数学思想专题 运用分类讨论思想求解等腰三角形中多解问题&方法技巧专题 活用“三线合一”巧解题(PDF部分书稿)-【鸿鹄志·名师测控】2024-2025学年八年级下册数学（北师大版 贵州专版）

BAC=90{,ADBC.*'BAD+ CAD=90.CAD 数学思想专题 运用分类讨论思想求 +C=90{.BAD=C.BE 平分 ABC$ 解等腰三角形中多解问题 '. ABF- CBE..AFE= ABF+ BAD.AEF 1.C 2.70{},55^{}55{或70{},70{},40{*}3.C 4.B 5.9或5 =CBE十C,..AFE=AEF,..AF=AE,即 6.解:分两种情况讨论:①若 A<90{},如图①..BD △AEF为等腰三角形. AC$ A+ ABD-90{$: ABD-48{A-90$ 思维拓展 -48"-42”.·'AB-AC .ABC- C-(180*- 10.解:(1)△ABC,△BOC(2)有5个等腰三角形: △ABC,△BOC,△BEO.△CFO,△AEF.线段EF和EB A)-x(180{-42°)-69{;②若 A>90”,如图②.同 FC之间的数量关系为EF一EB十FC;理由略;(3)还有等 腰三角形,即△BOE和△COF.(2)中EF一EB+FC仍然 ①可得 BAD-90{*-48*-42^{·:AB=AC.ABC= 成立.理由如下:.BO平分ABC,CO平分ACB. C:BAD=ABC+C-2C.ABC=C= :. EBO=CBO.FCO=BCO.又:EF /BC /BAD-×42*-21°.综上所述,该等腰三角形底角 '. FOB=CBO.FOC=BCO...EBO= 的度数为69或21*。 EOB, FOC=FCO...BE=EO,FO=FC...EF EO十FO-EB+FC. 【变式】21 第4课时 等边三角形的判定 新知梳理 等边三角形 60一半 ② 例题引路 7.解:分两种情况讨论:①如图①,当AB的垂线MN与 【例1】解:△DEF是等边三角形.理由如下:·.△ABC是 AC相交时,MN交AC于点D,交AB于点E,.AED 等边三角形..ABC= ACB=CAB-60{}.:1 -90{*,ADM-40$'A-90*-40*-50”$·AB-AC$ 2=3,DFE-3+ FAC=1+FAC= $ B= C-(180*- A)-$(180*-50*)-65°; CAB=60{}同理,得 DEF= EDF=60{.△DEF 是等边三角形.【例2】B ②如图②,当AB的垂线MN与CA的延长线相交时,MN 交CA的延长线于点D,交AB于点E.·'AED-90{ 基础过关 ADE-40{,DAB=90{-40{=50{}·'AB=AC 1.D 2. 10m 3.证明:*:DC=DB,. DCB=B=$$ 30{ $ADC= DCB+ B=30{}+30*}-60 又:AD$ ' B=C..DAB=B+C=2B.B=$C - DAB-×50”-25°.综上所述,底角乙B的度数 -DC...ADC是等边三角形. 4.A 5.B 6.12 能力提升 为65^或25”。 7.A 8.200m 9. 6或12 10.解:(1):AB=AC '. B=C.:FEBC,. CEF=90.FC 90{. BDE+B=90. F=BDE.. BDE$ FDA...F=FDA..'.AF=AD..'△ADF是等 三角形;(2):DE|BC..' DEB-90{* B-60* 图 8.A9.75{或120{或90 ' BBDE=90{*$- B=90{$-6 0{}=30{}。'$BE-B BD=$$ 方法技巧专题 活用“三线合一”巧解题 1$6-3.'AB-AC. B-60{.'△ABC是等边三角 1.证明:连接AD.·.'△ABC为等腰直角三角形,/BAC 90{.. BC=45·D为BC中点..'AD|BC,AD 形,.$BC=AB=AD+BD=3+6=9..$EC=BC-BE= 平分 BAC..EAD=CAD=C=45.'AD=$ 9-3-6. [AE-CF, 思维拓展 CD.在△ADE和△CDF中,EAD=C...△ADE 11.解:(1):△ABC和△CDE均为等边三角形..,AC= AD-CD. BC,EC=DC.ACB=ECD=60. ACB+ACE △CDF(SAS)..'.DE-DF. 2.证明:连接BD.在等边 =ECD十ACE,即 ECB=ACD.在△ACD和 三角形ABC中,点D是AC的中点,.DBC-ABC (AC-BC. △BCE中,ACD=BCE...△ACD△BCE(SAS). 60{=30{}, ACB=60{}:CE=CD.CDE= CD-CE. '.AD-BE;(2)'ACD△BCE.. CBH-CAG E.ACB=CDE+E2E=60E-30 ·ACB= ECD=60{,点B,C.D在同一条直线上 '. DBC= E=30{.'.BD=ED,△BDE为等腰三角形 '. ACG-180{*-ACB-E[CD=180$-60{$-6 0$=$$ 又·DM| BC...BM-EM. 3. 证明:过点A作AE 60{...ACB=ACG.在△ACG和△BCH中, BC于点E..CAE+C-90.AB-AC..CAE (CAG-/CBH. 2 BAC. ·BD1AC.:.DBC+C-90”, AC-BC. . △ACG△BCH(ASA); . DBC=/CAE,:. DBC-BAC. ACG- BCH. .4.证明: (3)△CGH是等边三角形.理由如下;.△ACG△BCH. .AC=BC.CE为△ABC的中线..CAB=B.CE 'CG-CH.又· ACG-60{。..△CGH是等边三角形. AB..'CAB+ACE-90{*}.AD为△ABC的高线 第2页(共36页) '. D=90.DAB+B=90'DAB= ACE. 第2课时 直角三角形全等的判定 5. 证明:连接AC,AD. 在△ABC和△AED中 新知梳理 AB-AE, HL. B=E...△ABC△AED(SAS)..AC=AD.又 例题引路 BC-ED. 【例1】证明:连接AD.:DFIAB,DE AC...DFA .点F是CD的中点,..AFICD. 6.证明:过点A作 DEA =90{。在 Rt △ADF 和 Rt △ADE 中, AM 1BC于点M.·AB=AC...BAC=2BAM :AD=AE.ADE=E.BAC= ADE十E AF-AE, -2 E.. BAM-E..DE//AM.AM BC...DE ·D是BC的中点..'.DB=DC.在Rt△DBF和Rt△DCE 1BC DB-DC. .Rt△DBFRt△DCE(HL).. B= 2 直角三角形 中, DF-DE.' 第1课时 直角三角形的性质与判定 C...AB-AC.【例2】C 新知梳理 基础过关 互余 直角三角形 ②平方和 直角 互逆命题 1. B 2.7 3.证明:1=2...DE=CE..A 逆命题 逆定理 B=90{},..△ADE和△EBC是直角三角形,在 DE-EC. 例题引路 R:ADE和.RtBFC中, .Rt△ADE 【例1】32【例2】70* AD-BE. 基础过关 Rt△BEC(HL). 4. C 5. 证明:.EF IAC,..F十 1.C 2.2.6m 3.C 4.解:(1)在Rt△ACD中,由勾股 C=90”:ABC-90”A+C-90”'A (/F-A, 定理,得AD-AC-CD-4-(2)-15.(2)在 之F.在△FBD和△ABC 中,FBD= ABC=90{, BD-BC. Rt△BCD中:由勾股定理,得BD= BC一CD= #3-1)-BDBD15.: '.△FBD△ABC(AAS)..'BF-AB. 能力提升 6.0.3m 7.5或10 8.解:(1)ABC-90...CBF +3-5^{,即AC}+BC}=AB..'△ABC是直角三角形$$ = ABE=90{。在 Rt △ABE 和 Rt △CBF 中, 5.B6.真 能力提升 AB-CB, 7.C 8.10 9.解:他们搭建的帐篷符合要求,理由如下: $CB.ABC-90{$CAB- ACB=45{BAE 在RtABD中,'BD=1.6m,AD=1.2m:..AB CAB-CAE-45*-30{-15{。由(1),得Rt△ABE BD+AD=1.6+1.2-2(m)..BC-BD+CD Rt△CBF,..BCF= BAE=15*...ACF- BCF+ -1.6+0.9-2.5(m).AB+AC-2+1.5=6.25. ACB-15*+45*-60”。 B$C-2.5-6.25..'AB+AC-BC..△ABC是直角 思维拓展 三角形,且BAC一90{,..他们搭建的帐篷符合要求. 9.解:():OE AB,OF1AC..'.BEO-CFO-90. 10.解:(1).C=90*,AC=3.BC=4..AB .O为BC边的中点,:.OB-OC.在Rt△OBE和 VAC+BC- 3+4-5;(2)△ABD是直角三角形. OB=OC..Rt△OBERt△OCF(HL). Rt△OCF中, 理由如下:由(1),得AB-5,.AB*+AD-5+12 [OE-OF: 169.BD-13{-169.'$AB+AD=BD,'△ABD是 *.B=C..AB=AC;(2)同(1)可证Rt△OBE 直角三角形,且BAD-90,..S形acBo-Src十Sp Rt△OCF(HL)..OBE=OCF.:OB=QC. -AC·BC+AB·AD-×3X4+25X12 '.OBC=OCB..OBE十OBC=OCF十 OCB,即 ABC-ACB...AB-AC;(3)解法一:同 -36. (1)可证Rt△OBERt△OCF(HL)...OBE=OCF. 思维拓展 :OB=OC.. OBC=OCB...180*-OBE-OBC 11.解:(1)如图①的正方形的边长是v10,面积是10(所 -180*-OCF-OCB,即 ABC=ACB,.'AB 画正方形的形状、大小相同,位置可能不同);(2)如图②的 AC.解法二:连接AO.在Rt△OAE和Rt△OAF中. AO=AO. R△OAE2Rt△OAF(HL)..AEF-AF.同 三角形的边长分别为2.5.13(所画三角形的形状、大 小相同,位置可能不同);(3)连接AC.每个小正方形的 OE-OF: 边长都是1,..由勾股定理,得AC-BC= ③+1= (1)可证Rt△OBERt△OCF(HL),.'.BE-CF..AE BE-AF-CF,即AB-AC. 10,AB=4+2=2 ..AC+BC*=AB$$$ 3 线段的垂直平分线 *.△ACB是直角三角形且 ACB=90{}.又:AC-BC .ABC-45{。 第1课时 线段垂直平分线的性质 定理及其判定定理 新知梳理 相等 ②垂直平分线 例题引路 图① 图② 图③ 【例1】78*【例2】证明:·点P在线段AB的垂直平分线 第3页(共36页)数学思想专题运用分类讨论思想求解等腰三角形中多解问题 类型1当顶角或底角不确定时，分类讨论 类型4由腰的垂线引起的分类讨论 1.已知△ABC为等腰三角形，∠A为底角，且 7.在△ABC中，AB=AC,AB的垂线与AC所 ∠A=70°，则∠C的度数可能是 ( 在直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B A.70 B.40 的度数. C.70°或40 D.55或70°或40 2.一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这 个三角形的三个角应该为 类型2当底和腰不确定时，分类讨论 3.(2024·铜仁期未)若等腰三角形的一边长 为6cm,另一边长为4cm,则该等腰三角形 的周长为 ( ) A.14 cm B.16 cm C.14cm或16cm D.14cm或18cm 4.已知实数x,y满足|x一4十√y一8=0，则 以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长 是 ) A.20或16 B.20 C.16 D.以上答案均不对 类型3当高的位置不确定时，分类讨论 5.在△ABC中，AB=AC,DB为△ABC的中 线，且DB将△ABC的周长分为9和12两 部分，则BC的长为 6.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 48°，求该等腰三角形底角的度数. 类型5由动点的不确定性引起的分类 讨论 8.如图，在平面直角坐标系中，已知A(2,2),B(4, O).若在坐标轴上取点C,使△ABC为等腰三角 形，则满足条件的点C的个数是 () A.5 B.6 C.7 D.8 B P M (第8题图) (第9题图) 9.如图，已知P是射线BM上一动点(，点P不 与点B重合)，∠AOB=30°，∠ABM=60°， 点O,B,M在同一直线上，当∠OAP的度数 为 时，以A,O,B中的两点 和点P为顶点的三角形是等腰三角形. 9数学Ⅲ八年级下册(BS) 方法技巧专题 活用“三线合一”巧解题 类型1利用“三线合一”证明线段相等 4.如图，在△ACB中，AC=BC,AD为△ABC L.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A= 的高线，CE为△ABC的中线. 90°，D为BC中点，E,F分别为AB,AC上 求证：∠DAB=∠ACE. 的点，且满足AE=CF.求证：DE=DF 类型3利用“三线合一”证垂直 5.如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC= DE,∠B=∠E,点F是CD的中点. 2.如图，已知等边三角形ABC中，点D是AC 求证：AF⊥CD. 的中点，点E是BC延长线上的一点，且CE CD,DMBC,垂足为M. 求证：BM=EM. 6.如图，在△ABC中，AB=AC,D为AC上任 意一点，延长BA到点E,使得AE=AD,连 接DE.求证：DE⊥BC 类型2利用“三线合一”证明角相等 3.如图，已知AB=AC,BD⊥AC于点D. 求证：∠DBC=号∠BAC 第一章三角形的证明10