AC=3.BC=4,∴.AB= ,O为BC边的中点，.OB=OC.在Rt△OBE和 √AC+BC=√3+4平=5：(2)△ABD是直角三角形. 理由如下：由(1)，得AB=5,,AB+AD=5+12= R△OCF冲OEOE:R△OBE≌R△OCF(H,)7 169,BD=13=169,.AB+AD=BD,.△ABD是 .∠B=∠C,∴.AB=AC:(2)同(1)可证R△OBE≌ 直角三角形，且∠BAD=90°，∴.S四边形m=SAAM十S△uD R△OCF(HL),.∠OBE=∠OCF.:OB=OC, =AC·BC+号AB·AD=号×3X4+×5X12 ∴.∠OBC=∠OCB,∴.∠OBE+∠OBC=∠OCF+ ∠OCB,即∠ABC=∠ACB,∴.AB=AC:(3)解法一：同 =36. (I)可证R△OBE≌Rt△OCF(HL),∴.∠OBE=∠OCF. 思维拓展 ,OB=OC,∴.∠OBC=∠OCB,∴.180°-∠OBE-∠OBC 11.解：(1)如图①的正方形的边长是√10，面积是10（所 =180°-∠OCF-∠OCB,即∠ABC=∠ACB,∴.AB= 画正方形的形状、大小相同，位置可能不同)：(2)如图②的 AC.解法二：连接AO.在Rt△OAE和Rt△OAF中， 三角形的边长分别为25，√13（所画三角形的形状、大 A0=A0. 小相同，位置可能不同)：(3)连接AC.,每个小正方形的 OEOF,R△OAER△OAF(HL)∴AE=AE同 边长都是1，∴.由勾股定理，得AC=BC=√③2+1严 (1)可证R△OBE≌R△OCF(HL.),.BE=CF,.AE BE=AF-CF,即AB=AC 10,AB=√4+2=2√5，∴.AC+BC=AB 3线段的垂直平分线 .△ACB是直角三角形且∠ACB=90°.又，AC=BC. .∠ABC=45 第1课时线段垂直平分线的性质 定理及其判定定理 新知梳理 ①相等②垂直平分线 例题引路 图① 图② 图 【例1】78°【例2】证明：，点P在线段AB的垂直平分线 第3页（共36页）